PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I QUI TẮC ĐẾM 1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiên, h.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP-XÁC SUẤT MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I QUI TẮC ĐẾM Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiên, hành động có n cách thực hiên khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: số phần tử tập hợp hữu hạn X kí hiệu |X| n(X) Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao n( A B ) n( A) n( B ) Mở rộng: Một công việc hoàn thành k hành động A1 , A2 , , Ak Nếu hành động A có m cách thực hiện, hành động A có m cách 1 2 thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động khơng trùng cơng việc có m1 m2 mk cách thực Quy tắc nhân Một công việc hồn thành hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với cách thực hành động A1 có m2 cách thực hành động A2,…, có mk cách thực hành động Ak cơng việc có m1.m2 mk cách hoàn thành * Lưu ý học sinh: cần phân biệt cách sử dụng hai qui tắc đếm vừa trình bày Có thể phân biệt hai qui tắc hai sơ đồ sau: Quy tắc cộng hành động có m cách hành động có n cách Cơng việc Sử dụng qui tắc cộng để giải tốn đếm Có m+n cách thực công việc Phương pháp chung: Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc qui tắc cộng ta cần thực bước: Bước Phân tích xem có phương án để thực công việc Bước Đếm số cách chọn phương án Bước Dùng qui tắc cộng để tính số cách chọn để thực cơng việc Ví dụ Để từ TP.HCM Hà Nội máy bay ơtơ Mỗi ngày có chuyến bay chuyến ơtơ từ TP.HCM Hà Nội Hỏi có tất có lựa chọn để từ TP.HCM Hà Nội Sơ đồ toán sau: Tp HCM Hà Nội Đi máy bay có cách Đi ơtơ có cách Có 3+6=9 cách lựa chọn Giải Đi từ Tp.HCM đến Hà Nội có hai phương án: Phương án 1: máy bay có cách Phương án 2: tơ có cách Vậy số lựa chọn rừ Tp HCM đến Hà Nội 3+6=9 Quy tắc nhân Cơng việc Bước Bước có m cách có n cách Có m.n cách thực cơng việc Ví dụ Có số tự nhiên có hai chữ số khác lập từ số 1, 2, 3, 4,5, Giải Gọi ab số tự nhiên có hai chữ số khác Bước Chọn số a: có cách chọn Bước Chọn số b: có cách chọn Vậy có 6.5=30 số ab theo u cầu tốn Sơ đồ toán sau: Chọn số a Chọn số b Lập số ab có cách có cách Có 6.5=30 số Ví dụ Cho tập X {0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9} Có số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số khác lấy từ tập X cho Giải Gọi abc số tự nhiên có chữ số khác nhau, abc chẵn Có hai trường hợp abc chẵn c c Trường hợp 1: c Số a có cách chọn Số b có cách chọn Suy có 1.9.8=72 số Trường hợp c Số c có cách chọn Số a có cách chọn Số b có cách chọn Suy có 4.8.8 =256 số Vậy có 72+256=328 số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số khác Sơ đồ toán sau: Lập số abc c0 c0 Chọn số c 1cc Chọn số c 4cc Chọn số a 9cc Chọn số a 8cc Chọn số b 8cc Chọn số b 8cc Có 1.9.8+4.8.8=328 số lập LUYỆN TẬP Bài Trong số tự nhiên viết hệ thập phân a Có số có chữ số? b Có số chẵn có chữ số? c Có số có chữ số khác nhau? d Có số lẻ có chữ số khác nhau? e Có số chẵn có chữ số khác nhau? Bài Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên a Chia hết cho gồm chữ số khác nhau? b Chia hết cho gồm chữ số khác nhau? c Gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 9? Bài Số 1440 có ước nguyên dương? BÀI TẬP VẬN DỤNG THỰC TIỄN Bài Ở nhà hàng có khai vị salat Nga, mầm cải trộn cá ngừ gỏi ngó sen tơm thịt, sườn nướng, đùi gà rô-ti, cá kèo kho tộ thịt kho trứng, canh canh cải thịt bằm, cành gà giang canh khổ qua cá thác lác, tráng miệng bánh flan, chè đậu đỏ, trái thập cẩm sữa chua a) Hỏi có cách chọn bữa ăn gồm khai vị, chính, canh tráng miệng b) Có người khơng thích cá bác sĩ yêu cầu phải ăn cá nên người chọn cá ăn Hỏi người có cách chọn bữa ăn? II HỐN VỊ Định nghĩa hốn vị Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử Nhận xét: hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn, hai hoán vị abc bca ba phần tử a, b, c khác Số hoán vị Định lí: Số hốn vị tập hợp có n phần tử kí hiệu Pn Khi : Pn n.(n 1).(n 2) n ! ( n ! đọc n giai thừa) Một số ví dụ Ví dụ Hãy liệt kê tất số tự nhiên khác lập từ ba chữ số 1, 2, Giải Các số tự nhiên cần tìm : 123, 132, 213, 231, 312, 321 Ví dụ Có cách xếp ba bạn học sinh A, B, C thành hàng dọc Giải Mỗi cách xếp ba bạn học sinh thành hàng dọc hốn vị ba phần tử Suy : số cách xếp ba bạn thành hàng số hốn vị ba phần tử nên có : P3 3! 3.2.1 cách xếp Ví dụ Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành hàng dọc cho nam nữ xen kẻ Giải Việc xếp thực theo bước sau : Bước : xếp học sinh nam có !=6 cách Bước Xếp học sinh nữ có ! =6 cách xếp Bước Thay đổi vị trí nam nữ có !=2 cách xếp Vậy dùng qui tắc nhân có 6.6.2=72 cách xếp * Sơ đồ toán sau: Sắp xếp nam, nữ Xếp hs nam có 3!=6 cách Xếp hs nữ có 3!=6 cách Đổi vị trí nam nữ có 2!=2 cách Có 6.6.2=72 cách xếp III CHỈNH HỢP Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Số chỉnh hợp k Gọi An số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 k n) Ta có định lí sau Định lí Ank n.(n 1) (n k 1) n! (n k )! Chú ý: a Quy ước 0! b Mỗi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử n Do đó: Pn An n ! IV TỔ HỢP Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Chú ý: Quy ước tập rỗng tổ hợp chập n phần tử Số tổ hợp k Gọi Cn số tổ hợp chập k n phần tử (1 k n) Khi : Định lí Cnk n! k !(n k )! k Tính chất số Cn a Tính chất Cnk Cnn k b Tính chất (công thức Pa-xcan) Cnk11 Cnk1 Cnk * Lưu ý học sinh: cần phân biệt hai khái niệm chỉnh hợp tổ hợp Có thể phân biệt hai khái niệm hai sơ đồ sau Tổ hợp Tập A có n phần tử Chọn k phần tử Có Cnk n! (n k )! k ! cách chọn Chỉnh hợp Tập A có n phần tử Chọn k phần tử Có Cnk n! (n k )! k ! cách chọn Có Ank Cnk k ! Sắp xếp k phần tử chọn Có k! cách xếp n! (n k )! cách chọn Ví dụ Cho hình lục giác ABCDEF, tìm đoạn thẳng mà điểm đầu điểm cuối chọn từ đỉnh A, B, C, D, E, F tính xem có đoạn thẳng *Hướng dẫn Ta có sơ đồ toán sau Tập X={A, B, C, D, E, F} X có phần tử Chọn điểm để nối thành đoạn thẳng Có C6 15 đoạn thẳng Giải Hai điểm A B tạo nên đoạn thẳng AB Số đoạn thẳng bằng: C6 15 Ví dụ Một nhóm học sinh nam gồm em, muốn chia thành cặp để khiêng bàn Hỏi có cách chia học sinh thành cặp Giải Công việc chia học sinh thành cặp thực theo bước sau Bước Chọn cặp học sinh có C6 15 cách chọn Bước Chọn cặp học sinh cịn lại có C4 cách chọn Bước Hai học sinh lại cặp thứ Vậy có 15.6=90 cách chia học sinh thành cặp r Ví dụ Cho hình lục giác ABCDEF, tìm vectơ khác mà điểm đầu điểm cuối chọn từ đỉnh A, B, C, D, E, F tính xem có vectơ *Hướng dẫn Ta có sơ đồ tốn sau Tập X={A, B, C, D, E, F} X có phần tử Chọn điểm để nối thành vectơ Chọn điểm đầu điểm cuối 2! C62 2! 15* 30 hoán vị Có C6 15 cách Cóchọn vectơ Giải uuur uuu r Từ hai điểm A, B có hai vectơ AB BA Số vectơ : A6 30 vectơ Ví dụ Lớp 11/2 có 32 học sinh, cần chọn học sinh để phân công làm nhiệm vụ sau: bạn chấm điểm thi đua, bạn kiểm tra vệ sinh lớp học, bạn kiểm tra điện Hỏi có cách chọn (giả sử tất học sinh có khả chọn bạn nhận nhiều nhiệm vụ) *Hướng dẫn Ta có sơ đồ tốn sau: Tập X có 32 phần tử Chọn phần tử Có C32 4960 cách chọn Phân công nhiệm vụ cho học sinh 3! cách phân cơng Có C32 3! 4960*6 29760 cách chọn Giải Mỗi cách chọn học sinh từ 32 học sinh phân công vào nhiệm vụ theo yêu cầu chỉnh hợp chập 32 phần tử Suy ra, số cách chọn : A32 29760 Bài 20 Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đơi khác a Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ b Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ BÀI GIẢI Bài a Mỗi tập X tổ hợp chập phần tử Do số tập X số tổ hợp chập 8: C8 28 Vậy có 28 tập X A chứa phần tử b Gọi a5a4a3a2a1 số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác lấy từ A theo yêu cầu số chẵn nên a1 có cách chọn Mỗi cách chọn chữ số lại chỉnh hợp chập phần tử Vậy số số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lấy từ tập A là: 4.A7 Bài Học sinh tự giải Bài a Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do viên bi đỏ khác nên số cách xếp A7 Sau xếp viên bi xanh vào cịn lại Do viên bi xanh giống nên số cách xếp C 34 3 Vậy số cách xếp khác là: A7 C = 840 cách b Trước hết ta cần ý màu, để đỏ đứng cạnh xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị viên bi đỏ với Số hoán vị 3! Vậy số cách xếp khác để viên bi đỏ đứng cạnh viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách Bài a Xem số chắn hình thức số chẵn abcde (kể a = 0), có cách chọn e {0,2,4,6}, Sau chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde A74 = 840 Có cách chọn e, {0,e} Vậy có A6 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề b n = abcde A36 cách chọn b, c, d từ X \ * Xem số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau chọn chữ số khác cho vị trí cịn lại từ X \ {1}: có A74 cách Như thế: có A7 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề * Xem số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí cịn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn A36 Như thế: có A6 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số số n thoả yêu cầu đề là: 2520 – 240 = 2280 số Bài Số cách chọn bi số 15 bi là: Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C 24C15C16 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C14C 52C16 = 240 C15 = 1365 C14C15C 62 * đỏ + trắng + vàng: có = 300 Do số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 Bài a * Xếp phiếu số 1, 2, 3, có 4! = 24 cách * Sau xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề b * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn 2! cách Số cách xếp cho số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách Bài Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ a Vì số tạo thành số lẻ nên f {1, 3, 5} Do đó: f có cách chọn a có cách chọn (trừ f) b có cách chọn (trừ a f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số b Vì số tạo thành số chẵn nên f {0, 2, 4} * Khi f = (a,b,c,d,e) hốn vị (1,2,3,4,5) Do có 5! số * Khi f {2, 4} thì: f có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Do có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn Bài a Gọi 11111 số a Vậy ta cần số a, 2, 3, 4, Do số có chữ số có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số b Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất việc xếp số 2, 3, 4, vào vị trí tuỳ ý vị trí (5 vị trí cịn lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần) A94 9! 5! Vậy: có tất = 6.7.8.9 = 3024 số Bài a Xếp C ngồi giữa: có cách Xếp A, B, D, E vào chỗ cịn lại: có 4! = 24 cách Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu b Xếp A E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xếp B, C, D vào chỗ lại: có 3! = cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu Bài 10 * Số số có chữ số khác là: A10 A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số số có chữ số khác khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số số có chữ số khác khác là: A69 A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số số có chữ số khác có mặt là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số Bài 11 * Trước hết ta tìm số số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (khơng chọn chữ số 0) Có A34 khả chọn chữ số cuối Có A4 = 4.4! = 96 số * Tìm số số gồm chữ số khác chia hết cho 5: Nếu chữ số tận 0: có A34 = 24 số Nếu chữ số tận 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A3 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác không chia hết cho Bài 12 a Số cách tặng số cách chọn sách từ có kể thứ tự Vậy số cách tặng A9 = 60480 b Nhận xét: chọn cho hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: A12 Số cách chọn cho khơng cịn sách Văn là: A56 Số cách chọn cho khơng cịn sách Nhạc là: A64.A82 = 665280 = 5040 = 20160 A36.A39 Số cách chọn cho khơng cịn sách Hoạ là: = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 Bài 13 a Để có nữ ta phải chọn: * nữ, nam có C15 C 30 cách * nữ, nam có C15 C 330 cách * nữ, nam có C15 C 30 cách * nữ, nam có C15 C130 cách * nữ có C15 Vậy: có C15 C 30 + C15 C 330 + C15 C 30 + cách C15 C130 + C15 cách b Nếu chọn tuỳ ý số cách chọn là: C 45 Bài 14 a Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc2 abc4 * Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 5.4.3 = 60 số * Với số abc2 abc4 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 4.4.3 = 48 số abc2 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn b Số chia hết cho gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5 * Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm Gọi abc số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi {a,b,c} là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} * Khi {a,b,c} = {0,4,5} số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 có số * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} số phải tìm hốn vị phần tử có 3! = số Vậy có: + + = 16 số cần tìm Bài 15 Số cách chọn nhà toán học nam, nhà tốn học nữ, nhà vật lí nam là: C15.C13.C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà tốn học nữ, nhà vật lí nam là: C13.C 42 = 18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn C 32.C14 = 12 Bài 16 Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5 a Xếp chữ số vào năm vị trí: có cách xếp Sau xếp chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại: có Vậy có 5.120 = 600 số b Xếp chữ số vào vị trí: có A52 Xếp chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại: có Vậy có Bài 17 A52 A34 A34 = 24 cách a Chọn nam nữ: có C10.C10 = 5400 cách b Có nam nữ, có kiểu chọn sau: * nam nữ: có 5400 cách * nam nữ: có C10 C10 C10 C10 = 120 cách cách = 480 số A54 = 5400 cách * nam nữ: có = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách Bài 18 Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong số có chữ số này, xét số khơng có mặt chữ số 2, 3, Loại có: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Do có 6.7.7.7.7 = 14406 số Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, có mặt đủ chữ số 2, 3, Bài 19 Xét số có chữ số tuỳ ý cho a1a2a3a4 Có hai khả năng: a Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số chẵn lấy a5 {1, 3, 5, 7, 9} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ b Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số lẻ lấy a5 {0, 2, 4, 6, 8} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ Bài 20 a Có: C 52 C13 C 52 cách chọn viện bi đỏ cách chọn viên bi lại C13 Vậy có: = 7150 cách chọn b Có trường hợp xảy ra: * xanh, đỏ, vàng có C 39.C 35 * xanh, đỏ, vàng có C 92.C 52.C 24 cách * xanh, đỏ, vàng có C19.C15.C 44 cách 3 2 cách 1 Vậy có tất cả: C 9.C + C 9.C 5.C + C 9.C 5.C = 3045 cách 2.2 DẠNG TỐN TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho a Nam nữ ngồi xen kẽ b Ba bạn nam ngồi cạnh Bài Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a Cạnh lục giác b Đường chéo lục giác c Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác Bài Trên vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 số từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau quay dừng số Tính xác suất để quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại số số ( kể 6) lần quay đầu dừng lại số 13 36 ( kể 13 36) lần quay thứ Bài Gieo đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt ngửa lần xuất mặt sấp dừng lại a Mơ tả khơng gian mẫu b Tính xác suất biến cố A: “Số lần gieo không vượt ba” B: “Số lần gieo năm” C: “Số lần gieo sáu” Bài Sáu bạn, có bạn H K, xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất cho: a Hai bạn H K đứng liền kề b hai bạn H K không đứng liền kề Bài Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất biến cố: a Biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” b Biến cố B: “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11” Bài Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a Hai súc sắc xuất mặt chẵn b Tích số chấm súc sắc số chẵn Bài Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng Bài 10 Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b Tính xác suất để cầu lấy màu Bài 11 Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lơ hàng Hãy tính xác suất để: a Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt b Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Bài 12 Một phịng lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chng báo khói 0.95, chng báo lửa 0.91và chng báo 0.88 Tính xác suất để có hỏa hoạn chuông báo Bài 13: Từ tổ gồm bạn nam bạn nữ, chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bàn dài theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam Bài 14: Một tổ chuyên môn gồm thầy cô giáo, thấy P Q vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để cho hội đồng có thầy, thiết phải có thầy P Q khơng có hai Bài 15 Có 30 đề thi có 10 đề khó, 20 đề trung bình chương trình khảo sát Khi khảo sát, học sinh A chọn ngẫu nhiên đề số 30 đề thi Tìm xác suất để: học sinh A bắt đề gặp đề trung bình Bài 16: Tổ I có nam nữ, tổ II có nam nữ Để lập đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ tổ hai người Tính xác suất cho đoàn đại biểu gồm toàn nam tồn nữ Bài 17 Một tổ có học sinh có nữ, chia tổ thành nhóm Tính xác suất để nhóm có nữ Bài 18 Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất: A=”2 lần gieo xuất mặt chẳn số chấm lần gieo sau lớn lần gieo trước” B=”Tích số chấm xuất mặt số lẻ” C=” Tổng số chấm xuất lần gieo 7” Bài 19 Một lớp học có 30 học sinh có hs giỏi, 15 hs khá, hs trung bình Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất: A: “ Ba hs chọn hs giỏi” B: “Khơng có hs trung bình” C: “có hs trung bình” Bài 20 Xếp ngẫu nhiên bạn nam bạn nữ thành hàng ngang Tính xác suất: a Nam nữ ngồi xen kẻ b bạn nam ngồi kề BÀI GIẢI Bài + Cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang cách +Cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang, biết nam nữ ngồi xen kẽ cách +Cách xếp bạn nam bạn nữ vào02 ghế kê theo hàng ngang, biết ba bạn nam ngồi cạnh cách + Gọi biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà nam nữ xen kẽ nhau” + Gọi biến cố “Xếp học sinh nam học sinh nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà bạn nam ngồi cạnh nhau” + Ta có n() 720 , n( A) 72 , n( B) 144 Suy Bài P ( A) 72 144 P( B) 720 10 , 720 + Vì lấy điểm nên: C6 15 n() 15 + Gọi biến cố A : “2 thẻ lấy cạnh lục giác” B : “2 thẻ lấy đường chéo lục giác” C : “2 thẻ lấy đường chéo cạnh đối diện lục giác” 15 B A P( B) 5 n(C ) P(C ) 15 n( A) P( A) Bài Phân tích: Rõ ràng tốn ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê số phần tử biến cố tương đối lớn Ở ta biểu diễn tập hợp dạng tính chất đặc trưng để tính tốn Gọi A biến cố cần tính xác suất Có cách chọn i, ứng với cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) Do theo quy tắc nhân n( A) 6* 24 144 Suy ra: Bài P( A) 144 1296 a Không gian mẫu {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS} n ( ) b Ta có: A N , SN , SSN B SSSSN , , n( A) P( A) n( B ) P ( A) C SSSSSN , SSSSSS , 7 n(C ) P (C ) Bài 5: Khơng gian mẫu gồm hốn vị bạn Do đó: n() = 6! Do việc xếp ngẫu nhiên gồm kết đồng khả a Kí hiệu: A biến cố “H K đứng liền nhau”, B biến cố “H đứng trước K” C biến cố “K đứng trước H” Rõ ràng B C xung khắc A = B C * Tính n(B): Xếp H bạn khác thành hàng, có 5! Cách Trong cách xếp vậy, xếp bạn K sau H, có cách Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(B) = 5! x = 5! * Tương tự: n(C) = 5! 5! 5! Do P(A) = P(B) + P(C) = 6! 6! b Ta thấy A biến cố: “H K không đứng liền nhau” Vậy: P( A) P( A) 3 Bài + Khơng gian mẫu + Ta có biến cố đối biến cố A biến cố: : “Không cố lần xuất mặt ngửa” Và ta có + Tương tự ta có: B SSS , NNN , n( B ) P ( B ) P(B) 4 Bài + Khơng gian mẫu a) Ta có biến cố đối P ( A) 25 11 P ( A) 36 36 b) Ta có: B 5; , 6;5 , 6;6 P( B) 11 P( B ) 36 12 12 Bài + Ta có n() 36 + Gọi biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” + Do + Có cách chọn , với cách chọn ta có cách chọn Do có cách chọn n( A) P ( A) 36 Cách 2: + Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” + Thấy hai biến cố độc lập (Trong mặt có mặt chẵn) P( A) P( B) P( X ) P( A.B ) P( A).P( B) + Do ta có: Gọi Y biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có Y :“Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ + Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối + Ta có Y A.B A, B hai biến cố độc lập nên ta có: 1 P Y P A.B P A P B (1 )(1 ) 2 P (Y ) + Do Bài 6 + Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết C10 n() C10 210 + Gọi biến cố: A1 : “Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” A2 : “ chi tiết lấy có chi tiết hỏng” biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” + Khi A A1 A2 Do A1 , A2 xung khắc nên : P( A) P( A1 ) P( A2 ) + Có chi tiết khơng bị hỏng nên + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết KHÔNG bị hỏng + Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng n A C 28 n A C85 C2 112 + Theo quy tắc nhân ta có : P ( A1 ) + Do ta có: Bài 10 a) Gọi biến cố: P ( A2 ) P ( A) P( A1 ) P( A2 ) 15 , 15 A : “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ” B : “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X : “Hai cầu lấy màu đỏ” + Ta có X AB, P ( A) P ( B) 12 , + Mặt khác A B độc lập nên: b) Gọi biến cố: P( X ) P( A).P( B) 7 12 20 Y : “Hai cầu lấy màu xanh” Z : “Hai cầu lấy màu” + Ta có Y A.B + Mặt khác A, B hai biến cố độc lập nên + Ta có: Z X Y X Y nên P (Y ) P ( A).P ( B ) P ( Z ) P ( X ) P (Y ) 31 60 Bài 11 Phân tích: Đây tốn cho trước xác suất nên chắn ta phải sử dụng phép tốn tính xác suất để giải Biến cố sở “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Khi ta có: P( A) 0.7 P( A) 0.3 P ( B) 0.8 P( B) 0.2 a) Gọi biến cố X: “trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy X A.B P X 0, 06 P X 0,94 Do hai biến cố A, B độc lập nên ta có: b) Gọi biến cố Y : “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Y A.B A.B 0,38 Bài 12 Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hoả hoạn chuông báo lửa báo lửa báo hoả hoạn Do tốn chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố sở lại không xung khắc Trong trường hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng Lời giải Gọi A: “Chng báo thấy khói” B :“Chng báo thấy lửa” C: “Ít hai chơng báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có P A 0,95; P B 0,91 P( AB) 0.88 Do ta có: Bài 13 Mỗi xếp chỗ ngồi cho bạn chỉnh hợp chập 11 bạn P C P ( A) P( B) P( AB) 0,98 Vậy không gian mẫu gồm A11 (phần tử) Kí hiệu A biến cố: “Trong cách xếp có bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận nhau: - Chọn nam từ nam, có C6 cách - Chọn nữ từ nữ, có C5 cách - Xếp bạn chọn vào bàn đầu theo thứ tự khác nhau, có 5! Cách Từ theo quy tắc nhân ta có: n(A) = C6 C5 5! Vì lựa chọn xếp ngẫu nhiên nên kết đồng khả C63 C52 5! P ( A) 0, 433 A115 Do đó: Bài 14 Kết lựa chọn nhóm người tức tổ hợp chập 12 Vì khơng gian mẫu gồm C12 792 phần tử Gọi A biến cố cần tìm xác suất B biến cố chọn hội đồng gồm thầy, có thầy P khơng có Q C biến cố chọn hội đồng gồm thấy, có Q khơng có thầy P Như vậy: A = B C n(A) = n(B) + n(C) Tính n(B) sau: - Chọn thầy P, có cách - Chọn thầy từ thầy cịn lại, có C6 cách - Chọn từ cơ, có C4 cách 2 Theo quy tắc nhân, n(B) = C6 C4 = 90 Tương tự n(C) = C6 C4 = 80 n( A) 170 0, 215 Vậy n(A) = 80 + 90 = 170 P(A) = n() 792 Bài 15 Gọi B biến cố học sinh bắt đề trung bình: C20 P B C30 Bài 16 Gọi: A biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam toàn nữ”, B biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam”, C biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nữ” Ta có: BC = , A = B C Suy ra: P(A) = P(B) + P(C) Chọn người từ tổ I, có C13 cách Chọn người từ tổ II, có C12 cách 2 Từ khơng gian mẫu gồm: C13 C12 = 5148 (phần tử) 2 n(B) = C6 C8 = 420 2 n(C) = C7 C4 = 126 420 126 546 0,106 Vậy P(A) = 5148 5148 5148 Bài 17, 18, 19, 20 học sinh tự giải ... Tp HCM Hà Nội Đi máy bay có cách Đi ơtơ có cách Có 3+6=9 cách lựa chọn Giải Đi từ Tp.HCM đến Hà Nội có hai phương án: Phương án 1: máy bay có cách Phương án 2: tơ có cách Vậy số lựa chọn rừ Tp... Chọn ngẫu nhiên cầu Xác suất để cầu xanh cầu trắng là: 3 A B C D 20 PHẦN BÀI TẬP ÁP DỤNG 2.1 DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÁC QUI TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ,CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Bài Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... Bài + Ta có n() 36 + Gọi biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” + Do + Có cách chọn , với cách chọn ta có cách chọn Do có cách chọn n( A) P ( A) 36 Cách 2: + Gọi A biến cố “Con súc sắc