Giáo trình xử lý số liệu trắc địa phần 2 PGS TS đặng nam chinh (chủ biên)

Chương PHÂN TÍCH THỐNG KÊ VÀ XẤP XỈ HÀM 2.1 DÃY SỐ LIỆU QUAN TRẮC Trong thực tế, người ta thường tiến hành đo đạc quan trắc đại lượng hay yếu tố nhiều lần (đo góc, đo cạnh, ) loại đại lượng hay yếu tố phân bố khơng gian (đo trọng lực, đo cường độ từ trường, độ cao bề mặt đó) quan trắc đại lượng có tính biến đổi theo thời gian (trị đo pha, đo khoảng cách giả công nghệ GPS, giá trị quan trắc lún, giá trị quan trắc dịch chuyển, biến dạng, ) Các số liệu quan trắc gọi chung dãy số liệu hay số liệu (Data Samples) Một đặc điểm chung đo đạc hay quan trắc tiến hành điều kiện không điều kiện thiết bị quan trắc để nhận giá trị quan trắc kèm theo sai số Nếu xét không gian, trị đo quan trắc vị trí (điểm) định với số lượng quan trắc hữu hạn mà khơng thể quan trắc tất vị trí khơng gian Nếu xét theo thời gian, trị quan trắc thực thời điểm định với tần suất cao thấp khơng thể quan trắc tồn trục thời gian Như đặc điểm chung dãy số liệu quan trắc tập hợp số liệu rời rạc Ký hiệu u véc tơ tọa độ hệ thống tọa độ, (thường x, y mặt đó) ký hiệu z giá trị đo (quan trắc) xác định vị trí tọa độ u, coi z “hàm” tọa độ u viết z(u) Xử lý dãy số liệu rời rạc không nhiệm vụ ngành trắc địa mà nhiều lĩnh vực khác môi trường, địa vật lý, địa chất công trình, địa chất thủy văn, Để xử lý dãy số liệu quan trắc trước hết phải xác định số đặc trưng thống kê chúng Đối với dãy số liệu phân bố không gian, cần phải xác định số đặc trưng địa thống thống kê (Geostatistics) như: tính chất dãy số liệu (đẳng hướng hay không đẳng hướng, phân bố hay không đều), đặc trưng phân bố liệu (chuẩn hay không chuẩn), trị trung bình, độ lệch chuẩn, mối liên hệ không gian cặp giá trị, Liên quan đến tính chất này, phải xác định giá trị phương sai (Variance), hiệp phương sai (Covariance), hệ số tương quan (Correlation), bán phương sai (Semivariance), bước gián đoạn (trễ) (Lag) Trong người ta sử dụng thuật ngữ “Variogram”, “Semivariogram” “Correlogram” để đặc trưng tương 73 quan không gian dãy số liệu Các tham số đặc trưng cho mối liên hệ không gian dãy số liệu người ta sử dụng để ước lượng địa thống kê (Geostatistical Estimation) để nội suy, ngoại suy giá trị vị trí không quan trắc sử dụng để mô địa thống kê (Geostatistical Simulation) thể quy luật biến đổi khơng gian số liệu, lập mơ hình, Đối với dãy số liệu quan trắc theo chuỗi thời gian, cần xác định đặc trưng thống kê chúng tính chất dừng hay khơng dừng (Stationary or Nonstationary), xu biến thiên dãy số liệu, Nếu chuỗi thời gian dừng, xác định số đặc trưng thống kê tương tự trị trung bình, phương sai, độ trễ, hiệp phương sai hay tự phương sai, Nếu có dãy số liệu Z(u) dãy số liệu G(u), có khái niệm hiệp phương sai chéo (Cross-covariance), hệ số tương quan chéo (Crosscorrelation) variogram chéo (CrossVariogram), 2.2 XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA CÁC DÃY SỐ LIỆU QUAN TRẮC Như nói trên, xác định đặc trưng thống kê dãy số liệu quan trắc phân bố không gian cần thiết cho công tác xử lý dãy số liệu quan trắc Sau giới thiệu số công thức tính tốn phân tích, có số công thức sử dụng mà không chứng minh 2.2.1 Tính chất phân bố dãy số liệu Hình 2.1 Phân bố điểm quan trắc độ rỗng 74 Với tập hợp số liệu quan trắc (số lượng lớn) sử dụng đồ thị để biểu thị mật độ phân bố giá trị tập hợp cách chia khoảng giá trị xác định số lượng giá trị khoảng Ví dụ dựa 85 điểm đo xác định giá trị độ rỗng trung bình (Averaged Porosity Values) có giá trị khoảng từ 12% đến 17% phân bố diện tích 20 kmx16 km (hình 2.1), biểu thị đặc tính phân bố chuẩn số liệu đo hình 2.2 [21, 22] Hình 2.2 Quy luật phân bố giá trị quan trắc Nhận thấy rằng, giá trị độ rỗng 85 điểm quan trắc có quy luật phân bố gần với luật phân bố chuẩn Trong trắc địa vật lý (Physical Geodesy), giá trị trọng lực g đo điểm khác với mật độ hình thành nên dãy số liệu phân bố không gian 2.2.2 Trị trung bình phương sai Từ giá trị quan trắc, dễ dàng tính trị trung bình theo công thức: Z(u ) tb  n  z( u i ) n i 1 (2.2.1.) n số trị quan trắc Phương sai (Variance) dãy số liệu tính theo cơng thức: Var (z(u ))  n  z(u i )  Z(u ) tb  n i 1 (2.2.2) Thứ nguyên phương sai bình phương thứ nguyên z(u) 75 2.2.3 Hiệp phương sai hệ số tương quan Để tiếp cận với khái niệm hiệp phương sai, cần xét tới biến độ trễ (lag) hay khoảng cách (xét tương quan) cặp điểm, ký hiệu s Ứng với giá trị s khác tính giá trị hiệp phương sai khác Lúc hiệp phương sai coi hàm khoảng cách s, ký hiệu C(s) Khái niệm hiệp phương sai nêu xét tập hợp số liệu gọi tự hiệp phương sai (Auto-Covariance) Nếu dãy số liệu phân bố khơng gian thỏa mãn tính đẳng hướng (Non-trend) có tính chất dừng (Stationary), hiệp phương sai (Covariance) giá trị z(u) z(u+s) tính theo cơng thức: C(s)  N (s )  [z(u i )  Z(u ) tb ][z(u i  s)  Z(u  s) tb ] N(s) i 1 với Z(u  s) tb  n  z ( u i  s) n i1 (2.2.3) (2.2.4) Trong (2.2.3), N(s) số cặp điểm có khoảng cách s Số cặp điểm N(s) lớn giá trị hiệp phương sai tính C(s) có độ tin cậy cao Từ (2.2.3) chứng minh rằng: C(s)  N (s )  z(u i )z(u i  s)  Z(u ) tb Z(u  s) tb N (s) i 1 (2.2.5) Vì xuất phát từ dãy giá trị z(u i ) , trị trung bình tính theo (2.2.1) trị trung bình tính theo (2.2.4) nhau, biểu thức (2.2.5) viết dạng: C(s)  N (s )  z( u i ) z(u i  s)  [ Z(u ) tb ] N(s) i 1 (2.2.6) Vì phương sai Var (z(u )) s tính theo z(u i  s) giá trị phương sai Var(z(u )) tính theo z(u i ) cơng thức (2.2.2) Theo định nghĩa, hệ số tương quan ứng với khoảng cách s tính: (s)  C(s) C(s)  Var (z( u )).Var (z(u )) s Var (z(u )) (2.2.7) Hiệp phương sai tính theo (2.2.3) (2.2.6) giá trị hiệp phương sai thực nghiệm Quy luật chung hiệp phương sai thực nghiệm thể hình 2.3 Dựa vào quy luật giá trị hiệp phương sai thực nghiệm, xác định dạng hàm hiệp phương sai lý thuyết tương ứng theo nguyên 76 tắc xấp xỉ hàm Hàm hiệp phương sai lý thuyết có vai trị quan trọng nội suy theo phương pháp Collocation nội suy theo phương pháp Kriging Có thể nhận thấy rằng, hiệp phương sai tính theo (2.2.3) s = phương sai tính theo cơng thức (2.2.2) 2.2.4 Bán phương sai Tương tự hiệp phương sai, bán phương sai (Semivariance) giá trị đặc trưng cho mối phụ thuộc giá trị z(u) theo khoảng cách s, nhiên có điểm khác với hiệp phương sai Hiệp phương sai bán phương sai tiêu thống kê mức độ (đo) tương quan khơng gian (Spatial Autocorrelation) Bán phương sai cịn sử dụng cho thuật ngữ Semivariogram Variogram Bán phương sai khoảng cách s tính theo cơng thức kỳ vọng:  (s )  E[(z(u )  z(u  s)) ] (2.2.8) viết dạng công thức thực dụng: N (s )  (s)   z(u i )  z(u i  s) N(s) i 1 (2.2.9) Bán phương sai tính theo cơng thức gọi bán phương sai thực nghiệm Quy luật chung bán phương sai s=0 giá trị  (s)  tăng tới giới hạn (Sill), giới hạn tăng có khoảng cách tương ứng gọi độ trễ tương quan Đồ thị chung bán phương sai thực nghiệm, phương sai thực nghiệm hệ số tương quan có dạng hình 2.3 Hình 2.3 Đồ thị phương sai, bán phương sai hệ số tương quan 77 Dựa vào quy luật giá trị bán phương sai để chọn hàm bán phương sai lý thuyết phù hợp dựa nguyên tắc xấp xỉ hàm để xác định tham số hàm bán phương sai lý thuyết Hàm bán phương sai lý thuyết có vài trò quan trọng nội suy Kriging Mối liên hệ bán phương sai hiệp phương sai thể qua công thức sau:  (s)  C(0)  C(s) (2.2.10) C(0) hiệp phương sai tương ứng với s = phương sai 2.3 KHÁI NIỆM VỀ PHÂN TÍCH HỒI QUY 2.3.1 Khái niệm chung Đối với dãy số liệu quan trắc theo chuỗi thời gian, gặp trường hợp chuỗi ngẫu nhiên không dừng (Non-Stationary) Trong trường hợp này, cần phải xác định quy luật biến đổi chuỗi số liệu hay xác định ma trận trạng thái quy luật Hồi quy có liên quan với phân tích hệ số tương quan, dựa hệ số tương quan người ta đưa (lựa chọn) phương pháp hồi quy phù hợp Đối với số liệu đo thay đổi liên tục theo thời gian trị đo pha trị đo khoảng cách giả công nghệ GPS, cần xem xét quy luật biến thiên theo thời gian trị đo đồng thời xem xét quy luật biến thiên vận tốc trị đo gia tốc trị đo Ký hiệu trị đo pha sóng tải thời điểm t i1 thời điểm t i L( t i1 ) L( t i ) , vận tốc trị đo pha thời điểm t i ký hiệu VL ( t i ) tính theo công thức: VL ( t i )  dL( t i ) L( t i )  L( t i 1 ) L( t i )   dt t i  t i 1 t (2.2.11) t tần suất ghi tín hiệu GPS Ký hiệu a L ( t i ) gia tốc trị đo pha thời điểm t i , tính sau:: a L (t i )  d L( t i ) dt  VL ( t i )  VL ( t i 1 ) t (2.2.12) Nhờ khảo sát biến thiên vận tốc trị đo pha gia tốc trị đo pha phát hiện tượng trượt chu kỳ 78 Ví dụ: Xét chuỗi số liệu trị đo pha sóng tải L1 vệ tinh PRN-19 máy thu tần số Trimble 4600LS, tần suất ghi tín hiệu 15s, 7h 23m 30s đến 8h 20m 45s ngày 15 tháng 10 năm 2006 Hà Nội (gồm 230 trị đo pha), tính giá trị thay đổi trị đo pha vận tốc trị đo pha (dL/dt) gia tốc trị đo pha (d2L/dt2) Kết trị đo pha giá trị tính tốn thể bảng sau: TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Thời 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 gian 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 L1 223519.116 301610.037 379629.540 457577.500 535454.543 613259.580 690997.078 768669.705 846281.548 923837.570 1001333.595 1078774.294 1156164.288 1233500.009 1310781.555 1388014.722 1465201.803 1542345.698 1619445.800 1696496.263 1773507.571 1850468.657 1927374.980 2004238.553 2081066.285 2157855.988 2234605.199 2311316.618 2387983.910 2464611.188 2541199.309 2617747.324 2694256.527 2770726.614 2847158.463 2923544.471 2999890.656 3076199.329 3152469.309 3228701.767 3304894.016 3381044.453 3457153.168 3533228.386 3609269.038 3685266.835 dL/dt 5206.061 5201.300 5196.531 5191.803 5187.002 5182.500 5178.175 5174.123 5170.401 5166.402 5162.713 5159.333 5155.715 5152.103 5148.878 5145.805 5142.926 5140.007 5136.698 5134.087 5130.739 5127.088 5124.238 5121.849 5119.314 5116.614 5114.095 5111.153 5108.485 5105.875 5103.201 5100.614 5098.006 5095.457 5092.401 5089.746 5087.245 5084.665 5082.164 5079.483 5076.696 5073.914 5071.681 5069.377 5066.520 5064.190 d2L/dt2 -.317 -.318 -.315 -.320 -.300 -.288 -.270 -.248 -.267 -.246 -.225 -.241 -.241 -.215 -.205 -.192 -.195 -.221 -.174 -.223 -.243 -.190 -.159 -.169 -.180 -.168 -.196 -.178 -.174 -.178 -.172 -.174 -.170 -.204 -.177 -.167 -.172 -.167 -.179 -.186 -.185 -.149 -.154 -.190 -.155 -.178 79 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 35 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 41 41 41 41 42 42 42 42 43 43 43 43 44 44 44 44 45 45 45 45 46 46 46 46 47 47 47 47 48 48 48 48 49 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 3761229.680 3837152.384 3913044.720 3988900.131 4064718.432 4140502.953 4216248.461 4291958.017 4367627.658 4443261.143 4518859.415 4594421.017 4669942.460 4745425.849 4820873.616 4896283.904 4971657.704 5046993.251 5122296.159 5197566.143 5272793.269 5347984.304 5423139.268 5498260.248 5573346.633 5648399.008 5723418.127 5798403.386 5873350.692 5948262.433 6023137.194 6097975.083 6172780.610 6247557.248 6322304.186 6397008.152 6471675.344 6546306.310 6620902.414 6695465.643 6769991.869 6844482.743 6918941.059 6993368.293 7067764.800 7142121.004 7216441.250 7290732.340 7364991.322 7439216.383 7513409.456 7587565.335 7661686.169 7735775.949 7809833.713 7883857.791 7957852.130 5061.514 5059.489 5057.027 5054.553 5052.301 5049.701 5047.304 5044.643 5042.232 5039.885 5037.440 5034.763 5032.226 5029.851 5027.353 5024.920 5022.370 5020.194 5017.999 5015.142 5012.736 5010.331 5008.065 5005.759 5003.492 5001.275 4999.017 4996.487 4994.116 4991.651 4989.193 4987.035 4985.109 4983.129 4980.264 4977.813 4975.398 4973.074 4970.882 4968.415 4966.058 4963.888 4961.816 4959.767 4957.080 4954.683 4952.739 4950.599 4948.337 4946.205 4943.725 4941.389 4939.319 4937.184 4934.939 4932.956 4930.420 -.135 -.164 -.165 -.150 -.173 -.160 -.177 -.161 -.156 -.163 -.178 -.169 -.158 -.167 -.162 -.170 -.145 -.146 -.190 -.160 -.160 -.151 -.154 -.151 -.148 -.151 -.169 -.158 -.164 -.164 -.144 -.128 -.132 -.191 -.163 -.161 -.155 -.146 -.164 -.157 -.145 -.138 -.137 -.179 -.160 -.130 -.143 -.151 -.142 -.165 -.156 -.138 -.142 -.150 -.132 -.169 -.132 80 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 49 49 49 50 50 50 50 51 51 51 51 52 52 52 52 53 53 53 53 54 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 56 57 57 57 57 58 58 58 58 59 59 59 59 0 0 1 1 2 2 3 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 8031808.424 8105734.930 8179628.066 8253487.596 8327310.657 8401099.577 8474861.049 8548587.489 8622276.067 8695929.856 8769560.614 8843149.869 8916705.223 8990230.166 9063720.851 9137180.412 9210607.280 9283996.057 9357351.858 9430670.838 9503953.394 9577198.890 9650414.195 9723595.787 9796745.884 9869862.594 9942944.738 10015989.062 10089000.095 10161983.018 10234929.571 10307843.107 10380723.578 10453570.670 10526384.083 10599163.887 10671906.856 10744619.022 10817298.849 10889947.723 10962564.844 11035146.249 11107695.705 11180217.824 11252711.581 11325171.744 11397591.385 11469983.414 11542346.568 11614676.395 11686980.199 11759249.282 11831486.243 11903690.544 11975865.768 12048007.676 12120114.424 4928.434 4926.209 4923.969 4921.537 4919.261 4917.431 4915.096 4912.572 4910.253 4908.717 4905.950 4903.690 4901.663 4899.379 4897.304 4895.125 4892.585 4890.387 4887.932 4885.504 4883.033 4881.020 4878.773 4876.673 4874.447 4872.143 4869.622 4867.402 4865.528 4863.104 4860.902 4858.698 4856.473 4854.228 4851.987 4849.531 4847.478 4845.322 4843.258 4841.141 4838.760 4836.630 4834.808 4832.917 4830.678 4827.976 4826.135 4824.210 4821.988 4820.254 4817.939 4815.797 4813.620 4811.682 4809.461 4807.117 4805.377 -.148 -.149 -.162 -.152 -.122 -.156 -.168 -.155 -.102 -.184 -.151 -.135 -.152 -.138 -.145 -.169 -.147 -.164 -.162 -.165 -.134 -.150 -.140 -.148 -.154 -.168 -.148 -.125 -.162 -.147 -.147 -.148 -.150 -.149 -.164 -.137 -.144 -.138 -.141 -.159 -.142 -.121 -.126 -.149 -.180 -.123 -.128 -.148 -.116 -.154 -.143 -.145 -.129 -.148 -.156 -.116 -.134 81 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 16 17 17 17 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 12192195.082 12264245.579 12336267.570 12408261.387 12480218.545 12552143.745 12624040.950 12695910.089 12767745.344 12839549.231 12911321.211 12983062.222 13054772.110 13126452.914 13198099.882 13269711.356 13341293.482 13412847.025 13484375.768 13555873.335 13627341.381 13698775.006 13770174.354 13841542.094 13912885.473 13984199.290 14055480.774 14126725.063 14197939.172 14269131.009 14340291.233 14411416.886 14482516.908 14553590.063 14624629.254 14695637.183 14766610.310 14837552.947 14908465.551 14979345.511 15050193.975 15121011.638 15191796.820 15262549.865 15333270.234 15403957.399 15474609.932 15545232.896 15615823.295 15686383.233 15756909.732 15827400.000 15897854.971 15968277.361 16038673.065 16109036.670 16179367.739 4803.366 4801.466 4799.588 4797.144 4795.013 4793.147 4791.276 4789.017 4786.926 4784.799 4782.734 4780.659 4778.720 4776.465 4774.098 4772.142 4770.236 4768.583 4766.504 4764.536 4762.242 4759.957 4757.849 4756.225 4754.254 4752.099 4749.619 4747.607 4746.122 4744.015 4741.710 4740.001 4738.210 4735.946 4733.862 4731.542 4729.509 4727.507 4725.331 4723.231 4721.178 4719.012 4716.870 4714.691 4712.478 4710.169 4708.198 4706.027 4703.996 4701.767 4699.351 4696.998 4694.826 4693.047 4690.907 4688.738 4686.636 -.127 -.125 -.163 -.142 -.124 -.125 -.151 -.139 -.142 -.138 -.138 -.129 -.150 -.158 -.130 -.127 -.110 -.139 -.131 -.153 -.152 -.141 -.108 -.131 -.144 -.165 -.134 -.099 -.140 -.154 -.114 -.119 -.151 -.139 -.155 -.136 -.133 -.145 -.140 -.137 -.144 -.143 -.145 -.148 -.154 -.131 -.145 -.135 -.149 -.161 -.157 -.145 -.119 -.143 -.145 -.140 -.152 82 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 8 8 8 8 8 8 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 20 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 16249667.276 16319932.662 16390161.596 16460353.848 16530516.263 16600644.117 16670738.553 16740795.472 16810822.746 16880818.940 16950781.846 17020711.452 17090608.013 4684.359 4681.929 4679.483 4677.494 4675.190 4672.962 4670.461 4668.485 4666.413 4664.194 4661.974 4659.771 -.162 -.163 -.133 -.154 -.149 -.167 -.132 -.138 -.148 -.148 -.147 Từ số liệu bảng trên, nhận thấy số đặc tính thống kê dãy số liệu qua đồ thị hình 2.4, hình 2.5 hình 2.6 Hình 2.4 Đồ thị biến thiên trị đo pha L1 Hình 2.5 Đồ thị biến thiên vận tốc trị đo pha (dL/dt) Hình 2.6 Đồ thị biến thiên gia tốc trị đo pha (d2L/dt2) 83 Nhận thấy đoạn số liệu trên, trị đo pha tăng dần (hình 2.4) cịn vận tốc trị đo pha lại giảm dần (hình 2.5), giá trị gia tốc trị đo pha yếu tố ngẫu nhiên chứa trị đo pha (hình 2.6) Cũng từ hình 2.6 nhận thấy bật máy thu, gia tốc pha chưa ổn định, sau giá trị gia tốc pha ổn định có biến thiên, thể tính chất biến ngẫu nhiên dừng Trong phần này, xem xét vấn đề thường áp dụng chuỗi số liệu quan trắc hồi quy (Regression) tự hồi quy (Autoregression) 2.3.2 Hệ số tương quan thực nghiệm Xét hai biến ngẫu nhiên X Y, cho dãy giá trị thực nghiệm rời rạc sau: Bảng 2.1 Các giá trị hai biến X Y X Y x1 y1 x2 y2 x3 y3 xn yn Phương sai X Y ký hiệu V(X) V(Y) tính: Var (X)  2 n n ; ( x  x ) Var ( Y )  ( y  y )  i  i TB TB (n  1) i1 (n  1) i1 (2.3.1) đó: n n  xi x TB  i 1 n  yi ; y TB  i 1 n (2.3.2) Hiệp phương sai chéo X Y tính: COV (X, Y)  n  ( x i  x TB )( y i  y TB ) (n  1) i 1 (2.3.3) Hệ số tương quan (mẫu, hay thực nghiệm) biến X Y xác định công thức sau:  xy  COV(X, Y) Var (X).Var (Y) (2.3.4) Thay (2.3.1) (2.3.3) vào (2.3.4) ta được: 84 n  ( x i  x TB )( y i  y TB )  xy  i 1 n n  ( x i  x TB )  ( y i  y TB ) i 1 (2.3.5) i 1 Hệ số tương quan  xy xác định theo (2.3.5) có giá trị nằm khoảng đến +1 tức là:     1 (2.3.6) Nếu  xy  , X Y có tương quan tuyến tính dương tuyệt đối ( đồng biến) Nếu  xy  1 , X Y có tương quan tuyến tính âm tuyệt đối ( nghịch biến) Nếu  xy  , X Y khơng tương quan tuyến tính Từ giá trị xi, yi triển vẽ lên đồ thị, từ nhận dạng quy luật mối quan hệ X, Y Đồ thị hình 2.7 thể mối quan hệ X Y tuyến tính Hình 2.7 Quan hệ tuyến tính 2.3.3 Hồi quy tuyến tính Nếu xác định hệ số tương quan thực nghiệm có giá trị tuyệt đối xấp xỉ 1, biểu diễn X, Y hàm hồi quy tuyến tính sau: Y = A + B.X (2.3.7) Trên thực tế ước lượng tham số hàm a b theo tiêu chuẩn độ lệch nhỏ (ước lượng khơng chệch), hàm hồi quy là: 85 (2.3.8) y i  a  b.x i   i  i sai số hàm hồi quy Dựa vào dãy giá trị xi, yi xác định giá trị tham số a, b hàm hồi quy tuyến tính theo nguyên lý bình phương nhỏ Phương pháp xác định a, b thực theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất, trình bày phần “Xấp xỉ hàm” Ngồi hồi quy tuyến tính, sử dụng hàm hồi quy phi tuyến (bậc hai bậc 3, ) giá trị tuyệt đối hệ số tương quan thực nghiệm khơng gần với 2.3.4 Phân tích tự hồi quy Phân tích tự hồi quy AR (Auto-Regression Analysis) phương pháp xử lý số liệu dựa giá trị chuỗi số liệu thời gian, nhằm đưa dự báo coi tốt thời điểm t dựa giá trị trước Với chuỗi số liệu thời gian Y(Y1 , Y2 , , Yn ) , mơ hình tự hồi quy có dạng tổng quát sau: Yt  f (Yt 1 , Yt  , , Yt  p ,  ) (2.3.9)  nhiễu trắng (ngẫu nhiên) Mơ hình tự hồi quy thường sử dụng có dạng hàm tuyến tính sau: p Yt  b0   bi Yt i   t (2.3.10) i 1 đó: Yt giá trị biến Y thời điểm t; Yt i (i = 1, 2, , p) giá trị biến Y thời điểm t-i; bi hệ số hồi quy ; p bậc tự hồi quy;  t nhiễu Trong trường hợp cần xác định hệ số bi (i  0,1,2, p) thỏa mãn điều kiện bình phương tối thiểu, tức tốn ước lượng bình phương nhỏ Từ biểu thức (2.3.10) viết hệ phương trình số hiệu chỉnh dạng ma trận sau: V  AX  L (2.3.11) đó: 86 1 Y p Y p 1 Y1  Y p 1  b o   V1  1 Y  Y  Y p Y2  p 1 b  V    p2  1      ; X ; A ; L  V                 Vn  p  b p  1 Yn1 Yn 2 Yn  p   Yn    (2.3.12) Theo điều kiện V T V  , véc tơ X xác định: X   ( A T A ) 1 A T L (2.3.13) Có hai dạng tự hồi quy thường gặp tự hồi quy bậc (p = 1) tự hồi quy bậc 2, (p = 2) Mơ hình tự hồi quy bậc (p = 1) có dạng: Yt  b o  b1Y( t 1)   t (2.3.14) Mơ hình tự hồi quy bậc hai (p = 2) có dạng: Yt  b o  b1Y( t 1)  b Y( t 2 )   t (2.3.15) 2.4 XẤP XỈ HÀM VÀ ỨNG DỤNG 2.4.1 Khái niệm chung xấp xỉ hàm Xấp xỉ hàm (Functional Approximation) phương pháp tính tốn dựa ngun lý bình phương nhỏ để xác định tham số hàm lý thuyết (đã xác định) dựa số liệu thực nghiệm rời rạc, cịn gọi phương pháp ước lượng tham số Để xấp xỉ hàm hai đại lượng X Y, coi Y hàm X, trước hết phải xem xét dãy số liệu xi, yi lựa chọn hàm số lý thuyết mô tả mối liên hệ (hàm số) hai đại lượng dạng: Y  f (X) (2.4.1) Trong thực tế có quy luật biết trước dạng hàm số f(X) có nhiều trường hợp khơng biết mối quan hệ hàm số dãy số liệu thực nghiệm Trong trường hợp sử dụng hàm đa thức bậc cao (bậc k) để biểu thị quan hệ cần tìm Đa thức bậc k có dạng chung là: y i  a o  a x i  a x i2  a x 3i   a k x ik (2.4.2) Trong đa thức trên, tham số (hệ số) a o , a , a a k cần xác định theo ngun lý bình phương nhỏ nhất, ta thiết lập hàm lý thuyết để mô mối quan hệ hai dãy số liệu quan trắc (dãy số liệu 87 thực nghiệm) Trên hình 2.8 thể các giá trị quan trắc rời rạc đồ thị hàm hệ tọa độ XOY Sử dụng nguyên lý bình phương nhỏ để xác định tham số nói chung hàm xấp xỉ nói riêng cịn gọi phương pháp tính toán làm khớp tốt (Best-Fit Computing) [25] Cần lưu ý tới nguyên tắc bắt buộc dãy số liệu quan trắc phải đủ lớn để xác định tham số Nếu sử dụng hàm đa thức biến số dạng (2.4.2), số lượng trị quan trắc n dãy xi yi phải thỏa mãn: n  k 1 (2.4.3) Hình 2.8 Giá trị quan trắc đồ thị hàm xấp xỉ Trong nghiên cứu quy luật giá trị đại lượng phân bố không gian (như trọng trường, từ trường, ) phải xác định (ước lượng) mối quan hệ đại lượng Z với giá trị tọa độ X Y dạng hàm số sau: Z  g ( X, Y ) (2.4.4) Nếu chưa xác định quan hệ hàm g(X,Y) nói trên, lựa chọn hàm đa thức bậc cao X, Y để mô tả quy luật giá trị Z Hàm đa thức bậc cao có dạng: z i  b  b1 x i  b y i  b x i2  b y i2  b x i y i  (2.4.5) Các tham số b o , b1 , b , b xác định theo nguyên lý bình phương nhỏ 88 Nếu áp dụng dạng hàm đa thức biến (2.4.5), số giá trị quan trắc phải lớn số lượng tham số bi có đa thức Chất lượng xấp xỉ hàm phụ thuộc vào yếu tố sau: - Dạng hàm số lựa chọn (phù hợp hay không phù hợp) - Số lượng trị quan trắc dãy số liệu - Phân bố giá trị quan trắc - Độ xác giá trị quan trắc 2.4.2 Phương pháp tính xấp xỉ hàm Mục tiêu phương pháp xấp xỉ hàm xác định tham số hàm số (lý thuyết) dựa số liệu thực nghiệm rời rạc Dạng hàm số lý thuyết xác định trước (chọn trước), có tham số cần xác định Cũng gặp trường hợp chưa xác định dạng hàm số mà phải sử dụng hàm đa thức bậc cao để làm hàm xấp xỉ với quy luật dãy số liệu thực nghiệm Các tham số hàm xấp xỉ có vai trị dự báo, nội suy làm trơn kết quan trắc 2.4.2.1 Trường hợp chưa biết trước dạng hàm số Trong số trường hợp, có dãy số liệu quan trắc chưa biết mối quan hệ chúng Trong trường hợp cần phải xác định mối quan hệ dãy số liệu để biểu diễn giá trị dãy số liệu Y giá trị (gần đúng) hàm toán học tương ứng với biến số X Trong phải xác định tham số hàm Để đơn giản, xét trường hợp xác định mối quan hệ hai dãy số liệu quan trắc X Y, với n cặp giá trị dạng số Trước hết cần áp dụng phương pháp phân tích hồi quy để đánh giá vài tính chất hai dãy số liệu Các tính tốn phân tích hồi quy gồm: - Tính hệ số tương quan thực nghiệm theo cơng thức (2.3.4) Nếu trị tuyệt đối hệ số tương quan thực nghiệm  xy có giá trị xấp xỉ dạng hàm số cần xác định hàm tuyến tính: Y  a  b.X (2.4.6) Việc xác định tham số a,b hàm tuyến tính (2.4.6) dễ dàng Nếu trị tuyệt đối hệ số tương quan thực nghiệm  xy có giá trị khác với mối quan hệ X Y khơng thể dạng tuyến tính, trường hợp chọn hàm đa thức bậc k dạng biểu thức (2.4.2) để làm hàm xấp xỉ 89 Một cách tổng quát, trường hợp phải xác định tham số đa thức hàm bậc (hàm tuyến tính, k = 1) đa thức bậc cao (k > 1) y i  a  a x i  a x i2  a x 3i   a k x ik (2.4.7) có k + ẩn số cần xác định ao, a1, a2, ,ak Từ (2.4.7) lập phương trình số hiệu chỉnh (phương trình sai số): v i  a  a x i  a x i2  a x 3i   a k x ik  y i (2.4.8) Các phương trình số hiệu chỉnh (2.4.8) viết dạng ma trận: V  A.X  L (2.4.9) đó: 1  1 A  1   1  x1 x2 x 12 x 22 x3 x 32 xn x 2n x 1k   v1    y1   a o  x k2  v   y  a  2 1 k   ; V ; L   2 x ; X                ak  v  y  v n     x kn  (2.4.10) Khi số lượng phương trình số hiệu chỉnh n nhiều số lượng ẩn số, tức n > k + coi phương trình (2.4.8) độ xác, theo ngun lý [vv] = min, lập hệ phương trình chuẩn: A T A.X  A T L  (2.4.11) Giải hệ phương trình chuẩn, nhận véc tơ ẩn số X: X   ( A T A ) 1 A T L (2.4.12) Sau xác định tham số hàm xấp xỉ ao, a1, a2 ak , nhận giá trị ước lượng hàm ứng với biến x i y i xác định theo công thức: y i  a  a x i  a x i2  a x 3i   a k x ik (2.4.13) Giữa giá trị ước lượng y i , giá trị quan trắc y i số hiệu chỉnh v i có mối quan hệ sau: yi  vi  yi (2.4.14) Để đánh giá độ xác tham số, áp dụng cơng thức tính sai số trung phương ẩn số: 90 m   Q (2.4.15) Qai phần tử đường chéo ma trận nghịch đảo Q  (A T A) 1 tương ứng với tham số ai,  sai số trung phương đơn vị trọng số tính theo cơng thức:  vv n  k 1 (2.4.16) Độ lớn giá trị  phản ánh chất lượng (mức phù hợp) tốn xấp xỉ hàm 2.4.2.2 Trường hợp có trước dạng hàm số Trong trường hợp hai dãy số liệu X Y biết mối quan hệ dạng hàm số có tham số chưa xác định: Y=f(X,a,b,c) (2.4.17) a,b,c tham số chưa xác định hàm (trường hợp xét tham số, theo xét cho trường hợp khác) Nhiệm vụ phải xác định tham số a, b, c hàm dựa chuỗi số liệu quan trắc biến X hàm Y x i y i với i = 1, 2, ,n Trước hết phải xác định trị gần tham số a, b, c Ký hiệu trị gần tham số a, b, c ao, bo, co số hiệu chỉnh tương ứng da, db, dc Giữa chúng có quan hệ: a = ao + da b = bo + db (2.4.18) c = co + dc Từ hàm (2.4.17) mối quan hệ (2.4.18) ta viết: Y  f (X, a o  da , b o  db, c o  dc) (2.4.19) Nếu trị gần ao, bo co xác định gần với giá trị cần xác định, da, db, dc giá trị nhỏ, từ áp dụng khai triển chuỗi Taylor để đưa (2.4.19) dạng phương trình số hiệu chỉnh sau:  Y   Y   Y  vi    da    db    dc  l i  a   b   c  (2.4.20) số hạng tự li tính: li  f (x i , a , b , c )  y i (2.4.21) 91 Y Y Y Nếu ký hiệu:     i ;     i ;     i  a   b   c  (2.4.22) phương trình số hiệu chỉnh (2.4.20) viết: v i   i da   i db   i dc  l i (2.4.23) Hoặc viết dạng ma trận: V  A.X  L (2.4.24) đó:  v1   1 v   2  ; A V       v n   n 1 2 n 1   l1  da   l      ; X  db  ; L        dc     n  l n  (2.4.25) Nếu số giá trị quan trắc (n) lớn (n > 3), ta xác định da, db, dc theo nguyên lý bình phương nhỏ Hệ phương trình chuẩn là: A T A.X  A T L  (2.4.26) Từ ta có lời giải hệ phương trình chuẩn: X  (A T A) 1 A T L (2.4.27) Việc giải hệ phương trình chuẩn (2.4.6) tính tham số a, b, c hàm xấp xỉ thực theo quy trình tính tốn nêu phần trước Việc tính tốn xác định tham số a, b, c phải tính lặp (nhích dần) trị tuyệt đối số hiệu chỉnh da, db, dc nhỏ, không lớn  (gọi điều kiện dừng lặp) Việc xác định giá trị gần tham số a, b, c không ảnh hưởng đến kết xác định tham số mà ảnh hưởng đến số lần tính lặp Độ xác tham số phụ thuộc vào giá trị  chọn tính lặp 2.4.3 Ứng dụng phương pháp xấp xỉ hàm Phương pháp xấp xỉ hàm sử dụng nghiên cứu quy luật tự nhiên dựa số liệu đạc hay quan trắc Các giá trị hàm xác định theo phương pháp xấp xỉ (theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất) sở có độ tin cậy cần thiết để sử dụng cho tính tốn nội suy, mơ dự báo quy luật tự nhiên Trong trắc địa, phương pháp xấp xỉ hàm ứng dụng xử lý số liệu đo đạc như: - Xác định tham số hàm nội suy hàm hiệp phương sai, hàm bán phương sai tính tốn nội suy 92 ... -.1 52 82 218 21 9 22 0 22 1 22 2 22 3 22 4 22 5 22 6 22 7 22 8 22 9 23 0 8 8 8 8 8 8 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 20 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 15.0 30.0 45.0 1 624 9667 .27 6 163199 32. 6 62 16390161.596... 15.0 30.0 121 921 95.0 82 122 6 424 5.579 123 3 626 7.570 124 0 826 1.387 124 8 021 8.545 125 521 43.745 126 24040.950 126 95910.089 127 67745.344 128 39549 .23 1 129 11 321 .21 1 129 830 62. 222 130547 72. 110 13 126 4 52. 914 13198099.8 82. .. 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Thời 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 gian 30.0 45.0 15.0 30.0