Giáo trình xử lý số liệu trắc địa phần 1 pgs ts đặng nam chinh (chủ biên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI KHOA TRẮC ĐỊA-BẢN ĐỒ GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA PGS.TS Đặng Nam Chinh (Chủ biên) ThS Bùi Thị Hồng Thắm Hà Nội, 2012 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình đào tạo kỹ sư trắc địa, sinh viên học môn Lý thuyết sai số môn học bắt buộc theo chương trình khung ngành kỹ thuật trắc địa - Bản đồ Nội dung môn học Lý thuyết sai số cung cấp cho sinh viên kiến thức sở sai số đo đạc, tính chất sai số đo tiêu chuẩn đánh giá độ xác kết đo Cũng môn học này, sinh viên giới thiệu nguyên lý số bình phương nhỏ - cơng cụ tốn học quan trọng xử lý số liệu đo Liên quan đến ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất, mơn học Lý thuyết sai số cung cấp phương pháp bình sai phương pháp bình sai điều kiện phương pháp bình sai gián tiếp Trong giáo trình khơng đề cập nhiều đến phương pháp bình sai điều kiện trình bày mơn học Lý thuyết sai số trong thực tế phương pháp bình sai điều kiện sử dụng Như vậy, môn học Lý thuyết trang bị cho người học kiến thức sở (nền tảng) cho môn học chuyên môn ngành trắc địa Nhờ kiến thức người học nắm bắt giải toán thường gặp trắc địa phân tích đánh giá kết đo, xử lý bình sai mạng lưới trắc địa đơn giản thường gặp thực tế Tiếp theo môn học Lý thuyết sai số, kỹ sư trắc địa cần trang bị thêm kiến thức xử lý số liệu, nội dung giới thiệu môn học Xử lý số liệu trắc địa Mục đích mơn học tiếp tục củng cố kiến thức lý thuyết học môn Lý thuyết sai số, vận dụng mở rộng thêm kiến thức vào giải số toán thường gặp trắc địa bình sai mạng lưới trắc địa, xử lý tập hợp liệu đo phân bố không gian hay liệu quan trắc theo chuỗi thời gian nội suy dựa vào số liệu đo rời rạc, xác định tham số hàm số theo phương pháp xấp xỉ hàm dựa số liệu thực nghiệm Đây toán ứng dụng lĩnh vực địa thống kê (Geostatistics) Có thể thấy rằng, xử lý số liệu trắc địa không vấn đề bình sai lưới mà cịn gồm nhiều nội dung khác gắn với môn học chuyên ngành thuộc lĩnh vực trắc địa-bản đồ Với cách tiếp cận đó, giáo trình này, ngồi nội dung liên quan tới bình sai lưới, chúng tơi trình bày thêm phương pháp xấp xỉ hàm số thuật toán nội suy thường sử dụng Nếu người học nắm vững kiến thức này, giải tốt vấn đề liên quan nằm môn học chuyên ngành trắc địa-bản đồ số nhiệm vụ khác thuộc lĩnh vực khoa học trái đất Trong thời gian gần đây, khái niệm trị đo (hay trị quan trắc) liên quan tới đối tượng động nói đến nhiều Cụ thể trị quan sát vệ tinh nhân tạo phục vụ cho định vị GNSS, kết quan sát mặt đất, mặt đại dương vệ tinh nhân tạo, kết quan trắc địa động hay quan trắc biến dạng chuyển dịch cơng trình đề cập đến tài liệu giáo khoa Từ thực tế đó, kỹ sư trắc địa cần trang bị thêm dãy số liệu quan trắc theo thời gian đặc trưng thống kê chúng Trong thực tế, đồng thời quan trắc nhiều đối tượng hay nhiều đại lượng khác Khi vấn đề xác định đặc tính tương quan đối tượng hay đại lượng quan trắc có ý nghĩa xử lý phân tích số liệu Trong giáo trình này, chúng tơi đặc biệt quan tâm tới phương pháp xấp xỉ hàm, thuật toán nội suy ứng dụng chúng trắc địa địa hình, trắc địa cao cấp trắc địa cơng trình Nếu nắm vững kỹ này, người kỹ sư trắc địa vận dụng để giải tốt toán đa dạng thực tiễn Với tiêu chí nêu trên, chúng tơi biên soạn giáo trình để giảng dạy cho sinh viên năm thứ hệ đại học ngành trắc địa, sau sinh viên học môn Lý thuyết sai số Giáo trình biên soạn dựa đề cương chi tiết thẩm định thông qua môn Trắc địa sở Trong môn học này, sinh viên phải làm số tập bắt buộc để củng cố kiến thức lý thuyết nắm vững bước xử lý số liệu Để hoàn thành tốt tập, sinh viên cần có kiến thức tin học kỹ lập trình máy tính Chính thế, mơn học giảng dạy song song (đồng thời) với môn Tin học ứng dụng hay Kỹ thuật lập trình trắc địa Do lần đầu biên soạn, chắn tài liệu nhiều khiếm khuyết nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp bạn đọc để chúng tơi có sở tiếp tục hồn thiện giáo trình tốt Xin trân trọng cảm ơn ! Các tác giả Chương BÌNH SAI TRONG TRẮC ĐỊA 1.1 TÍNH KIỂM TRA KẾT QUẢ ĐO 1.1.1 Trị đo thừa ý nghĩa chúng Trong cơng tác trắc địa nói chung cơng tác xây dựng mạng lưới trắc địa nói riêng, người ta không đo vừa đủ để nhận yếu tố (giá trị) cần xác định mà thường tiến hành đo thừa (hay đo dư) Khái niệm đo thừa xét gồm giá trị đo thừa yếu tố đo thừa Giá trị đo thừa xuất thực nhiều lần đo đại lượng Ví dụ đo góc, người ta thường đo nhiều lần (nhiều vòng đo) Yếu tố đo thừa xuất yếu tố đo mạng lưới trắc địa vượt số lượng (yếu tố) cần thiết tối thiểu mạng lưới Thí dụ đo góc hình tam giác Khái niệm yếu tố đo thừa xét đến kết cấu hình học lưới, bao gồm nhiều yếu tố đo (đại lượng đo) ràng buộc với mối quan hệ toán học Trong số trường hợp người ta gọi chung khái niệm giá trị đo thừa yếu tố đo thừa trị đo thừa (hay đại lượng đo thừa) Cần lưu ý tới đặc tính trị đo ln kèm theo sai số đo, nẩy sinh sai số khép kết cấu hình học mạng lưới Với cách tiếp cận trị đo thừa nêu nhận thấy rằng, trị đo thừa sai số đo lý dẫn đến tốn (nhiệm vụ) bình sai trắc địa Trong môn học Lý thuyết sai số giới thiệu bình sai trực tiếp, xử lý số liệu đo có giá trị đo thừa Trong mơn học đề cập đến bình sai lưới trắc địa theo phương pháp bình sai điều kiện bình sai gián tiếp, giải (xử lý) yếu tố đo thừa lưới trắc địa Dẫu xử lý giá trị đo thừa hay yếu tố đo thừa, thông thường người ta áp dụng nguyên lý số bình phương nhỏ Như nói trên, khơng có trị đo thừa, khơng nẩy sinh tốn bình sai Số lượng trị đo thừa tốn bình sai lưới gọi bậc tự (Degrees of Freedom), thường ký hiệu r rnt đó: n tổng số trị đo, t số ẩn số lưới Khi có trị đo thừa, lấy trung bình giá trị đo đại lượng nhận giá trị (trung bình) với độ xác cao độ xác trị đo Cơng việc gọi bình sai trạm máy, thực trước bình sai lưới Các yếu tố đo thừa mạng lưới trắc địa giúp có điều kiện để kiểm tra đánh giá chất lượng giá trị đo mạng lưới, nhờ phát loại bỏ sai số thô trình đo Các điều kiện kiểm tra lưới phương trình điều kiện sinh yếu tố đo thừa lưới Nếu khơng có trị đo thừa yếu tố đo thừa khơng thể đánh giá độ xác trị đo hay yếu tố lưới từ liệu đo ngắm 1.1.2 Độ xác độ tin cậy Độ xác (Accuracy or Precision) giá trị đo hay yếu tố (đại lượng) đặc trưng sai số trung phương Sai số trung phương nhỏ, độ xác giá trị hay yếu tố cao ngược lại Phương pháp tính sai số trung phương trị đo theo dãy trị đo giới thiệu Lý thuyết sai số Độ tin cậy (Realbility) giá trị hay yếu tố (đại lượng) khả phát sai số thô (do nhầm lẫn) trị đo hay yếu tố cần xác định Độ tin cậy liên quan trực tiếp đến trị đo thừa, cụ thể liên quan đến số lượng trị đo thừa phân bố yếu tố đo thừa mạng lưới Để hiểu rõ vấn đề này, cần tìm hiểu thêm ước lượng vững cịn gọi ước lượng ổn định (Robust Estimation) [24] Ví dụ: có tam giác, tam giác thứ có góc đo với sai số trung phương đo góc 30”, tam giác thứ hai có góc đo với sai số trung phương 1” Như nói rằng, độ xác đo góc tam giác thứ thấp tam giác thứ hai, ngược lại độ tin cậy kết đo tam giác thứ lại cao tam giác thứ hai Những dạng đồ hình lưới trắc địa có độ tin cậy thấp dạng đường chuyền treo, giao hội xác định điểm đo góc đo cạnh Như vậy, trị đo thừa yếu tố đo thừa vừa có tác dụng nâng cao độ xác kết đo vừa có tác dụng nâng cao độ tin cậy yếu tố mạng lưới trắc địa Ví dụ: Độ xác độ tin cậy định vị GPS (3D) nâng cao số vệ tinh quan sát nhiều Trong giao hội thuận (2D), người ta bố trí giao hội từ điểm gốc với mục đích nâng cao độ xác độ tin cậy kết xác định tọa độ điểm giao hội 1.1.3 Số liệu gốc ảnh hưởng sai số số liệu gốc Số liệu gốc hay số liệu khởi tính mạng lưới trắc địa số liệu cần để xác định vị trí kích thước hướng mạng lưới (mặt bằng) hệ quy chiếu Số liệu gốc bao gồm số liệu gốc cần thiết (tối thiểu) số liệu gốc thừa Đối với lưới mặt bằng, thông thường số liệu gốc tọa độ x,y điểm hạng cao, nhiên coi chiều dài cạnh khởi đầu (của lưới tam giác đo góc) đo với độ xác cao số liệu gốc Căn vào số liệu gốc mạng lưới trắc địa, chia thành trường hợp sau: Lưới có thừa số liệu gốc Lưới có số liệu gốc vừa đủ Lưới thiếu hoàn toàn thiếu phần số liệu gốc Theo nguyên tắc phân cấp hạng lưới trắc địa, trị đo lưới cấp cao có độ xác cao lưới cấp thấp (độ xác khoảng lần), vậy, thực tế bình sai mạng lưới trắc địa, sai số số liệu gốc bỏ qua, tức coi số liệu gốc đại lượng khơng có sai số Tất nhiên, chất, số liệu gốc chứa sai số có ảnh hưởng đến kết bình sai lưới Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc thừa, số liệu gốc thừa có tác dụng kiểm tra kết đo, kiểm tra số liệu gốc, đồng thời sử dụng để bình sai ràng buộc (Constrained Adjustment) nhằm nhận kết bình sai với độ xác độ tin cậy cao Trong kết bình sai ràng buộc thường có thêm ảnh hưởng sai số số liệu gốc sai số số liệu gốc đáng kể Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc vừa đủ, mạng lưới bình sai theo phương pháp ràng buộc tối thiểu (Minimally Constrained Adjustment) Lưới có số liệu gốc vừa đủ cịn gọi lưới tự không số khuyết (d = 0) Trong trường hợp mạng lưới thiếu hoàn toàn số liệu gốc thiếu phần số liệu gốc, mạng lưới bình sai tự (Free Adjustment), có nghĩa ràng buộc bên (Inner Constraints) Trong trường hợp gọi lưới tự có số khuyết hay lưới có ma trận hệ phương trình chuẩn khuyết hạng (d > 0) [16] Trong kết đánh giá độ xác bình sai lưới tự có số khuyết bình sai lưới với số liệu gốc vừa đủ (không số khuyết) không chịu ảnh hưởng sai số số liệu gốc mà thể ảnh hưởng sai số đo đạc 1.1.4 Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện 1.1.4.1 Cơ sở lý thuyết Khi lập phương trình điều kiện, phải tính giá trị số hạng tự wi, gọi sai số khép phương trình điều kiện Độ lớn trị tuyệt đối sai số khép phản ánh chất lượng đo lưới Nếu trị đo không tồn sai số thơ (sai lầm, sai số hệ thống lớn…) sai số khép phương trình điều kiện mang tính chất sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối không vượt giới hạn định Có thể ước lượng giá trị giới hạn trị tuyệt đối sai số khép để xuất sai số khép ln nhỏ với xác suất định trước (thường 95% lớn hơn) Giá trị giới hạn gọi sai số khép giới hạn Việc kiểm tra trị đo trước bình sai nhờ sai số khép giới hạn nhằm phát để loại bỏ sai số thô Đây công việc quan trọng cần tiến hành trước bình sai lưới để cơng tác bình sai cho kết xác tin cậy Như biết, sai số khép phương trình điều kiện thực chất sai số thực hàm đại lượng đo, nhiên số dạng phương trình điều kiện (như điều kiện chiều dài, góc định hướng, toạ độ) sai số hàm không chịu ảnh hưởng sai số đo mà chịu ảnh hưởng sai số số liệu gốc (chiều dài khởi tính, góc định hướng khởi tính, toạ độ khởi tính) Để ước lượng sai số khép giới hạn phương trình điều kiện, trước hết phải tính sai số trung phương sai số khép, biết sai số trung phương trị đo sai số số liệu gốc [2] Xuất phát từ cơng thức tổng qt tính sai số khép wi phương trình điều kiện wi   i (l '1 , l ' , , l ' n , G1 , G2 , , Gk ) i = 1, 2, …, r (1.1.1) đó: l1' l '2 l 'n trị đo, G1, G2, …, Gk số liệu gốc Ký hiệu m1, m2, …, mn sai số trung phương trị đo, m G1 , m G , m G K sai số trung phương số liệu gốc, sai số trung phương sai số khép wi tính theo cơng thức sai số trung phương hàm sau:  w m w2i    i  j 1  l j n   k  wi  m j      j 1  G j 0   mGj  0 (1.1.2)  w Ký hiệu  i   aij a ij hệ số phương trình điều kiện  l j  Như sai số trung phương sai số khép viết dạng: n k wi ij j m   a m   Aij2 mGj j 1 (1.1.3) j 1 đó:  w Aij   i  G j     0 Nếu trị đo độ xác m1 = m2 = … = mn = mo, phương trình điều kiện khơng có tham gia sai số số liệu gốc, sai số trung phương sai số khép tính theo cơng thức: (1.1.4) m Wi  m o [aa ] Sai số trung phương sai số khép phương trình điều kiện có tham gia số liệu gốc tính theo cơng thức:  mwi  mo2 aa  A mG2  (1.1.5) Nếu wi mang tính chất sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân bố chuẩn, từ tính giá trị giới hạn sai số khép để xuất sai số khép có trị tuyệt đối ln nhỏ giá trị giới hạn với xác suất P biết trước Giá trị giới hạn tính theo cơng thức: wi gh  t.mw (1.1.6) i Với giá trị này, trị tuyệt đối sai số khép thoả mãn bất đẳng thức wi  wi  gh với xác suất P tính theo công thức:   P wi  t.mwi   t e  x2 dx (1.1.7) Một số giá trị t xác suất P tương ứng trình bầy bảng 1.1 Bảng 1.1 Sai số giới hạn xác suất t 2.5 Xác suất P 0.955 0.988 0.997 Thông thường người ta lấy t để tính sai số khép giới hạn, tức là: (wi)gh = 2.mwi (1.1.8) Với giới hạn xác suất để wi  (wi)gh 0.955 Trong trường hợp nới rộng hạn sai, người ta lấy t = 2.5, xác suất để wi  (wi)gh 0.988 Từ sở nêu trên, công thức tổng quát dùng để tính sai số khép giới hạn phương trình điều kiện sau: wi gh   m02 aa   A mG2  (1.1.9) Đối với phương trình điều kiện khơng có số liệu gốc tham gia khơng có thành phần thứ hai dấu biểu thức (1.1.9) 1.1.4.2 Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện lưới mặt Lưới mặt lưới chiều (2D) gồm lưới tam giác đo góc (hoặc đo hướng), lưới tam giác đo cạnh, lưới tam giác đo góc - cạnh lưới đường chuyền đa giác Trong phần giới thiệu cơng thức tính sai số khép giới hạn cho số dạng phương trình điều kiện thường gặp mạng lưới trắc địa mặt Cần lưu ý rằng, so sánh sai số khép với sai số khép giới hạn, sai số khép phương trình điều kiện phải tính theo trị đo tính chuyển lên mặt phẳng chiếu nhờ vài số cải [5, 11], lưu ý tới số cải vào chiều dài cạnh đo sử dụng phép chiếu UTM tính theo công thức: Ym2 S  S  (m   )S' 2R m ' (1.1.10) đó: S' chiều dài đo, Ym hoành độ trung bình cạnh đo, Rm bán kính trung bình Trái đất ( Rm=6371km), m tỷ lệ chiều dài kinh tuyến trung ương Khi sử dụng múi chiếu UTM o , giá trị mo = 0,9996, sử dụng phép chiếu UTM 3o , giá trị mo = 0,9999 Công thức (1.1.10) áp dụng cho chiều dài cạnh nhỏ 10 km, chiều dài cạnh lớn 10 km cần áp dụng công thức đầy đủ Trong trường hợp cạnh đo vùng núi có độ cao (H) lớn, cần tính hiệu chỉnh vào chiều dài số cải độ cao theo công thức sau: H   H S' Rm (1.1.11) Ví dụ: H=100m, S’=300m, tính  H  5mm Đối với mạng lưới tam giác hạng cao (hạng I, II quốc gia) cần phải tính đến số cải vào hướng góc đo Phương trình điều kiện hình Phương trình điều kiện hình có hệ số a = +1, khơng có tham gia số liệu gốc, sai số khép giới hạn hình tam giác là: wi gh (1.1.12)  2.m0 đó: mo sai số trung phương đo góc Sai số khép hình đa giác n góc là: wi gh (1.1.13)  2.m0 n Phương trình điều kiện vịng Hệ số aij phương trình điều kiện vịng +1, sai số khép giới hạn phương trình điều kiện vịng tính: w2 gh (1.1.14)  2.m0 n n số góc tham gia phương trình điều kiện vịng Phương trình điều kiện cực Sai số khép giới hạn phương trình tính sau: wC gh  2.m0 cot g A  cot g B  (1.1.15) Nếu phương trình điều kiện cực lập dạng logarit, sai số khép giới hạn phương trình tính: wC gh   2.m0  A2   B2  (1.1.16) Phương trình điều kiện góc định hướng Khi tính sai số khép phương trình điều kiện góc định hướng, có tham gia hai góc định hướng khởi tính đ, c, tính sai số khép giới hạn cho phương trình điều kiện góc định hướng cần xét đến sai số góc định hướng khởi tính Ký hiệu m sai số trung phương góc định hướng khởi tính, sai số khép giới hạn phương trình điều kiện góc định hướng tính: w gh  n.m02  2.m2 (1.1.17) đó: n số góc ngoặt tham gia vào việc tính chuyền góc định hướng 10 Từ phương trình điều kiện kèm ẩn (1.4.3) lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ sau: H.PL1H T K  U.X  W  UTK (1.4.5) 00 Giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ, nhận véc tơ số liên hệ K đồng thời nhận véc tơ ẩn số X Véc tơ số hiệu chỉnh tính: V  PL1H T K (1.4.6) Để rõ ứng dụng phương pháp bình sai điều kiện kèm ẩn, xét chuỗi tam giác đo góc có dạng hình tuyến (hình 1.13), đo tất góc tam giác đo góc nối  Đối với mạng lưới có phương trình điều kiện hình phương trình điều kiện góc định hướng đường chéo (cịn gọi điều kiện phương vị đường chéo) Hình 1.13 Chuỗi tam giác hình tuyến Phương trình điều kiện phương vị đường chéo có dạng tương đối phức tạp, đặt thêm ẩn số phụ trị bình sai chiều dài cạnh khởi đầu chuỗi, cạnh A1, ký hiệu So Do thêm ẩn số phụ, số lượng phương trình điều kiện lưới tăng thêm 1, tức có phương trình điều kiện, gồm phương trình điều kiện hình phương trình điều kiện tọa độ kèm ẩn số S0 Hai phương trình điều kiện tọa độ có dạng: X A  X A I  X III  X IIIII  X IIIIV  X IV V  X V B  X B  (1.4.7) YA  YA  I  YI  II  YII  III  YIII  IV  YIV  V  YV  B  YB  58 Sau thay X  S cos  Y  S sin  biến đổi ta hai phương trình điều kiện tọa độ kèm ẩn sau: 5 Y X iB Y  YA X X (ctgA i VAi  ctgB i VBi )   iB (  VCi )  B V  B A dS0  WX  " S0 i 1 " i 1 "  (1.4.8) X YiB X  XA Y Y iB (ctgA i VAi  ctgB i VBi )   ( VCi )  B V  B A dS  WY  " S0 i 1 " i 1 "  Trong phương trình điều kiện (1.4.8) có ẩn số phụ dSo Sau lập giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ, nhận ẩn số dSo, từ tính trị bình sai ẩn số theo công thức: S0  S00  dS0 (1.4.9) đó: S00 giá trị gần cạnh khởi đầu (cũng trị gần ẩn số phụ) sử dụng với góc đo để tính tọa độ gần điểm chuỗi tam giác tính sai số khép WX , WY phương trình điều kiện Đối với chuỗi tam giác đo góc hình kiềng, áp dụng phương pháp bình sai điều kiện kèm ẩn thay phương trình điều kiện tam giác đồng dạng phương trình điều kiện tọa độ kèm ẩn 1.5 KHÁI LƯỢC VỀ BÌNH SAI LƯỚI TỰ DO Như nói trên, tùy thuộc vào số liệu gốc mạng lưới trắc địa, bình sai lưới theo thuật tốn bình sai tự do, bình sai với số liệu gốc tối thiểu hay bình sai ràng buộc Khi bình sai lưới với số liệu gốc tối thiểu hay bình sai ràng buộc, ln nhận hệ phương trình chuẩn với ma trận hệ số không suy biến Việc giải hệ phương trình chuẩn tiến hành bình thường, tốn bình sai thực theo trình tự biết Trong vài trường hợp, cần tiến hành bình sai mạng lưới khơng có số liệu gốc thiếu phần số liệu gốc Trong trường hợp ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn ma trận khuyết hạng, ma trận suy biến Trong trường hợp vậy, mạng lưới bình sai theo nguyên tắc bình sai lưới tự 1.5.1 Số khuyết lưới tự Đối với lưới thiếu phần số liệu gốc khơng có số liệu gốc, bình sai gián tiếp dẫn đến ma trận hệ phương trình chuẩn N khuyết hạng Với dạng ma trận khuyết hạng (có định thức DET(N)=0), phải áp 59 dụng phương pháp riêng để giải hệ phương trình chuẩn Số khuyết (d) lưới tự xét cho trường hợp sau: 1.5.1.1 Đối với lưới độ cao Số liệu gốc tối thiểu lưới độ cao độ cao điểm khởi tính (điểm gốc), lưới độ cao tự (lưới khơng có điểm gốc) có số khuyết d =1 1.5.1.2 Đối với lưới mặt Đối với lưới mặt truyền thống (2D), số khuyết lưới phụ thuộc vào loại lưới (loại trị đo lưới) số lượng điểm gốc lưới, số khuyết d 1, 2, - Đối với lưới tam giác đo góc khơng có điểm gốc, cần có yếu tố tọa độ gốc (x,y) xác định vị trí, yếu tố chiều dài xác định kích thước (m) lưới yếu tố phương vị () để định hướng lưới Trong trường hợp này, số khuyết d = - Đối với lưới có đo cạnh (lưới tam giác đo cạnh, lưới tam giác đo góc có cạnh khởi tính, lưới đường chuyền) khơng có điểm gốc, thiếu yếu tố tọa độ để định vị (x,y), thiếu yếu tố phương vị () để định hướng, số khuyết d = - Đối với lưới mặt có đo cạnh đo phương vị (lưới tam giác đo cạnh có đo phương vị, lưới tam giác đo góc có đo cạnh phương vị khởi tính, ), thiếu yếu tố tọa độ gốc (x,y) để định vị lưới, số khuyết d = - Đối với lưới mặt đo góc, có đo chiều dài cạnh khởi tính cho điểm gốc, trường hợp này, thiếu yếu tố góc phương vị () để định hướng lưới, số khuyết d = 1.5.1.3 Đối với lưới GPS Lưới GPS lưới không gian (3D) xác định hệ WGS-84, số liệu gốc tối thiểu lưới tọa độ X,Y,Z điểm khởi tính (cũng hệ WGS-84), đó, số khuyết lưới (d = 3) Nếu bình sai lưới GPS tự hệ VN2000, số khuyết d = khuyết thêm ba yếu tố góc xoay Euler yếu tố tỷ lệ dài m (chuyển đổi hệ VN2000 với hệ WGS-84) 1.5.2 Bình sai lưới tự theo phương pháp gián tiếp Lưới tự bình sai theo phương pháp điều kiện bình sai theo phương pháp gián tiếp Theo phương pháp bình sai điều kiện, dựa trị đo thừa, lập phương trình điều kiện 60 tốn bình sai lưới tự giải theo thuật tốn bình sai điều kiện thông thường, giới thiệu phần “Lý thuyết sai số” Như nói trên, bình sai lưới tự theo phương pháp gián tiếp, thiếu số liệu gốc hệ phương chuẩn có ma trận hệ số suy biến, giải hệ phương trình chuẩn theo phương pháp thơng thường Trình tự bình sai lưới tự theo phương pháp gián tiếp tiến hành sau: Từ trị đo mạng lưới, lập hệ phương trình số hiệu chỉnh dạng: V  A.X  L ( 1.5.1) đó: A ma trận hệ số phương trình số hiệu chỉnh, L véc tơ số hạng tự X véc tơ ẩn số gồm số hiệu chỉnh cho giá trị gần ẩn số Từ phương trình số hiệu chỉnh (1.5.1), lập hệ phương trình chuẩn: ATPA.X + ATPL = (1.5.2) Đặc điểm hệ phương trình chuẩn (1.5.2) có ma trận hệ số suy biến, có số khuyết d Để giải hệ phương trình chuẩn cần phải tính ma trận giả nghịch đảo (A T PA )  ma trận hệ số phương trình chuẩn, véc tơ ẩn số X tính: X = -(ATPA)+(ATPL) (1.5.3) Có số phương pháp khác để giải toán bình sai lưới tự do, dùng ma trận giả nghịch đảo phương pháp Sau vài phương pháp tính tốn bình sai lưới tự 1.5.2.1 Phương pháp Moore-Penrose Phương pháp Moore-Penrose tính ma trận giả nghịch đảo theo trình tự tính toán sau: Ký hiệu N  AT PA ma trận suy biến, DET(N)=0 có số khuyết d Ma trận nghịch đảo Q  N  tính: N   B( BB ) 01 N (1.5.4) B  NN ( BB) ma trận nghịch đảo ma trận BB sau giảm cấp số khuyết d thêm vào hàng cột gồm số cho cấp ma trận N Ma trận giả nghịch đảo (1.5.4) có số tính chất sau: N N  N  N N  NN   N  1 61 ( NN  ) T  N N  (1.5.5)  T  ( N N )  N N Ngồi phương pháp tính ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose, cịn tính ma trận giả nghịch đảo theo phương pháp Helmert - Wolf 1.5.2.2 Phương pháp thêm điều kiện phụ Hệ phương trình chuẩn (1.5.2) có ma trận hệ số ma trận khuyết bậc d thiếu số liệu gốc Hệ phương trình khơng tồn nghiệm Muốn xác định tham số X phải có d điều kiện ràng buộc nội tham số gọi “điều kiện số liệu gốc” [16] Điều kiện là: ST X  (1.5.6) ST ma trận có số hàng số khuyết d số cột số ẩn số (tham số) Điều kiện số liệu gốc (1.5.6) phải độc lập tuyến tính với hệ phương trình chuẩn (1.5.2) độc lập với Yêu cầu tương đương với quan hệ sau: (1.5.7) A.S  Trong trường hợp này, phải giải hệ phương trình chuẩn sau: A T PA.X  S.K  A T PL  ST X 0 (1.5.8) Từ chứng minh rằng, nghiệm hệ phương trình xác định theo cơng thức: X  Q' A T PL (1.5.9) Q’ ma trận giả nghịch đảo xác định: Q'  (A T PA  S.ST ) 1 (1.5.10) Người ta chứng minh rằng, trường hợp ma trận hiệp trọng số đảo véc tơ ẩn số X là: Q XX  Q' A T PAQ'  Q '  Q' SST Q' (1.5.11) Sau số dạng cụ thể ma trận S Đối với lưới độ cao tự 62 Đối với độ cao tự (khơng có điẻm gốc), số khuyết d = 1, trường hợp ma trận ST véc tơ sau: S T  1 1 (1.5.12) Đối với lưới đo cạnh tự Đối với lưới đo cạnh, lưới tam giác đo góc-cạnh hay lưới đường chuyền đa giác, số khuyết d = Trong trường hợp ma trận ST có dạng sau:  S    y10 T 1 x 10  y 02 x 02  y 0m   x 0m  (1.5.13) Đối với lưới tam giác đo góc tự Đối với lưới tam giác đo góc số khuyết d = 4, ma trận ST có dạng:   T S  o   y1  o  x1 x 1o y1o  y o2 x o2 x o2 y o2  y om x om   x om   y om  (1.5.14) x io , y io trị gần tọa độ điểm, xác định hệ tọa độ trọng tâm lưới Đặc điểm bình sai lưới tự theo phương pháp gián tiếp tổng bình phương số hiệu chỉnh tọa độ nhỏ nhất, tức là: X T X  (1.5.15) Do đặc điểm phương pháp bình sai lưới tự sử dụng để định vị “tối ưu” mạng lưới tự vào điểm có tọa độ Bình sai lưới tự thường ứng dụng xử lý số liệu mạng lưới quan trắc địa động trắc địa cơng trình 1.6 KHÁI LƯỢC VỀ BÌNH SAI TRUY HỒI 1.6.1 Khái niệm chung Bình sai truy hồi (Recurrent Adjustment) thực chất phương pháp tính tốn bình sai gián tiếp dựa nguyên tắc xếp chồng (Stacking) hệ phương trình chuẩn thêm dần trị đo bổ đề nghịch đảo ma trận để giải lại hệ phương trình chuẩn Do bình sai truy hồi cịn gọi phương pháp bình sai (Sequential Adjustment) [18] Phương pháp tương đồng với việc áp dụng phép lọc Kalman để giải tốn bình sai 63 theo nhiều giai đoạn [6] Giáo sư Y.I Markuze người phát triển phương pháp bình sai truy hồi Liên Xô (nay nước Nga) từ thập kỷ 80 kỷ XX có nhiều cơng trình cơng bố phương pháp Khi thành lập hệ phương trình chuẩn, ma trận hệ số phương trình chuẩn N  A PA tính theo nguyên tắc xếp chồng theo công thức sau [18]: T N i  N i 1  a iT p i a i (1.6.1) a i véc tơ (hàng) gồm hệ số phương trình số hiệu chỉnh trị đo thứ i, p i trọng số trị đo Véc tơ hệ số a i có dạng: a i  a i ,1 a i, a i , t  (1.6.2) Theo bổ đề nghịch đảo ma trận gọi đồng thức Sherman Morrison - Woodbury, cơng thức tính ma trận nghịch đảo sau: ( A  UCV ) 1  A 1  A 1U (C 1  VA 1U ) 1V A 1 (1.6.3) Áp dụng bổ đề (1.6.3) để tính ma trận nghịch đảo cho biểu thức (1.6.1), nhận ma trận nghịch đảo (Ni )-1 bước thứ i sau: N i1  ( N i 1  a iT p i a i ) 1  N i11  N i11a iT (p i1  a i N i11a iT ) 1 a i N i11 (1.6.4) Hoặc viết dạng: Q i  Q i 1  Q i 1a iT (p i1  a i Q i 1a iT ) 1 a i Q i 1 (1.6.5) Công thức (1.6.5) cho phép tính ma trận nghịch đảo ma trận hệ số phương trình chuẩn bước tính thứ i dựa vào ma trận nghịch đảo xác định bước tính trước (bước i-1) Cơng thức (1.6.5) cơng thức tính theo ngun tắc truy hồi, thuận lợi cho việc lập trình tính tốn bình sai lưới có thêm trị đo Lưu ý tính (1.6.5), biểu thức (p i1  a i Q i 1a iT ) số (không phải ma trận) việc tính nghịch đảo (p i1  a i Q i 1a iT ) 1 đơn giản Ẩn số sau bình sai bước thứ i là: X i  X i1  dX i  X i 1  Q i a iT p i l i (1.6.6) Số hạng tự phương trình thứ i l i phải tính dựa vào trị đo thứ i ẩn số Xi-1 bình sai bước trước 64 Theo cơng thức trên, tính véc tơ ẩn số bước cuối xét đến trị đo cuối để hoàn tất tồn q trình bình sai mà khơng phải lập giải hệ phương trình chuẩn Vấn đề đặt là, ma trận Q o bước tính xác định nào? Người ta đưa cách xác định ma trận Q o có dạng [19]: Q o  10 m E (1.6.7) E ma trận đơn vị có kích thước số ẩn số lưới Giá trị m lấy m =  1.6.2 Quy trình bình sai truy hồi Theo lý thuyết trình bày trên, tính tốn bình sai theo phương pháp truy hồi, sau lần xử lý với trị đo i, ẩn số lưới lại hiệu chỉnh lượng dXi Có thể thấy tổng số hiệu chỉnh dXi n bước tính (n số trị đo) ln giá trị dX nhận từ bình sai theo phương pháp truyền thống (phương pháp lập giải hệ phương trình chuẩn lần), tức là: n  dX i  dX (1.6.8) i 1 Hình 1.14 Sơ đồ khối chương trình bình sai truy hồi 65 Phương pháp bình sai truy hồi áp dụng để bình sai mạng lưới trắc địa lưới độ cao, lưới mặt bằng, lưới GPS, Quy trình tính tốn bình sai mạng lưới có n trị đo theo phương pháp truy hồi mơ tả sơ đồ khối hình 1.14 Phương pháp bình sai truy hồi có hai ưu điểm quan trọng là: - Cho phép kiểm tra có mặt sai số thơ trị đo q trình bình sai mạng lưới Khi cần xác lập giới hạn số hạng tự phương trình số hiệu chỉnh trị đo thừa - Được sử dụng để giải tốn bình sai gián tiếp kèm điều kiện coi phương trình điều kiện phương trình số hiệu chỉnh có trọng số đảo pi1  Ví dụ: Xét mạng lưới tam giác đo góc - cạnh (hình 1.15), có điểm gốc A, B điểm cần xác định I, II, III Trong lưới có 11 góc đo cạnn đo Chiều dài cạnh trung bình xấp xỉ km Sai số trung phương đo góc 1”,5 sai số trung phương đo cạnh là: a = 10 mm, b = mm/km Các trị đo lưới thống kê bảng 1.13 bảng 1.14 Hình 1.15 Sơ đồ lưới tam giác đo góc-cạnh Bảng 1.13 Giá trị góc đo TT TRÁI PHẢI MÁY II B A II III I A B B I II III B A III I A A I I I B B III Giá trị góc đo 35 03 15.97 25 21 07.21 40 03 32.45 50 10 24.14 34 54 59.67 29 29 54.41 48 40 46.62 66 54 19.17 66 10 11 I III I II I A III II II 62 08 29.43 67 41 10.44 79 32 05.33 Bảng 1.14 Giá trị cạnh đo TT ĐẦU CUỐI I I A I II I III A II II III III B B Chiều dài cạnh đo 5977.742 5285.897 3912.246 5531.109 4591.631 5198.080 3234.460 Kết bình sai theo chương trình máy tính sau: BINH SAI LUOI MAT BANG THEO PHUONG PHAP TRUY HOI ─────────******───────── So luong goc : 11 So luong canh : So luong diem C.X.D : So luong diem co dinh : MD=±√(a²+(b.D)²) ; a= 010 m; b= 0000030 M(goc)= 1.5" Ma tran Q dau tien 100.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 100.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 100.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 100.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 100.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 100.00000 Toa gan dung dau tien va toa goc I 2102985.250 542685.444 II 2106874.056 539105.276 III 2108468.535 543411.157 A 2103745.533 536756.270 B 2106820.423 546194.242 =====Tri thu: ====== 0000 0000 31.6564 -42.1616 2.01 000 023 -.031 000 000 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): -34.2254 -4.3886 0000 0000 So hang tu l: -2.23 Vecto he so (a): So hang tu l: An so dX: 000 0000 0000 0000 0000 67 An so dX: 064 008 000 000 000 000 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): 7.7952 -24.3198 26.4302 28.7081 0000 0000 So hang tu l: -.88 An so dX: -.001 010 -.013 -.010 000 000 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): 31.3232 -8.2619 -26.4303 -28.7080 -4.8929 36.9699 So hang tu l: -1.40 An so dX: -.002 015 008 006 003 -.022 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): 21.8930 7.6930 0000 0000 4.8926 -36.9699 So hang tu l: -.70 An so dX: -.003 021 011 008 -.003 021 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): -26.7856 29.2771 0000 0000 0000 0000 So hang tu l: -2.12 An so dX: -.004 -.062 -.022 -.016 008 -.026 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): 0000 0000 0000 0000 54.8707 32.4937 So hang tu l: 2.09 An so dX: 000 000 000 000 035 005 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): 4.8928 -36.9695 0000 0000 -59.7630 4.4754 So hang tu l: 72 An so dX: -.002 -.006 -.001 -.001 -.004 001 =====Tri thu: ====== Vecto he so (a): -4.8929 36.9695 42.1261 -15.5997 -37.2332 -21.3699 So hang tu l: 2.63 An so dX: 012 031 023 009 -.016 016 =====Tri thu: 10 ====== Vecto he so (a): -26.4302 -28.7080 -15.6961 44.3073 42.1263 -15.5993 So hang tu l: 3.99 An so dX: -.020 -.026 -.008 000 015 -.024 =====Tri thu: 11 ====== Vecto he so (a): 26.4301 28.7082 -58.0861 13.4538 0000 0000 So hang tu l: 2.79 An so dX: 009 016 -.017 011 -.005 001 =====Tri thu: 12 ====== Vecto he so (a): -.1272 9919 0000 0000 0000 0000 So hang tu l: 020 An so dX: 000 011 003 007 -.002 007 =====Tri thu: 13 ====== Vecto he so (a): -.7357 6773 7357 -.6773 0000 0000 So hang tu l: 037 An so dX: -.015 002 001 -.014 002 -.001 =====Tri thu: 14 ====== Vecto he so (a): 0000 0000 7997 6004 0000 0000 So hang tu l: 034 An so dX: 008 006 018 020 -.002 013 =====Tri thu: 15 ====== Vecto he so (a): -.9914 -.1312 0000 0000 9914 1312 So hang tu l: 027 An so dX: -.010 -.003 -.002 -.001 006 001 =====Tri thu: 16 ====== Vecto he so (a): 0000 0000 -.3473 -.9378 3473 9378 So hang tu l: 005 An so dX: 000 000 000 -.001 000 002 68 =====Tri thu: 17 ====== -.7378 -.6750 0000 027 -.007 -.003 000 -.005 =====Tri thu: 18 ====== Vecto he so (a): 0000 0000 0000 So hang tu l: -.037 An so dX: -.007 005 -.001 012 -.013 Vecto he so (a): So hang tu l: An so dX: -.010 0000 0000 0000 5096 -.8604 000 0000 023 Ma tran Q sau cap nhat 00018278 -.00002097 00007443 -.00002888 00007721 00000318 -.00002097 00015414 -.00003323 00005581 -.00000387 00002535 Sum(dX): 00007443 -.00003323 00016763 -.00002197 00005193 00002464 -.00002888 00005581 -.00002197 00016705 -.00000972 00006752 00007721 -.00000387 00005193 -.00000972 00015089 00000976 =========== Tong an so ========== 019 023 022 000 019 00000318 00002535 00002464 00006752 00000976 00014705 018 KET QUA BINH SAI ===== So hieu chinh va tri binh sai goc =================== II B A 35 15.97 -1.34 35 14.63 B I A 25 21 7.21 1.46 25 21 8.67 A II I 40 32.45 1.01 40 33.46 II III I 50 10 24.14 -.90 50 10 23.24 III B I 34 54 59.67 -1.67 34 54 58.00 I A B 29 29 54.41 2.22 29 29 56.63 A III B 48 40 46.62 -.07 48 40 46.55 B I III 66 54 19.17 -.35 66 54 18.82 I II III 62 29.43 -1.26 62 28.17 10 III I II 67 41 10.44 -1.85 67 41 8.59 11 I A II 79 32 5.33 -2.09 79 32 3.24 ===== So hieu chinh va tri binh sai canh ================== I A 5977.742 -.001 5977.741 I II 5285.897 -.010 5285.887 A II 3912.246 -.006 3912.240 I III 5531.109 -.009 5531.100 II III 4591.631 004 4591.635 I B 5198.080 -.013 5198.067 III B 3234.460 011 3234.471 [p1v1v1]= TT DIEM I II III DANH GIA DO CHINH XAC 10.2202 [p2v2v2]= 1.8166 [pvv]= TOA DO BINH SAI CUOI CUNG X(m) Y(m) mx(m) 2102985.269 542685.467 014 2106874.078 539105.276 013 2108468.554 543411.175 012 12.0367; mo= my(m) 012 013 012 1.0015 mp(m) 018 018 017 1.7 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÌNH SAI Phân tích kết bình sai nhằm đánh giá toàn diện chất lượng mạng lưới sau bình sai bao gồm nội dung sau: 69 - Đánh giá độ tin cậy kết bình sai theo số tiêu chuẩn thống kê (Chi-bình phương hay Stiuđơn ) gọi kiểm định thống kê - Xác định quy luật xuất dấu độ lớn số hiệu chỉnh cho trị đo - So sánh với hạn sai quy định cho cấp hạng lưới 1.7.1 Kiếm định thống kê Trước bình sai thường lấy giá trị số C=1 để tính trọng số cho trị đo Sau bình sai tính sai số trung phương đơn vị trọng số theo công thức: V T PV  nt (1.7.1) Thông thường, giá trị sai số trung phương đơn vị trọng số  nhận có giá trị khác với 1, sai khác chấp nhận?, khơng chấp nhận? phải ước lượng lại sai số trị đo trước bình sai Có số phương pháp kiểm định thống kê khác áp dụng, phương pháp Chi bình phương (  ) thường sử dụng để đánh giá cho trường hợp [23] Theo phương pháp kiểm định Chi bình phương, kết chấp nhận nếu:  2n  t ,1 /  V T PV   (n  t )   2n  t , / (1.7.2) Giá trị  2n  t ,1 tra bảng phân phối Chi bình phương theo bậc tự (n-t) độ tin cậy (p=1-),  thường lấy giá trị 0,05 1.7.2 Phân tích số hiệu chỉnh cho trị đo Đối với mạng lưới lớn có hàng trăm hàng ngàn trị đo, sau bình sai nhận hàng trăm hàng ngàn số hiệu chỉnh vi cho trị đo Với dãy số hiệu chỉnh trị đo lớn vậy, cần xác định số giá trị đặc trưng thống kê sau: Tính tổng đại số số hiệu chỉnh [v] Tính số hiệu chỉnh có trị tuyệt đối lớn trị tuyệt đối nhỏ Xác định quy luật phân phối giá trị số hiệu chỉnh khoảng từ giá trị số hiệu chỉnh nhỏ đến số hiệu chỉnh lớn Nếu tổng đại số số hiệu chỉnh [v] xấp xỉ 0, chứng tỏ dấu số hiệu chỉnh xuất giá trị âm giá trị dương tương đương nhau, 70 điều thể rõ tính ngẫu nghiên sai số đo Nếu tổng đại số số hiệu chỉnh nghiêng dấu (+ -), chứng tỏ sai số hệ thống tồn trị đo, đặc biệt ý số hiệu chỉnh chiều dài cạnh đo Trị tuyệt đối lớn số hiệu chỉnh, không vượt lần sai sơ trung phương đo đạc Nếu trị đo có số hiệu chỉnh lớn, cần xem xét lại trị đo Xem xét quy luật phân phối số hiệu chỉnh gần với quy luật phân bố chuẩn hay khơng? 1.7.3 Phân tích sai số yếu tố mạng lưới so sánh với hạn sai Sau bình sai, yếu tố lưới đánh giá nhờ hàm trọng số sai số trung phương đơn vị trọng số mF   PF (1.7.3) Đối với lưới mặt bằng, ngồi đánh giá độ xác tọa độ điểm, thơng thường phải đánh giá độ xác chiều dài phương vị cạnh để xác định cạnh yếu nhất, đánh giá độ xác vị trí tương hỗ cặp điểm, Cần so sánh độ xác cạnh yếu với quy định quy phạm cho cấp lưới tương ứng Đối với lưới độ cao, thông thường cần xác định sai số trung phương độ cao sau bình sai mốc, từ xác định mốc yếu (là mốc có sai số lớn nhất) Trong trường hợp cần thiết đánh giá ảnh hưởng sai số số liệu gốc đến kết bình sai cách so sánh kết bình sai lưới theo hai phương án phương án bình sai với số liệu gốc tối thiểu (hoặc bình sai lưới tự do) với phương án bình sai thừa số liệu gốc (bình sai ràng buộc) 1.8 BÀI TẬP CHƯƠNG Các dạng tập gồm: Tính sai số khép so sánh với sai số khép giới hạn phương trình điều kiện mạng lưới trắc địa: - Lưới độ cao - Lưới tam giác đo góc - Lưới đường chuyền đa giác 71 - Lưới GPS Tính tốn kiểm tra phát sai số thơ lưới độ cao, lưới tam giác, lưới đường chuyền đa giác, Bình sai gián tiếp lưới trắc địa, gồm dạng lưới: - Lưới độ cao - Lưới tam giác đo góc - Lưới đường chuyền đa giác - Lưới GPS Bình sai lưới trắc địa theo phương pháp truy hồi 72 ... ẩn số v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 dH1 +1 -1 dH dH dH dH +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 Shtd Trọng số pi l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 1/ L1 1/ L2 1/ L3 1/ L4 1/ L5 1/ L6 1/ L7 1/ L8 1/ L9 Từ phương trình. .. 2 317 030,647 6 916 67,942 -0,008 -0,045 0,046 GT-05 2 316 810 ,888 69 211 4,645 2 316 811 ,037 69 211 4,759 -0 ,14 9 -0 ,11 4 0 ,18 7 GT-06 2 317 139, 715 6925 51, 113 2 317 140,0 01 6925 51, 124 -0,286 -0, 011 0,286 21 Với giá... hội 1. 1.3 Số liệu gốc ảnh hưởng sai số số liệu gốc Số liệu gốc hay số liệu khởi tính mạng lưới trắc địa số liệu cần để xác định vị trí kích thước hướng mạng lưới (mặt bằng) hệ quy chiếu Số liệu