de thi vao 10 mon toan chuyen nam 2021 2022 truong chuyen le hong phong nam dinh

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn (chun) Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b, c ∈  thỏa mãn a + b + c = Tính giá trị biểu thức a + b + c = 2 2 2 S = a b +b c +c a b) Cho đa thức bậc hai P ( x ) thỏa mãn P (1) = , P ( 3) = , P ( ) = 31 Tính giá trị P (10 ) Câu (2,0 điểm) x2  x  a) Giải phương trình x +  + = ⋅  x +1  x +1  x ( x + 1)= y ( x + y − ) + b) Giải hệ phương trình  4 x + + y + = 11 − x Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Đường phân  cắt đường tròn ( O ) D ( D ≠ A ) Trên cung nhỏ AC đường tròn ( O ) giác BAC lấy điểm G khác C cho AG > GC ; đường trịn có tâm K qua A , G cắt đoạn thẳng AD điểm P nằm bên tam giác ABC Đường thẳng GK cắt đường tròn ( O ) điểm M ( M ≠ G ) a) Chứng minh tam giác KPG , ODG đồng dạng với b) Chứng minh GP, MD hai đường thẳng vng góc c) Gọi F giao điểm hai đường thẳng OD KP , đường thẳng qua A song song với BC cắt đường tròn ( K ) điểm E ( E ≠ A ) Chứng minh tứ giác DGFP tứ giác nội  = 900 tiếp EGF Câu (1,5 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x y ( y − x )= xy − 27 b) Cho p1 , p2 , …, p12 số nguyên tố lớn Chứng minh p12 + p22 +  + p122 chia hết cho 12 Câu (1,5 điểm) a) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a + bc b + ca c + ab + + ≥ b+c c+a a+b b) Xét hai tập hợp A, B khác ∅ thỏa mãn A  B = ∅ A  B = * Biết A có vơ hạn phần tử tổng phần tử thuộc A với phần tử thuộc B phần tử thuộc B Gọi x phần tử bé thuộc B thỏa mãn x ≠ Hãy tìm x - HẾT Họ tên thí sinh:…………………………… Số báo danh:………………………………… Họ tên, chữ ký GT 1:……………………………… Họ tên, chữ ký GT 2:……………………… …… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021– 2022 Mơn thi: TỐN (chun) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b, c ∈  thỏa mãn a + b + c = Tính giá trị biểu thức a + b + c = 2 2 2 S = a b +b c +c a b) Cho đa thức bậc hai P ( x ) thỏa mãn P (1) = , P ( 3) = , P ( ) = 31 Tính giá trị P (10 ) Ý Nội dung Điểm + Ta có =( a + b + c ) =a + b + c + 2(ab + bc + ca ) =1 + ( ab + bc + ca ) 1a 1,0đ suy S = a 2b + b 2c + c a = 1b 1,0đ 0,5 suy ab + bc + ca = − 2 + Từ ( ab + bc + ca )= a 2b + b 2c + c a + 2abc ( a + b + c ) 0,5 c P (= 1) a + b +=  c P ( 3= + Đặt P ( x ) = ax + bx + c có hệ 9a + 3b += )  c P ( 7= ) 31 49a + 7b += + Giải hệ a = , b = −3 , c = + Suy P ( x ) = x − x + nên P (10 )= 102 − 3.10 + 3= 73 0,5 0,25 0,25 Cách khác: + Thấy P ( x ) − x có nghiệm = x 1,= x nên có P ( x ) − x= a ( x − 1)( x − 3) + Từ P ( ) = 31 nên 31 − 7= a ( − 1)( − 3) ⇔ a= + Vậy P ( x ) = ( x − 1)( x − 3) + x ⇒ P (10 ) = Câu (2,0 điểm) 73 x2  x  a) Giải phương trình x +  + =  x +1  x +1  x ( x + 1)= y ( x + y − ) + b) Giải hệ phương trình  4 x + + y + = 11 − x Ý 2a 1,0đ + Điều kiện xác định x ≠ −1 Nội dung Điểm x  x2 2x2  + PT cho tương đương với  x − −  += x +1 x +1 x +1  0,25 Trang 1/5-Đáp án  x2  x2 ⇔ +4=  − x +1  x +1 x2 x2 = (2) (1) ⇔ = x +1 x +1 0,25 1± + Giải (2) x= ± 2 + Giải (1) x = 0,25 1 ±  Tập nghiệm phương trình  ;2 ± 2   Cách khác: Quy đồng, rút gọn x − x − x + x + = 0,25 ⇔ ( x − x − 1)( x − x − ) =  1±  x − x − =0 x = ⇔ ⇔ x x − − =   x= ± 2 (thỏa mãn điều kiện)  x ( x + 1)= y ( x + y − ) + (1) Xét hệ  4 x + + y + = 11 − x (2) + Điều kiện xác định: x ≥ −3 y ≥ −2 0,25 + Ta có (1) ⇔ y + y ( x − ) − x − x + =  y= x + ⇔ ( y − − x )( y − + x ) = ⇔   y = − 2x + Với y= x + , thay vào (2) ta 2b 1,0đ 0,25 11 − x ≥ x + = 11 − x ⇔  ⇔ x = 29 − 23 + = − 36 x 11 x ( ) ( )  0,25 Khi = x 29 − 23 y = x + = 30 − 23 (thỏa mãn điều kiện) + Với y = − x , thay vào (2) ta x + + − x = 11 − x ⇔ ( ) ( x+3−2 + ) − 2x −1 =  x + = ⇔ ⇔x= Khi có y = −1 (thỏa mãn điều kiện) − 2x =  − x = 0,25 Trang 2/5-Đáp án ( ) + Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm ( x; y ) 29 − 23;30 − 23 , (1; −1) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Đường phân giác  cắt đường tròn ( O ) D ( D ≠ A ) Trên cung nhỏ AC đường tròn ( O ) lấy BAC điểm G khác C cho AG > GC ; đường trịn có tâm K qua A , G cắt đoạn thẳng AD điểm P nằm bên tam giác ABC Đường thẳng GK cắt đường tròn ( O ) điểm M ( M ≠ G ) a) Chứng minh tam giác KPG , ODG đồng dạng với b) Chứng minh GP, MD hai đường thẳng vng góc c) Gọi F giao điểm hai đường thẳng OD KP , đường thẳng qua A song song với BC cắt đường tròn ( K ) điểm E ( E ≠ A ) Chứng minh tứ giác DGFP tứ giác nội tiếp  = 900 EGF Ý 3a 1,0đ Nội dung  = DAG  + Xét đường tròn ( O ) có DOG  = PAG  + Xét đường trịn ( K ) có PKG Điểm 0,25 0,25 Trang 3/5-Đáp án  = PKG  (1) Suy DOG + Tam giác PKG cân K tam giác DOG cân O (2) Từ (1) (2) suy hai tam giác đồng dạng với 3b 1,0đ 3c 1,0đ 0,25 0,25  GKP   =KGP = Có MGP = 900 − 900 − DAG 0,5  = DMG  + DMG =  nên MGP 900 , suy GP ⊥ DM Mặt khác DAG 0,5  , suy tứ giác DGFP nội tiếp    = KPG = ODG = FDG Ta có FPG 0,5  = DFG  với H giao điểm OD AE  hay HEG Suy  AEG = DFG Suy tứ giác HEGF nội tiếp 0,25  = DPG  Tứ giác APGE nội tiếp nên DPG = AEG Suy DFG  = 900 , EGF  =1800 − FHE  =900 OD ⊥ BC nên OD ⊥ AE , suy FHE 0,25 Câu (1,5 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x y ( y − x )= xy − 27 b) Cho p1 , p2 ,…, p12 số nguyên tố lớn Chứng minh p12 + p22 +  + p122 chia hết cho 12 Nội dung Ý ( Điểm ) + Giả sử có x, y ∈ * thỏa mãn yêu cầu Ta có y x3 − x y + x = 27 (1) 0,25 Suy 27 chia hết cho y nên y ∈ {1;9} hay y ∈ {1;3} + Xét y = 1, thay vào (1) có x − x + x = 27 ⇔ x ( x − x + ) = 27 4a 27 , suy 0,75đ Điều chứng tỏ x ước nguyên dương 27 có x ≤ 27 ⇔ x ≤ x = x = Thử trực tiếp hai trường hợp thấy không thỏa mãn + Xét y = , thay vào (1) có x3 − 3x + x − = ⇔ ( x − ) ( x − x + 3) = ⇔ x = Vậy ( x; y ) = (1;3) + Với p số nguyên tố lớn nên có dạng p =6k ± 1( k ∈ * ) 0,25 0,25 36k ± 12k chia hết cho 12 4b Suy p −= 0,75đ + Áp dụng có ( p12 − 1) + ( p22 − 1) + + ( p122 − 1) chia hết cho 12 Suy p12 + p22 +  + p122 chia hết cho 12 Cách viết khác: + Từ p =3k ± 1( k ∈ * ) suy p − 1= 9k ± 6k chia hết cho 0,25 0,25 0,25 + Từ p = 4k ± 1( k ∈ * ) , có p −= 16k ± 8k chia hết cho Suy p − chia hết cho 12 + Áp dụng suy p12 + p22 +  + p122 chia hết cho 12 Trang 4/5-Đáp án Câu (1,5 điểm) a) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a + bc b + ca c + ab + + ≥ b+c c+a a+b b) Xét hai tập hợp A, B khác ∅ thỏa mãn A  B = ∅ A  B = * Biết A có vô hạn phần tử tổng phần tử thuộc A với phần tử thuộc B phần tử thuộc B Gọi x phần tử bé thuộc B thỏa mãn x ≠ Hãy tìm x Nội dung Điểm Ý a + bc a ( a + b + c ) + bc ( a + b )( a + c ) = = + Ta có b+c b+c b+c 0,25 Tương tự BĐT cần chứng minh viết lại thành ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b ) ≥ b+c c+a a+b + Theo BĐT Cauchy có 5a 0,75đ ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a ) ≥ ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) = ( a + b ) (1) b+c Tương tự có c+a b+c c+a ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b ) ≥ (b + c ) (2) ( a + b )( a + c ) + ( c + a )( c + b ) ≥ (c + a) (3) c+a b+c a+b a+b 0,25 0,25 Cộng vế BĐT (1), (2), (3) suy ĐPCM + Chứng minh ∈ B : Giả sử ngược lại, ∈ A , với x ∈ B có x + ∈ B Có ∈ A, x + ∈ B suy x + =1 + ( x + 1) thuộc B Cứ có x, x + 1, x + 2, 0,25 nằm B nên suy A tập hữu hạn, mâu thuẫn Vậy có ∈ B + Xét x ≥ : Do < x − < x nên từ tính bé x B suy x − ∈ A , suy x − = ( x − ) + thuộc B, điều lại mâu thuẫn với tính bé x B 5b 0,75đ Vậy phải có x = x = 0,25 + Với x = , cách chọn A tập số nguyên dương chia hết cho B tập hợp số nguyên dương không chia hết cho thỏa mãn yêu cầu Với x = , cách chọn A tập hợp số nguyên dương chẵn B tập hợp số nguyên dương lẻ thỏa mãn yêu cầu 0,25 Tóm lại x = x = Chú ý: - Nếu thí sinh làm mà cách giải khác với đáp án phù hợp kiến thức chương trình THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định Trang 5/5-Đáp án - Tổng điểm tồn khơng làm trịn HẾT Trang 6/5-Đáp án ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021? ?? 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05... c P ( 7= ) 31 49a + 7b += + Giải hệ a = , b = −3 , c = + Suy P ( x ) = x − x + nên P (10 )= 102 − 3 .10 + 3= 73 0,5 0,25 0,25 Cách khác: + Thấy P ( x ) − x có nghiệm = x 1,= x nên có P ( x... +c a b) Cho đa thức bậc hai P ( x ) thỏa mãn P (1) = , P ( 3) = , P ( ) = 31 Tính giá trị P (10 ) Ý Nội dung Điểm + Ta có =( a + b + c ) =a + b + c + 2(ab + bc + ca ) =1 + ( ab + bc + ca )