de thi vao 10 mon toan chung nam 2021 2022 truong chuyen le hong phong nam dinh de 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn (chung) - Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm) x2 + 5x −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y= m x + m − ( m ≠ ) đường thẳng = y x + song song 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức P = 3) Tính diện tích tam giác ABC cạnh cm 4) Tính thể tích hình nón có đường sinh 5cm bán kính đáy 3cm  x2 x +1 x +   x + 25  Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức= với x > 0; x ≠ + − Q   x −   x + x +  x x − x 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ Câu (2,5 điểm) (1) (với m tham số) 1) Cho phương trình x − ( 2m + 1) x + m + = a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 2) Giải phương trình x + + x + − x + x + =0 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB > AC ) nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AP Các đường cao BE CF cắt H 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp AE AC = AF AB 2) Gọi K , I trung điểm EF AH Chứng minh IK song song với AP 3) Gọi M giao điểm IK BC ; N giao điểm MH với cung nhỏ AC đường tròn (O)  = HAN  Chứng minh HMC Câu (1,0 điểm) 8 x y + = y ( x − y + 1)  1) Giải hệ phương trình  13  x2 + y =  1 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn + + ≤ 2021 Chứng minh x y z 1 2021 + + ≤ 2 2 2 x − xy + y y − yz + z z − zx + x HẾT - Họ tên thí sinh: Họ tên, chữ ký GT 1: Số báo danh: .Họ tên, chữ ký GT 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021– 2022 Mơn thi: Tốn (chung) - Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu (2,0 điểm) x2 + 5x −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y= m x + m − ( m ≠ ) đường thẳng = y x + song song 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức P = Câu 3) Tính diện tích tam giác ABC cạnh cm 4) Tính thể tích hình nón có đường sinh 5cm bán kính đáy 3cm Biểu thức xác định 1) 0,25 (vì x + > 0, ∀x ) 0,25 m = Hai đường thẳng song song  m − ≠ 0,25 ⇔ 5x −1 > ⇔ x > 2) x2 + ≥0 5x −1 m = ±3 ⇔ ⇔m= −3 m ≠ Gọi AM đường cao tam giác ABC, tính AM = cm 3) 4) Câu 1) ⇒ S ABC = 1 3.2 = 3 cm AM BC = 2 Hình nón có chiều cao h = 0,25 0,25 0,25 0,25 52 − 32 = cm = π 12π cm3  x2 x +1 x +   x + 25  Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức= Q  + −    x − x x − x    x + x +1  với x > 0; x ≠ 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ Thể tích hình nón= V  x2 x +1  x + 25 Với đk : x > 0; x ≠ , Ta= có Q  + −  x x −1  x + x +1  x x ( x − 1) 0,25 0,25  x x +1  x + 25 =  + −  x x −  x + x +  x −1 0,25  x +  x + 25 = 1 +  x  x + x +1  0,25 = x + 25 x 0,25 Với đk : x > 0; x ≠ , Ta có Q = x + 25 ≥2 x x 25 x 0,25 2) ⇒ Q ≥ 10 Vậy giá trị nhỏ Q 10, xảy 25 ⇔ x= 25 x x= 0,25 Câu (2,5 điểm) (1) (với m tham số) 1) Cho phương trình x − ( 2m + 1) x + m + = Câu a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 2) Giải phương trình x + + x + − x + x + =0 Phương trình (1) có ∆ = 1.a) ( 2m + 1) − ( m + 3= ) 4m − 11 = 4m − 11 ≥ ⇔ m ≥ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ 0,25 11 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ > ⇔ m > 0,25 11 ( *)  x1 + x2 >  x1 + x2 > Ta có < x1 < x2 ⇔  ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > ( x1 − 1)( x2 − 1) > 1.b)  x1 + x2 = 2m + Theo định lý Viét ta có  , thay vào ta có: m2 +  x1.x=  m > ⇔m> ⇔ 2   m − 2m + > (vì m − 2m + = Kết hợp điều kiện (*) ta m > ( m − 1) 2m + >  m + − ( 2m + 1) + > 0,25 0,25 0,25 + > với m ) 0,25 11 2 x + ≥ Với đkiện:   x + 8x + ≥ 0,25 PT x + + x + − x + x + = ⇔ ( x + 1) + x + − ( x + 1) + ( x + 1) = x (a > 0) ; b = x + (b ≥ 0) phương trình trở thành: Đặt a =+ a+b = 2) b = a + 3b ⇔ ( a + b ) = a + 3b ⇔ b ( a − b ) =0 ⇔  a = b ⇒ x =− (thỏa mãn) + Trường hợp 1: b = + Trường hợp 2: Với a = b ⇒ x + 1= 0,25 0,25 x + ⇔ ( x + 1) = x + ⇔ x = (thỏa mãn) − ;x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = Lưu ý: + Học sinh chuyển vế: x + + x += x2 + 8x + 0,25 bình phương hai vế đưa phương trình phương trình tích Câu 1) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB > AC ) nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AP Các đường cao BE CF cắt H 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp AE AC = AF AB 2) Gọi K , I trung điểm EF AH Chứng minh IK song song với AP 3) Gọi M giao điểm IK BC ; N giao điểm MH với cung nhỏ AC  = HAN  đường tròn (O) Chứng minh HMC   = BFC = 900 Vì BE, CF đường cao tam giác ABC nên BEC suy điểm B,C,E,F thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp 0,25 0,25  ) chung AEF =  ABC (cùng bù với góc FEC Xét hai tam giác AEF tam giác ABC có  góc A , suy ∆AEF đồng dạng với ∆ABC (g.g) Suy AE AF = ⇔ AE AC = AF AB AB AC 0,25 Ta có E F nhìn đoạn AH góc 900 nên tứ giác AFHE nội tiếp đường trịn tâm I đường kính AH Lại có K trung điểm dây cung EF suy IK ⊥ EF (1) Kẻ tiếp tuyến At (hình vẽ) đường trịn tâm O ta suy AP ⊥ At Khi 2) 0,25    = = CAt ABC sđ AC 0,25 (2) (3) AEF =  ABC Tứ giác BCEF nội tiếp nên suy  (4)  , suy At EF song song AEF = CAt từ (3) (4) suy  (5) Từ (2) (5) suy AP ⊥ EF , kết hợp với (1) suy IK song song với AP 0,25 0,25 0,25 Gọi D giao điểm AH BC Ta có tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC, IK đường trung trực dây cung EF nên M trung điểm BC 0,25 Có BP // CH vng góc với AB; CP // BH vng góc với AC Suy tứ giác BPCH hình bình hành nên điểm P, M, H thẳng hàng, điểm 3) 0,25 P, M, H, N thẳng hàng ⇒ ANM = 900 mà  ADM = 900 suy tứ giác ANDM nội tiếp 0,25  (góc nội tiếp chắn cung ND  =  ) hay HMC  = HAN ⇒ NMD NAD 0,25 Câu V (1,0 điểm) Câu 8 x y + = y ( x − y + 1) (1)  1) Giải hệ phương trình  13 (2)  x2 + y =  1 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện + + ≤ 2021 Chứng minh rằng: x y z 1 2021 + + ≤ x − xy + y y − yz + z z − zx + x Điều kiện: y ≥ Chia vế phương trình (1) cho x + > ta (1) ⇔ = Đặt t y 3y = 3− x +1 x +1 0,25 y (t ≥ 0) ta có phương trình: 3t + 8t − = , giải PT t = thỏa mãn x +1 1 13 Với t = ⇒ y = x + thay vào (2) ta được: x + ( x + 1) = ⇔ x + 11x − 12 = 9 ( )  x 1= = x y = thỏa mãn ⇔ ⇒ x2 = 1⇔   x = −1  x = −12 0,25 2  2  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)  −1;  ; 1;  9  9  1 1 Với ∀a, b, c > ta có: a + b + c ≥ 3 abc ; + + ≥ 3 a b c abc 11 1 1 1 ⇒ (a + b + c) + +  ≥ ⇒ ≤  + +  a+b+c 9 a b c  a b c Đẳng thức xảy a= b= c Với x; y; z số dương Ta có: x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) ⇒ x − xy + y ≥ x + y ⇒ 2 0,25 1 11 1  ≤ = ≤  + +  2x + y x + x + y  x x y  x − xy + y 2 Dấu xảy x = y Tương tự ta có: 1 1 1 ⇒ ≤  + +  dấu xảy y = z y − yz + z  y y z  11 1 ≤  + +  dấu xảy z = x 9 z z x z − yz + x Cộng BĐT ta 1 1  3  2021 + + ≤  + + ≤ 2 2 2 9 x y z  x − xy + y y − yz + z z − zx + x Dấu xảy x= y= z= 2021 ⇒ 2 0,25 Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống cho điểm thành phần tương ứng HẾT ... trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ 0,25 11 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ > ⇔ m > 0,25 11 ( *)  x1 + x2 >  x1 + x2 > Ta có < x1 < x2 ⇔  ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > ( x1 − 1) ( x2...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI Đ? ?THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 20 21? ?? 2022 Môn thi: Toán (chung) - Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự... Câu V (1, 0 điểm) Câu 8 x y + = y ( x − y + 1) (1)  1) Giải hệ phương trình  13 (2)  x2 + y =  1 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện + + ≤ 20 21 Chứng minh rằng: x y z 1 20 21 + + ≤