ly thuyet va bai tap mon toan 9 hoc ki 1 do van dat

Tìm ĐKXĐ – Tính giá trị biểu thức – So sánh căn bậc 2

1 Căn bậc hai số học

 Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

Ví dụ: Phân biệt giữa căn bậc hai số học với căn bậc hai của một số

- Số 42 được gọi là căn bậc hai số học của 4

- Số  4  2 được gọi là căn bậc hai của 4

 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

2 Tìm điều kiện xác định

 A x   là một đa thức  A x   luôn có nghĩa

3 So sánh các căn bậc hai số học

 Với hai số a và b không âm  a b ,  0  ta có: a b   a  b

Ví dụ: i Ta có 3   32 ii Ta có x y  x y

Bài 1 : Tìm điều kiện xác định : Bài 2 : Tìm điều kiện xác định :

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 2

Bài 3 : Tìm điều kiện xác định :

3 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……… Bài 4 : Tính giá trị biểu thức :

Bài 5 : Về Đích bằng cách tìm điều kiện xác định và rút gọn:

( Chú ý : Các em giải chi tiết vào vở )

Bài 6 : So sánh các căn bậc 2 : a 9 và 5 2 2

Bài 1 : Tìm điều kiện xác định

Bài 2 : So sánh hai căn thức sau :

Nhớ làm bài tập về nhà của thầy đỗ đạt

Rút gọn biểu thức – Giải phương trình

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :

7 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a x 2 x 2 4x4 (x2)

Bài 4 : Giải phương trình : A B A 0 ( hay B 0)

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

Bài 2 : Cho 3 số dương x y z, , thoả điều kiện: xy yz z  x 1 a Tính:

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

Liên hệ phép khai phương – Phép nhân – Phép chia

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B 2 A B Với A.B ≥ 0 và B  0 thì A AB

Bài 1 : Thực hiện phép tính :

Bài 2 : Rút gọn biểu thức :

Bài 3 : Tính giá trị biểu thức:

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức : Với A ≥ 0 và AB 2 thì

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : a 5 2 4 18 2 32   50 b 125 2 20 7 80 3 45   c 2 3 2 2 2 1 8 6

Bài 2 : ( Nâng cao) – Tính giá trị biểu thức :

Giải phương trình

Bài 1 : Giải phương trình sau :

Bước 1 : Tìm điều kiện xác định ( nếu có)

Bước 2 : Rút gọn biểu thức và tìm x

Bước 3 : Đối chiếu điều kiện và kết luận

Bài 2 : Giải phương trình sau :

Bài 3 : Giải phương trình sau a x 2 3x 5 x 2 3x7

……… Đặt ẩn phụ t và điều kiện Đưa phương trình về ẩn t và giải tìm t - x Đối chiếu điều kiện tìm x và kết luận

Vế trái  a và Vế phải  a Dấu “=” xảy ra khi Vế trái = Vế phải = a

Bài 1 : Giải các phương trình sau : a 4 20 1 9 45 5 4 x 3 x  x  b 1 3 4 4 2 25 25 4 0

Nhớ hoàn thành bài tập của thầy đỗ đạt

Rút gọn biểu thức

Cho x  0, y  0 Ta có các công thức biến đổi sau: x( x) 2 ; x x( x) 3

Phân tích mẫu thành nhân tử - Tìm điều kiện xác định

Bài 2 : Rút gọn biểu thức :

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

    Đã bài tập của thầy đỗ đạt chưa ???

Tính giá trị biểu thức khi biết x - Tìm x khi biết P = A

❶ Tính giá trị biểu thức P khi biết giá trị của x ( cho điều kiện xác định trước )

• So sánh với điều kiện xác định

• Thay giá trị x vừa tìm được vào biểu thức

  a Rút gọn A b Tính giá trị của A khi 1 x4 Lời giải :

Tìm x thỏa mãn điều kiện P = a

P = a để tìm x Đối chiếu x với điều kiện

           a Rút gọn C với x0 , x4 b Tính C với x 6 2 5

Q x x x x a Rút gọn Q b Tính giá trị của Q khi 2

23 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a Rút gọn P nếu x0 và x4 b Tìm x để A2

……… a Rút gọn biểu thức B b Tìm x để 1

     với x > 0 a Rút gọn P b Tìm x để P 1 c Tính P tại 8 8

   a Tìm điều kiện xác định b Rút gọn Q c Tính giá trị của Q khi 4 x9 d Tìm x để 1

    a Rút gọn P b Tính giá trị của A khi x4 c Tìm các giá trị của x để 1

Tìm x biết P     , , ,

1 Bất phương trình tích – thương :

Bài 1 : Giải bất phương trình sau : a 1

……… Đưa bất phương trình về dạng P(x) - a >0

Giải bất phương trình bằng cách biện luận ngiệm Bước 2

So sánh với A(x) với a ( hằng số )

Biện luận bất phương trình A(x) – a Bước 2 xem mang dấu “+” hay “-“

Bài 1 : Tìm x thỏa mãn các điều kiện sau :

Những sai lầm học sinh hay mắc phải :

❶ Quy đồng nhân chéo khử mẫu

❷ Quên kết hợp điều kiện xác định

  với x0 và x4 a Tính giá trị biểu thức B khi x9 b Tìm các giá trị thực của x để A 1

Bài 2 : Cho hai biểu thức:

    với x0;x1 a Tính giá trị biểu thức A khi x4 b Tìm x để 1 1

27 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a Tính giá trị biểu thức B với x4 b Tìm các giá trị của x để A 1

Bài 2 : Cho hai biểu thức : A = 2

  (vớix0;x4 ) a Tính giá trị của biểu thức A khi x9 b So sánh AB và 1 với điều kiện AB có nghĩa

   (x0;x1) a Tính giá trị của biểu thức A khi x16 b Chứng minh 1

    a Tìm x để biểu thứcPcó nghĩa Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị của P khi 2

Làm bài tập của thầy đỗ đạt nhanh

So sánh P với P 2 , P với P , P với P

Bài 4 : Cho hai biểu thức 2 ; 1 1 ( 0; 2)

❷ Xét xem hiệu đó “+” hay “-“

❶Tìm điều kiện xác định của P

❸Xét xem hiệu đó “+” hay “-“

29 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội b Tìm x để B = B

Tìm x Z  để P có giá trị nguyên

 nhận giá trị nguyên (ĐKXĐ : x0 )

 nhận giá trị nguyên (ĐKXĐ : x0)

Tìm x để P có giá trị nguyên

Bước 1 : Chia tử cho mẫu số

Bước 2 : Tìm giá trị của x để mẫu là ước của tử

Bước 3 : Kết hợp với ĐKXĐ

❶ Dựa vào điều kiện xác định để biện luận biểu thức bị chặn trên – chặn dưới

❷ Với các giá trị nguyên trong khoảng đó ta tìm được giá trị x

❸ Đối chiều điều kiện và kết luận

❷ Rút x theo P và dựa vào điều kiện x0 để tìm P , suy ra x

❸ Đối chiều điều kiện và kết luận

 nhận giá trị nguyên (ĐKXĐ : x0)

 ĐKXĐ : x0 a Tìm x nguyên để P nguyên b Tìm xđể P nguyên

Lời giải : a Tìm x nguyên để P nguyên

0, 1 x x a Rút gọn biểu thức A b Tìm x để biểu thức 7

A chỉ nhận một giá trị nguyên

        a Rút gọn biểu thức B b Tìm x để P A B nhận giá trị nguyên

   a Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức B b Tìm các giá trị của x để biểu thức P B

   a Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên

    a Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức P b Tìm x để 1

Bài 4 : Cho hai biểu thức: 4 7

35 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a Rút gọn biểu thức P A

 B b Tìm giá trị x để biểu thức P nhận giá trị nguyên dương

Bài 5 : Cho hai biểu thức: 2 1

      Với x0;x1;x9 a Rút gọn biểu thức B b Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu A B có giá trị là số tự nhiên

Bài 6 : Cho các biểu thức 3 6 1 3

 với x0,x4 a Rút gọn biểu thức A b Tìm các số nguyên x để 2

Sắp kiểm tra 1 tiết - làm bài tập củathầy đỗ đạt đi

Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau :“ Dùng điều kiện xác định” a 5

Dùng điều kiện xác định : Dựa vào ĐKXĐ biện luận để ra min – max

Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra

Dùng hằng đẳng thức : Biến đổi biểu thức về hằng đẳng thức số 1 -2

Biện luận tìm min - max Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm

Dựa vào đó biện luận biến đổi để ra min – max Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” khi xảy ra

Dùng miền giá trị Xét biểu thức 1/A

Kết luận – GTLN – GTNN –dấu “=” khi xảy ra

Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng hằng đẳng thức ”

Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau :

“ Áp dụng bất đẳng thức cô si ” Cho 2 số không âm a b, : a b 2 ab  a b

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng miền giá trị ” a 2 5

❶ Nếu bậc của tử bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu sau đó có thể biện luận bằng hằng đẳng thức hoặc áp dụng BĐT Cô si

❷Nếu bậc tử < bậc của mẫu thì ta xét biểu thức hoặc chia cả tử và mẫu cho

Bài 5 :Cho hai biểu thức A x 7 x

   (với x0,x9) a Rút gọn biểu thức B b Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P A 1.

Bài 1 : Cho hai biểu thức 2

 với x0 Cho x Z , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P AB

Bài 2 : Cho hai biểu thức : 9

   với x0,x9 a Rút gọn biểu thức Q b Với x9 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức AP Q

Bài 3 : Cho hai biểu thức: 12

      với x  0 x 1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P A

Bài 3 : Cho các biểu thức 2 2

    với x0;x1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm giá trị lớn nhất của P B

Bài 4 : Cho hai biểu thức: 3 2 2

 vớix0;x4;x9 a Rút gọn biểu thức A b Tìmx để 1 B

M A đạt giá trị lớn nhất

    a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 2 x

Bài 11 : Tìm m để phương trình có nghiệm

 ĐKXĐ : x  0 Tìm m để phương trình A

Tìm giá trị của k sao cho phương trình 1

B  x (Với x0 ) Hãy tìm m để phương trình A B m có nghiệm

Bài 5 :Cho hai biểu thức A = 1

    với x  0; x  1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm giá trị m để A B m  có nghiệm

Bài 1: Cho hai biểu thức: A x 2 x

  với x0;x9 a Rút gọn biểu thức B b Cho biểu thức P A

 B Tìm giá trị m để x thỏa mãn P m

           với x0;x1 a Rút gọn PA B. b Tìm m để có giá trị x thỏa mãn Pm

P x x ĐKXĐ : x0 Tìm các số nguyên x để 1

Bài 1 : Thực hiện phép tính : a 3 729

Bài 3: So sánh các căn bậc ba sau : a A5 3 3 và B 3 45

Bài 1 : Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình ) a 3 x 2 x 1 3 b 3 13 x 3 22 x 5 c 3 x 1 x3 a 3 x 2,5

CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1: Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x, và với mỗi giá trị của x chỉ xác định một giá trị duy nhất của y, thì y được gọi là hàm số của x Trong trường hợp này, x được xem là biến số, và ta có thể biểu diễn mối quan hệ này dưới dạng y = f(x) hoặc y = g(x).

 Giá trị của f x( ) tại x 0 kí hiệu là f x( ) 0

 Tập xác định D của hàm số y f x( ) là tập hợp các giá trị của x sao cho f x( ) có nghĩa

 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng

❷Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y f x( ) là tập hợp tất cả các điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức y f x( )

❸Hàm số đồng biến, nghịch biến

Xét hai giá trị bất kì x x 1 , 2  R:

 x 1 x 2  f x     1  f x 2 : hàm số đồng biến trên R

 x 1 x 2  f x     1  f x 2 : hàm số nghịch biến trên R

Bài 1 : Cho hai hàm số f x( ) 2x 2 và g x( ) 3 x1 a Tính   

Bài 2 : Cho hàm số y  f x     x 3 Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào chỗ chấm :

2 x x y f x x a Tìm ĐKXĐ của hàm số b Tìm giá trị x để f x    0 c Tìm giá trị xđể f x( ) x 1

Bài 4 : Hãy biểu diễn các điểm sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ : f( 1)

Nhận xét : Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

Bài 1.1 : Hàm số bậc nhất

❶ Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức yaxb với a0

Hàm số bậc nhất yaxb xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau: a Hàm số đồng biến trên R nếu a0 b Hàm số nghịch biến trên R nếu a0

Bài 5 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? ( Tích dấu “X” vào ô đúng ) y 2x1 y 5 3x y 3 x 2 yx 2 4  1 y x x

Bài 6 : Hàm số nào đồng biến , nghịch biến :

Bài 7 : Lấy 6 ví dụ hàm số bậc nhất đồng biến – 6 ví dụ hàm số nghịch biến :

Trong các điểm A  4 ; -2 ,   B  2 ;1 ,    C 4; 0 , ( 2D ; 3 2) điểm nào thuộc và điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số trên ?

Trong bài 2, chúng ta cần xác định hàm số bậc nhất trong các hàm số đã cho Đối với các hàm số bậc nhất, hãy chỉ ra xem chúng có đồng biến hay nghịch biến.

Cần xác định rõ dạng của hàm số bậc nhất : yax b(a0) và a?;b?

53 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a y 5 3x b yx 5 4 c y  3( x   1) 3 x d  1 

Bài 3: Xét hàm số y = -4x + 2 a Hàm số này là nghịch biến trên R b Tính giá trị của y khi x lần lượt nhận các giá trị 0, 2, -3/2, và 4/3 c Tính giá trị của x khi y nhận các giá trị -2, 4, -6, và 6.

Bài 2 : Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng

❶ Cách vẽ đồ thị hàm số yax b (a0):

 Khi b0 thì y ax Đồ thị của hàm số yax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O   0; 0 và điểm A(1; )a

 Nếu b0 thì đồ thị yaxb là đường thẳng đi qua các điểm A(0; )b , b; 0

❷ Cho 2 đường thẳng: (d) : yax b và (d) : ya x b'  '(vớia a, ' 0 ):

 (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung  aa b b';  '

Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số y2x1 và y  3x 2 trên cùng hệ trục tọa độ y2x1 Lấy điểm : x y y  3x 8 Lấy điểm : x y

Bài 2 : Tìm các đường thẳng song song , vuông góc và cắt nhau

55 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a y2x1 b y   3x 2 2 c y2x 2 7 d y 3 2 2 x e  1 

Bài 2.1 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = ax + b cắt , vuông góc , song song , trùng với đường thẳng đã biết

Bài 3 :Cho hàm số : y(m2)x2 ( )d a Tìm m để ( )d là hàm số bậc nhất b Tìm m để ( )d là hàm số đồng biến c Tìm m để( )d song song với đường thẳng

( )d 1 : y2x3 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng

( )d 1 : y  3x 2 e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( )d 1 :

Bài 4 : Cho hàm số : y(2m1)x m 2 ( )d a Tìm m để ( )d là hàm số bậc nhất b Tìm m để ( )d là hàm số nghịch biến c Tìm m để ( )d song song với đường thẳng

( d 2 ) : y3x3 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng ( d 2 ) : y 2 3x e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( d 2 ) : y  5x 3 f Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

Bài 2.2 : Tìm m khi biết đường thẳng (d) đi qua một điểm

Bài 5 :Cho hàm số : y(2m1)x 4 3 ( )m d a Tìm m để   d đi qua A  1; 5   b Tìm m để   d đi qua B   3;1 c Tìm m để   d đi qua C    3; 1 

……… Bài 6 : Cho hàm số y(2m5)x m - a Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Tinh hoa của toán học nằm ở sự tự do của nó, như Georg Cantor đã từng nói Để xác định giá trị m sao cho đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, bạn cần tìm hiểu các yếu tố ảnh hưởng đến phương trình của đồ thị đó.

Bài 7 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y  2x6

Xác định tọa độ các giao điểm A và B của   d với hai trục Ox Oy, Vẽ   d trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài 1: Xét hàm số y = (3x^3) - mx + 5m - 2 a Tìm giá trị m để (d) trở thành hàm số bậc nhất b Xác định m để (d) là hàm số nghịch biến c Tìm m để (d) song song với đường thẳng d1: y = -2x - 4 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng d1: y = -1.

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58 e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( )d 1 :  2 

Bài 2 : Cho hàm số : ymx1 Tìm giá trị của m dể đường thẳng (d) đi qua A  1; 2  Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm đc

Bài 3 : Cho hàm số y   m  1  x  2 với m  1 có đồ thị là đường thẳng   d a Vẽ đồ thị hàm số khi m3 b Tìm m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y 3x1

Bài 4 yêu cầu khảo sát hàm số y = (m + 1)x^m - 3 Đầu tiên, vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 Tiếp theo, xác định giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y = -2x - 1 Sau đó, tìm giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đi qua điểm (-2; 4) Cuối cùng, xác định giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.

Bài 3 : Xác định phương trình đường thẳng : y = ax + b

Hệ số góc của đường thẳng : yaxb a( 0)

 Đường thẳng yaxb có hệ số góc là a

 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng yaxb a( 0) với tia Ox :

 Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau

Bước 1 : Gọi phương trình đường thẳng là : yax b (a0)

Bước 2 : Dựa vào dữ kiện đề bài cho lập phương trình sau đó giải để tìm

Bước 3 : Kết luận phương trình

Dạng 1: Biết hệ số góc và điểm đi qua

Để xác định hàm số dạng y = ax + b, ta xem xét các trường hợp sau: a Hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm A(-1; 3) b Hàm số có hệ số góc bằng -3 và đi qua gốc tọa độ c Hàm số có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(-1; 2) d Hàm số có hệ số góc bằng 1 và đi qua điểm A(-3; 4).

Lời giải : a Đi qua gốc tọa độ và A  1; 3 

 ……… b Có hệ số góc bằng 3 và đi qua gốc tọa độ

……… c Có hệ số góc bằng 2và đi qua A  1; 2 

……… d Có hệ số góc bằng 1 và đi qua A  3; 4 

Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B

Bài 2: Xác định hàm số : yax b (1) a Đi qua A  1; 2  và B (3; 2)  b Đi qua A(3; 2) và B(0; 2) c Đi qua A(1; 2) và B(2; 5) d Đi qua A( 3; 1)  và B( 6; 2)  e Đi qua gốc tọa độ và (1; 3)A

Lời giải : a Đi qua A  1; 2  và B (3; 2) 

……… e Đi qua gốc tọa độ và A(1; 3)

Bài 3 : Viết phương trình đường thẳng yax b thỏa mãn các điều kiện sau: a Đi qua điểm    

Đường thẳng y = 2x - 3 cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B(2; 1) Đồng thời, đường thẳng này cũng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm C(1; 2) Ngoài ra, đường thẳng còn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

3. e Đi qua 2 điểm M   1; 2 và N   3; 6 f Có hệ số góc bằng 3 và cắt đường thẳng y x 2 tại điểm có hoành độ là 1

Bài 4 yêu cầu giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng Đầu tiên, với đường thẳng d1: y = 7 - x và d2: y = 2x + 1, ta cần viết phương trình cho đường thẳng d3 đi qua điểm M(4; 5) và song song với d1 Tiếp theo, cần tìm phương trình cho đường thẳng d4 đi qua điểm N(3; -2) và vuông góc với d2 Cuối cùng, yêu cầu viết phương trình cho đường thẳng d5 đi qua hai điểm M và N.

Để xác định hàm số y = ax + b, ta cần xem xét các điều kiện sau: a Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ (0,0) và điểm A (1,2), từ đó có thể xác định hệ số a và b b Đồ thị hàm số đi qua điểm B (3,2) và song song với đường thẳng y = -2x + 7, cho thấy hệ số a = -2 c Đồ thị hàm số cắt trục tung tại y = -3 và cắt trục hoành tại x = 2, giúp tìm ra các hệ số trong phương trình d Đồ thị hàm số đi qua điểm C (-3,1) và vuông góc với đường thẳng 2y - 4x = 1, từ đó xác định mối quan hệ giữa các hệ số a và b.

Để xác định giá trị của m trong phương trình đường thẳng d: y = (3 + 1m)x - 2m + 1, chúng ta cần xem xét các điều kiện sau: a Đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi y = 0, b Đường thẳng đi qua điểm A(2; 3) khi thay x = 2, y = 3 vào phương trình, c Đường thẳng cắt đường y = 3 - 7x tại một điểm trên trục tung khi x = 0, d Đường thẳng song song với y = -5x + 2 có hệ số góc bằng -5, e Đường thẳng vuông góc với y = -2 + 1x có hệ số góc là 1.

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy

Dạng 1 : Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng :

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng

Kết luận tọa độ giao điểm

Bài 1 : Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau : a ( )d 1 y2x1 và (d 2 ) y  3x 2

Bài 2 : Tìm m để giao điểm của ( )d 1 ymx2 và (d 2 ) y3x m 2 tại điểm A(1; 2)

Dạng 2 : Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy :

“dễ”rồi tìm tọa độ giao điểm giữa chúng

Thay tọa độ giao điểm đó vào đường thứ 3

Bài 3 : Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy : a y2x1 ( )d 1 và y  3x 2(d 2 ) ; y4x m 2 (d 3 )

Dạng 3 : Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số :

Bước 2 : Cho các giá trị bằng

Bài 4 : Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( )d đi qua a y(m2)x m 3 ĐK m2

Dạng 4 : Tìm m để 3 điểm thẳng hàng :

Bài 5 : Tìm m để 3 điểm A B C, , thẳng hàng :

Viết phương trình đường thẳng AB

Thay tọa độ C vào đường thẳng

Bài 6 yêu cầu phân tích hàm số y = (m²x - m³) + d Đầu tiên, vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 Tiếp theo, xác định giá trị của m để đồ thị hàm số song song với y = -2x + 1 Sau đó, tìm giá trị của m để hàm số đi qua điểm A(1; -4) Cũng cần xác định điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m Cuối cùng, tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số, và C(1; 2 - m - 1) thẳng hàng.

Bài 1: Cho hàm số y = (2m - 1)x + 5m - 4 a Vẽ đồ thị hàm số khi m = 4 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y = -x + 3 c Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 3) d Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m e Tìm m để các đường thẳng d1, d2 và d3 đồng quy, với d1: y = -5x - 2, d2: y = -x + 1, d3: y = 2 f Tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số và C(4 + 2m; 2) thẳng hàng.

69 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội x y

Bài 5 : Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất

Để tìm giá trị của tham số k trong phương trình đường thẳng (d) có dạng 2kx - (k - 1)y = 2, nhằm tối đa hóa khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng này, ta cần áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Việc xác định k sao cho khoảng cách này đạt giá trị lớn nhất sẽ giúp tối ưu hóa vị trí của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

❶ Đưa về tam giác vuông để áp dụng hệ thức lượng :

❷ Biện luận để tìm giá trị lớn nhất

❶ Tìm điểm cố định mà (d) đi qua A

❷ Phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A (1; 2);O(0;0) 

❸ Do (d) vuông góc với  nên tìm được m

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 70 x y

……… Bài 2 :Cho đường thẳng : y  (2 m  3) x  2 (d) a Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng 2 b Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) có giá trị lớn nhất

Bài 5.1 : Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 2, với đồ thị là đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A và trục Oy tại điểm B a Tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB bằng 3 b Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc bằng 45 độ.

Vẽ các đường thẳng lên trục tọa độ

Dựa vào hình vẽ tính diện tích cần tìm

……… Bài 2 : Cho đường thẳng (d) có phương trình y   3 m  2  x   m 2 Đường thẳng (d) cắtOxtại B,

Oy tại A Tìm m để diện tích OAB bằng 1

Tìm m để phương trình có nghiệm

 ĐKXĐ : x  0 Tìm m để phương trình A

Tìm giá trị của k sao cho phương trình 1

B  x (Với x0 ) Hãy tìm m để phương trình A B m có nghiệm

Bài 5 :Cho hai biểu thức A = 1

    với x  0; x  1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm giá trị m để A B m  có nghiệm

Bài 1: Cho hai biểu thức: A x 2 x

  với x0;x9 a Rút gọn biểu thức B b Cho biểu thức P A

 B Tìm giá trị m để x thỏa mãn P m

           với x0;x1 a Rút gọn PA B. b Tìm m để có giá trị x thỏa mãn Pm

Dạng toán “ mẹo “

P x x ĐKXĐ : x0 Tìm các số nguyên x để 1

Căn Bậc Ba

Bài 1 : Thực hiện phép tính : a 3 729

Bài 3: So sánh các căn bậc ba sau : a A5 3 3 và B 3 45

Bài 1 : Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình ) a 3 x 2 x 1 3 b 3 13 x 3 22 x 5 c 3 x 1 x3 a 3 x 2,5

Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x, và với mỗi giá trị của x luôn xác định một giá trị duy nhất của y, thì y được gọi là hàm số của x Trong trường hợp này, x được xem là biến số, và ta có thể biểu diễn mối quan hệ này dưới dạng y = f(x) hoặc y = g(x).

 Giá trị của f x( ) tại x 0 kí hiệu là f x( ) 0

 Tập xác định D của hàm số y f x( ) là tập hợp các giá trị của x sao cho f x( ) có nghĩa

 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng

❷Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y f x( ) là tập hợp tất cả các điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức y f x( )

❸Hàm số đồng biến, nghịch biến

Xét hai giá trị bất kì x x 1 , 2  R:

 x 1 x 2  f x     1  f x 2 : hàm số đồng biến trên R

 x 1 x 2  f x     1  f x 2 : hàm số nghịch biến trên R

Bài 1 : Cho hai hàm số f x( ) 2x 2 và g x( ) 3 x1 a Tính   

Bài 2 : Cho hàm số y  f x     x 3 Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào chỗ chấm :

2 x x y f x x a Tìm ĐKXĐ của hàm số b Tìm giá trị x để f x    0 c Tìm giá trị xđể f x( ) x 1

Bài 4 : Hãy biểu diễn các điểm sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ : f( 1)

Nhận xét : Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

Hàm số bậc nhất

❶ Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức yaxb với a0

Hàm số bậc nhất yaxb xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau: a Hàm số đồng biến trên R nếu a0 b Hàm số nghịch biến trên R nếu a0

Bài 5 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? ( Tích dấu “X” vào ô đúng ) y 2x1 y 5 3x y 3 x 2 yx 2 4  1 y x x

Bài 6 : Hàm số nào đồng biến , nghịch biến :

Bài 7 : Lấy 6 ví dụ hàm số bậc nhất đồng biến – 6 ví dụ hàm số nghịch biến :

Trong các điểm A  4 ; -2 ,   B  2 ;1 ,    C 4; 0 , ( 2D ; 3 2) điểm nào thuộc và điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số trên ?

Trong bài 2, chúng ta cần xác định hàm số bậc nhất trong các hàm số đã cho Đồng thời, đối với các hàm số bậc nhất, hãy chỉ ra tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của chúng.

Cần xác định rõ dạng của hàm số bậc nhất : yax b(a0) và a?;b?

53 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a y 5 3x b yx 5 4 c y  3( x   1) 3 x d  1 

Bài 3: Xem xét hàm số y = -4x + 2 a Xác định tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên R b Tính giá trị của y tương ứng với các giá trị x: 0, 2, -2/3, 4/3, 2 c Tính giá trị của x khi y nhận các giá trị: -2, 4, -6, 6.

Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng

❶ Cách vẽ đồ thị hàm số yax b (a0):

 Khi b0 thì y ax Đồ thị của hàm số yax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O   0; 0 và điểm A(1; )a

 Nếu b0 thì đồ thị yaxb là đường thẳng đi qua các điểm A(0; )b , b; 0

❷ Cho 2 đường thẳng: (d) : yax b và (d) : ya x b'  '(vớia a, ' 0 ):

 (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung  aa b b';  '

Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số y2x1 và y  3x 2 trên cùng hệ trục tọa độ y2x1 Lấy điểm : x y y  3x 8 Lấy điểm : x y

Bài 2 : Tìm các đường thẳng song song , vuông góc và cắt nhau

55 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a y2x1 b y   3x 2 2 c y2x 2 7 d y 3 2 2 x e  1 

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  ax b  cắt , vuông góc , song song , trùng với đường thẳng đã biết

song , trùng với đường thẳng đã biết

Bài 3 :Cho hàm số : y(m2)x2 ( )d a Tìm m để ( )d là hàm số bậc nhất b Tìm m để ( )d là hàm số đồng biến c Tìm m để( )d song song với đường thẳng

( )d 1 : y2x3 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng

( )d 1 : y  3x 2 e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( )d 1 :

Bài 4 : Cho hàm số : y(2m1)x m 2 ( )d a Tìm m để ( )d là hàm số bậc nhất b Tìm m để ( )d là hàm số nghịch biến c Tìm m để ( )d song song với đường thẳng

( d 2 ) : y3x3 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng ( d 2 ) : y 2 3x e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( d 2 ) : y  5x 3 f Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

Tìm m khi biết đường thẳng   d đi qua một điểm

Bài 5 :Cho hàm số : y(2m1)x 4 3 ( )m d a Tìm m để   d đi qua A  1; 5   b Tìm m để   d đi qua B   3;1 c Tìm m để   d đi qua C    3; 1 

……… Bài 6 : Cho hàm số y(2m5)x m - a Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Tinh hoa của toán học nằm ở sự tự do của nó, như Georg Cantor đã nói Để xác định giá trị m sao cho đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, chúng ta cần thực hiện các bước tính toán cụ thể.

Bài 7 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y  2x6

Xác định tọa độ các giao điểm A và B của   d với hai trục Ox Oy, Vẽ   d trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài 1: Xét hàm số y = (3 - 3)m x + 5m - 2 a Tìm giá trị m để (d) trở thành hàm số bậc nhất b Xác định m để (d) là hàm số nghịch biến c Tìm m để (d) song song với đường thẳng d1: y = -2x - 4 d Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng d1: y = -1.

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58 e Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( )d 1 :  2 

Bài 2 : Cho hàm số : ymx1 Tìm giá trị của m dể đường thẳng (d) đi qua A  1; 2  Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm đc

Bài 3 : Cho hàm số y   m  1  x  2 với m  1 có đồ thị là đường thẳng   d a Vẽ đồ thị hàm số khi m3 b Tìm m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y 3x1

Bài 4: Xét hàm số y = (m + 1)x^m - 3 a Vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với y = -2x - 1 c Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (-2; 4) d Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

Xác định phương trình đường thẳng : y  ax b

Hệ số góc của đường thẳng : yaxb a( 0)

 Đường thẳng yaxb có hệ số góc là a

 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng yaxb a( 0) với tia Ox :

 Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau

Bước 1 : Gọi phương trình đường thẳng là : yax b (a0)

Bước 2 : Dựa vào dữ kiện đề bài cho lập phương trình sau đó giải để tìm

Bước 3 : Kết luận phương trình

Dạng 1: Biết hệ số góc và điểm đi qua

Để xác định hàm số y = ax + b, ta có các trường hợp cụ thể như sau: a Hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm A (-1; 3) b Hàm số có hệ số góc bằng -3 và đi qua gốc tọa độ c Hàm số có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A (-1; 2) d Hàm số có hệ số góc bằng 1 và đi qua điểm A (-3; 4).

Lời giải : a Đi qua gốc tọa độ và A  1; 3 

 ……… b Có hệ số góc bằng 3 và đi qua gốc tọa độ

……… c Có hệ số góc bằng 2và đi qua A  1; 2 

……… d Có hệ số góc bằng 1 và đi qua A  3; 4 

Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B

Bài 2: Xác định hàm số : yax b (1) a Đi qua A  1; 2  và B (3; 2)  b Đi qua A(3; 2) và B(0; 2) c Đi qua A(1; 2) và B(2; 5) d Đi qua A( 3; 1)  và B( 6; 2)  e Đi qua gốc tọa độ và (1; 3)A

Lời giải : a Đi qua A  1; 2  và B (3; 2) 

……… e Đi qua gốc tọa độ và A(1; 3)

Bài 3 : Viết phương trình đường thẳng yax b thỏa mãn các điều kiện sau: a Đi qua điểm    

Đường thẳng y = 2x - 3 cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B (2; 1) Ngoài ra, đường thẳng này cũng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm C (1; 2) Tổng quát, đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2.

3. e Đi qua 2 điểm M   1; 2 và N   3; 6 f Có hệ số góc bằng 3 và cắt đường thẳng y x 2 tại điểm có hoành độ là 1

Bài 4 yêu cầu cho các đường thẳng d1: y = 7 - x và d2: y = 2x + 1 Câu a yêu cầu viết phương trình đường thẳng d3 đi qua điểm M(4; 5) và song song với d1 Câu b yêu cầu viết phương trình đường thẳng d4 đi qua điểm N(3; -2) và vuông góc với d2 Cuối cùng, câu c yêu cầu viết phương trình đường thẳng d5 đi qua hai điểm M và N.

Để xác định hàm số y = ax + b, ta có thể dựa vào các điều kiện sau: a Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm A (1; 2) b Đồ thị hàm số đi qua B (3; 2) và song song với đường thẳng y = -2x + 7 c Đồ thị hàm số cắt trục tung tại y = -3 và cắt trục hoành tại x = 2 d Đồ thị hàm số đi qua điểm C (-3; 1) và vuông góc với đường thẳng 2y - 4x = 1.

Để xác định giá trị của m trong phương trình đường thẳng d: y = (3 + 1m)x - 2m + 1, ta cần xem xét các điều kiện sau: a Đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi y = 0 và x = 0 b Đường thẳng đi qua điểm A(2; 3) khi thay x = 2 vào phương trình và kiểm tra giá trị y c Đường thẳng cắt y = 3 - 7x tại một điểm trên trục tung khi y = 0 d Để đường thẳng song song với y = -5x + 2, hệ số góc của d phải bằng -5 e Đường thẳng vuông góc với y = -2 + x khi tích của hai hệ số góc bằng -1.

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy

Bài 6 yêu cầu giải quyết một hàm số y = (m²x - m³) d a Vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với y = -2x + 1 c Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 4) d Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m e Tìm m để các đồ thị y = 3x - 2, y = d1, và y = d2 đồng quy f Tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số và C(1; 2 - m - 1) thẳng hàng.

Bài 1 yêu cầu phân tích hàm số y = (2m - 1)x + 5m - 4 Đầu tiên, vẽ đồ thị hàm số khi m = 4 Tiếp theo, tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với y = -x + 3 Sau đó, xác định giá trị của m để đồ thị đi qua điểm A(-1, 3) Cũng cần tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua với mọi giá trị của m Bên cạnh đó, xác định m để các đường thẳng y = -5x - 2, y = -1, và y = d2 đồng quy Cuối cùng, tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số, và C(4 + 2m, -2) thẳng hàng.

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d) có phương trình 2kx - (k - 1)y = 2, trong đó k là tham số Để tìm giá trị k sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, cần phân tích và tính toán khoảng cách này theo các quy tắc hình học.

Bài 1: Xét hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 2, với đồ thị là đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A và cắt trục Oy tại điểm B a Tìm giá trị của m sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 b Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc 45 độ.

Hàm số y = (m + 1)x + 3 với m ≠ 1 có đồ thị là đường thẳng d Để vẽ đồ thị hàm số khi m = 2, ta có y = 3x + 3 Để tìm giá trị m sao cho đường thẳng d song song với đường thẳng y = -2x + 1, ta cần m + 1 = -2, tức là m = -3 Cuối cùng, để tìm m sao cho đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9, ta giải phương trình liên quan đến diện tích tam giác, dẫn đến m = 3 hoặc m = -5.

Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )d :y2x4

Để giải bài toán này, trước tiên, chúng ta cần xác định tọa độ các giao điểm A và B của đường cong ( )d với hai trục Ox và Oy Sau đó, hãy vẽ đường cong ( )d trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tiếp theo, tính chu vi và diện tích của tam giác ∆OAB Cuối cùng, tìm giá trị m để đường thẳng d1: y = (m² - 2) + 2m - 2m² song song với đường cong ( )d.

CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài

1 Các công thức hệ thức lượng :

Pi-ta-go: AB 2 AH 2 BH 2

Pi-ta-go: AC 2 AH 2 CH 2

Muốn làm tốt phần này cần :

 Vẽ hình to – rõ ràng – kí hiệu các góc vuông

 Thuộc công thức và xác định rõ các đại lượng cần tính

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5 cm, BC = 13 cm AH là đường cao Tính : a BH b CH c AC d AH a ………

Bài 4 : Cho ∆ABC biết BC = 12,5cm, AC 6,5cm, AB = 10,7cm a ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao của

∆ABC b Tính độ dài các cạnh BH, HC a .……….

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AB = 4cm, AC = 8,5cm Tính : a BH b CH c AH a ………

……… Bài 5 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AB = 8 cm, BH = 6 cm Tính : a AH b AC c CH a .……… ……….

Bài 6 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao

AH Tính diện tích ∆ABC biết AH = 15 cm, BH

Bài 7 : Tính chiều cao cây :

Bài 8 : Tính độ dài quãng đường từ bờ sông đến khóm hoa :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, AB = 12 cm AH là đường cao Tính : a BC b BH c CH d AH

Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AB = 8,2cm, BH = 5,3cm Tính : a AH b AC c CH d

Bài 3 :Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết BH = 13 cm, CH = 52 cm Tính : a BC b AH c AB d AC

Bài 2 : Tính độ dài cạnh dựa vào tỉ lệ - phân giác - chu vi – diện tích

Chu vi AB AC BC 

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có

BC = 17cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết 1

Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A biết dường cao AH = 16cm và 4

1 Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

AM 2BC( AM là đườngtrung tuyến )

2 Tính chất đường phân giác của tam giác:

MB AB ( AM là đường phân giác )

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 5 cm,

AC = 12 cm, phân giác AD, đường cao

AH Tính HB, HC,HD

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau Chứng minh:

……… Bài 4 : Cho ∆ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 16 cm, 2

……… Bài 6 : Cho tam giác ABC có diện tích S

……… chứng minh ta luôn có diện tích tam giác luôn nhỏ hơn nửa tích hai cạnh

Bài 1 : Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là 5

12, cạnh huyền là 26 Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài 2 : Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm

Bài 3 : Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính đường cao của hình thang

Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C Đường thẳng AM cắt đường thẳng DB, DC lần lượt tại I và N Chứng minh: 1 2 1 2 1 2

Bài 3: Tỉ số lượng giác của góc nhọn : Sinx - cosx - tanx - cotx

4 Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong vuông: Thần chú : Sin Đi Học

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi: a BC = 5 cm, AB = 4 cm

Bài 2 : Cho ABC vuông tại A có đường cao AH Tìm số đo của các góc B và C, biết: a AB = 5 cm và AC = 7cm

……… b HB = 8 cm và HC = 32cm

Tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương :

83 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội b BC = 13 cm, AC = 5 cm

Bài 4 :Cho ABC vuông tại A, biết AB = 12cm và BC = 20cm a Tính góc B và C b Tìm độ dài đường cao AH và phân giác

……… c AB = 6 cm và BC = 10cm

Bài 3 : Cho  ABC có AB = 9 cm, AC = 12cm và

BC = 15 cm a Chứng minh ABC vuông tại A b Tìm số đo các góc B và C c Tìm độ dài của đường cao AH

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 84 a ………

Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh: 1

Chú ý : hệ thức lượng chỉ áp dụng cho tam giác vuông

Bài 6 : Cho tam giác ABC ta có : AB 2 AC 2 BC 2 2AC BC .cosC

Tương tự có biểu thức :   

BC AB AC AB AC cosA

AC AB BC AB BC cosB

Bài 7: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 70 độ, và bóng của tháp trên mặt đất dài 118 m Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Bài 8 : Tính chiều cao bóng đèn so với mặt đất (xe cần cẩu)

Trong bài toán này, chúng ta sẽ tính các tỉ số lượng giác của góc C trong tam giác vuông ABC tại điểm A Đầu tiên, với AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm, ta có thể áp dụng định lý Pythagore để tìm độ dài của cạnh BC và sau đó tính các tỉ số sin, cos, và tan của góc C Tiếp theo, với chiều cao AH, AC = 13 cm và CH = 5 cm, ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến chiều cao trong tam giác vuông để xác định các tỉ số lượng giác Cuối cùng, với AH = 6 cm và BH = 4,5 cm, chúng ta sẽ tiếp tục tính toán các tỉ số lượng giác của góc C dựa trên các thông số đã cho.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 9 cm và AC = 14 cm Cần tính góc B, xác định phân giác trong góc B cắt AC tại I và tính độ dài AI Cuối cùng, vẽ đường thẳng AH vuông góc với BI tại H và tính độ dài AH.

Để cứu một con mèo đang ở trên cành cây cao 6,5m, cần phải sử dụng một chiếc thang dài 6,7m Đặt thang sao cho đầu cầu thang đạt độ cao 6,5m, ta sẽ tính được góc giữa thang và mặt đất.

Bài 4 : Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác

I Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác :

Bài 1 : Dựng góc  biết cos 3

5 Tính độ lớn của góc 

Bài 2 : Dựng góc  biết tan 5

Dựng góc vuông xOy và chọn 1 đoạn thẳng làm đơn vị.

Dựa vào góc cần dựng là Sinx , Cosx , tanx , cotx để chọn điểm trên trục tọa độ cho phù hợp

Dựng các cung tròn cho hợp lí ta sẽ được góc OAB cần dựng

II So sánh các giá trị lượng giác và tính các giá trị lượng giác khi biết một đại lượng

Các công thức lượng giác Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

  cos tan  sin sin cosx y

  sin cot  cos cosxsiny tan.cot1 tanxcoty

Bài 1 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không sử dụng máy tính) : Đề bài Biển đổi

500 cot Điền đáp án vào đoàn tàu nhé !!!

Bài 2 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần (không sử dụng máy tính) : Đề bài Biến đổi

300 sin ……… … cos 200 ……… ……… sin 460 ……… ……….… cos 670 ……… ……….… cos 450 ……… ………

Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau: Đổi các giá trị lượng giác về cùng

Số nào lớn hơn thì giá trị lượng giác đó lớn hơn

Sắp xếp và viết lại giá trị lượng giác ban đầu theo thứ tự

89 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội a sin15 0 sin75 0 cos15 0 cos75 0 sin 45 0

………… ………. c cos 13 2 0 cos 25 2 0 cos 34 2 0 cos 45 2 0 cos 56 2 0 cos 65 2 0 cos 77 2 0

……… d sin 10 2 0 sin 20 2 0 sin 30 2 0 sin 40 2 0 sin 50 2 0 sin 70 2 0 sin 80 2 0

Bài 4 : Biết   3 sin 2 và  là góc nhọn Tính

Bài 6 :So sánh quãng đường mà 2 người phải đi tới đảo hoang bên kia

Bài 5 : Chotan2và  là góc nhọn Tính sin;cos;cot

Bài 1 :Dựng góc  biết  2 cos 7 Bài 2 : Tính giá trị biểu thức sau : a sin 20 0 tan 25 0 cot 65 0 cos70 0 sin 30 0 b cos 20 2 0 cos 40 2 0 cos 50 2 0 cos 70 2 0 tan 45 2 0

Bài 3 : a Cho   7 tan 12 và  là góc nhọn Tính cot ; sin; cos b Cho  9 sin 11và  là góc nhọn Tính cot ; tan; cos

Nhớ học thuộc công thức lượng giác đi nhé !!!

Bài 5 : Chứng minh biểu thức lượng giác

Bài 1 : Chứng minh rằng với góc nhọn  tùy ý, mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào  : a A = (sincos ) 2 (sincos ) 2 4

……… Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau:

……… Bài 3 : Chotancot 4 Tính giá trị của biểu thức A4sin cos 

Bài 4 : Biết  1 cos 3, tính A = 3sin 2 2 cos 2 

Bài 5 : Cho tancot2 Chứng minh rằng :

Bài 1 : Cho góc nhọn x Chứng minh : a   

1 2sin2 cos sin cos sin x x x x x b    

(sin cos ) (sin cos ) sin cos 4

Nhớ làm bài tập về nhà cẩn thận !!!

Bài 6 : Giải tam giác vuông

Bài 1 : Giải tam giác ABC vuông tại A , biết : a AC = 80 cm và góc B30 0

d AB = 60 cm và AC = 80 cm

Vẽ hình và xác định rõ các đại lượng cần tìm

Bước 2 : Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm cạnh và góc

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 30 0 , AB = 8cm a Giải tam giác vuông ABC b Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của ABC Tính diện tích AHM a ………

Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy

Bài 6: Xét hàm số y = (m²x - m³) + d a Vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với y = -2x + 1 c Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 4) d Xác định điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m e Tìm m để các đồ thị y = 3x - 2, (d), và (d2) đồng quy f Tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số, và C(1; 2 - m - 1) thẳng hàng.

Bài 1: Cho hàm số y = (2m - 1)x + 5m - 4 a Vẽ đồ thị hàm số khi m = 4 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y = -x + 3 c Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm A(-1; 3) d Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi m e Tìm m để (d); (d1); (d2) y = -5x - 2 đồng quy f Tìm m để ba điểm A, điểm cố định của hàm số và C(4 + 2m; -2) thẳng hàng.

Để tìm giá trị k sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có phương trình 2kx - (k - 1)y = 2 là lớn nhất, chúng ta cần phân tích và áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

Bài 1: Xét hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 2, với đồ thị là đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A và cắt trục Oy tại điểm B a Tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB bằng 3 b Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc 45 độ.

Bài 1: Xét hàm số y = (m + 1)x + 3 với m ≠ 1, đồ thị của hàm số là một đường thẳng (d) a Khi m = 2, vẽ đồ thị hàm số b Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x + 1 c Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ Ox và Oy, tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9.

Bài toán yêu cầu xác định tọa độ các giao điểm A và B của đường cong ( )d với hai trục Ox và Oy, sau đó vẽ đường cong này trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tiếp theo, cần tính chu vi và diện tích của tam giác ∆OAB Cuối cùng, tìm giá trị m để đường thẳng d1: y = (m² - 2) + 2m - 2m² song song với đường cong ( )d.

CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài

AH Tính HB, HC,HD

……… b HB = 8 cm và HC = 32cm

……… c AB = 6 cm và BC = 10cm

BC AB AC AB AC cosA

AC AB BC AB BC cosB

Trong bài 7, các tia nắng mặt trời chiếu xuống mặt đất tạo thành một góc 70 độ, và bóng của tháp trên mặt đất dài 118 mét Từ thông tin này, chúng ta có thể tính chiều cao của tháp, làm tròn đến mét.

Trong bài toán cho tam giác vuông ABC tại A, chúng ta cần tính các tỉ số lượng giác của góc C với ba trường hợp khác nhau Đầu tiên, với AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm, ta có thể xác định các tỉ số lượng giác của góc C Thứ hai, khi đường cao AH được cho là AC = 13 cm và CH = 5 cm, ta cũng có thể tính toán tương tự Cuối cùng, với điều kiện AH, CH = 6 cm và BH = 4,5 cm, các tỉ số lượng giác của góc C sẽ được tính toán dựa trên các thông số này.

Trong bài toán này, chúng ta có tam giác ABC vuông tại A với AB = 9 cm và AC = 14 cm Để tính góc B, chúng ta áp dụng định lý Pythagore Phân giác trong góc B cắt AC tại điểm I, và từ đó, chúng ta sẽ tính độ dài AI Cuối cùng, chúng ta vẽ đường thẳng AH vuông góc với BI tại điểm H và tính độ dài AH.

Một con mèo đang ở trên cành cây cao 6,5m Để đưa mèo xuống, cần đặt thang sao cho đầu thang đạt độ cao này Chiếc thang dài 6,7m, vậy góc giữa thang và mặt đất sẽ là bao nhiêu?

Trong bài toán cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, biết rằng HB = 4,6 cm và HC = 5,4 cm Cần tính các độ dài AB, AC và AH Tiếp theo, kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC để chứng minh rằng AB nhân AE bằng AC nhân AF Cuối cùng, cần chứng minh rằng tam giác AEF và tam giác ABC là đồng dạng.

……… Bài 4 : Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O Cho biết AC6cm B, D 8 cm,

AOB Tính diện tích tứ giác ABCD

Cho tam giác nhọn ABC:

Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC Gọi a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,

B, C Chứng minh:   sin A sin sin a b c

Bài 1 : Giải tam giác vuông ABC tại A : a AB = 8 cm và B̂ = 45 0 b AB = 5 cm và BC = 13 cm

Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD Từ D hạ đường vuông góc với AC, cắt AC ở H Biết rằng AB 10cm; DH = 5cm Tính độ dài BD.BD14, 22cm

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 6cm và HC = 12cm Để tính độ dài các cạnh HB, BC, AB, AC, ta áp dụng định lý Pythagore và các công thức liên quan đến tam giác vuông Tiếp theo, kẻ đường cao HD vuông góc với AC tại điểm D (D thuộc AC), từ đó tính độ dài HD và diện tích của tam giác AHD bằng công thức tính diện tích tam giác.

Bài 7 : Bài Tập Tổng Hợp

1 Các trường hợp đồng dạng của tam giác

AA' và C C ' Đặt biệt tam giác bằng nhau :

Tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, có AB = 4 cm và BC = 10 cm Để giải tam giác vuông ABC, chúng ta cần xác định các cạnh còn lại và tính độ dài AH Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC, ta sẽ chứng minh rằng EF = AH Cuối cùng, ta tính tổng EA + EB + AF + FC để hoàn thiện bài toán.

Hình thang ABCD có các góc A và D bằng 90 độ, với hai đường chéo vuông góc tại điểm O Để tính diện tích hình thang ABCD, ta có công thức AD^2 = AB * DC Nếu AB = 8 và CD = 12, ta có thể áp dụng công thức để tìm diện tích Cuối cùng, cần tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC và OD.

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH a Biết AB = 5AC, tính sinACB và tanACB b Vẽ đường phân giác CK của tam giác AHC, với AH = 4,6 cm và BH = 3,2 cm, tính các độ dài CH, AC, CK và góc c HCK c Lấy điểm M thuộc BC, kẻ đường thẳng ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F, chứng minh MB.MC = EA.EB + FE.FC.

Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng   d là lớn nhất

Để tìm giá trị của tham số k sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có phương trình 2kx - (k - 1)y = 2 là lớn nhất, ta cần phân tích phương trình và áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác

Bài 1: Xét hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 2 với đồ thị là đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A và trục Oy tại điểm B a Tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB bằng 3 b Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc 45 độ.

Hàm số y = (m + 1)x + 3, với m ≠ 1, có đồ thị là đường thẳng d a Khi m = 2, đồ thị hàm số sẽ được vẽ b Để đường thẳng d song song với đường thẳng y = -2x + 1, cần tìm giá trị m thích hợp c Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox và Oy, tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9.

Bài toán yêu cầu xác định tọa độ các giao điểm A và B của đường cong ( )d với hai trục Ox và Oy, sau đó vẽ đường cong này trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tiếp theo, cần tính chu vi và diện tích của tam giác ∆OAB Cuối cùng, tìm giá trị m để đường thẳng d1: y = (m² - 2) + 2m - 2m² song song với đường cong ( )d.

Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài

AH Tính HB, HC,HD

……… b HB = 8 cm và HC = 32cm

……… c AB = 6 cm và BC = 10cm

BC AB AC AB AC cosA

AC AB BC AB BC cosB

Bài 7: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 70 độ, và bóng của tháp trên mặt đất dài 118 mét Từ thông tin này, chúng ta có thể tính chiều cao của tháp bằng cách áp dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông Chiều cao của tháp được làm tròn đến mét.

Trong bài toán cho tam giác vuông ABC tại điểm A, chúng ta cần tính các tỉ số lượng giác của góc C dựa trên các thông số đã cho Đầu tiên, với AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm, ta có thể xác định các tỉ số sin, cos và tan của góc C Thứ hai, khi biết đường cao AH, AC = 13 cm và CH = 5 cm, ta cũng có thể tính toán các tỉ số lượng giác tương ứng Cuối cùng, với đường cao AH, CH = 6 cm và BH = 4,5 cm, chúng ta có thể tiếp tục xác định các tỉ số lượng giác của góc C trong tam giác này.

Trong bài toán về tam giác vuông ABC tại A với AB = 9 cm và AC = 14 cm, ta cần tính góc B Tiếp theo, phân giác trong góc B cắt AC tại điểm I, và yêu cầu tính độ dài AI Cuối cùng, vẽ đường thẳng AH vuông góc với BI tại điểm H và tính độ dài AH.

Một con mèo đang ở trên cành cây cao 6,5 mét Để đưa mèo xuống, cần đặt thang sao cho đầu thang đạt độ cao này Chiếc thang dài 6,7 mét, vậy góc giữa thang và mặt đất là bao nhiêu?

Trong bài 3, cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH Biết rằng HB = 4,6cm và HC = 5,4cm, ta cần tính các độ dài AB, AC và AH Tiếp theo, kẻ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC, sau đó chứng minh rằng AB nhân AE bằng AC nhân AF Cuối cùng, cần chứng minh rằng tam giác AEF và tam giác ABC là đồng dạng.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH = 6cm và HC = 12cm Cần tính độ dài các cạnh HB, BC, AB, AC Tiếp theo, kẻ đường cao HD vuông góc với AC (D thuộc AC) và tính độ dài HD cùng diện tích của tam giác AHD.

Bài 7 : Bài Tập Tổng Hợp

Trong bài toán tam giác vuông ABC với A là góc vuông, đường cao AH, độ dài AB = 4 cm và BC = 10 cm, ta cần giải tam giác vuông ABC Đầu tiên, tính độ dài AH và chứng minh rằng EF = AH, trong đó E và F là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC Cuối cùng, tính tổng EA + EB + AF + FC.

Hình thang ABCD có góc A và D bằng 90 độ, với hai đường chéo vuông góc tại O Đường chéo AD bình phương bằng tích của AB và DC Khi cho AB = 8 và CD = 12, diện tích hình thang ABCD được tính toán Ngoài ra, cần xác định độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC và OD.

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH a Biết AB = 5AC, tính sinACB và tanACB b Vẽ đường phân giác CK của tam giác AHC, biết AH = 4,6 cm và BH = 3,2 cm, tính CH, AC, CK và góc HCK c Lấy điểm M thuộc BC, kẻ đường thẳng ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F, chứng minh MB.MC = EA.EB + FE.FC.

Một máy bay đang bay ở độ cao 25km và khi hạ cánh, đường bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất Để phi công tạo góc nghiêng 7 độ, cần xác định khoảng cách từ máy bay đến sân bay Nếu máy bay bắt đầu hạ cánh từ khoảng cách 200km, cần tính toán để tìm ra góc nghiêng tương ứng trong trường hợp này.

Bài 5: Một khúc sông rộng 300m, chiếc đò chèo qua sông phải vượt qua quãng đường 380m do bị dòng nước đẩy Vậy, góc mà dòng nước đã đẩy chiếc đò đi là bao nhiêu?

Bài 1: Cho ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh :

Điều ta biết chỉ như giọt nước, còn điều ta chưa biết như đại dương - Newton Các ký hiệu AF, AB, AH, AD, AE, AC thể hiện các mối quan hệ khác nhau trong toán học Tương tự, DH, DA, DB, DC cũng mang ý nghĩa tương ứng Các ký hiệu BF, BA, BH, BE, BD, BC tiếp tục thể hiện các tương tác Cuối cùng, các ký hiệu HB, HE, HC, HF, HA, HD cùng với BH, BE, CH, CF và DB, DC, DH, DA tạo thành một hệ thống liên kết chặt chẽ.

Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển đang nhìn một chiếc tàu ở xa với góc nhìn α = 10° Để tính khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng, ta áp dụng công thức liên quan đến độ cao và góc nhìn.

Trong bài toán hình thang ABCD với A = D = 90 độ, M là trung điểm của AD và MK vuông góc với BC tại K Đã cho các cạnh AB = 9 cm, BC = 25 cm, CD = 16 cm Cần tính toán chiều dài AD, MB và MC Đồng thời, chứng minh rằng tam giác MBC vuông tại M Cuối cùng, tính chiều dài MK và diện tích của tam giác MKC.

Bài 4 : Tính độ dài dây kéo vật

Bài 5 : Tính khoảng cách AC giữa tàu ngầm và tàu trên mặt nước

Bài 1 : Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn

❶ Đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm M cách điểm O một khoảng bằng R OM   R M   O R ; 

❷ Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M

 M nằm trên đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm trong đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm ngoài đường tròn (O; R)  OM R

❸ Cách xác định đường tròn : Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

❹ Tính chất đối xứng của đường tròn

 Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

 Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

❺ Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn khi tất cả ba đỉnh của nó nằm trên đường tròn Tâm của đường tròn này chính là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác.

❻ Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền

Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

• Xác định tâm đường tròn O

• Sử dụng các tính chất

Bước 2 • Kết luận các điểm thuộc một đường tròn

Bài 1 : Dựa vào hình vẽ bên dưới các em hãy tìm các điểm cách đều điểm O

Tỉ số lượng giác của góc nhọn : sin x  cos x  tan x  cot x

……… b HB = 8 cm và HC = 32cm

……… c AB = 6 cm và BC = 10cm

BC AB AC AB AC cosA

AC AB BC AB BC cosB

Khi ánh nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 70 độ, bóng của tháp trên mặt đất dài 118 mét Để tính chiều cao của tháp, ta áp dụng các công thức hình học liên quan đến tam giác vuông Kết quả chiều cao của tháp sẽ được làm tròn đến mét.

Trong bài toán về tam giác vuông ABC tại điểm A, chúng ta cần tính các tỉ số lượng giác của góc C với các trường hợp khác nhau Đầu tiên, với AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm, ta có thể áp dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác Tiếp theo, khi biết đường cao AH, AC = 13 cm và CH = 5 cm, chúng ta cũng có thể tính toán tương tự Cuối cùng, với đường cao AH, CH = 6 cm và BH = 4,5 cm, việc xác định các tỉ số lượng giác của góc C sẽ được thực hiện dựa trên các thông số đã cho.

Bài 2: Trong tam giác ABC vuông tại A với AB = 9 cm và AC = 14 cm, ta cần tính góc B Tiếp theo, phân giác trong góc B cắt AC tại điểm I, từ đó tính độ dài AI Cuối cùng, vẽ đường thẳng AH vuông góc với BI tại điểm H và tính độ dài AH.

Một con mèo đang ở trên cành cây cao 6,5m, và để đưa mèo xuống, cần đặt thang sao cho đầu cầu thang đạt độ cao này Với chiều dài thang là 6,7m, câu hỏi đặt ra là góc giữa thang và mặt đất là bao nhiêu.

Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác

Chứng minh biểu thức lượng giác

Giải tam giác vuông

Trong bài toán cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, biết rằng HB = 4,6 cm và HC = 5,4 cm, ta cần tính các độ dài AB, AC và AH Tiếp theo, kẻ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC, từ đó chứng minh rằng AB.AE = AC.AF Cuối cùng, ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác AEF và ABC đồng dạng.

Bài 3: Xét tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH = 6cm và HC = 12cm a Tính độ dài các cạnh HB, BC, AB và AC b Kẻ đường thẳng HD vuông góc với AC (D thuộc AC) Tính độ dài HD và diện tích của tam giác AHD.

Bài tập tổng hợp

Trong bài toán này, chúng ta có tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, trong đó AB = 4 cm và BC = 10 cm Đầu tiên, chúng ta sẽ giải tam giác vuông ABC để tìm các cạnh còn lại Tiếp theo, chúng ta sẽ tính độ dài AH và chứng minh rằng EF = AH, với E và F là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC Cuối cùng, chúng ta sẽ tính tổng EA + EB + AF + FC.

Hình thang ABCD có góc A và D bằng 90 độ, với hai đường chéo vuông góc tại O Theo định lý, ta có AD² = AB × DC Nếu cho AB = 8 và CD = 12, ta có thể tính diện tích hình thang ABCD Cuối cùng, cần tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC và OD.

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH a Biết rằng 4AB = 5AC, tính sinACB và tanACB b Vẽ đường phân giác CK của tam giác AHC, biết AH = 4,6 cm và BH = 3,2 cm, từ đó tính CH, AC, CK và góc c HCK c Lấy M thuộc BC, kẻ đường thẳng ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F, chứng minh rằng MB.MC = EA.EB + FE.FC.

Một máy bay đang bay ở độ cao 25km và khi hạ cánh, đường đi của nó tạo một góc nghiêng so với mặt đất a Để phi công tạo góc nghiêng 7 độ, máy bay cần bắt đầu hạ cánh cách sân bay bao xa? b Nếu máy bay bắt đầu hạ cánh từ khoảng cách 200km, góc nghiêng sẽ là bao nhiêu độ?

Một khúc sông rộng khoảng 300m có một chiếc đò chèo qua Để đến bờ bên kia, chiếc đò phải chèo khoảng 380m do bị dòng nước đẩy Hãy tính xem dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc bao nhiêu.

Bài 1: Cho ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh :

Điều ta biết chỉ là giọt nước, còn điều ta chưa biết là cả đại dương - Newton Trong các phép toán, ta có thể thấy các ký hiệu như AF, AB, AH, AD, AE, AC; DH, DA, DB, DC; BF, BA, BH, BE, BD, BC; và HB, HE, HC, HF, HA, HD Bên cạnh đó, có các phép cộng như BH, BE, CH, CF và BC Cuối cùng, các phép toán DB, DC, DH, DA cũng được đưa ra.

Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển quan sát một chiếc tàu ở xa với góc nhìn α = 10° Hãy tính toán khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng.

Bài 3 yêu cầu giải bài toán về hình thang ABCD với A và D tạo góc vuông M là trung điểm của AD, và MK được kẻ vuông góc với BC tại K Các thông số đã cho là AB = 9 cm, BC = 25 cm, CD = 16 cm Cần tính các độ dài AD, MB, MC Đồng thời, chứng minh rằng tam giác MBC vuông tại M và tính độ dài MK cũng như diện tích tam giác MKC.

Bài 4 : Tính độ dài dây kéo vật

Bài 5 : Tính khoảng cách AC giữa tàu ngầm và tàu trên mặt nước

Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn

❶ Đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm M cách điểm O một khoảng bằng R OM   R M   O R ; 

❷ Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M

 M nằm trên đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm trong đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm ngoài đường tròn (O; R)  OM R

❸ Cách xác định đường tròn : Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

❹ Tính chất đối xứng của đường tròn

 Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

 Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

❺ Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn khi tất cả ba đỉnh của nó nằm trên đường tròn Tâm của đường tròn này là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác.

❻ Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền

Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

• Xác định tâm đường tròn O

• Sử dụng các tính chất

Bước 2 • Kết luận các điểm thuộc một đường tròn

Bài 1 : Dựa vào hình vẽ bên dưới các em hãy tìm các điểm cách đều điểm O

Trong bài 2, chúng ta xem xét hình chữ nhật ABCD và chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng nằm trên một đường tròn Với AB = 3cm và BC = 5cm, chúng ta sẽ tính bán kính của đường tròn đi qua các điểm này.

Bài 3 :Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E Gọi M, N,

P, Q lần lượt là trung điểm của DE, EB, BC, CD a Chứng mình rằng : 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn b Tính diện tích MNPQ biết BD8cmvà EC6cm

Trong bài 4, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A với các đường cao AD và BE, và F là trung điểm của cạnh AB a Cần chứng minh rằng bốn điểm A, B, D và E nằm trên cùng một đường tròn b Cần chứng minh rằng điểm C không nằm trên đường tròn đó.

Bài 5 yêu cầu chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D của hình thang ABCD (với AB // CD và AB < CD) cùng nằm trên một đường tròn, trong đó góc Ĉ = D̂ = 60 độ và CD = 2AD Để giải bài toán, ta cần tính diện tích của hình thang ABCD với các kích thước đã cho: AD = 4cm và AB = 1,5cm.

Bài 6 : Cho điểm M bên ngoài đường tròn  O R ;  Tia MO cắt   O tại A và B ( A nằm giữa O và M ) Lấy C bất kì thuộc   O và khác hai điểm A và B Chứng minh:

Bài 1 : Cho ABC đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Chứng minh rằng bốn điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn

Bài 2 : Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK a Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn b So sánh KH và BC

Trong tam giác ABC với góc A tù, kẻ các đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng các điểm A, D, B, E nằm trên một đường tròn, đồng thời các điểm A, D, C, F cũng nằm trên một đường tròn Cuối cùng, chứng minh rằng các điểm B, C, E, F cũng cùng nằm trên một đường tròn.

Trong bài toán này, cho tam giác nhọn ABC với hai đường cao BD và CE, chúng ta cần chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E nằm trên một đường tròn Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường cao và các điểm trung gian O và I, với O là trung điểm của BC và I là trung điểm của DE Ngoài ra, ta cũng cần chứng minh rằng đoạn thẳng OI vuông góc với DE, từ đó khẳng định mối quan hệ hình học giữa các điểm này trong tam giác.

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có B D 90 0 Gọi O là trung điểm của AC Chứng minh bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Bài 6 : Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC , N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AN 1

 4AC Chứng minh 4 điểm M , N , C , D thuộc cùng một đường tròn

Đường kính và Dây cung

❶ So sánh độ dài của đường kính và dây :

 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính Từ đó suy ra nếu

AB là một dây cung bất kì của  O R ;  thì AB  2 R

❷ Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Bài 1 : Tìm các đường kính và dây trong hình vẽ sau :

Cho đường tròn O với đường kính AB và dây CD không cắt đường kính AB tại điểm I Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của điểm A và B trên dây CD Cần chứng minh rằng độ dài CH bằng độ dài DK.

Trong bài 3, cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H và đường tròn nội tiếp tâm O, ta vẽ đường kính AK Đầu tiên, cần chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành Tiếp theo, kẻ đường thẳng OM vuông góc với BC tại điểm M và chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng Cuối cùng, ta cần chứng minh rằng AH bằng 2OM.

Bài 4 : Cho đường tròn  O R ;  và ba dây AB, AC, AD Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD Chứng minh rằng MN ≤ 2R

Bài 5 yêu cầu chứng minh rằng trong đường tròn tâm O với bán kính 6 cm và hai dây AB, CD dài 4 cm cắt nhau tại điểm I, thì OH = OK và IH = IK, với H và K là trung điểm của AB và CD Ngoài ra, khi biết góc KOI bằng 30 độ, cần tính giá trị của OH và KI.

Bài 6 : Cho AB và CD là hai dây của đường tròn(O R; ) Gọi OH, OK vuông góc với AB và CD Chứng minh rằng

Bài 1 : Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau Chứng minh rằng :

Trong bài toán này, cho nửa đường tròn có tâm O và đường kính AB Trên đoạn AB, chọn các điểm M và N sao cho AM nhỏ hơn BN Từ M và N, vẽ các đường thẳng song song, và các đường thẳng này sẽ cắt nửa đường tròn tại các điểm tương ứng.

C và D Chứng minh: MC  CD và ND  CD

Bài 3: Trong đường tròn (O; R) với hai bán kính OA và OB vuông góc, tia phân giác của góc AÔB cắt đường tròn tại điểm C Chọn một điểm bất kỳ trên cung BC và hạ đường vuông góc DH xuống OA, đường này sẽ cắt OC tại điểm E Điều này thể hiện một đặc điểm thú vị trong hình học.

❶ Nếu ABCD thì OH … OK

❷ Nếu ABCD thì OH … OK

❸ Nếu ABCD thì OH … OK

Khoảng cách từ điểm C đến OA được tính theo R Đồng thời, cần chứng minh rằng tổng bình phương HD và HE luôn không đổi khi điểm D thay đổi.

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây …

❶ Trong một đường tròn: a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

❷Trong hai dây của một đường tròn: a Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn b Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

❸ Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực

 Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền

Bài 1 : Dựa vào hình vẽ minh họa hãy điền dấu >,

Tiêu đề	Lý Thuyết Và Bài Tập Môn Toán 9 Học Kì 1
Người hướng dẫn	GV: Đỗ Văn Đạt
Trường học	Thanh Trì
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	tài liệu
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	139
Dung lượng	6,2 MB