đường thẳng và đường tròn trong mạt phẳng oxy

Hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AB.. Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương của một đường thẳng có mối quan hệ hình học với nhau như thế nào?. Viết phươn

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxy

 Đường thẳng d đi qua điểm A x y và có hệ số góc là  0; 0 k Khi đó d: y k x x   0y0

 Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm ,A B là : y B y A x x A  x B  x A y y A 0

 Cho vécto ux y1; 1, vx y2; 2 Khi đó : 1 2

Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Khi đó tọa độ của điểm I x y với  I; I và

Công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó tọa độ của trọng tâm G x y G; G, với và

BT2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A2; 3  và có hệ số góc k 2

BT3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A  1; 2 và B  3;1

BT4 Cho hai điểm A1; 2 và B  2;3 Hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AB

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Gợi ý:

Tọa độ của véctơ ABx B x y A; B y A

Đường thẳng d nhận véctơ nào làm véctơ pháp tuyến?

Chú ý 2

 Cho :d ax by c  0 và điểm M x y Khi đó,  0; 0 d đi qua điểm M  ax0by0 c 0

 Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là na b;  thì d có véctơ chỉ phương là u  b a;  và

ngược lại (nghĩa là một đường thẳng nếu biết được véctơ pháp tuyến thì tìm được véctơ chỉ phương

và ngược lại)

 Nếu đường thẳng :d ax by c  0 thì đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là na b; 

? Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương của một đường thẳng có mối quan hệ hình học với nhau như thế

nào

BT5 Cho đường thẳng : 3d x2y m 0 Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm A1; 2  (hoặc tìm m

để điểm A thuộc đường thẳng d)

BT6 Cho đường thẳng d có phương trình là: 3 x2y 2 0 Đường thẳng d có đi qua các điểm sau đây hay không: A1;1 ,  B2;3 ,  C4;10 ,  D2; 1 ?

BT7 Tìm véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương và tọa độ một điểm của đường thẳng : 3d  x y  2 0

Chú ý 3

 Nếu d có véctơ pháp tuyến là na b;  thì phương trình của d có dạng ax by m  0

 Nếu d d' và ' :d ax by c  0 thì phương trình của d có dạng bx ay m  0

 Nếu d d ' và ' :d ax by c  0 thì phương trình của d có dạng ax by m  0

BT8 Cho tam giác ABC, biếtA1;4 , B2; 1 ,  C6; 3 

Viết phương trình của các cạnh AB BC CA , đường cao , , AH và trung tuyến AM

Gợi ý:

Đường cao AH nhận véctơ nào làm véctơ pháp tuyến? (phải nắm vững khái niệm véctơ pháp tuyến của đt)

Hãy tìm tọa độ trung điểm M , từ đó đưa về dạng bài tập 3?

BT9 Cho hai điểm A1;3 và B3; 1  Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trung điểm I của

đoạn thẳng AB và vuông góc với AB

Hãy nhớ lại khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng?

BT11 Viết pttq của đường thẳng d' đi qua A  2;1 và song song với đường thẳng : 3d x2y 5 0

Hướng dẫn:

Vậy phương trình đường thẳng ' : 3d x2y 4 0.

BT12 Viết phương trình của d' đi qua điểm A  2;1 và vuông góc với đường thẳng : 3d x2y 5 0

BT13 Hai đường thẳng : 2d x3y1 0 và ' : 3d x 2y 5 0 có vuông góc với nhau hay không?

BT14 Tìm m để hai đường thẳng :d mx y  2 0 và ' :d x y m  0 vuông góc với nhau

Chú ý 5

 Cho đường thẳng :d y kx b  Khi đó đường thẳng d có hệ số góc là k

 Cho hai đường thẳng , 'd d có hệ số góc lần lượt là , ' k k Khi đó d d' k k '1

BT15 Hai đường thẳng : 3d x y  4 0 và ' : 1 1

3

d y x có vuông góc với nhau hay không ?

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M x y và đường thẳng : 0; 0  ax by c  0 là :   0 0

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là 1 n1 a b1; 1

BT19 Tìm góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

b) Lập phương trình các đường thẳng là trung trực các cạnh của tam giác ABC

BT23 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A2;5 và cách đều hai điểm B1; 2 , C5;4

Gợi ý: Có hai trường hợp xảy ra

TH1 d đi qua A và trung điểm I của đoạn thẳng BC

TH2 d đi qua A và song song với BC

BT24 Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm I1;5 và tiếp xúc với đt : 4d x 3y 1 0

BT25 Cho đường thẳng d có phương trình là: 3 x y  2 0 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: OM 6 (O là gốc tọa độ)

BT26 Cho đường thẳng d có phương trình là: 3 x y  2 0 và điểm A  2;1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: AM 6

BT27 Cho đường thẳng d có phương trình là: 3 x y  2 0 và điểm A  2;1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và M là ngắn nhất

BT28 Cho hai điểm A1;3 và B3; 1  Tìm tập hợp các điểm M sao cho M cách đều hai điểm A và

B

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

I M

I

M B

A

 Nếu IM R thì qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn đã cho

 Nếu IM R thì qua M chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đường tròn

 Nếu IM R thì qua M không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn

BT29 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn   C : x 22y12 9

BT30 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( ) :C x2y24x 6y1 0

BT31 Lập phương trình đường tròn ( )C có tâm I  1;2 và đi qua điểm M2; 2 

BT32 Lập phương trình đường tròn ( )C có tâm I  1;2 và tiếp xúc đường thẳng : 3 x 4y 1 0

BT33 Lập phương trình đường tròn ( )C có đường kính AB, biết A1; 1  và B  7;9.

BT34 Lập phương trình đường tròn ( )C đi qua ba điểm không thẳng hàng A1;2 ,  B5;2 ,  C1;3.

Gợi ý BT34: gọi phương trình đường tròn ( ) :C x2y2 2ax 2by c 0 (giải hệ tìm được , ,a b c )

Chú ý 6

 Nếu d có véctơ pháp tuyến là na b;  thì phương trình của d có dạng: ax by m  0

 Nếu d d' và ' :d ax by c  0 thì phương trình của d có dạng: bx ay m  0

 Nếu d d ' và ' :d ax by c  0 thì phương trình của d có dạng: ax by m  0

Ngoài ra phải có các kiến thức nền tảng vững chắc như: Trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến,

đường cao của tam giác, đường phân giác, đường trung trực, công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, điểm thuộc các trục tọa độ, các tính chất của tam giác đặcbiệt, tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, phải nắm được các quan hệ hình học…

BT35 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

A

Cạnh AC vuông góc BH  dạng phương trình của cạnh AC

Cạnh AC đi qua trung điểm M  phương trình của cạnh AC

Đỉnh A thuộc đường thẳng d và đường thẳng AC  tìm được tọa độ đỉnh A

M là trung điểm của AC  tìm tọa độ đỉnh C thông qua A và M

BC song song với d  dạng phương trình cạnh BC x:  4y m 0

C thuộc BC  ?  m ?

 phương trình cạnh BC  tọa độ đỉnh B là giao điểm của BC với BH

BT36 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại B, với A1; 1 ,  C3;5 Điểm B

nằm trên đường thẳng : 2d x y 0 Viết phương trình các đường thẳng AB BC ,

Hướng dẫn 2:

d' d

B

A

Gọi I là trung điểm của AC  tọa độ điểm I (vì sao tìm được?)

Phương trình đường thẳng d' qua I và vuông góc AC (viết được, vì sao?)

B là giao điểm của d và d' (vì sao ta có điều này? Hãy chú ý tới giả thiết tam giác ABC cân tại B)

phương trình các đường thẳng AB BC ,

BT37 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A2;1 , đường cao qua đỉnh B cóphương trình d1: x 3y 7 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình d2: x y  1 0 Xác định tọa độ của Bvà C

1

B

Cạnh AC vuông góc d1 (vì sao?)  dạng phương trình của cạnh AC

Cạnh AC đi qua đỉnh A  phương trình của cạnh AC

C là giao điểm của AC với d2 (vì sao?)  tọa độ đỉnh C

Gọi M là trung điểm cạnh AB  điểm M thuộc d2 (vì sao?)  dạng tọa độ của điểm M m m ; 1

 Tọa độ B m2  2; 2 m 4 (vì sao? Phải chú ý tới M là trung điểm của AB)

B thuộc đường thẳng d1  tọa độ đỉnh B thỏa mãn phương trình đường thẳng d1  m= ?  tọa độ B

BT38 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh Acó trọng tâm 4 1;

3 3

G  

 , phương trình đường thẳng BC x:  2y 4 0 và phương trình đường thẳng BG: 7x 4y 8 0 Tìm tọa độcác đỉnh A, B, C

Hướng dẫn 4:

 M là trung điểm BC  tìm tọa độ đỉnh C

thông qua tọa độ B và M

  tọa độ A (phải chú ý tới tính chất của

tọa độ trọng tâm tam giác 3G = A+B+C)

M là trung điểm của cạnh BC  tìm tọa độ trung điểm M thông qua tọa độ A và G ( với 3G = A + 2M)

B thuộc AB  tọa độ điểm là :B b ; 4 b14

C thuộc đường thẳng AC  2 2

;5

c

C c  

M là trung điểm của cạnh BC  hệ thức liên hệ giữa ,b c (nhớ tới biểu thức tọa độ trung điểm của đoạn

thẳng)  giải hệ, tìm được ,b c tọa độ các đỉnh B, C

BT40 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao

cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng :d x 2y 3 0

BT41 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình

chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H   1; 1, đường phân giác trong của góc A có phương trình :d x y  2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình ' : 4d x3y1 0

Hướng dẫn 7

C B

A

H

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm H và vuông góc đường thẳng d.1

Gọi I là giao điểm của d và d1  tọa độ điểm I

Gọi M là điểm sao cho I là trung điểm của MH  tọa độ điểm M

M thuộc cạnh AC (vì sao? Chú ý tới các tính chất của đường phân giác)

Cạnh AC vuông góc với d’  dạng phương trình cạnh AC

Cạnh AC đi qua điểm M  phương trình cạnh AC

Tọa độ điểm A AC d

Cạnh AB đi qua 2 điểm A và H  phương trình cạnh AB

Tọa độ đỉnh BAB d '

Đường thẳng CH vuông góc với AB  dạng phương trình của CH

Đường thẳng CH đi qua H  phương trình CH

Khoảng cách từ M đến đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 d2  ? ?

BT43 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC

là 3x y  3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độtrọng tâm G của tam giác ABC

Tâm đường tròn nội tiếp I n ; 2 hoặc I n  ; 2, vì sao?

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC  dI x,0  dI BC,  = dI AC,   n a,  tọa độ , ,A B C 

Hướng dẫn 10:

I k

D

B

C A

Đường thẳng d vuông góc AB  dạng phương trình của d

Đường thẳng d đi qua I  phương trình của d

K là giao của d với AB  tọa độ điểm K

 độ dài đoạn IK

Đỉnh ;1 1

2

A a a 

  và AK = 2IK, chú ý tới đỉnh A có hoành độ âm  a ?

K là trung điểm AB  tọa độ B

I là trung điểm BD  tọa độ D  tọa độ C

BT45 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết M1; 1  là trung điểm cạnh BC và 2;0

Tam giác ABC là tam giác gì?

Cạnh BC vuông góc với GM (vì sao?)

Hãy tìm tọa độ đỉnh A thông qua M,G (chú ý do tính chất trọng tâm nên: AG2GM )

Tính độ dài đoạn AM

Phương trình cạnh BC đi qua M và có véctơ pháp tuyến GM

Điểm B thuộc đường thẳng BC  dạng tọa độ đỉnh B

AM = BM  tọa độ B  tọa độ C

BT46 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d x y1:  0 và d2:2x y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉnh C thuộc 1 d và các đỉnh B, D thuộc trục2hoành

Hướng dẫn 12:

BT47 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A2; 2 .

Viết phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng các đường cao kẻ từ B và C có phương trình lần lượt là

Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc d 1

Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc d 2

1

B AB d 

2

C ACd

Viết phương trình cạnh BC.

BT48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với một cạnh có trung điểm là M  1;1, hai cạnh còn lại có phương trình là AB: x y  2 0 và AC: 2x6y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C Hướng dẫn 14:

M

C B

M là trung điểm BC  hệ thức giữa hai ẩn ,b c  , b c  ?  tọa độ , B C

BT49 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x 5y 3 0, d x2:  3y 7 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d d và:1, 2

a) Vuông góc với đường thẳng 1:4x y 1 0 ;

b) Song song với đường thẳng 2:3x4y1 0

Hướng dẫn 15:

Tìm tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng d1, d2

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I vuông góc với đường thẳng 1:4x y  1 0 b) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm I và song song với đường thẳng

2:3x 4y 1 0

   

BT50 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I6; 2 Điểm M1;5thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : – 5 0d x  y  Viết phương trình đường thẳng AB

(A - 2009 theo chương trình chuẩn) Hướng dẫn:

I

B A

M

 ;5 

E e  e

Lấy N sao cho I là trung điểm của MN  tìm được tọa độ điểm N

Điểm N thuộc cạnh CD (vì sao?)

d x y  Viết phương trình đường thẳng AC

(D – 2009 theo chương trình chuẩn) Hướng dẫn:

Đường tròn  C đi qua điểm A  tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình đường tròn  ?

Đường tròn  C đi qua gốc tọa độ O  ?

Đường tròn  C tiếp xúc với đường thẳng d 

Ta đi giải hệ 3 ẩn , ,a b R

BT53 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C x: 2y212x 4y36 0 Viết phươngtrình đường tròn C tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn '  C

Hướng dẫn 2.2:

Hãy cho biết tọa độ tâm của đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ ?

Tâm I’ có dạng I’(a;a) hoặc I’(a;-a)

Hãy tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn  C

Đường tròn C tiếp xúc ngoài với đường tròn '  C  I I’ = R + R’

BT54 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C x: 2 y2  8x6y21 0 và đường

thẳng :d x y 1 0 Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp  C , biết A d

Hướng dẫn 2.3:

d B

D C

A

I

 Hãy tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( )C

 Tâm I của đường tròn  C thuộc đường thẳng d (vì sao?)

 Khi đó hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn thì đường chéo AC là d và đường chéo BD là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d (vì sao ?)

 A d  ???

 Đường tròn có R = 2  IA = 2 2  tọa độ điểm A

(nhớ đến điều kiện là điểm A thuộc đường thẳng d)  tọa

độ các đỉnh còn lại

BT55 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A0;2 , B2; 2 ,  C4; 2  Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Hướng dẫn 2.4:

Tọa độ các trung điểm M, N dễ dàng tìm được

Phương trình đường cao BH đi qua điểm B và vuông góc AC

H = BH  AC  tọa độ điểm H

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm H, M, N (tương tự bài tập sách giáo khoa HH10 cơ bản)

BT56 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C x: 2y24x4y 6 0 và đường thẳng

Phải có điều kiện cho tham số m để đường thẳng d cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt  ?

Tam giác IAB có 2 cạnh IA = IB = R = 2  SABC = 1 .sin AIB

2 IA IBDiện tích lớn nhất khi: sinAIB  1  AIB 900  tam giác AIB vuông tại I

A, B thuộc d  A m2  3 ma a;  và B m2  3 mb b;  , cần kết hợp với ,A B thuộc đường tròn và tam

giác AIB vuông tại I để từ đó tìm được ba ẩn , ,a b m

( )C tiếp xúc với các đường thẳng  1, 2 và tâm K thuộc đường tròn (C )

(B - 2009 theo chương trình chuẩn)

Hướng dẫn:

 2  2 2

1

( ) :C x a  y b R

Hãy khai thác ba điều kiện sau:

Tâm K thuộc đường tròn (C )  ?

Đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng 1 1  ?

Đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng 1 2  ?

Từ đó đưa ra được một hệ phương trình gồm ba ẩn , ,a b R  đường tròn cần tìm (hỏi gì phải trả lời cái đó?)

Kết quả: 8 4; , 2 2

K  R

BT59 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  1; 4 và các đỉnh B,

C thuộc đường thẳng : – – 4 0 x y  Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng