Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ Sở

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ SởSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Tìm điều kiện trong hình học ở Trung Học Cơ Sở

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Dạng tốn tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở dạng tốn hay Nó địi hỏi người giải phải có hướng suy nghĩ, tư lơgic, lập luận chặt chẽ hợp lí giải Dạng tốn trình bày chương trình hình học Trung Học Cơ Sở tài liệu sách giáo khoa, sách tập sách nâng cao từ lớp đến lớp 9, tiết lý thuyết mà tiết luyện tập, ôn tập chương Đặc biệt sử dụng nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi, giáo viên giỏi, Nó thường xuất câu cuối bài, sau học xong tiết học ôn tập chương, Như vậy, loại tốn xuất khơng nhiều thường gặp Các sách giáo khoa thường khơng khó lắm, địi hỏi học sinh đại trà phải làm Còn tốn khác khó chút học sinh từ trung bình trở lên phải giải được, học sinh giỏi cần phải giải thật tốt dạng toán Cơ sở thực tiễn Thực tế cho thấy học sinh sợ gặp dạng toán hệ thống tập thi có dạng tốn học sinh thường bó tay chịu thua Vậy làm để giúp học sinh giải tốt dạng toán này? Điều khiến vô băn khoăn trăn trở Và sau q trình tìm tịi, nghiên cứu tơi mạnh dạn đưa sáng kiến: “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” II Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn hình học Trung học sở Trong có câu loại tốn tìm điều kiện hình từ phân loại tìm phương pháp giải loại tốn III Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm nét chính, bật loại tốn để dễ dàng phát - Tìm hiểu kĩ tất tốn để phân loại dạng toán cụ thể nhất, rõ ràng - Tìm phương pháp giải chung nhất, dễ hiểu để học sinh hiểu tốt làm dạng tốn - Đặc biệt tìm hiểu đối tượng học sinh Cụ thể tìm hiểu thái độ, khó khăn học sinh tiếp cận với loại toán Để đưa giải pháp giúp đỡ học sinh phù hợp giải loại toán IV Giới hạn đề tài - Đề tài nghiên cứu tốn “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” - Đối tượng đề tài phục vụ: Học sinh đại trà, học sinh khá, giỏi giáo viên Trung Học Cơ Sở V Dự báo đóng góp đề tài Với sáng kiến : “Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” giúp học sinh phân loại giải tốt loại toán Đồng thời phát triển tư lôgic, khả lập luận, trình bày, khả vẽ hình, liên hệ kiến thức trí tưởng tượng Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học Trung Học Cơ Sở, thúc đẩy chất lượng học sinh đại trà chất lượng học sinh khá, giỏi ngày tốt Qua đề tài giúp giáo viên hiểu cách sâu sắc loại toán góp phần nâng cao hiệu cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường Trung Học Cơ Sở B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu sách giáo khoa, sách tập hình học khối Trung Học Cơ Sở - Tìm hiểu số toán sách nâng cao phát triển; Sách bồi dưỡng hình học lớp thuộc Trung Học Cơ Sở - Tìm hiểu dạng tốn qua đề thi - Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn bè giảng dạy loại toán qua dự giờ, qua buổi chuyên đề hỏi trực tiếp - Nghiên cứu tìm hiểu qua mạng Internet - Tìm hiểu qua tài liệu mơn tốn có liên quan II Nội dung nghiên cứu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Bài tốn: Cho tam giác ABC vng C D điểm thay đổi cạnh AB Gọi M, N hình chiếu điểm D cạnh AC, BC Với vị trí điểm D cạnh AB MN có độ dài nhỏ nhất? Thực toán tương tự 127 sách tập toán Một bình thường khơng có dấu (*) Tơi đưa toán cho 10 em lớp khối giải, kết thu sau: Kết Làm tốt Tỉ lệ Làm Tỉ lệ Làm sai Tỉ lệ Không làm Tỉ lệ Lớp 8B 0 10 30 60 8C 0 30 30 30 Như vậy, số học sinh không làm làm sai chiếm tỉ lệ nhiều Trong số làm (10% - 30%) khơng có học sinh làm tốt dạng tốn Với kết khiến trăn trở nhiều chất lượng học sinh đại trà kết học sinh khá, giỏi Chính mà tơi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” 2.Các kiến thức liên quan a, Dấu hiệu nhận biết hình: Thơng thường nhận biết hình thường dựa vào yếu tố góc, cạnh đường chéo Giáo viên cần bám sát điều để hướng dẫn em nắm dấu hiệu nhân biết hình Hoặc xếp dấu hiệu theo thứ tự cạnh, góc đến đường chéo để hs dễ học Hoặc xếp theo hình: nhận biết qua tứ giác tới hình thang , tới hình thang cân, Yêu cầu học sinh nhớ dấu hiệu cạnh có dấu hiệu, góc có dấu hiệu, đường chéo có dấu hiệu để học sinh học theo lôgic định Khi học sinh quên giáo viên cần hướng dẫn vẽ phác hình để nhớ lại DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC HÌNH Tam giác cân Tam giác có hai cạnh Tam giác có hai góc Tam giác Tam giác có ba cạnh Tam giác có ba góc Tam giác cân có góc 600 Tam giác vng Tam giác có góc 900 Tam giác vng cân 1.Tam giác vừa vuông, vừa cân 2.Tam giác vuông có góc 45 Hình thang Là tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang cân Hình thang có hai góc kề đáy Hình thang có hai đường chéo Hình bình hành Tứ giác có cạnh đối song song Tứ giác có cạnh đối Tứ giác có hai cạnh đối song song Tứ giác có cặp góc đối Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình thang có cạnh bên song song Hình chữ nhật Tứ giác có ba góc Hình bình hành có góc vng Hình bình hành có hai đường chéo Hình thang cân có góc vng Hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh liên tiếp Hình bình hành có đường chéo vng góc Hình bình hành có đường chéo phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo Hình vng Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc Hình thoi có hai đường chéo Hình thoi có góc vng Tứ giác nội tiếp Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta có cách sau: Chứng minh tổng hai góc đối Chứng minh góc ngồi góc đỉnh đối Chứng minh hai đỉnh kể nhìn cạnh hai góc Chứng minh đỉnh cách điểm Có thể cho học sinh tổng kết học dấu hiệu qua sơ đồ để dể nhớ VD: SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC (HÌNH HỌC 8) Tứ giác góc vuông cạnh đối song song cạnh - Các cạnh đối song song - Các cạnh đối - cạnh đối song song - Các góc đối - đường chéo cắt trung điểm đường Hình thang – góc kề đáy – đường chéo Hình thang cân góc vuông cạnh bên song song Hình thang vng Hình bình hành - cạnh kề góc vuông - góc vuông cạnh - đường chéo vuông đường góc bên - đường chéo song songchéo đường phân giác góc Hình chữ nhật Hình thoi - cạnh kề - đường chéo vuông góc - đường chéo đường - góc vuông - đường chéo Hình vng b, Các kiến thức khác Ngoài dấu hiệu nhận biết hình cần trang bị thêm kiến thức sau: Các cơng thức tính chu vi, diện tích, điều kiện để ba điểm thẳng hàng, điều kiện để ba đường thẳng đồng quy điểm, điều kiện để điểm nằm đường tròn, - Cách giải tốn quỹ tích cực trị hình học - Các bất đẳng thức hình học : Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác, quan hệ ba cạnh tam giác, quan hệ đường xiên hình chiếu, - Các đẳng thức bất đẳng thức đại số, Nhận dạng tốn “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” Bài tốn tìm điều kiện hình thường khơng tường minh song có số dạng thường gặp là: “ Tìm điều kiện hình X để thỏa mản yếu tố Y đó” hoặc: Với vị trí (điều kiện nào; tìm X) để thỏa mản yếu tố Y X là: Điểm; đường thẳng ; hình đó; biểu thức đó; Y là: Một hình đặc biệt đó; tính chất đặc biệt đó; biểu thức đó; Chúng ta tìm hiểu kĩ điều kiện X yếu tố Y qua dạng tốn sau đây: Phân loại số toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm điều kiện điểm 1.1 Bài tốn cực trị Bài 1: Cho tam giác ABC vuông C D điểm thay đổi cạnh AB Gọi M, N hình chiếu điểm D cạnh AC, BC Với vị trí điểm D cạnh AB thì: A a, MN có độ dài nhỏ b, Diện tích tứ giác CMDN lớn D M Phân tích : Điều kiện X : Vị trí điểm D AB H Thỏa mản yếu tố Y : a, MN có độ dài nhỏ ? b, Diện tích tứ giác CMDN lớn ? B C Ở mấu chốt tốn vị trí điểm D thay đổi N Vì vị trí điểm D AB phải có liên hệ với yếu tố cố định Ta cần ý tới yếu tố cố định có liên quan : Tam giác ABC cố định  Các đỉnh cạnh cố định Điều giúp ta lập luận vẽ thêm đường phụ hợp lí để giải tốn Giải: ·  90 , DN  CB (GT) a, DM  AC (GT) nên DMC 0 · µ  90 (GT)  90 , C nên DNC Tứ giác CMDN có ba góc vng nên hình chữ nhật Ta lại có MN =CD nên MN nhỏ  CD nhỏ Kẻ CH  AB ta có : CD  CH Nên CD nhỏ  CD=CH  D  H Vậy MN nhỏ  D  H ( H chân đường cao kẻ từ C xuống AB) b, SCMDN  S ABC   S AMD  S BND  Vì S ABC không đổi nên SCMDN lớn  S AMD  S BND  nhỏ AMD : ACB (g.g), ta có : DNB : ACB (g.g), ta có : S AMD AD AD   S  S ABC AMD S ABC AB AB S DNB BD BD   S  S ABC DNB S ABC AB AB AD  BD S ABC (*) AB 2 Vì AD  BD  AD.BD nên AD  BD   AD  BD   AB  AD  BD  AB Dấu “ = ” xảy  DA =BD  D trung điểm AB Khi từ (*) ta có : SAMD  SDNB  SABC Do : SAND  SDNB    Vậy SCMDN  S ABC   S AMD  S BND   Do SCMDN đạt giá trị lớn S ABC S ABC  D trung điểm AB Bài 2: Cho đường thẳng xy hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ xy a Tìm điểm M thuộc xy cho MA + MB nhỏ b Tìm điểm N thuộc xy cho NA  NB lớn Phân tích : Câu a Điều kiện X : Điểm M thuộc xy Thỏa mản yếu tố Y : MA + MB nhỏ Câu b Điều kiện X : Điểm N thuộc xy Thỏa mản yếu tố Y : NA  NB lớn Ở mấu chốt tốn vị trí điểm M điểm N xy Vì vị trí điểm M xy phải có liên hệ với yếu tố cố định Ta cần ý tới yếu tố cố định có liên quan : Đường thẳng xy, điểm A, điểm B, khoảng cách từ điểm A (điểm B) tới xy Điều giúp ta lập luận vẽ thêm đường phụ hợp lí để giải A tốn B Giải: a (Hình 1) Gọi A' điểm đối xứng A qua xy Á M x M y hoàn toàn xác định Xét tổng MA + MB = MA' + MB o (h.1) A' Nối A' với B áp dụng bất đẳng thức tam giác cho điểm A', M, B ta có: MA' + MB  A'B dấu "=" xảy M  A'B M  Mo Vậy (MA + MB) = A'B  M  Mo b (Hình 2) Nếu lấy điểm N xy NA  NB  AB Giá trị lớn NA  NB AB B điểm x A B y N No (h.2) nằm hai điểm A N Suy ra: TH1: Nếu AB // xy khơng tìm điểm M thỏa mãn điều kiện đề TH2: Nếu AB không song song với xy Gọi No = AB  xy No điểm cần tìm Vậy max NA  NB = AB  N  No Sau giải xong ta nhận thấy tốn cực trị có liên quan đến tổng (hiệu) độ dài đoạn thẳng thường sử dụng bất đẳng thức hình học bất đẳng thức tam giác, quan hệ đường xiên đường vng góc Vì ta dễ dàng giải toán tương tự sau: Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh tứ giác nhỏ Phân tích : Điều kiện X : Tìm điểm M A Thỏa mản yếu tố Y : Tổng khoảng cách từ M tới bốn đỉnh tứ giác nhỏ Giải: Với ba điểm A, C, M ta có: M MA + MC  AC dấu "=" xảy M  đoạn AC Tương tự: MB + MD  BD dấu "=" xảy  M  BD D  MA + MB + MC + MD  AC + BD; C dấu "=" xảy M vừa thuộc AC vừa thuộc BD Vậy M giao điểm hai đường chéo AC BD (trong tứ giác lồi hai đường chéo cắt nhau) Vậy (MA + MB + MC + MD) = AC + BD  M  Mo ( M giao điểm hai đường chéo AC BD) Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn cho kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt cát tuyến Ax By C D Xác định điều kiện điểm M nửa đường tròn cho cho tổng AC + BD có giá trị nhỏ (phát triển 30 trang 116 Sách giáo khoa- Toán tập 1) o B Phân tích : Điều kiện X : Tìm điểm M nửa đường trịn (O) Thỏa mản yếu tố Y : AC + BD có giá trị nhỏ Giải: Cách 1: Sử dụng quan hệ đường xiên đường vng góc AB D Vì CM, CA hai tiếp tuyến kẻ từ C đến (O; )  CM = CA ( tính chất tiếp tuyến ) y x Tương tự ta có DM =DB DC = CM + MD=AC + BD từ C k ẻ CD / AC M Theo tính chất dường xiên, đường vng góc C D' CD  CD’ mà CD’= AB ( ABCD ’là hình chữ nhật )  CD  AB A B O Để AC + BD có giá trị nhỏ CD phải nhỏ CD = CM+MD nhỏ  CM, MD đường vng góc  ABCD hình chữ nhật Mặt khác, CD tiếp tuyến (O) M  CDOM  OMAB Mà OA=OB  Cung AM cung BM Vậy M điểm cung AB Cách 2: Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông hệ bất đẳng thức Cơsi Vì CM CA hai tiếp tuyến (O) ·  ·AOC  COM  ·AOM / (tính chất tiếp tuyến ) · · · tương tự MOD  DOB  MOB / ( DM DB hai tiếp tuyến (O) · · · điểm D  COM  MOD  ·AOM / + MOB / = ·AOB /  900 ·  COD  900  ΔCODvng O có OM  CD (CD tiếp tuyến (O) M)  OM đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: OM2 = CM.DM mà CM=AC MD=BD (tính chất tiếp tuyến )  AC.BD =R2 không đổi Do AC  BD bé  AC=BD (hệ bất đẳng thức Côsi ) Vậy tứ giác CABD hình chữ nhật  CD // AB MO  CD  MO  BA O  M điểm cung AB Tất nhiên có toán cần phải suy nghĩ nhiều như: Bài Cho tam giác nhọn ABC M điểm thay đổi cạnh BC Hãy xác định vị trí điểm M cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM là: a, Nhỏ b, Lớn Phân tích : Điều kiện X : Tìm điểm M BC Thỏa mản yếu tố Y : Tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM nhỏ (lớn nhất) Yếu tố không đổi tam giác ABC  SABC không đổi Chúng ta cần dựa vào điều để giải Giải : Kẻ AH  BC, BE  AM CF  AM A B H E M C F Ta có: SABC  S AMB  S AMC  AM  BE  CF   AM  BE  CF   2SABC khơng đổi Do đó: a, BE + CF nhỏ  AM lớn TH1: AB  AC AM lớn AB M  B Khi BE + CF độ dài đường cao hạ từ C xuống AB TH2: AC  AB AM lớn AC M  C Khi BE + CF độ dài đường cao hạ từ B xuống AC b, BE + CF lớn  AM nhỏ Vì AM  AH nên AM nhỏ  AM = AH  M  H Khi E F trùng H nên BE + CF = BC Bài 6: Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120 o Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ Phân tích : Điều kiện X : Tìm điểm M nằm tam giác ABC Thỏa mản yếu tố Y : MA + MB + MC có giá trị nhỏ Xét điểm M nằm tam giác ABC Ta phải xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC nhỏ Ta tìm cách đưa tổng ba đoạn thẳng thành tổng đoạn thẳng đường gấp khúc nối hai điểm xác định Giải: Thực phép quay tâm A, góc quay 60 o M' M ngược chiều kim đồng hồ: D E M  M' M C  C' B Như AMM' tam giác suy ra: C MA = MM' ACC' tam giác nên C' hoàn toàn xác định; M'C' = MC (phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm) Do đó: MA + MB + MC = MM' + MB + M'C' = độ dài đường gấp khúc BMM'C'  BC' B' C' A o 10 Thỏa mản yếu tố Y : Điểm B chuyển động Ox Giải: y Phần thuận : OM trung tuyến ứng với cạnh huyền AB tam giác vuông OAB nên OM = AB  OM = MA Mà MA =  M cách hai điểm O, A A H M m x O B nên M nằm đường trung trực OA Giới hạn : Vì đoạn AB thuộc miền góc vuông xOy nên điểm M nằm tia Hm thuộc đường trung trực OA thuộc miền góc xOy Phần đảo: Lấy M thuộc tia Hm MO = MA (*) · · (1)  MAO  MOA Lấy B giao điểm AM Ox · · · ·  MAO  900 , MOB  MOA  900 (2) Ta có : MBO · · Từ (1) (2) ta có : MBO  MOB   MOB cân M  OM = MB (**) Từ (*) (**) ta có MA = MB Kết luận : Khi B chuyển động tia Ox tập hợp trung điểm M AB tia Hm thuộc đường trung trực OA thuộc miền góc xOy Phương pháp chung : Khi giải toán tập hợp cần nắm vững tập hợp điểm học sau: - Tập hợp điểm cách O cố định khoảng không đổi r đường trịn tâm O, bán kính r - Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng cố định đường trung trực doạn thẳng - Tập hợp điểm nằm góc, cách hai cạnh tia phân giác góc - Tập hợp điểm cách đường thẳng xy cố định khoảng không đổi h hai đường thẳng song song với xy cách xy hoảng h Để giải phải tìm hiểu kĩ đề bài, phân biệt yếu tố cố định, yếu tố di chuyển, yếu tố không đổi, quan hệ không đổi Sau vẽ hình để dự đốn (lấy vài điểm đặc biệt) Khi dự đoán tập hợp lập luận theo phần : Thuận, đảo kết luận BÀI TẬP THAM KHẢO (dạng 2): Cho góc vng xOy cố định Điểm A cố định tia Oy, điểm B chuyển động tia Ox Tìm tập hợp trung điểm M AB Cho đoạn thẳng AB cố định Tìm tập hợp điểm M cho MA > MB Cho tam giác ABC có BC cố định I trung điểm đường cao BH Tìm tập hợp điểm I Cho góc vng xOy cố định Điểm A cố định tia Oy, điểm B chuyển động tia Ox Tìm tập hợp đỉnh tam giác ABC vng cân C ( C O nằm khác phía AB) 14 Cho tam giác ABC cố định Tìm tập hợp điểm M cho tam giác MAB MAC có diện tích Dạng 3: Tìm điều kiện hình Với dạng tốn cần xét đến yếu tố làm cho hình thay đổi để dự đốn u cầu Sau dựa vào dấu hiệu nhận biết hình để lập luận 3.1 Tìm điều kiện đường thẳng Qua đỉnh A tam giác ABC, dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Phân tích : Điều kiện X : Dựng đường thẳng d Thỏa mản yếu tố Y : Tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Giải: A Ta xét hai trường hợp: Trường hợp I (h.3): d cắt cạnh BC E Gọi BB' CC' khoảng cách từ đỉnh B' B C tới d Hai tam giác ABE ACE có chung đáy AE đường cao tương ứng với C B E đáy BB' CC' C' d Ta có: SABC = SABE + SACE = 2S (h.3) 1 AE.BB'  AE.CC'  BB'  CC'  ABC 2 AE Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn AE nhận giá trị nhỏ nhất, AE đường cao kẻ từ đỉnh A ABC, tức d  BC Nếu gọi AH độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A (AE) = AH, đó: B' A M' 2.( AH BC ) (1) C' d BB '  CC '   BC AH Trường hợp II (h.4): Đường thẳng d không cắt BC Gọi M trung điểm BC Kẻ MM'  d Tứ // // B giác BB'C'C hình thang nhận MM' làm M C đường trung bình nên: (h.4) BB' + CC' = 2MM' mà MM'  AM (đường vng góc đường xiên kẻ từ M tới d) BB' + CC' lớn M'  A lúc BB' + CC' = 2AM d  AM A (2) Như vậy, ứng với trường hợp ta kết (1) (2), ta so sánh BC với 2AM 15  Nếu A < 900 (h.5) Kéo dài AM đoạn MN = MA Tứ giác ABNC hình bình hành có hai đường chéo giao trung điểm đường, suy AB=CN;   ·ACN  1800  A mà A  900  ·ACN  900 · hay ·ACN  CAB A Xét hai tam giác BAC NCA chúng có: · AB = CN, AC chung, ·ACN  CAB nên cạnh đối C B diện với góc CAB nhỏ cạnh đối diện với góc ACN : BC < AN hay BC < 2AM N (h.5)  Nếu A  90 : Tứ giác ABNC hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật nên hai đường chéo BC AN hay BC = 2AM  Nếu A  90 : Chứng minh tương tự ta được: BC > 2AM Từ kết ta suy ra:  - Nếu tam giác ABC cho trước có A  90 đường thẳng d qua A phải dựng đường thẳng vng góc với trung tuyến AM ABC  - Nếu A 900 tốn có hai lời giải: Đường thẳng d qua A vng góc với AM d' qua A vng góc với BC  - Nếu A  90 : Đường thẳng d qua A vng góc với BC Bài 2: Cho đường tròn tâm O điểm P đường tròn Chứng minh tất dây cung qua P dây vng góc dây ngắn C Phân tích : A Điều kiện X : Dây cung qua P Thỏa mản yếu tố Y : Dây vng góc dây ngắn P O E D B Giải: P AB Lấy E (O) : EO AB P Lấy dây CD qua P khơng vng góc với EO P ta chứng minh cho CD  AB Thật vậy: OP khoảng cách từ O đến AB OT khoảng cách từ O đến CD Ta có OT  CD  OT đường vng góc từ O đến CD, P  CD nên OP đường xiên kẻ từ O đến CD  OPOT  ABCD Vì CD dây qua P CD AB Vậy AB ngắn dây qua P khơng vng góc với OP 16  AB dây ngắn qua P 3.2 Tìm điều kiện góc Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC   Bˆ ,   Cˆ Trên tia đối CA lấy D cho CD=CB Trên mặt phẳng bờ AB không chứa C, vẻ tia Ax tạo với AB, · · BAx  BCA Trên tia Ax lấy E cho AE=AB · · a, Tính EBD, EAD theo  b, -Với giá trị  E, B, D thẳng hàng ? - Với giá trị  ,  AB trung tuyến EDA ? Phân tích : - Điều kiện X : Giá trị  Thỏa mản yếu tố Y : E, B, D thẳng hàng - Điều kiện X : Giá trị  ,  Thỏa mản yếu tố Y : AB trung tuyến EDA Giải: A E x T   C B K a, Theo ta có0 EA=BA   ABE cân A  ·ABE  ·AEB  ·AEB  ·ABE  180   Theo ta có: BC =CD  BCD cân C ·ACB  · ·  CBD  CDB  = (tc góc ngồi)    1800   · · · · EBD  EBA  ABC  CBD  Mà +   = 900 - +   =90 +  · · · · ·   , BAD  1800  (    ) Mà EAB EAD  EAB  BAD D ·  EAD    1800      1800   0 · b, Để E, B, D thẳng hàng  EBD  1800  90    180   90 c, Để AB trung tuyến EAD E, B, D thẳng hàng BE=BD Mà E, B, D thẳng hàng   90 (c/m b) Từ A kẻ AT  EB, CK  BD Vì AE=AB(gt)  AEB cân A mà AT  BE  AT vừa đường cao, vừa phân giác, vừa trung tuyến · BE BAE  · · AEB  ·ATB  ·ATE  1v  EAT  BAT   TB=TE= 2   CBD   MD Tương tự, có CB=CD CBD cân C, CK BD  CK trung tuyến  BK  KD =  · · Xét  BCK  ABT có CBK  TAB( ) 17 BE BK CK  BT , Kˆ  Tˆ =1v  BCK : ABT (g.g)  AT  BT (*) mà BD BD KC BK=  AT  BE  BD.BE =4.CK.AT=2 CK.AT Để BE  DB BE =2 AT.CK  CK=AT  BE =(2AT)   AT  BT  45   90      1800 (vơ lý    1800 ) Vậy khơng có giá trị   để AB trung tuyến EDA Bài 2: Góc trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi (câu c) Cho VABC Các đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi I, J trung điểm GB, GC a) Chứng minh tứ giác EFIJ hình bình hành b) VABC phải có điều kiện để tứ giác EFIJ hình chữ nhật ? c) Nếu BE  CF tứ giác EFIJ hình ? Phân tích : - Điều kiện X : Điều kiện VABC Thỏa mản yếu tố Y : EFIJ hình chữ nhật - Điều kiện X : Điều kiện EFIJ Thỏa mản yếu tố Y : BE  CF E F F G I A A A Nháp J B C B E G I E F J G l C I B Giải : J C BC (tính chất đường trung bình tam giác) BC IJ / / BC , IJ   FE / / IJ , FE  IJ Vậy EFIJ hình bình hành a) Ta có : FE / / BC , FE  b) Để EFIJ hình chữ nhật FJ = IE Do BE = CF Vậy VABC cân A c) Nếu BE  CF hay FJ  IE Vậy EFIJ hình vng 3.3 Tìm điều kiện tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC lấy M trung điểm BC kẻ ME vng góc với AB, Kẻ MF vng góc với AC a-Tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác MFE tam giác vng b-Tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác MFE tam giác vng cân c-Tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác MFE tam giác Phân tích : - Điều kiện X : Điều kiện VABC Thỏa mản yếu tố Y :  MFE tam giác vuông (vuông cân, đều) Giải: a-  MFE tam giác vuông 18 ˆ M ˆ  900 mà M ˆ + Cˆ = 900  M ˆ  Cˆ M 2 ˆ ˆ ˆ µ = 90  M1  C M2 + B ˆ + Bˆ  900  Mˆ  Bˆ M 2 Vậy tam giác MEF tam giác vuông mà Bˆ  Cˆ  900 suy Aˆ  1v hay tam giácABC vuông A · b- Để M FE vuông cân  EMF =1v  Aˆ  1v (câu a) ME=MF kết hợp MB=MC(gt)  MBE  MCF Đã có Eˆ  Fˆ  ABC vng cân ( Bˆ  Cˆ ) c, Để MFE  MFE cân có Mˆ =6o0  ABC cân A Mˆ  600 Theo câu a thì: Mˆ  Cˆ , Mˆ  Bˆ mà Mˆ  180  ( Mˆ  Mˆ ) Hay 600=180  ( Mˆ  Mˆ )  ( Mˆ  Mˆ ) =1200 Kết hợp với chứng minh  Bˆ  Cˆ  600 hay Aˆ  600 Vậy để MEF  ABC Bài 2: Cho ABC cân A Gọi M, N, P thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Q điểm đối xứng P qua N a) Chứng minh tứ giác PMAQ hình thang b) Chứng minh tứ giác APCQ hình chữ nhật c) ABC phải thỏa mãn điều kiện để tứ giác PMAQ hình thang cân, APCQ hình vng Q A Nháp A Q Q A M M N B B N N P P C B P C C Giải : a) Ta có : PN / / AB (tính chất đường trung bình tam giác ) hay AM / / PQ Vậy PMAQ hình thang b) Ta có NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) VABC cân A nên AP đường cao , ; AP  BC hay Pˆ = 1v Vậy APCQ hình chữ nhật c)- Nếu PMAQ hình thang cân Qˆ  Pˆ mà Qˆ  Bˆ (góc đối hình bình hành), Pˆ  Aˆ (góc đối hình thoi ) Do :  = Bˆ  Aˆ  Bˆ  Cˆ Vậy VABC - Nếu APCQ hình vng AP = PC (= BC ) Vậy VABC vuông cân A 19 Bài 3: Cho VABC Các đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi I,J trung điểm GB, GC a) Chứng minh tứ giác EFIJ hình bình hành b) VABC phải có điều kiện để tứ giác EFIJ hình chữ nhật ? Phân tích : Điều kiện X : Điều kiện VABC Thỏa mản yếu tố Y : EFIJ hình chữ nhật E F A A A Giải : F G I J C B B E G E F l J I G C I B J C BC (tính chất đường trung bình tam giác) BC IJ / / BC , IJ   FE / / IJ , FE  IJ Vậy EFIJ hình bình hành a) Ta có : FE / / BC , FE  b) Để EFIJ hình chữ nhật FJ = IE Do BE = CF Vậy VABC cân A c) Nếu BE  CF hay FJ  IE Vậy EFIJ hình vng 3.4 Tìm điều kiện tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện đường chéo để : MNPQ hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ? Phân tích : Điều kiện X : Điều kiện tứ giác ABCD Thỏa mản yếu tố Y : MNPQ hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ? Giải : A B N M M Q P D Q N C A A P D B N M A C Q B M B C N D P C Q P D a) Vẽ đường chéo AC, BD Ta có : MN / / AC , MN  AC (tính chất đường trung bình tam giác ) 20 AC  MN / / PQ, MN  PQ Vậy MNPQ hình bình hành b)- MNPQ hình chữ nhật Mˆ = 1v  AC  BD - MNPQ hình thoi MN = MQ  AC  BD - MNPQ hình vng AC  BD AC = BD PQ / / AC , PQ  Giả thiết tương tự thay đổi yêu cầu ta có toán khác: Bài * Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) - Nếu ABCD hình bình hành MNPQ hình ? Vì ? - Nếu ABCD hình thoi MNPQ hình ? Vì ? - Nếu ABCD hình chữ nhật MNPQ hình ? Vì ? - Nếu ABCD hình vng MNPQ hình ? Vì ? Phân tích : Điều kiện X : Điều kiện tứ giác MNPQ thỏa mản yếu tố Y : ABCD hình bình hành ( hình thoi, hình chữ nhật, hình vng) Nháp M A B Q D N P C M A Q D A B N P Giải : C Q D B P C N M A M B N Q D P C a) Vẽ đường chéo AC, BD AC (tính chất đường trung bình tam giác ) AC PQ / / AC , PQ   MN / / PQ, MN  PQ Ta có : MN / / AC , MN  Vậy MNPQ hình bình hành b) - Nếu ABCD hình bình hành MNPQ hình bình hành (chứng minh câu a) - Nếu ABCD hình chữ nhật : AC = BD  MN  MQ  Vậy MNPQ hình thoi - Nếu ABCD hình thoi : AC  BD  MN  MQ hay Mˆ = 1v  MNPQ hình chữ nhật - Nếu ABCD hình vng : MN = MQ Mˆ = 1v  MNPQ hình vng Bài 3: Cho ABC có góc B C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; P, Q  BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn 21 S Phân tích: Điều kiện X : Vị trí hình chữ nhật MNPQ Thỏa mản yếu tố Y : MNPQ có diện tích lớn Vị trí hình chữ nhật MNPQ hồn tồn xác định ta xác định vị trí MN Giải: Đặt MQ = x; MN = y  AK = h - x A AMN ABC  MN AK  BC AH h a S = xy = x (h - x) h N y K M y h x a (h  x )   y a h h Gọi S diện tích hình chữ nhật MNPQ thì: x B (*) Q C P H a a a h2 h2 2 S = (hx - x ) = (hx - x +  ) h h 4 h h2  a  h2 =   ( x  x  )   h 4 h  a h2 ah a h ah  (x  )  =  (x  )  =   h h 4 h h dấu "=" xảy x -   x  2 Khi K trung điểm AH hay MN đường trung bình ABC Vậy max S = ah h x Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB PCD ) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, AC, DC, BD a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Nếu ABCD hình thang cân MNPQ hình ? c) Khi MNPQ hình vng Tính góc hình thang ABCD Phân tích : - Điều kiện X : Điều kiện MNPQ Thỏa mản yếu tố Y : ABCD hình thang cân Giải : M A B D P B A N Q N Q K M A B M Q C D P N C D P 22 C AD ( tính chất đường trung bình tam giác ) AD NP P AD, NP   MQ P NP, MQ  NP Vậy MNPQ hình bình hành b) Nếu ABCD hình thang cân AD = BC  MQ  MN a) Ta có : MQ P AD, MQ  Vậy MNPQ hình thoi c) Khi MNPQ hình vng Mˆ = 1v hay MQ  MN  DK  CK nên Cˆ = Dˆ = 450 Do  = Bˆ = 1350 Phương pháp chung : Trong dạng có nhiều tốn sử dụng kiến thức phương pháp khác nhau.Vì với tốn có cực trị tơi hướng dẫn cách làm hướng dẫn dạng 1, tốn dùng dấu hiệu tơi cho học sinh nhận dạng hình ban đầu sử dụng dấu hiệu để lập luận, tốn khác tơi hướng dẫn học sinh sử dụng phép biến đổi tương đương để giải * BÀI TẬP THAM KHẢO (dạng 3): Cho VABC , đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, D điểm đối xứng với M qua I a) Tứ giác AMCD hình ? Vì ? b) Nếu VABC có  = 900 tứ giác AMCD hình ? Vì ? c) Tìm điều kiện VABC để AMCD hình vng Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy E,K cho BE = DK a) Chứng minh AKCE hình bình hành b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để AKCE hình thoi ? Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm AC BD Vẽ đường thẳng qua B song song AC, vẽ đường thẳng qua C song song BD Hai đường cắt K a) Tứ giác OBKC hình ? Vì ? b) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để OBKC hình vuông Cho tứ giác ABCD Các phân giác góc A, B, C, D cắt cạnh M, N, P, Q a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng góc đối bù b) Nếu ABCD hình bình hành MNPQ hình ? Vì ? c) Nếu ABCD hình chữ nhật MNPQ hình ? Vì ? d) Nếu ABCD hình thoi, hình vng MNPQ hình ? Vì ? Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD AF cắt BC G, BF cắt AD H a) Chứng minh ABGH hình thoi b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để ABGH hình vng ? Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành 23 b) Với điều kiện hình thang ABCD MNPQ hình thoi, hình vng Cho VABC Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, AC, BC Và M, N, P, Q trung điểm AD, AE, EF, FD a) Chứng minh tứ giác ADFE, MNPQ hình bình hành b) Khi VABC có µA = 1v ADFE, MNPQ hình ? Vì ? Cho VABC có AA’, BB’,CC’ trung tuyến , Trọng tâm G Trên tia đối tia B’G lấy D cho B’D = B’G Trên tia đối tia C’G lấy E cho C’E = C’G a) Chứng minh BEDC hình bình hành b) Tìm điều kiện VABC để BEDC hình chữ nhật ? c) Tứ giác BEDC hình vng, hình thoi khơng ? Vì ? Cho VABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Nếu VABC có  = 1v BDCH hình ? c) Tìm điều kiện VABC để BDCH hình thoi ? 10 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt E, F, G, H a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Nếu ABCD hình vng EFGH hình ? 11 Cho ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD AD Tìm điều kiện  ABCD để : a,  MNPQ hình chữ nhật b,  MNPQ hình vng 12 Cho ABC Gọi P,Q chân đường vuông góc kẻ tứ A đến đường phân giác phân giác ngồi góc B R S lượt đường vng góc kẻ từ A đến đường phân giác ngồi đỉnh C tìm điều kiện ABC để: a,  APBQ hình vng b,  APBQ  SRAC hình chữ nhật c,  APBQ  SRAC là hình vng Trong q trình dạy học để phát huy hiệu sáng kiến thực số vấn đề sau: - Trong tiết lý thuyết cố gắng đưa kiến thức đến cho em cách đơn giản nhất, dễ nhớ, dễ học Với cơng thức Tốn học diễn đạt thơ tơi thường sưu tầm cho em đọc để dễ nhớ, nhớ lâu em yêu thích học tập - Trong tiết ôn tập cố gắng qua hệ thống tập để hệ thống kiến thức lần khắc sâu thêm kiến thức cho em Sử dụng sơ đồ tư cách mà thường thực để em nhớ đầy đủ lôgic kiến thức Từ giúp em giải tốt tập 24 - Với học sinh đại trà tơi thường hướng dẫn để em làm tập đơn giản có sử dụng dấu hiệu nhận biết hình tập sử dụng kiến thức đơn giản sách giáo khoa sách tập, sách luyện tập tự kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức kỹ chủ yếu - Với học sinh khá, giỏi tăng cường luyện dạng, luyện đề cho em để em làm quen với nhiều dạng, nhiều hướng giải giúp em linh hoạt lựa chọn cách giải, cách lập luận phù hợp để giải toán Đặc biệt trình dạy học ngồi hướng dẫn em cách học, phương pháp tìm hiểu vận dụng kiến thức tơi thường trọng rèn luyện kỹ lập luận, trình bày cho em để em có làm lôgic, chặt chẽ, gọn đẹp III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Sau tơi áp dụng sáng kiến vào thực tiễn đạt số kết sau : - Học sinh tự tin gặp phải dạng tốn “ Tìm điều kiện hình”, số học sinh giải toán tăng lên đáng kể Đã có số học sinh giải tốt dạng toán - Khả tư logic học sinh tốt - Khả lập luận trình bày học sinh tiến rõ rệt - Số lượng học sinh u thích mơn hình học ngày tăng Và sau tơi áp dụng sáng kiến vào hướng dẫn, giảng dạy cho học sinh tiến hành nhiều khảo sát dạng khác “ Tìm điều kiện hình học Trung học sở” cho học sinh Sau tơi tổng hợp lại kết khảo sát 10 học sinh hai lớp ban đầu có kết sau: Kết Làm tốt Tỉ lệ Làm Tỉ lệ Làm sai Tỉ lệ Không làm Tỉ lệ Lớp 8B 10 40 30 20 8C 30 40 20 10 So sánh với kết ban đầu thấy kết giải tốn “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở ” nâng lên rõ rệt Điều cho thấy sáng kiến thực phát huy tác dụng việc giảng dạy mơn hình học Trung Học Cơ Sở Kiến nghị: 25 Với kết đạt cảm thấy vô hạnh phúc Nhưng thân không ngừng học hỏi, trau dồi kiến thức qua bạn bè, đồng nghiệp, thầy cô, sách tham khảo, mạng Internet, từ thực tiễn dạy học để cố gắng ngày có nhiều sáng tạo có ích công tác giảng dạy nhằm đưa lại hiệu dạy học tốt Muốn làm điều tơi ln xác định : Bản thân cần phải học hỏi làm việc nhiều để có sáng kiến tốt áp dụng vào công tác giảng dạy nhằm mang lại hiệu tốt cho học sinh (Học, học nữa, học mãi, học tập suốt đời) Bên cạnh đó, tơi mong muốn học sinh ham học, ý thích tìm hiểu khám phá điều mẻ thú vị Bởi có giáo viên cố gắng hs khơng thèm học kết ln số khơng mà thơi Vì tơi mong muốn em hs cần phải chịu khó, siêng học lý thuyết, liên hệ với hình vẽ cần để nhớ khắc sâu kiến thức Rèn kỹ liên hệ kiến thức có cần tìm để gỡ nút thắt toán Các tập nhà không làm loa qua đại khái để kết mà phải tập trình bày, lập luận chặt chẽ giải lớp kiểm tra Tập cho thói quen nháp Vì nhiều em tỏ giỏi khơng cần nháp nên dễ bị sai Khi có nào, kiến thức chưa hiểu cần phải hỏi bạn bè, thầy cô vào mạng để tìm hiểu Tăng cường trao đổi với bạn khó Có tình u dành cho mơn tốn em ngày nâng lên Điều quan trọng để em thay đổi chất lượng học tập cách tự nhiên Về nhà, ngồi việc học em cịn phải làm cơng việc giúp đở bố mẹ Do em cần phải xếp cho thời gian biểu hợp lí để có thời gian làm giáo viên dành thời gian để tìm tịi, khám phá thêm số tốn khác bên ngồi Việc tham khảo thêm tốn khác mà em cảm thấy thích mang lại cho em nhiều hứng thú học tập Để tạo điều kiện cho hs học tốt bậc phụ huynh cần mua đầy đủ sách, vở, dụng cụ học tập cho em, phải dành cho em nhiều thời gian nữa, cố gắng động viên em mua thêm cho em số sách tham khảo để em học tốt mơn học mà u thích Về phía nhà trường cần tạo nhiều phong trào thi đua học tập có sức hút em Tổ chức sân chơi để học sinh thể thân lực học mình… Ví dụ: Câu lạc Toán học, giải Toán qua mạng, thi làm thơ cơng thức Tốn học Hạn chế sáng kiến Với kinh nghiệm khiêm tốn hẳn cịn nhiều thiếu sót cần góp ý bổ sung Rất mong nhận ý kiến quý báu chân thành từ phía người đọc để sáng kiến tơi trở nên thực 26 có ý nghĩa hơn, thực góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn hình học Trung Học Cơ Sở Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC: A Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài 27 II Phạm vi nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Giới hạn đề tài B Giải vấn đề I Phương pháp nghiên cứu II Nội dung nghiên cứu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Các kiến thức liên quan Nhận dạng tốn “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở” Phân loại số toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm điều kiện điểm Dạng 2: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn tính chất  Dạng 3: Tìm điều kiện hình C Kết luận kiến nghị Trang Trang Trang Trang Trang 13 Trang 15 Trang 25 Tài liệu tham khảo: - Sách giáo khoa sách tập Toán 6, 7, 8, - Sách nâng cao chuyên đề, sách nâng cao phát triển, sách bồi dưỡng hình học 6, 7, 8, - Các đề thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi - Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán ôn thi vào lớp 10 Trung học sở - Hệ thống mạng internet - 28 ... “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở? ?? - Đối tượng đề tài phục vụ: Học sinh đại trà, học sinh khá, giỏi giáo viên Trung Học Cơ Sở V Dự báo đóng góp đề tài Với sáng kiến : ? ?Tìm điều kiện hình. .. đầu thấy kết giải tốn “ Tìm điều kiện hình học Trung Học Cơ Sở ” nâng lên rõ rệt Điều cho thấy sáng kiến thực phát huy tác dụng việc giảng dạy mơn hình học Trung Học Cơ Sở Kiến nghị: 25 Với kết... cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường Trung Học Cơ Sở B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu sách giáo khoa, sách tập hình học khối Trung Học Cơ Sở - Tìm hiểu số tốn sách