Nghiên cứu tích chập và ứng dụng tích chập trong thực tế

Trong toán học và đặc biệt là trong giải tích, tích chập là 1 phép toán thực hiện đối với 2 hàm số f và g, kết quả cho ra một hàm số thứ 3. Phép tích chập khác với tương quan chéo ở chỗ nó cần lật kernel theo chiều ngang và dọc trước khi tính tích. Bài viết Nghiên cứu tích chập và ứng dụng tích chập trong thực tế trình bày việc phân tích và cách tính phép toán tích chập.

NGHIÊN CỨU TÍCH CHẬP VÀ ỨNG DỤNG TÍCH CHẬP TRONG THỰC TẾ Võ Đình Chân, Nguyễn Anh Được, Nguyễn Ngọc Thiện* *Viện Kỹ thuật HUTECH, Trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh GVHD: ThS Trần Duy Cường TĨM TẮT Trong toán học đặc biệt giải tích, tích chập phép tốn thực hàm số f g, kết cho hàm số thứ Phép tích chập khác với tương quan chéo chỗ cần lật kernel theo chiều ngang dọc trước tính tích Từ khóa: giải tích, tích chập, hàm số f, tương quan chéo, kernel GIỚI THIỆU Cơng thức tích chập định nghĩa sau: +∞ (f*g)(t) = ∫−∞ 𝑓(𝜏) 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 đó, định nghĩa hàm tương ứng với bên học máy để dễ liên hệ sau: • f(t) tín hiệu đầu vào • g(t) đáp ứng xung • t vị trí tương đối (độ trễ - t thường dùng cho thời gian) PHÂN TÍCH VÀ CÁCH TÍNH PHÉP TỐN TÍCH CHẬP Tích chập tính hiệu tuần hồn: x(t) h(t) tạo tính hiệu Y(t): Y(t) =x(t)*h(t) (1) Và định nghĩa:  Y(t)=  x( )h(t − )d (2) − Bằng cách thây đổi biến:  -  =>  =t-  ta nhận thấy,tích chập có tính giao hốn,tức là: 131  Y(t)=  h( ) x(t −  )d  (3) − Tương tự,tích chập có tính kết hợp phân phối: [x(t) * h(t) * w(t)= x(t) * [h(t) * w(t)] (4) x(t) * [ℎ1 (t)+ℎ2 (t)] = [x(t)*ℎ1 (t)] + [x(t) *ℎ2 (t)] (5) Từ công thức (2) ,có thể thực tích chập qua bước sau: -B1: tín hiệu h( ) lấy ảnh gương dịch theo thời gian để tạo thành tính hiệu h(t − ) hàm theo  với tham số t -B2: tính hiệu x( ) h(t − ) nhân lại với cho với giá trị  với t cố định vài vị trí -B3: hàm tích x( ) * h(t − ) lấy tích với  để tạo giá trị y(t) -B4: lặp lại bước B1,B2,B3 t thây đổi liên tục từ -  đến +  để tạo hàm y(t) VD: Hình ảnh minh họa tích chập Thể hàm biến giả 𝜏 Lấy đối xứng hàm qua trục tung: g(𝜏)→g(-𝜏) Thêm biến thời gian t cho phép g(t-𝜏) trượt trục 𝜏 Bắt đầu t từ -∞ đến +∞ 132 Hình 1: Cách tính tích chập TÍNH CHẤT x1(t) * x2(t) = x2(t) * x1(t) x1(t) * [x2(t) * x3(t)] = [x1(t) * x2(t)] * x3(t) x1(t) * [x2(t) + x3(t)] = x1(t) * x2(t) + x1(t) * x3(t) a[x1(t) * x2(t)] = [ax1(t)] * x2(t) +∞ Nếu x1(t) * x2(t)ϵ 𝐿2(-∞,+∞):∫−∞ 𝑥1(𝑡) 𝑥′2(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝑡 =x1(𝜏)*x’2(-𝜏) ỨNG DỤNG Tích chập ứng dụng vào lĩnh vực xác suất, thống kê, thị giác máy tính (computer vision), xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, học máy, phương trình vi phân 133 Hình 2: Ứng dụng tích chập tính cho mạch RC (LPF-Low Pass Filter) KẾT LUẬN Tích chập giúp ta giải vấn đề lĩnh vực điện tử - viễn thông tạo nên bước nhảy vọt lĩnh vực phát triển TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bracewell, R (1986), The Fourier Transform and Its Applications (ấn 2), McGraw Hill, ISBN 0071160434 [2] Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A (1979), Abstract harmonic analysis Vol I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 115 (ấn 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-09434-0, MR 0551496 [3] Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A (1970), Abstract harmonic analysis Vol II: Structure and analysis for compact groups Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0262773 134 ... =x1(