Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT
Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần Hơn thế nữa, tôi muốn giới thiệu phương pháp để học sinh làm tốt phần này trong các đề thi Cuối cùng nhưng cũng không kém phần quan trọng, thông qua thu thập và phân tích các dữ liệu cũng như áp dụng các phương pháp đó vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra một số gợi ý để giáo viên Toán có thể áp dụng hiệu quả các giải pháp đó.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần
- Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề thi.
- Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của sáng kiến.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi.
- Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học.
- Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp.
- Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính.
Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài tìm ra những phương pháp để giúp đối tượng học sinh khá giỏi có thể làm nhanh bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần; giúp đối tượng học sinh trung bình và yếu không còn “e ngại” khi gặp dạng toán này Thông qua đề tài, các giáo viên Toán có thể giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và cải thiện điểm số Học sinh có thể sử dụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy làm toán.
Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 3 phần: Phần mở đầu, phần giải quyết vấn đề và phần kết luận kiến nghị Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu cũng như dự báo những đóng góp mới của đề tài Phần giải quyết vấn đề nêu cơ sở khoa học của vấn đề, trình bày khảo sát tình hình thực tế, đưa ra một số phương pháp gồm cả lý thuyết và bài tập thực hành để học sinh có thể làm tốt các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, nêu những nhận định về tính hiệu quả của đề tài thông qua đối chiếu các số liệu liên quan Phần kết luận và kiến nghị nêu quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và những đề xuất.
PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Cơ sở khoa học
Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên K Hàm số F x ( ) là nguyên hàm của hàm số
( ) f x trên K nếu F x ' ( ) = f x ( ) với mọi x K ∈ Định lí 1: Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K thì với mỗi hằng số
C, hàm số G x ( ) = F x ( ) + C cũng là một nguyên hàm của f x ( ) trên K Định lí 2: Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( )trên K thì mọi nguyên hàm của f x ( )trên K đều có dạng F x ( ) + C , với C là một hằng số.
Do đó: Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K thì F x ( ) + C , C R ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của f x ( ) trên K Kí hiệu:∫ f x dx F x ( ) = ( ) + C
1.1.2 Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 2: ∫ kf x dx k f x dx ( ) = ∫ ( ) ( k là hằng số khác 0)
- Tính chất 3: ∫ [ f x ( ) ± g x dx ( ) ] = ∫ f x dx ( ) ± ∫ g x dx ( )
1.1.3 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u u x = ( ) và v v x = ( )có đạo hàm liên tục trên K thì
Chú ý: Vì v x dx dv '( ) = , u x dx du '( ) = , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng
+ Đối với phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách chọn đặt u và dv là rất quan trọng Khi tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần cần ưu tiên đặt u theo thứ tự
“Nhất loga – Nhì đa thức – Tam lượng – Tứ mũ” ( Ưu tiên: Thứ nhất là hàm số lôgarit; Thứ hai là hàm số đa thức; Thứ ba là hàm số lượng giác; Thứ tư là hàm số mũ) phần còn lại đặt là dv
+ Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm lôgarit và đa thức Cụ thể:
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng ln n f x ( ) , log n a f x ( ) thì phải nguyên hàm từng phần n lần.
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (không có hàm lôgarit) thì cũng phải nguyên hàm từng phần n lần.
+ Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên đoạn [ ] a b ; Giả sử F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên [ ] a b ; Hiệu số F b ( ) − F a ( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [ ] a b ; ) của hàm số f x ( ) , kí hiệu là ( ) b a f x dx
Chú ý: - Ta quy ước: ( ) 0 a a f x dx ∫ ; b ( ) a ( ) a b f x dx= − f x dx
1.2.1 Nội dung “đề cương” trong đề thi môn Toán
Thực tế kiến thức phần Nguyên hàm – Tích phân luôn có trong nội dung ôn thi.
Mà phương pháp từng phần là một phương pháp quan trọng thường được đề cấp tới. Mặt khác theo hình thức thi trắc nghiệm 50 câu chỉ có 90 phút làm bài nên làm cách nào để có đáp án chính xác và nhanh nhất là điều mà ta cần hướng tới
1.2.2 Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần
Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28), bảng thống kê như sau: Đánh giá mức độ
Rất dễ Dễ Trung bình Khó Rất khó
Cũng qua phiếu thăm dò thấy được để làm một bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần ở mức độ thông hiểu học sinh đã làm trong khoảng thời gian như sau:
Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dò:
+ Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv.
+ Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn bỏ qua.
+ Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian.
+ Sự “quay vòng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kết hợp với hàm lượng giác.
Nhận xét: Từ thực tế trên ta thấy rằng khi giải quyết dạng toán này học sinh còn gặp nhiều khó khăn đồng thời còn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả trong kiểm tra và thi Chính vì vậy việc hướng dẫn học sinh làm nguyên hàm từng phần theo phương pháp nào nhanh và hiệu quả là thực sự rất cần thiết.
2 Phương pháp làm nguyên hàm từng phần
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài).
Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.
Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.
Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.
Tuy nhiên, để làm dạng bài nguyên hàm từng phần hiệu quả nhất, học sinh cần phải nắm các tính chất của nguyên hàm và công thức tính nguyên hàm của hàm số thường gặp và luyện tập thường xuyên dạng bài này để đạt được kết quả tốt nhất.
2.2 Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần
2.2.1 Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác
Dạng: ∫ f x e ( ) ax b + dx ; hoặc ∫ f x ( ) sin( ax b dx + ) ; hoặc ∫ f x co ax b dx ( ) s( + ) trong đó
Phương pháp tự luận thông thường Đặt u = f x ( ); dv e= ax b + dx hoặc dv = sin( ax b dx + ) hoặc dv co ax b dx= s( + ) Cụ thể nếu sử dụng nguyên hàm từng phần Đặt 1
= Khi đó: I =∫ udv uv= −∫ vdu uv= −∫ v u dx 1 1
Và nếu I 1 =∫ v u dx 1 1 tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:
I uv= − =I uv − u v −∫ u v dx =uv −u v +∫ u v dx
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn)
Dựa trên công thức tính nguyên hàm ta suy ra cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản hơn mà những đối tượng học sinh năng lực Trung bình – yếu vẫn làm được:
Từ công thức tính nguyên hàm ta đễ thấy đối với những cặp theo mũi tên kẻ xiết thì đan xen dấu bắt đầu từ “+” “-” “+”… và đối với dạng này khi đặt f x ( ) là hàm đa thức bằng u ta tính đạo hàm của đa thức tới khi nào bằng 0 thì dừng quá trình Theo cách lấy như vậy cũng cho ta được kết quả:
Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101)
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: I = ∫ ( x 2 + 2 x − 1 ) e dx x
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường Đặt 2 2 1 ( 2 2 ) x x du x dx u x x dv e dx v e
Do đó: I = ( x 2 + 2 x − 1 ) e x − ∫ e x ( 2 x + 2 ) dx = ( x 2 + 2 x − 1 ) e x − I 1 (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 1 =∫ e x (2x+2) dx Đặt 1 1
Thay (2) vào (1) ta được: I = ( x 2 + 2 x − 1 ) ( e x − 2 xe x + C 1 ) ( = x 2 − 1 ) e x + C
Dựa vào bảng ta có kết quả I = ( x 2 + 2 x − 1 ) e x − ( 2 x + 2 ) e x + 2 e x + = C ( x 2 − 1 ) e x + C
Nhận xét: Rõ ràng đối với phương pháp sử dụng bảng sẽ chiếm lợi thế hơn trong cách thi trắc nghiệm như hiện nay và các học sinh đặc biệt là những học sinh học lực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu hơn nhiều.
Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x e 2 ax với
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết quả đúng?
1 ax ax du xdx u x v e dv e dx a
= −∫ = − (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 1 2 e x
2 x ax u x du dx e e dv dx v a a
Thay (2) vào (1) ta được: I x 2 e ax 2 2 x e ax 1 3 e ax C a a a
Dựa vào bảng ta có I x 2 e ax 2 x 2 e ax 4 3 e ax C a a a
Phân tích: Rõ ràng ta thấy rằng theo “Hướng 1” thì phát hiện được lỗi sai (khoanh đỏ) bằng việc lần theo từng bước của bài giải là khá khó khăn đồng thời tiếp tục chỉnh sửa sai sót và làm lại là mất nhiều thời gian.
Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh đỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng
Từ đó có kết quả I x 2 e ax 2 2 x e ax 2 3 e ax C a a a
Nhận xét: Qua ví dụ trên cho ta thấy rằng cách sử dụng bảng dễ dàng phát hiện ra sai sót nhanh hơn và sửa lỗi cũng hiệu quả hơn nhiều Điều đó cũng làm cho chúng ta thấy được một “lợi thế” không nhỏ của cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần trong khâu kiểm tra lại bài làm của mình – một bước cực kì quan trọng trong quá trình làm bài.
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = ∫ x 5 cos xdx
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường Đặt
5 5 4 cos sin u x du x dx dv xdx v x
= ⇒ = Do đó: I =x 5 sinx−5∫ x 4 sinxdx x= 5 sinx−5I 1 (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 1 =∫ x 4 sinxdx Đặt
4 sin cos u x du x dx dv xdx v x
I = −x x+ ∫ x xdx= −x x+ I (2) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 2 =∫ x 3 cosxdx Đặt
3 cos sin u x du x dx dv xdx v x
I =x x− ∫ x xdx x= x− I (3) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 3 =∫ x 2 sinxdx Đặt
2 sin cos du xdx u x v x dv xdx
I = −x x+ ∫ x xdx= −x x+ I (4) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 4 =∫ xcosxdx Đặt 4 4
4 cos 4 sin u x du dx dv xdx v x
5 4 3 2 sin 5 cos 4 sin 12 cos 2 sin cos 4
⇔ I =x 5 sinx+5 cosx 4 x−20 sinx 3 x−60 cosx 2 x+120sinx+120 cosx C+
Dựa vào bảng ta có kết quả
5sin 5 cos4 20 sin3 60 cos2 120sin 120 cos
Nhận xét: Đối chiếu hai phương pháp làm ở trên ta càng thấy rõ nếu chúng ta làm theo phương pháp tự luận thông thường với 5 lần sử dụng nguyên hàm từng phần thì quả thực là rất dài dòng, làm cho học sinh dễ rối gây ra chán nản và dẫn đến tình trạng các em “bỏ qua”, không kể đến việc thay các I i i , 1;5 = vào tính toán dễ sai đồng thời khó rà soát lại cũng như việc mất khá nhiều thời gian để đưa ra kết quả cuối cùng Qua đây ta càng thấy rõ được lợi thế của cách dùng bảng vừa ngắn gọn, dễ hiểu, dễ kiểm tra lại vừa tiết kiệm thời gian đồng thời tạo hứng thú học cho học sinh.
2.2.2 Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác
Dạng: ∫ e ax sin ( ) bx dx hoặc ∫ e ax cos ( ) bx dx trong đó a b , ≠ 0
Đánh giá tính hiệu quả của đề tài
cơ bản, với lớp thực nghiệm 12A2, tôi tiến hành hướng dẫn cụ thể từng bước làm bài, cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường sử dụng trong cách tính nguyên hàm từng phần, học sinh hai lớp làm Bài kiểm tra gồm 20 câu trong 45 phút (Phụ lục – trang
22), kết quả làm bài của lớp 12A2 cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm Riêng đối với học sinh 12A8 (Học lực trung bình – yếu) tôi chỉ ra những ví dụ và bài tập đơn giản (Chủ yếu là dạng 1 và dạng 2; ngoài ra sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần) thì đa số các em làm được và hứng thú học tập hơn nhiều. Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần lớp 12A2 (thực nghiệm) và 12A5 (đối chứng)
Lớp Điểm kiểm tra trung bình
PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Tóm tắt quá trình nghiên cứu
Căn cứ vào đề thi THPT quốc gia môn Toán và kết quả bài kiểm tra của học sinh, tôi đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt bài toán tính nguyên hàm từng phần. Các tài liệu liên quan đến đề tài được tập hợp và nghiên cứu nhằm đưa ra cơ sở khoa học. Các thông tin về khó khăn học sinh gặp phải khi làm loại nguyên hàm này được thu thập thông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp Các dạng bài được liệt kê theo nhóm, kèm theo bài tập để học sinh thực hành và ghi nhớ Tính hiệu quả của đề tài được đánh giá bằng phương pháp quan sát sự tiến bộ của học sinh, cũng như so sánh kết quả học tập với lớp đối chứng
2 Ý nghĩa của đề tài Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh.
2.1 Đối với giáo viên Toán Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làm bài tập nguyên hàm từng phần Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một tư liệu trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán cho học sinh
Các em học sinh được chia sẻ những khó khăn khi làm bài Hơn nữa, với việc nắm được các bước làm dạng bài nguyên hàm từng phần, ghi nhớ các dạng toán và loại bảng một cách hệ thống và luyện tập các bài tập trắc nghiệm đúng định dạng đề thi THPT quốc gia đi kèm, các em học sinh có thể làm tốt phần nguyên hàm từng phần Qua việc củng cố một cách hệ thống, các em cũng sẽ nắm chắc hơn các phần đã học để nâng cao điểm số của mình
3 Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
- Nếu giáo viên chỉ dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm công thức nguyên hàm từng phần thì HS chưa nắm được toàn diện loại kiến thức này Chính vì thế bản thân tôi kiến nghị giải cả hai phương pháp đối với “nguyên hàm từng phần một lần” còn ưu tiên phương pháp bảng cho những “nguyên hàm từng phần hai lần trở lên”.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.
4 Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm những bài luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể tự học.
Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
- Nếu giáo viên chỉ dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm công thức nguyên hàm từng phần thì HS chưa nắm được toàn diện loại kiến thức này Chính vì thế bản thân tôi kiến nghị giải cả hai phương pháp đối với “nguyên hàm từng phần một lần” còn ưu tiên phương pháp bảng cho những “nguyên hàm từng phần hai lần trở lên”.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.
Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu
Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm những bài luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể tự học.
