SKKN sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH - Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm phần ôn thi tốt nghiệp THPT Lĩnh vực: Toán học MỤC LỤC Trang I PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài…………….……………………………………………… Mục tiêu nghiên cứu………………………………………………………… Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………… Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… Những đóng góp đề tài…………………………………………… Bố cục đề tài…………………………………………………………… II PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………… Cơ sở khoa học……………………………………………………………… 1.1 Cơ sở lý luận……………………………………………………………… 1.2 Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………… 1.1.2 Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm phần………………… 2.1 Các bước làm bài… ……………………………………………………… 2.2 Hệ thống hóa dạng bảng nguyên hàm phần tập …… 2.2.1 Dạng kết hợp hàm số đa thức hàm số mũ hàm số đa thức hàm số lượng giác ……………………………………………………………… 2.2.2 Dạng kết hợp hàm số mũ hàm số lượng giác…………………… 11 2.2.3 Dạng kết hợp hàm số đa thức hàm số lôgarit…………………… 14 Đánh giá tính hiệu đề tài………………………………………… 19 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………… 20 Tóm tắt trình nghiên cứu……………………………………………… 20 Ý nghĩa đề tài…………………………………………………………… 20 Những hạn chế đề tài…………………………………………………… 20 Những nội dung cần tiếp tục nghiên cứu……………………………… 21 PHỤ LỤC…………………………………………………………………… 22 A Bài kiểm tra … …………………………………………………………… 22 B Bài tập rèn luyện ……… …………………………………………………… 24 C Phiếu thăm dò ý kiến ……………………… ……………………………… 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 29 I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Theo định hướng đổi phương pháp dạy học phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh đặc biệt đem lại niềm vui hứng thú học tập cho em Bên cạnh việc ơn tập cho học sinh 12 đạt kết tốt kì thi cuối cấp vấn đề quan trọng đặt cho mơn học có Tốn học Phải làm để học sinh vừa nắm chất dạng toán, vừa làm toán nhanh, phát sai sót kịp thời để phù hợp theo phương pháp thi trắc nghiệm như làm để đưa lại hứng thú niềm vui học Tốn ln trăn trở đại đa số giáo viên Bản thân giáo viên dạy lớp 12 năm 2019 – 2020 cho học sinh làm quen với khác niệm ngun hàm chương trình giải tích 12, thấy “e ngại” em tìm ngun hàm theo phương pháp tính ngun hàm phần, đặc biệt toán sử dụng đến tính phần lần thứ hai trở lên Bài tốn khó học sinh mà lại dạng tốn khơng gặp kì thi Vì để nâng cao chất lượng dạy học góp phần đem lại niềm hứng thú học tập cho em học sinh dạng tốn tơi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm phần ôn thi tốt nghiệp THPT” cho sáng kiến kinh nghiệm Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu khó khăn mà học sinh gặp phải làm toán sử dụng nguyên hàm phần Hơn nữa, muốn giới thiệu phương pháp để học sinh làm tốt phần đề thi Cuối không phần quan trọng, thông qua thu thập phân tích liệu áp dụng phương pháp vào số lớp học trường, đưa số gợi ý để giáo viên Tốn áp dụng hiệu giải pháp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp 12 trường Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt phần nguyên hàm phần đề thi THPT quốc gia Các số liệu nghiên cứu thu thập năm học 2019 – 2020 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn mà học sinh gặp phải làm nguyên hàm phần - Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm phần đề thi - Áp dụng phương pháp vào lớp 12 trường để tìm tính hiệu sáng kiến Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp trưng cầu ý kiến bảng hỏi - Biên soạn tập áp dụng chúng vào việc dạy học - Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp - Phương pháp xử lý liệu: phương pháp xử lý liệu định lượng định tính Những đóng góp đề tài Đề tài tìm phương pháp để giúp đối tượng học sinh giỏi làm nhanh toán sử dụng nguyên hàm phần; giúp đối tượng học sinh trung bình yếu khơng cịn “e ngại” gặp dạng tốn Thơng qua đề tài, giáo viên Tốn giúp học sinh rút ngắn thời gian làm cải thiện điểm số Học sinh sử dụng đề tài để tự học phát triển kỹ tư làm toán Bố cục đề tài Đề tài gồm phần: Phần mở đầu, phần giải vấn đề phần kết luận kiến nghị Phần mở đầu nêu lý chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu dự báo đóng góp đề tài Phần giải vấn đề nêu sở khoa học vấn đề, trình bày khảo sát tình hình thực tế, đưa số phương pháp gồm lý thuyết tập thực hành để học sinh làm tốt tốn sử dụng nguyên hàm phần, nêu nhận định tính hiệu đề tài thông qua đối chiếu số liệu liên quan Phần kết luận kiến nghị nêu quy trình nghiên cứu, ý nghĩa đề tài đề xuất II PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở khoa học 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số y = f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí 1: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K Định lí 2: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do đó: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ( x ) + C , C ∈ R họ tất nguyên hàm f ( x ) K Kí hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x ) + C 1.1.2 Tính chất nguyên hàm ∫ f '( x)dx = f ( x) + C - Tính chất 1: - Tính chất 2: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx ( k số khác 0) - Tính chất 3: ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 1.1.3 Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v( x) có đạo hàm liên tục K ∫ u( x)v '( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u '( x)v( x)dx Chú ý: Vì v '( x)dx = dv , u '( x)dx = du , nên đẳng thức viết dạng ∫ udv = uv − ∫ vdu Lưu ý: + Đối với phương pháp nguyên hàm phần cách chọn đặt u dv quan trọng Khi tìm nguyên hàm theo phương pháp phần cần ưu tiên đặt u theo thứ tự “Nhất loga – Nhì đa thức – Tam lượng – Tứ mũ” ( Ưu tiên: Thứ hàm số lôgarit; Thứ hai hàm số đa thức; Thứ ba hàm số lượng giác; Thứ tư hàm số mũ) phần lại đặt dv + Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm phần số lần thực phụ thuộc vào bậc hàm lôgarit đa thức Cụ thể: n n * Nếu biểu thức nguyên hàm có dạng ln f ( x ) , log a f ( x ) phải nguyên hàm phần n lần * Nếu biểu thức ngun hàm có chứa đa thức bậc n (khơng có hàm lơgarit) phải ngun hàm phần n lần + Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định 1.1.4 Định nghĩa tích phân Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) [ a; b ] Hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định [ a; b ] ) b hàm số f ( x ) , kí hiệu ∫ f ( x)dx Ta có a b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a a Chú ý: - Ta quy ước: ∫ a b a a b f ( x)dx = ; ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx (a > b) 1.2 Cơ sở thực tiễn 1.2.1 Nội dung “đề cương” đề thi mơn Tốn Thực tế kiến thức phần Ngun hàm – Tích phân ln có nội dung ơn thi Mà phương pháp phần phương pháp quan trọng thường đề cấp tới Mặt khác theo hình thức thi trắc nghiệm 50 câu có 90 phút làm nên làm cách để có đáp án xác nhanh điều mà ta cần hướng tới 1.2.2 Những khó khăn học sinh gặp phải làm phần nguyên hàm phần Qua thăm dò ý kiến 82 học sinh bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28), bảng thống kê sau: Đánh giá mức độ Số lượng Tỉ lệ Rất dễ Dễ 0% 6.1% Trung bình 40 48.8% Khó Rất khó 30 36.6% 8.5% Cũng qua phiếu thăm dò thấy để làm toán sử dụng nguyên hàm phần mức độ thông hiểu học sinh làm khoảng thời gian sau: Thời gian làm (x phút) Số lượng Tỉ lệ Không làm 3≤ x ≤5 < x ≤ 10 22 26.8% 10 < x ≤ 20 18 22% 20 phút 20 24.4% 22 26.8% Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh nêu phiếu thăm dị: + Khó khăn việc chọn đặt u dv + Việc làm theo nguyên hàm phần nhiều lần làm em “rối” muốn bỏ qua + Đặt u, dv nhiều lần làm nhiều thời gian + Sự “quay vịng” dẫn đến khó hiểu dạng nguyên hàm phần hàm mũ kết hợp với hàm lượng giác Nhận xét: Từ thực tế ta thấy giải dạng toán học sinh cịn gặp nhiều khó khăn đồng thời cịn nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết kiểm tra thi Chính việc hướng dẫn học sinh làm nguyên hàm phần theo phương pháp nhanh hiệu thực cần thiết Phương pháp làm nguyên hàm phần 2.1 Các bước làm Bước 1: Đọc kỹ đề nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm phần (Các dạng toán cụ thể đề cập đề tài) Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho toán Bước 3: Dựa vào bảng để tìm kết cho nguyên hàm Bước 4: Tìm phương án kiểm tra lại để chắn câu trả lời Tuy nhiên, để làm dạng nguyên hàm phần hiệu nhất, học sinh cần phải nắm tính chất nguyên hàm cơng thức tính ngun hàm hàm số thường gặp luyện tập thường xuyên dạng để đạt kết tốt 2.2 Hệ thống hóa dạng sử dụng bảng nguyên hàm phần 2.2.1 Dạng kết hợp hàm số đa thức hàm số mũ hàm số đa thức hàm số lượng giác Dạng: ∫ f ( x) e ax + b dx ; ∫ f ( x ) sin(ax + b)dx ; ∫ f ( x ) co s(ax + b)dx f ( x ) đa thức Phương pháp tự luận thông thường Đặt u = f ( x ) ; dv = e ax +b dx dv = sin(ax + b)dx dv = co s(ax + b)dx Cụ thể sử dụng nguyên hàm phần  du = u1dx u = f ( x) ⇒ Khi đó: I = ∫ udv = uv − ∫ vdu = uv − ∫ v1u1dx  dv = g ( x)dx v = v1 Đặt  Và I1 = ∫ v1u1dx tiếp tục sử dụng nguyên hàm phần ta có: ( ) I = uv1 − I1 = uv1 − u1v2 − ∫ u2 v2 dx = uv1 − u1v2 + ∫ u2v2 dx Hoàn toàn tương tự ⇒ I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + + ( −1) n −1 ⇒ I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + + ( −1) n −1 un −1vn + ( −1) n ∫ ( v ) dx n un −1vn + C Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn) Dựa cơng thức tính ngun hàm ta suy cách lập bảng để tính nguyên hàm phần cách đơn giản mà đối tượng học sinh lực Trung bình – yếu làm được: Từ cơng thức tính ngun hàm ta đễ thấy cặp theo mũi tên kẻ xiết đan xen dấu “+”  “-” “+”… dạng đặt f ( x ) hàm đa thức u ta tính đạo hàm đa thức tới dừng trình Theo cách lấy cho ta kết quả: I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + + ( −1) n −1 un −1vn + C Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101) x Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính: I = ∫ ( x + x − 1) e dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường u = x + x − du = ( x + ) dx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e x x x Do đó: I = ( x + x − 1) e − ∫ e ( x + ) dx = ( x + x − 1) e − I1 (1) x Áp dụng nguyên hàm phần cho I1 = ∫ e ( x + ) dx u1 = x +  du1 = 2dx ⇒ x x  dv1 = e dx v1 = e Đặt  x x x x x Khi đó: I1 = e ( x + ) − ∫ 2e dx = e ( x + ) − 2e + C1 = xe + C1 (2) x x x Thay (2) vào (1) ta được: I = ( x + x − 1) e − ( xe + C1 ) = ( x − 1) e + C Cách 2: Sử dụng bảng x x x x Dựa vào bảng ta có kết I = ( x + x − 1) e − ( x + ) e + 2e + C = ( x − 1) e + C Nhận xét: Rõ ràng phương pháp sử dụng bảng chiếm lợi cách thi trắc nghiệm học sinh đặc biệt học sinh học lực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu nhiều 10 ax Ví dụ 2: Cho toán: “Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x e với 1 a ≠ cho F  ÷ = F ( ) + Chọn mệnh đề mệnh đề sau a A < a ≤ B a < C a ≥ D < a < ” Hãy xét xem hướng làm sau hay sai? Chỉ chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết đúng? ax Hướng 1: I = ∫ x e dx du = xdx u = x  x ax ex x ax ⇒ I = e − x dx = e − I1 (1) Đặt  Do đó:  ax ax ∫ a a a  dv = e dx v = e a  Áp dụng nguyên hàm phần cho I1 = ∫ x ex dx a u1 = x du1 = dx x ax x ax ax   ax x ⇒ Đặt  e e ax Khi đó: I1 = e − ∫ e dx = e − e + C1 (2) a a a a  dv1 = dx v1 = a a   Thay (2) vào (1) ta được: I = 1 x ax x ax ax e − e + e +C a a a e 2e e Mặt khác: F  ÷ = F ( ) + ⇒ − + = + ⇒ a = −1 ⇒ a = −1 a a a a a Do chọn B ax Hướng 2: I = ∫ x e dx Dựa vào bảng ta có I = x ax x ax ax e − e + e +C a a a 11 Trong u1.v1 = u1( ) v1( 2) ; u2 v2 = u2( 2) v2( 2) ; …; un −1.vn −1 = un −1( 2) −1( 2) (tích cặp số theo hàng ngang khung hình chữ nhật nhỏ ln nhau) Và ưu tiên đưa ui( 2) hàm lơgarit hàm đa thức (nếu khơng cịn hàm lôgarit) tiếp tục làm đạo hàm Khi đó: I = uv1 − u1( 2) v2 + u2( 2) v3 − u3( 2) v4 + + ( −1) n −1 un −1( 2) + C Ví dụ 1: Tính I = ∫ x ln xdx Giải: Đặt I = ∫ x ln xdx Sử dụng bảng 18 Dựa vào bảng ta có I = x2 x2 ln x − + C 1 x2 việc đưa u1( 2) v1( 2) = x x Phân tích: Ở bước chuyển đổi cặp u1.v1 = x ta đưa u1( 2) v1( 2) = vị trí u nhanh chóng đưa tốt (trừ trường hợp cịn hàm logarit u phải ưu tiên hàm logarit, trường hợp đề cập đến Ví dụ 3) Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫ x ln 4− x dx 4+ x Giải: Sử dụng bảng 19 Dựa vào bảng ta có I = x − 16 − x ln − 4x + C 4+ x Phân tích: Ở lấy nguyên hàm lần x ta sử dụng định lí sở lí thuyết với C số mà ta linh động cho xuất ( x − 16 ) nhằm nhân ngang với lượng dễ cho kết “đẹp” thuận lợi cách x − 16 giải Nếu không thêm bớt bước giải dài Cụ thể Dựa vào bảng ta có I = x2 4− x 4− x  x − 16 − x  ln −  x + ln + C = ln − 4x + C ÷ 4+ x 4+ x 4+ x  Bài tốn tổng qt: Tính I = ∫ x ln a−x dx , với a ∈ R làm sau a+x 20 Dựa vào bảng ta có I = Ví dụ 3: Biết x2 − a2 a−x ln − ax + C a+x ( ) I = ∫ x ln xdx = x a ln x + b ln x + c ln x + d + C , với a, b, c, d ∈ Q Tổng S = a + b + c + d A B C − 11 D 19 Giải: Sử dụng bảng Dựa vào bảng ta có I= x2 3x 2 3x 3x 3 3 1 ln x − ln x + ln x − + C = x  ln x − ln x + ln x − ÷+ C 4 4 8 2 4 8 Kết hợp với giả thiết ta có a = ; b = − ; c = ; d = − ⇒ a + b + c + d = Vậy chọn đáp án B 21 Lưu ý: Ở toán cho ta thấy rõ có mặt hàm lơgarit ta phải để hàm lôgarit cột “ u ” tiếp tục lấy đạo hàm Ví dụ 4: (Đề thức BGD 2017 mã đề 104 câu 42) Cho F ( x ) = nguyên hàm hàm số f ( x) x Tìm nguyên hàm hàm số f ′ ( x ) ln x   ln x + ÷+ C x 2x   ln x  f ′ ( x ) ln xdx = −  + ÷+ C x   x ln x + +C x2 x2 ln x f ′ ( x ) ln xdx = + + C x 2x A ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  B ∫ f ′ ( x ) ln xdx = C ∫ D ∫ Giải: Từ F ( x ) = 2x2 f ( x) f ( x) suy F ' ( x ) = nguyên hàm hàm số 2x x x   f ( x) ⇒ f x = − ⇒ f ' x = ( ) ( )  2÷= x2 x x  2x  Bài toán đưa tính I = ∫ ln xdx Ta có bảng x ' Dựa vào bảng ta có: I = − ln x 1   ln x − + C = −  + ÷+ C Do chọn đáp án A x 2x 2x   x Đánh giá tính hiệu đề tài Trong năm học 2019 – 2020, để kiểm nghiệm tính hiệu đề tài, tơi thực nghiệm lớp 12A2 lấy lớp 12A5 làm đối chứng Với lực học lớp tương đương Sau ơn tập lí thuyết phương pháp tính nguyên hàm phần 22 bản, với lớp thực nghiệm 12A2, tiến hành hướng dẫn cụ thể bước làm bài, cách lập bảng hệ thống hóa loại bảng thường sử dụng cách tính nguyên hàm phần, học sinh hai lớp làm Bài kiểm tra gồm 20 câu 45 phút (Phụ lục – trang 22), kết làm lớp 12A2 cao lớp đối chứng 12A1 1.25 điểm Riêng học sinh 12A8 (Học lực trung bình – yếu) tơi ví dụ tập đơn giản (Chủ yếu dạng dạng 2; sử dụng nguyên hàm phần khơng q lần) đa số em làm hứng thú học tập nhiều Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm phần lớp 12A2 (thực nghiệm) 12A5 (đối chứng) Lớp 12A2(44 HS) 12A5 (38 HS) Điểm kiểm tra trung bình 7.5 6.25 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tóm tắt trình nghiên cứu Căn vào đề thi THPT quốc gia mơn Tốn kết kiểm tra học sinh, nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt tốn tính ngun hàm phần Các tài liệu liên quan đến đề tài tập hợp nghiên cứu nhằm đưa sở khoa học Các thơng tin khó khăn học sinh gặp phải làm loại nguyên hàm thu thập thông qua bảng hỏi trao đổi với đồng nghiệp Các dạng liệt kê theo nhóm, kèm theo tập để học sinh thực hành ghi nhớ Tính hiệu đề tài đánh giá phương pháp quan sát tiến học sinh, so sánh kết học tập với lớp đối chứng Ý nghĩa đề tài Đề tài mang lại lợi ích cho giáo viên Toán cho em học sinh 2.1 Đối với giáo viên Tốn Đề tài giúp giáo viên nhìn nhận khó khăn học sinh gặp phải làm tập nguyên hàm phần Bên cạnh đó, giáo viên sử dụng đề tài tư liệu q trình ơn thi THPT quốc gia mơn Tốn cho học sinh 2.2 Đối với học sinh 23 Các em học sinh chia sẻ khó khăn làm Hơn nữa, với việc nắm bước làm dạng nguyên hàm phần, ghi nhớ dạng toán loại bảng cách hệ thống luyện tập tập trắc nghiệm định dạng đề thi THPT quốc gia kèm, em học sinh làm tốt phần nguyên hàm phần Qua việc củng cố cách hệ thống, em nắm phần học để nâng cao điểm số Những hạn chế đề tài - Hệ thống tập chưa thật phong phú - Nếu giáo viên dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm công thức nguyên hàm phần HS chưa nắm tồn diện loại kiến thức Chính thân kiến nghị giải hai phương pháp “nguyên hàm phần lần” ưu tiên phương pháp bảng cho “nguyên hàm phần hai lần trở lên” - Phiếu khảo sát cho em nhà làm nên chưa đánh giá thực khách quan trình bày thời gian thực - “Bài kiểm tra” thực thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết đánh giá cịn hạn chế tính xác thực Những nội dung cần tiếp tục nghiên cứu Đề tài nên mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng lớp đối chứng thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh tự học 24 PHỤ LỤC A BÀI KIỂM TRA Câu 1: Nguyên hàm I = ∫ x.sin xdx A − x cos x − sin x + C C − x sin x + cos x + C Câu 2: ∫( x B − x cos x + sin x + C D − x sin x + sin x + C ) + cos xdx = F ( x ) + C , F ( ) A −1 B C D x x Câu 3: Biết ∫ x.e dx = ( ax + b ) e + C với a, b ∈ R Khi S = a + b A −1 Câu 4: Biết B ∫( x C D ) + e x dx = F ( x ) + C , F ( 1) A B C D x Câu 5: Nguyên hàm I = ∫ e sin xdx A e x cos x + e x sin x +C B e x sin x − e x cos x +C C Câu 6: Biết ∫e x e x cos x − e x sin x +C x x D ( e cos x + e sin x ) + C cos xdx = e x ( a sin x + b cos x ) + C , với a, b ∈ R Khi P = a.b A B C Câu 7: Biết ∫ e2 x sin xdx = e x ( a sin x + b cos x ) + C , với a, b ∈ R Khi A B 2 D −2 a b C − D −2 C D e Câu 8: Biết ∫ ln xdx = F ( x ) + C , F ( e ) A e2 − e Câu 9: B x ln x x − Cho F ( x ) = nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x ( a, b a b số) Tính a − b A B C D Câu 10: Nguyên hàm F ( x ) hàm số ln x thỏa mãn F ( 1) = x2 25 ( ln x − 1) + x 1 C − ln x + + x x B − A D ( ln x + 1) + x ( ln x + 1) + x x Câu 11: Nguyên hàm I = ∫ x.2 dx 2x A ( x ln − 1) + C ln C 2x B ( x ln + 1) + C ln 2x ( x − 1) + C ln 2 D 2x ( x ln − 1) + C ln −x −x Câu 12: Biết f ( x ) = x ( − x ) e có nguyên hàm ( ax + bx + c ) e với a, b, c ∈ R Khi tổng S = a + b + c A B C D f ( x) x3 x nguyên hàm Tính ∫ f '( x ).e dx x x x x A x e − xe + 6e + C B x e x − xe x + 6e x + C Câu 13: Cho F ( x) = C x e x − xe x + e x + C D x + xe x + 6e x + C Câu 14: Nguyên hàm I = ∫ x.tan xdx A x cot x + ln cos x − x2 +C C x tan x + ln cos x + Câu 15: Biết ∫ e x sin 3xdx = A −12 Câu 16: Biết A x2 +C B x tan x + ln sin x − x2 +C D x tan x + ln cos x − x2 +C a + beπ + C với a, b, c ∈ R Khi tổng S = a + b + c c B −8 C 18 D 14 x ln xd ( 2020 x ) = F ( x ) + C Khi F ( e ) − F ( 1) ∫ 2020 e2 − B − e2 + C 1− x mx + n − x dx = ln + qx + C Câu 17: Biết ∫ x ln 1+ x p 1+ x S = m + n + p + q A B e2 − D −e + với m, n, p, q ∈ R Khi tổng C D Câu 18: Biết ∫ x ln ( x + 1) dx = F ( x ) + C Khi F ( ) A ln − B ln + C ln − D ln + 26 mx + nx + px + qx + r x e +C Câu 19: Biết ∫ Khi tổng S = m + n + p + q + r A B C ( ) x − x + e x dx = với m, n, p, q, r ∈ R D m x n ln x + p ln x + q ln x + r + C với m, n, p, q, r ∈ R Khi 27 tổng S = m + n + p + q + r A B C D ( Câu 20: Biết ∫ x ln xdx = ) Đáp án: 1.B 11.A 2.B 12.B 3.B 13A 4.D 14.D 5.C 15.D 6.A 16.C 7.D 17.B 8.B 18.A 9.B 19.B 10.B 20.B B BÀI TẬP RÈN LUYỆN I Dạng kết hợp hàm số đa thức hàm số mũ hàm số đa thức hàm số lượng giác Tìm ∫ x cos xdx A 1 x.sin x − cos x + C C x.sin x + cos x + C B 1 x.sin x + cos x + C D 1 x sin x + cos2 x + C 2 x Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( e + 1) A x + xe x − 2e x + C B x + xe x − e x + C C x − xe x − 2e x + C D x + xe x − e x + C Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 1) ln x A ( x − x ) ln x − x2 − x+C 2 C ( x − x ) ln x + x − x + C 2 B ( x − x ) ln x − x − x + C D ( x − x ) ln x − x2 + x+C Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) F ( 1) = Khẳng định khẳng định sau? 2 A F ( x ) = x + x ln x + 2 C F ( x ) = x + x ln x 2 B F ( x ) = x + x ln x − 2 D F ( x ) = x + x ln x − 27 Cho I = ∫ ( x + 1) sin xdx Tính I A I = 1 ( x + 1) cos x + sin x + C C I = − B I = 1 ( x + 1) cos x − sin x + C 1 ( x + 1) cos x − sin x + C D I = − 1 ( x + 1) cos x + sin x + C Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết đúng? 4 A F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C B F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C 4 C F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C Biết ∫ ( D F ( x) = (2 x cos x − sin x) + C mx + nx + px + qx + r x x − x + e dx = e + C với m, n, p, q, r ∈ R Khi ) 2x tổng S = m + n + p + q + r A B Biết ∫ x3 e2 x +1dx = C e x +1 mx + nx + px + q + C 16 ( ) D m, n, p, q ∈ R với Khi tổng S = m + n + p + q A B C D −x Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = e , ∀x ∈ R f ( ) = Tất 2x nguyên hàm f ( x ) e x x A ( x − ) e + e + C 2x x B ( x + ) e + e + C x C ( x − 1) e + C x D ( x + 1) e + C ( 1 x2 + a 10 Cho biết F ( x ) = x + x − nguyên hàm f ( x ) = x x2 ) Tìm nguyên hàm g ( x ) = x cos ax A x sin x − cos x + C B 1 x sin x − cos x + C C x sin x + cos+ C D 1 x sin x + cos x + C Đáp án: 1.B 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 28 II Dạng kết hợp hàm số mũ hàm số lượng giác x Nguyên hàm I = ∫ e sin xdx e x cos x + e x sin x +C A C e x cos x − e x sin x +C B e x sin x − e x cos x +C x x D ( e cos x + e sin x ) + C π  x Biết ∫ e sin xdx = F ( x ) + C Khi F  ÷ 2 π π A 2e π B − 2e Biết ∫ e x +1 cos xdx = A π C e D − e ab ae x +1 ( b sin x + c cos x ) + C , với a, b, c ∈ R Khi c 1 B C − D −2 2 me x Biết ∫ e cos xdx = ( n sin x + p cos x + q ) + C , với m, n, p, q ∈ R Khi m.n p.q 2x A B D −2 C ax Nguyên hàm I = ∫ e sin bxdx với a, b ∈ R e ax ( a sin bx + b cos bx ) + C a + b2 e ax C 2 ( b sin bx − a cos bx ) + C a +b e ax ( b sin bx + a cos bx ) + C a + b2 e ax D 2 ( a sin bx − b cos bx ) + C a +b A B Đáp án: 1.C 2.A 3.A 4.B III Dạng kết hợp hàm số đa thức hàm số lôgarit 5.D Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1) ln x ( ) 2 A x + x ln x − x − x x2 B x + x ln x − − x 2 C ( x + x ) ln x − x − x + C D ( x + x ) ln x − ( ) x2 − x+C 2 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + 3ln x ) là: x3 + x ln x + C A 3 C x ln x + C B x3 ln x D x3 + x3 ln x + C 29 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( + x ) 1 + ln ( x + 1)  A x + x2 + x + x ln ( x + 1) + C B x + 3x + x + x ln ( x + 1) + C C x + x2 − x + x ln ( x + 1) + C D x + 3x + x + x ln ( x + 1) + C ( ) ( ) ( ) ( ) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + x ln x A F ( x ) = − cos x + C F ( x ) = cos x + x2 x2 ln x − + C B F ( x ) = − cos x + ln x + C x2 x2 ln x − + C D F ( x ) = − cos x + C Biết ∫ x ln ( x + ) dx = A x2 + a ln( x + 2) + bx + C , với a, b ∈ R Khi tích a.b B C − D −1 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x A C ∫ 32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C B ∫ f ( x ) dx = 32 x ( 3ln x − 1) + C D ∫ 32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C ∫ f ( x ) dx = 32 x ( 3ln x − ) + C Cho F ( x ) = x ( a + b ln x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x Trong a , b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P = a + ab + b A P = B P = 16 C P = 8− x mx + n − x dx = ln + qx + C 8+ x p 8+ x S = m + n + p + q A 70 B −71 Biết ∫ x ln ( với D P = m, n, p, q ∈ R Khi C −69 16 tổng D −53 ) Biết kết tích phân I = ∫ x ln x + dx = a ln + b ln + c với a , b , c số nguyên Khi giá trị T = a + b + c bao nhiêu? A T = B T = C T = 10 D T = 11 x 2x 10 Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e Tìm nguyên hàm 2x hàm số f ′ ( x ) e A ∫ f ′( x) e 2x dx = ( x − ) e x + C B ∫ f ′ ( x) e 2x dx = 2− x x e +C 30 C ∫ f ′ ( x) e 2x dx = ( − x ) e x + C D ∫ f ′( x) e 7.D 8.C 2x dx = ( − x ) e x + C Đáp án: 1.D 2.C 3.A 4.A 5.D C PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN I 6.D 9.A 10.C Đọc tập sau làm yêu cầu bên Bài tập SGK trang 101 sách giải tích 12 hành (Ban bản) Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, tính: a) I = ∫ x ln( x + 1)dx ; x b) I = ∫ ( x + x − 1) e dx ; c) I = ∫ x sin(2 x + 1)dx ; d) I = ∫ ( − x ) cos xdx Câu hỏi 1: Em nhận xét tập trên? Rất dễ Dễ Trung bình Khó Rất khó Câu hỏi 2: Em nêu khó khăn em gặp phải làm dạng tốn tính ngun hàm phần? II Biết ∫( x Em làm tập sau làm thời gian (theo dõi ghi rõ ….phút)? ) + e x dx = A 2x e ax + bx + c + C ; với a, b, c ∈ R Khi tổng S = a + b + c B C D ( ) (Riêng lớp 12aA8 thay bởi: Biết ∫ x e dx = e ( ax x x ) + bx + c + C ; với a, b, c ∈ R Khi tổng S = a + b + c A B C D −3 ) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 Đề thi THPT quốc gia mơn Tốn năm từ 2016 đến 2019; Đề thi thử năm “Phương pháp tính nguyên hàm phần” số website 32 ... làm nguyên hàm phần - Giới thi? ??u phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm phần đề thi - Áp dụng phương pháp vào lớp 12 trường để tìm tính hiệu sáng kiến Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng. .. kì thi Vì để nâng cao chất lượng dạy học góp phần đem lại niềm hứng thú học tập cho em học sinh dạng tốn tơi chọn đề tài ? ?Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm phần. .. dẫn học sinh làm nguyên hàm phần theo phương pháp nhanh hiệu thực cần thi? ??t Phương pháp làm nguyên hàm phần 2.1 Các bước làm Bước 1: Đọc kỹ đề nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm phần