Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

Bản thân tôi là một giáo viên dạy lớp 12 trong năm 2019 – 2020 khi cho học sinh làmquen với khác niệm nguyên hàm trong chương trình giải tích 12, tôi đã thấy được sự “engại” của các em k

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Theo định hướng về đổi mới phương pháp dạy học thì phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh và đặc biệt

là đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho các em Bên cạnh đó việc ôn tập cho họcsinh 12 đạt kết của tốt trong kì thi cuối cấp cũng là một vấn đề cực kì quan trọng đượcđặt ra cho các môn học trong đó có Toán học Phải làm thế nào để học sinh vừa nắmđược bản chất các dạng toán, vừa làm toán nhanh, phát hiện các sai sót kịp thời để phùhợp theo phương pháp thi trắc nghiệm như hiện nay cũng như làm thế nào để đưa lại

sự hứng thú và niềm vui khi học Toán vẫn luôn là trăn trở của đại đa số các giáo viên Bản thân tôi là một giáo viên dạy lớp 12 trong năm 2019 – 2020 khi cho học sinh làmquen với khác niệm nguyên hàm trong chương trình giải tích 12, tôi đã thấy được sự “engại” của các em khi tìm nguyên hàm theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần,đặc biệt đối với những bài toán sử dụng đến tính từng phần lần thứ hai trở lên Bài toánnày đang khá khó đối với học sinh mà đây lại là dạng toán không ít gặp trong các kìthi Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy học cũng như góp phần đem lại niềm hứng thú

học tập cho các em học sinh về dạng toán này tôi đã chọn đề tài “Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT” cho sáng kiến kinh nghiệm của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm cácbài toán sử dụng nguyên hàm từng phần Hơn thế nữa, tôi muốn giới thiệu phương pháp

để học sinh làm tốt phần này trong các đề thi Cuối cùng nhưng cũng không kém phầnquan trọng, thông qua thu thập và phân tích các dữ liệu cũng như áp dụng các phươngpháp đó vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra một số gợi ý để giáo viên Toán có thể

áp dụng hiệu quả các giải pháp đó

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài này là 2 lớp 12 tại trường tôi

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về các phương pháp giúp học sinh làm tốt phần nguyên hàmtừng phần trong đề thi THPT quốc gia

Các số liệu nghiên cứu được thu thập trong năm học 2019 – 2020

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần

- Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề thi

- Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của sáng kiến

6 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi

- Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học

- Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp

- Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính.

7 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài tìm ra những phương pháp để giúp đối tượng học sinh khá giỏi có thể làmnhanh bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần; giúp đối tượng học sinh trung bình vàyếu không còn “e ngại” khi gặp dạng toán này Thông qua đề tài, các giáo viên Toán

có thể giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và cải thiện điểm số Học sinh có thể sửdụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy làm toán

8 Bố cục của đề tài

Đề tài gồm 3 phần: Phần mở đầu, phần giải quyết vấn đề và phần kết luận kiếnnghị Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi,nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu cũng như dự báo những đóng góp mới của đềtài Phần giải quyết vấn đề nêu cơ sở khoa học của vấn đề, trình bày khảo sát tình hìnhthực tế, đưa ra một số phương pháp gồm cả lý thuyết và bài tập thực hành để học sinh

có thể làm tốt các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, nêu những nhận định vềtính hiệu quả của đề tài thông qua đối chiếu các số liệu liên quan Phần kết luận vàkiến nghị nêu quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và những đề xuất

II PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

f x trên K nếu F x'  f x( ) với mọi x K

Định lí 1: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số

C, hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K

Định lí 2: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàmcủa f x trên K đều có dạng F x C, với Clà một hằng số

Do đó: Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì F x C, C R

là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K Kí hiệu:f x dx F x( )   C.

+ Đối với phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách chọn đặt u và dv là rất quan

trọng Khi tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần cần ưu tiên đặt u theo thứ tự

“Nhất loga – Nhì đa thức – Tam lượng – Tứ mũ” ( Ưu tiên: Thứ nhất là hàm số

lôgarit; Thứ hai là hàm số đa thức; Thứ ba là hàm số lượng giác; Thứ tư là hàm số mũ)phần còn lại đặt là dv

+ Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vàobậc của hàm lôgarit và đa thức Cụ thể:

* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng lnn f x , logn  

a f x thì phải nguyên hàmtừng phần n lần

* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (không có hàm lôgarit) thìcũng phải nguyên hàm từng phần n lần

+ Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng

1.2.1 Nội dung “đề cương” trong đề thi môn Toán

Thực tế kiến thức phần Nguyên hàm – Tích phân luôn có trong nội dung ôn thi

Mà phương pháp từng phần là một phương pháp quan trọng thường được đề cấp tới.Mặt khác theo hình thức thi trắc nghiệm 50 câu chỉ có 90 phút làm bài nên làm cáchnào để có đáp án chính xác và nhanh nhất là điều mà ta cần hướng tới

1.2.2 Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần

Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28),bảng thống kê như sau:

Đánh giá mức độ

Cũng qua phiếu thăm dò thấy được để làm một bài toán sử dụng nguyên hàm từngphần ở mức độ thông hiểu học sinh đã làm trong khoảng thời gian như sau:

Thời gian làm bài

(x phút) 3 x 5

  5 x 10 10 x 20

Không làmđược trong

20 phút

Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dò:

+ Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv

+ Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn

bỏ qua

+ Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian

+ Sự “quay vòng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kếthợp với hàm lượng giác

Nhận xét: Từ thực tế trên ta thấy rằng khi giải quyết dạng toán này học sinh còn gặp

nhiều khó khăn đồng thời còn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả trongkiểm tra và thi Chính vì vậy việc hướng dẫn học sinh làm nguyên hàm từng phần theophương pháp nào nhanh và hiệu quả là thực sự rất cần thiết

2 Phương pháp làm nguyên hàm từng phần

2.1 Các bước làm bài

Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng

phần (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài)

Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.

Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.

Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.

Tuy nhiên, để làm dạng bài nguyên hàm từng phần hiệu quả nhất, học sinh cần phảinắm các tính chất của nguyên hàm và công thức tính nguyên hàm của hàm số thườnggặp và luyện tập thường xuyên dạng bài này để đạt được kết quả tốt nhất

2.2 Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần

2.2.1 Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác

  Khi đó: I udv uv  vdu uv  v u dx1 1

Và nếu I1v u dx1 1 tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:

Từ công thức tính nguyên hàm ta đễ thấy đối với những cặp theo mũi tên kẻ xiết thìđan xen dấu bắt đầu từ “+”  “-” “+”… và đối với dạng này khi đặt f x  là hàm

đa thức bằng u ta tính đạo hàm của đa thức tới khi nào bằng 0 thì dừng quá trình Theocách lấy như vậy cũng cho ta được kết quả:

Dựa vào bảng ta có kết quả I x22x1e x 2x2e x2e xCx21e xC

Nhận xét: Rõ ràng đối với phương pháp sử dụng bảng sẽ chiếm lợi thế hơn trong

cách thi trắc nghiệm như hiện nay và các học sinh đặc biệt là những học sinh họclực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu hơn nhiều

Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x e 2 axvới

Phân tích: Rõ ràng ta thấy rằng theo “Hướng 1” thì phát hiện được lỗi sai (khoanh

đỏ) bằng việc lần theo từng bước của bài giải là khá khó khăn đồng thời tiếp tụcchỉnh sửa sai sót và làm lại là mất nhiều thời gian

Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanhđỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng

Nhận xét: Qua ví dụ trên cho ta thấy rằng cách sử dụng bảng dễ dàng phát hiện ra

sai sót nhanh hơn và sửa lỗi cũng hiệu quả hơn nhiều Điều đó cũng làm cho chúng

ta thấy được một “lợi thế” không nhỏ của cách lập bảng để tính nguyên hàm từngphần trong khâu kiểm tra lại bài làm của mình – một bước cực kì quan trọng trongquá trình làm bài

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I x5cosxdx

Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường

  Do đó: I x5sinx 5x4sinxdx x 5sinx 5I1 (1)

Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 x4sinxdx

3 3

2cossin

Dựa vào bảng ta có kết quả

5sin 5 cos4 20 sin3 60 cos2 120sin 120cos

dễ hiểu, dễ kiểm tra lại vừa tiết kiệm thời gian đồng thời tạo hứng thú học cho họcsinh

2.2.2 Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác

Dạng: e axsin bx dx hoặc e axcos bx dx trong đó a b , 0

Phương pháp tự luận thông thường: Đặt u sinbxhoặc u cosbx; dv e dx ax Sau

đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên đếnkhi xuất hiện u v dx n n giống với nguyên hàm ban đầu thì dừng lại.

Lưu ý đối với dạng toán này có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặcngược lại đều được nhưng phải thống nhất theo cùng thứ tự khi phải sử dụng nguyên

hàm từng phần của tất cả các lần sử dụng, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng

I I

Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như

trong dạng 1 nhưng đến khi xuất hiện tích của hàng ngang giống với nguyên hàm cầntính ban đầu (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại và cách lấy kết quả dựa vào sơ đồsau

sin 3 3 cos3 9 sin

I  x e  x e C (2)Thay (2) vào (1) ta được

Lưu ý: Giả thiết của bài toán cũng chính là 2 2 2

2.2.3 Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức là hàm số lôgarit

Dạng: f x .lnax b dx  hoặc f x .logabx c dx  trong đó f x là đa thức

Phương pháp tự luận thông thường: Đặt ulnax b hoặc ulogabx c  ;

 

dvf x dx Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1

đã nêu ở trên

Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như

trong dạng 1 nhưng cần lưu ý ở dạng nguyên hàm này khi ta đã ưu tiên đặt

ln

u ax b hoặc ulogabx c thì khi lấy đạo hàm của u sẽ không thể bằng 0 được,

do vậy cần phải điều chỉnh cột lấy đạo hàm và cột lấy nguyên hàm theo nguyên tắc

Trong đó u v1 1 u1 2  .v1 2  ; u v2 2 u2 2  .v2 2  ; …; u n1.v n1u n1 2  .v n1 2   (tích các cặp số theohàng ngang ở trong mỗi khung hình chữ nhật nhỏ luôn bằng nhau) Và ưu tiên đưa vềcác u i  2 là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu không còn hàm lôgarit) và tiếp tục làmcho tới khi đạo hàm về bằng 0.

Khi đó: I uv 1 u v1 2  2 u v2 2  3 u v3 2  4    1n1u n1 2 v nC

Ví dụ 1: Tính I xlnxdx

Giải: Đặt I xlnxdx

Sử dụng bảng

Lưu ý: Ở bài toán này cho ta thấy rõ rằng một khi đang có mặt hàm lôgarit thì ta

phải để hàm lôgarit ở cột “u” và tiếp tục lấy đạo hàm

4 Đánh giá tính hiệu quả của đề tài

Trong năm học 2019 – 2020, để kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài, tôi đã

thực nghiệm tại lớp 12A2 và lấy lớp 12A5 làm đối chứng Với năng lực học của 2 lớp

là tương đương nhau Sau khi ôn tập lí thuyết và phương pháp tính nguyên hàm từng phần

cơ bản, với lớp thực nghiệm 12A2, tôi tiến hành hướng dẫn cụ thể từng bước làm bài,cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường sử dụng trong cách tính nguyên hàmtừng phần, học sinh hai lớp làm Bài kiểm tra gồm 20 câu trong 45 phút (Phụ lục – trang22), kết quả làm bài của lớp 12A2 cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm Riêng đốivới học sinh 12A8 (Học lực trung bình – yếu) tôi chỉ ra những ví dụ và bài tập đơn giản(Chủ yếu là dạng 1 và dạng 2; ngoài ra sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần)thì đa số các em làm được và hứng thú học tập hơn nhiều.

Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần lớp 12A2 (thực nghiệm) và 12A5 (đối chứng)

Lớp Điểm kiểm tra trung bình

III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Tóm tắt quá trình nghiên cứu

Căn cứ vào đề thi THPT quốc gia môn Toán và kết quả bài kiểm tra của học sinh, tôi

đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt bài toán tính nguyên hàm từng phần.Các tài liệu liên quan đến đề tài được tập hợp và nghiên cứu nhằm đưa ra cơ sở khoa học.Các thông tin về khó khăn học sinh gặp phải khi làm loại nguyên hàm này được thu thậpthông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp Các dạng bài được liệt kê theo nhóm,kèm theo bài tập để học sinh thực hành và ghi nhớ Tính hiệu quả của đề tài được đánh giábằng phương pháp quan sát sự tiến bộ của học sinh, cũng như so sánh kết quả học tập vớilớp đối chứng

2 Ý nghĩa của đề tài

Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh

2.1 Đối với giáo viên Toán

Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làmbài tập nguyên hàm từng phần Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một

tư liệu trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán cho học sinh

2.2 Đối với học sinh

Các em học sinh được chia sẻ những khó khăn khi làm bài Hơn nữa, với việc nắmđược các bước làm dạng bài nguyên hàm từng phần, ghi nhớ các dạng toán và loại bảngmột cách hệ thống và luyện tập các bài tập trắc nghiệm đúng định dạng đề thi THPT quốcgia đi kèm, các em học sinh có thể làm tốt phần nguyên hàm từng phần Qua việc củng cốmột cách hệ thống, các em cũng sẽ nắm chắc hơn các phần đã học để nâng cao điểm sốcủa mình

3 Những hạn chế của đề tài

- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú

- Nếu giáo viên chỉ dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm công thứcnguyên hàm từng phần thì HS chưa nắm được toàn diện loại kiến thức này Chính vìthế bản thân tôi kiến nghị giải cả hai phương pháp đối với “nguyên hàm từng phần mộtlần” còn ưu tiên phương pháp bảng cho những “nguyên hàm từng phần hai lần trởlên”

- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng kháchquan về trình bày và thời gian thực hiện

- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kếtquả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực

4 Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu

Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp

đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm những bài luyện tậptổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để họcsinh có thể tự học