Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nàoSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào
Nội dung
Cở sở lý luận
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập.
Trong quá trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình và sách giáo khoa, xem đây như là định hướng cho cả quá trình dạy học Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không chỉ dừng lại ở sách giáo khoa mà người giáo viên còn phải có phương pháp để từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống.
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh.Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập về chứng minh quy nạp cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán học.
Cở sở thực tiễn
Trong chương trình toán phổ thông, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do vậy “ phương pháp chứng minh quy nạp toán học ” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy học theo phương pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp mỗi giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 15 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về phương pháp chứng minh quy nạp như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
Nguyên nhân của thực tế trên: Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh chưa được trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càng khó giải quyết. Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh nắm được thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật Đồng thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết áp dụng vào giải toán Từ đó yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh được rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và chất lượng giải toán được nâng cao.
Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quy nạp
1, phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn:
Ví dụ 1 Quan sát các kết quả sau: 1 3 - 1 chia hết cho 3
4 3 - 4 chia hết cho 3 Hãy đưa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó?
Giải: Dự đoán: a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a
Xét ba khả năng có thể xảy ra: a) Nếu a =3k (k N) thì A chia hết cho3 b) Nếu a = 3k+1 (k N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3 c) Nếu a = 3k+2 (kN) thì a+1chia hết cho3, do đó A chia hết cho 3 Vậy a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a
Ví dụ 2 Quan sát kết quả sau: 2 3 - 2 chia hết cho 3
Dự đoán sau đúng hay sai? 2 n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n?
Giải: Dự đoán trên là sai Chẳng hạn 2 9 - 2 = 510 không chia hết cho 9
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:
(1) - Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a
(2) - Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k N) để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a
(3) - Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2 n - 2 chia hết cho n với mọi số tự nhiên lẻ n
Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi từ các trường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát.
*Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp riêng, chẳng hạn trong phép suy luận (2) ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tự nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k +2)
*Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trường hợp riêng chứ chưa xét đầy đủ mọi trường hợp riêng Chẳng hạn trong phép suy luận (1) ta mới xét a bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dương a, trong phép suy luận (3) ta mới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n.
Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một tính chất toán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh Phép quy nạp (1) cho một khẳng định đúng, kết luận này đã được chứng minh bằng phép quy nạp (2) (quy nạp hoàn toàn) Phép quy nạp (3) cho một kết luận sai, ta bác bỏ nó bằng một phản ví dụ.
Như vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minh chặt chẽ, còn
“phép quy nạp không hoàn toàn” có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối với các nhà toán học có tên tuổi dưới đây:
Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho ta các số nguyên tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 2 1 + 1 = 3; 2 2 + 1 = 5; 2 4 +1 = 17; 2 8 + 1 257; 2 16 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố )
Với n = 2 5 = 32 thì 2 n + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297, Fecma không phân tích được ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đưa ra giả thuyết tổng quát rằng công thức 2 n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số nguyên tố.
Một thế kỉ sau, năm1732,Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra rằng 2 32 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641
Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhưng lại đúng với một số rất lớn các trường hợp đầu tiên:
- Nhà toán học Gravơ đưa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có: 2 p-1 - 1 không chia hết cho p 2 Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000, nhưng chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 2 1093 - 1 chia hết cho1093 2
- Một dự đoán khác: Số 911n 2 + 1 không là số chính phương với mọi số nguyên dương n Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp các nhà toán học tìm ra một phương pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng định sự đúng đắn của một số tự nhiên, đó là phương pháp quy nạp toán học
2, Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học:
Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ được áp dụng rất hạn chế. Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người không thể kiểm tra được tất cả các trường hợp riêng đó
Phép quy nạp không hoàn toàn, như chúng ta đã biết thường dẫn tới kết luận sai lầm Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế người ta áp dụng một phương pháp suy luận “đặc biệt”, được gọi là phương pháp quy nạp Toán học.
* Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học được trình bày như sau:
Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đã được chứng minh nếu cả hai điều kiện sau đây được thỏamãn:
1, Mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0
2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k +1
Như vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bước sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) (ta gọi là giả thiết quy nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n ≥n0
3, Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học
* Hai bước của nguyên lí quy nạp toán học
Nguyên lí quy nạp toán học gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai phần cần được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng nguyên lí Nếu bỏ đi một trong hai điều kiện kiểm tra đó thì sẽ nhận được kết luận sai Ta lấy một vài phản ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:
Lời giải Giả thiết bất đẳng thức (4) đúng với n = k, với k là một số tự nhiên nào đó.
Ta chứng minh bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1
Thật vậy, 2 k là một số không nhỏ hơn 2 với mọi số tự nhiên k khác 0 Ta cộng vế trái của (4) với 2 k và cộng vế phải của (4) với 2 Ta nhận được
Nghĩa là có (6) Theo nguyên lí quy nạp toán học bất đẳng thức (4) đúng với mọi số tự nhiên n Bài toán đã được giải
Lời giải trên mắc sai lầm là không kiểm tra bước cơ sở Thực chất của chứng minh trên là bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1, nếu nó đúng với n = k Điều này không suy ra bất đẳng thức đúng với ít nhất một giá trị nào của n, chứ chưa nói tới với mọi số tự nhiên
Ta có thể thử với n = 1 hoặc n = 2 bất đẳng thức (4) sai
Với n ≥ 3bất đẳng thức (4) mới đúng Giá trị số tự nhiên nhỏ nhất n = 3 bất đẳng thức (4) đúng và lặp lại cách chứng minh ở trên từ giả thiết (4) đúng với n = k suy ra nó đúng với n = k + 1 Vì vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có kết luận: Bất đẳng thức (4) đúng với mọi n ≥ 3 (chứ không với mọi số tự nhiên n)
Như vậy giá trị ban đầu của các bài toán chứng minh phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể và phải kiểm tra bước cơ sở Sau đây ta có một phản ví dụ khi không kiểm tra bước cơ sở thì hậu quả dẫn đến chứng minh sai
Ví dụ 2 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau đó
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học Giả sử mệnh đề đúng với với tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là ta có k = (k+1) (7)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, nghĩa là phải chứng minh (k+1)=(k+2) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp mệnh đề đúng với n = k, cộng hai vế của đẳng thức (7) với 1 ta nhận được k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2
Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, do đó theo nguyên lí quy nạp toán học nó đúng với mọi số tự nhiên n
Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau Điều này vô lí, vậy cách chứng minh sai ở đâu? Dễ thấy rằng áp dụng nguyên lí quy nạp toán học nhưng bỏ qua kiểm tra trường hợp n = 1 Ta thấy rằng với n = 1 thì mệnh đề trên đã sai vì 1 ≠ 2
Một số giải pháp khi vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán
Trước hết người giáo viên phải xây dựng được cơ sở lí thuyết về phương pháp quy nạp toán học và việc vận dụng nó để giải từng dạng toán cụ thể Nội dung này phải chuyển tải đến học sinh, với mỗi dạng toán giáo viên đưa ra ví dụ mẫu, hướng dẫn học sinh dựa trên cơ sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại bài giải mẫu Sau đó yêu cầu học sinh giải bài tập áp dụng
Phân loại các bài tập từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo điều kiện cho từng đối tượng học sinh được làm việc, chủ động nắm được kiến thức cơ sở và phương pháp giải.
Rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy sáng tạo của học sinh thông qua qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu, giải toán.
Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vướng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải khi làm bài tập và phải có biện pháp hướng dẫn sửa sai kịp thời. Động viên, khuyến khích học sinh nghiên cứu tìm ra cách giải mới cho từng bài toán Qua đó giúp học sinh nhớ lâu, nắm chắc bài toán đã giải.
2, Đối với học sinh: Đây là dạng toán liên quan đến hầu hết các kiến thức của cấp học, do đó học sinh cần phải trang bị cho mình các kiến thức cơ bản, toàn diện của chương trình THCS Đồng thời nắm chắc cơ sở lý thuyết và các dạng toán mà giáo viên cung cấp để hiểu được bản chất của phương pháp quy nạp toán học Từ đó có thể vận dụng để giải được các dạng toán về chứng minh sự chia hết, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức.
Với mỗi bài tập cần nhận dạng được dạng toán để từ đó vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán.
Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải toán, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn, tìm ra được nhiều cách giải cho một bài toán.
Kết quả thu được
Qua qua trình triển khai áp dụng các nội dung và phương pháp đã nêu ở trên, tôi nhận thấy rằng học sinh có hứng thú hơn trong học tập, học sinh đã nắm được bản chất của phương pháp quy nạp toán học, cách vận dụng nó vào giải toán và đã rèn luyện được kỹ năng trình bày một bài giải theo phương pháp quy nạp Sau khi học xong chuyên đề vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán, tôi tiến hành kiểm tra khảo sát mức độ hiểu, nắm kiến thức và vận dụng đối với 15 học sinh đã khảo sát ban đầu Kết quả thu được như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
Trên đây là một số nội dung về việc vận dụng phương pháp quy nạp toán học đẻ giải một số dạng toán mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS cho học sinh đại trà cũng như trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau:
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh, dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn toán Học sinh có thể vận dụng để giải được một số bài toán nâng cao dành cho hoc sinh giỏi.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh Kỹ năng trình bày bài giải theo phương pháp quy nạp tốt hơn.
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
Người thầy cần phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
Toán học là một kho tàng kiến thức vô tận, việc nghiên cứu và tìm ra các phương pháp giải toán là một công việc mà mỗi người dạy toán phải thường xuyên làm Một mặt để nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, đồng thời nó giúp cho chúng ta tìm ra những phương pháp giảng dạy hay, có hiệu quả, giúp học sinh có hứng thú trong học tập, rèn luyện được kỹ năng giải toán Việc đổi mới phương pháp dạy học phụ thuộc rất nhiều vào trình độ chuyên môn nghiệp vụ, năng lực sư phạm của giáo viên Nhưng bên cạnh đó, sự hứng thú đối với môn học của học sinh cũng rất quan trọng Theo tôi việc hứng thú với môn học có được chỉ khi nào các em có sự tự tin, có thể tự mình giải được một số bài toán, dạng toán Do đó trong quá trình dạy học, người giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh hệ thống các phương pháp học tập cũng như các phương pháp giải toán, khi học sinh nắm được hệ thống kiến thức và phương pháp cơ bản thì các em mới có thể có đủ sự tự tin, tự mình tìm tòi, nghiên cứu và từ đó các em sẽ thấy hứng thú đối với môn học.
Trong khuôn khổ của sáng kiến tôi chỉ đề cập đến việc vận dụng phương pháp quy nạp Toán học để giải dạng toán Tuy nhiên, trên thực tế phương pháp quy nạp Toán học còn được vận dụng để giải nhiều dạng toán khác đa dạng hơn và trong nhiều lĩnh vực khác nhau Theo tôi phương pháp này sẽ có nhiều hiệu quả hơn nếu chúng ta vận dụng vào trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đào tạo nhân tài Hy vọng rằng với nội dung nghiên cứu trên đây sẽ góp một phần nhỏ vào trong quá trình giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh, giúp học sinh nắm chắc được kiến thức và phương pháp học tập, từ đó có hứng thú học tập đối với môn Toán
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Sơn Tây ngày 11 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình, không sao chép của người khác
