(SKKN HAY NHẤT) phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn MỤC LỤC A Đặt vấn đề .2 Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi kế hoạch thực Phương pháp nghiên cứu B Nội dung I Cở sở lý luận II Cở sở thực tiễn III Một số kiến thức phương pháp chứng minh quy nạp Phép quy nạp hồn tồn phép quy nạp khơng hoàn toàn Nội dung phương pháp quy nạp toán học Một số lưu ý sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học 4.Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh 13 4.1 Dạng1: Chứng minh quan hệ chia hết: 13 4.2 Dạng2: Chứng minh đẳng thức tính tổng: 17 4.3 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức tìm số 23 4.4 Dạng 4: Quy nạp tốn học hình học 26 IV.Một số giải pháp vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán .30 1, Đối với giáo viên: 30 2, Đối với học sinh .30 V Kết thu được: 31 C Phần Kết luận 32 1/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn A ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đổi phương pháp dạy học yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho phát triển giáo dục Ngày kinh tế trí thức với bùng nổ thông tin, giáo dục thay đổi để phù hợp với phát triển khoa học kỹ thuật, phát triển xã hội Nội dung tri thức khoa học với đồ sộ lượng thông tin yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học Trong giai đoạn giáo dục không tạo người có tài, có đức mà giáo dục cịn có thiên chức cao q giáo dục thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo người có kỹ sống học tập thời đại Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học cách phù hợp Nhằm giúp cho giáo viên tháo gỡ khó khăn q trình đổi phương pháp dạy học Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học vào tập thực tiễn Trong có đổi dạy học mơn tốn, Trong trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Q trình giải tốn q trình 2/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tịi vận dụng kiến thức vào thực tế Thơng qua việc giải tốn thực chất hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện kĩ mơn tốn Từ rút nhiều phương pháp dạy học hay, tiết lên lớp có hiệu nhằm phát huy hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện Trong chương trình tốn phổ thơng cấp THCS có nhiều mảng kiến thức sách giáo khoa đề cập đến trình học lại gặp nhiều, học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa gặp dạng tốn cịn lúng túng Vì với phạm vi đề tài muốn đề cập đến vấn đề mà không - người thầy trăn trở băn khoăn, “Phương pháp chứng minh quy nạp vận dụng phương pháp để giải dạng toán khác nào” Thật chương trình tốn phổ thơng phương pháp chứng minh quy nạp mảng kiến thức khó mà ứng dụng lại rộng rãi, khơng có mặt phân mơn số học mà cịn đóng góp vai trị quan trọng phân mơn đại số, khơng dừng lại chương trình THCS mà cịn phần quan trọng chương trình THPT Vì phương pháp chứng minh quy nạp phần gây cho học sinh, học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, nhiên phần quyến rũ học sinh say mê mơn tốn học giỏi tốn địi hỏi phải tư lơgic, tìm tịi sáng tạo Giúp học sinh thêm phương pháp nghiên cứu học tập giải toán mơn số học, đại số hình học 3/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Góp phần xây dựng lực tư lơgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suy luận có lí Gây hứng thú cho học sinh tìm tòi, phát hiện, tranh luận phê phán sai bạn bè lĩnh hội vận dụng kiến thức toán học Phương pháp chứng minh quy nạp giúp học sinh dễ dàng giải số tốn khó Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu qua thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS, tơi rút vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng phương pháp quy nạp toán học giải toán” Mục đích nghiên cứu: Đối với giáoviên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan 4/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Gây hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập Thơng qua việc giải tốn áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết, để tính tổng dãy số ) giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán - Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ chứng minh toán chia hết tính tổng dãy số viết theo quy luật Nhằm tìm biện pháp hay giúp cho công tác dạy học nói chung cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết cao Đối tượng nghiên cứu Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp vào tốn chứng minh chia hết tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức áp dụng vào hình học Phạm vi kế hoạch thực Nghiên cứu áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải toán chứng minh chia hết tính tổng dãy số viết theo quy luật, chứng minh đẳng thức, hình học cho học sinh giỏi từ lớp đến lớp Thời gian thực hiện: 12 tiết Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh giáo viên - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp 5/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn B – NỘI DUNG I Cở sở lý luận: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn giáo viên cần cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại điều 6/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn qn, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Các phương pháp thường quy tắc, quy trình nói chung phương pháp có tính chất thuật tốn Tuy nhiên cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm đốn Học sinh cần rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm vững phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân từ học sinh thấy niềm vui học tập Trong trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình sách giáo khoa, xem định hướng cho trình dạy học Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không dừng lại sách giáo khoa mà người giáo viên phải có phương pháp để từ kiến thức phát triển tìm kiến thức giúp học sinh lĩnh hội cách chủ động có hệ thống Trong việc dạy học tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dưỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập tốn có tập chứng minh quy nạp toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh, phát quy luật đẹp Toán 7/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Môn tốn học II Cở sở thực tiễn: Trong chương trình tốn phổ thơng, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp chiếm mảng lớn chứng minh chia hết, tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do “phương pháp chứng minh quy nạp tốn học” góp phần vào việc thực chương trình dạy học theo phương pháp “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp giáo viên nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, tạo sở vững để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo bồi dưỡng nhân tài” Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 15 học sinh thấy kết tiếp thu phương pháp chứng minh quy nạp sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 60% 26,7% 02 13,3% 0% Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tương đối lạ khó với học sinh, học sinh chưa trang bị phương pháp giải, nên việc suy luận cịn hạn chế nhiều khơng 8/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn có lối dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải Để giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trang bị cho học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, tính tổng dãy số viết theo quy luật Đồng thời nêu lên số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu nắm kiến thức, biết áp dụng vào giải tốn Từ u cầu học sinh giải tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh rèn luyện nắm kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo chất lượng giải toán nâng cao III Một số kiến thức phương pháp chứng minh quynạp: 1, phép quy nạp hồn tồn phép quy nạp khơng hồn tồn: 13 - chia hết cho Ví dụ Quan sát kết sau: 23 - chia hết cho 33 - chia hết cho 43 - chia hết cho Hãy đưa dự đốn chứng minh dự đốn đó? Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a 9/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1) Xét ba khả xảy ra: a) Nếu a =3k (k  N) A chia hết cho3 b) Nếu a = 3k+1 (k N) a - chia hết cho 3, A chia hết cho c) Nếu a = 3k+2 (kN) a+1chia hết cho3, A chia hết cho Vậy a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a Ví dụ Quan sát kết sau: 23 - chia hết cho 25 - chia hết cho 27 - chia hết cho Dự đoán sau hay sai? 2n - chia hết cho n với số lẻ n? Giải: Dự đoán sai Chẳng hạn 29 - = 510 không chia hết cho Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta thực phép suy luận sau: (1) - Xét giá trị a 1, 2, 3, 4, để kết luận a - a chia hết cho với số nguyên dương a (2) - Xét giá trị a 3k, 3k +1, 3k + (k  N) để kết luận a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a (3) - Xét giá trị n 3, 5, để kết luận n - chia hết cho n với 10/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn + Với n = VT = 23=8; VP = 2n + = 2.3 + = VT >VP Vậy (1) với n = + Giả sử (1) với n = k(k  N, k  3), tức 2k> 2k +1 Ta phải chứng minh (1) với n = k+1,tức là: 2k+1>2k +3 (2) Thật vậy: 2k+1 = 2k.2 Theo giả thiết quy nạp 2k> 2k + Do đó: 2k+1> 2(2k + 1) = (2k +3).(2k - 1) > 2k + (Vì 2k - > với k 3) Vậy (2) với k 3 + Kết luận: 2n> 2n + với số nguyên dương n3 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi với n số không âm a1 +a2 + +an n n ≥ √ a a2 a n Với a1, a2, , an ≠ Lời giải a1 + a2 + Dễ chứng minh mệnh đề với n = Tức a1 + a2 + + ak k + Giả sử mệnh đề với n = k, tức ≥√ a1 a2 ≥ k√ a1 a2 a k Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + Giả sử a1 ≤a 2≤ ≤a k ≤ak +1 Thì a k +1 ≤ a1 + a2 + +a k k 37/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn a1 + a2 + +a k k Đặt =x Thì x≥0 ak+1 = x + y với y≠0 kx = a1 + a2 + + ak ≠ ( Do giả thiết quy nạp) Ta có : [ a +a2 + +a k +a k +1 k+ k +1 ] ( = = xk+1 + xk + y = xk(x + y) ⇒ a1 + a2 + + ak +1 k +1 kx + x+ y k +1 ¿ k +1 ) ( = x+ y k +1 k +1 ) ≥x k +1 +( k + 1) k x = k +1 a1a2 akak+1 ≥k +1√ a1 a2 ak +1 Suy mệnh đề với số tự nhiên n Xảy đẳng thức khi: a1 = a2 = = an a1 + a2 + + an + Vậy n ≥ n√a a2 a n Với a1, a2, , an ≠ Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1 1 + + + .+ >1 n+1 n+2 n+ 3 n+1 Lời giải + Với n = VT bất đẳng thức VT = 1 13 + + = >1 12 Vậy bất đẳng thức với n = 38/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn + Giả sử bất đẳng thức với n = k, tức 1 1 + + + + >1 k +1 k +2 k +3 k +1 Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức là: 1 1 + + + + >1 k +2 k +3 k + k +4 1 1 + + + + = k +2 k +3 k + k +4 Thật = 1 1 1 1 + + + + + + + + − k +1 k +2 k +3 k + k +1 k +2 k + 3 k + k +1 =( 1 1 1 1 + + + + + )+( + + − ) k + k +2 k +3 k +4 k +1 k +2 k+3 k + k +1 =( 1 1 + + + + + )+ >1 k + k +2 k +3 k + k +1 3(k +1 )(3 k +2)(3 k +4 ) 1 1 + + + + >1 k +1 Do giả thiết quy nạp k +1 k +2 k +3 Vậy bất đẳng thức với n = k + + Kết luận: Với số nguyên dương n ta ln có bất đẳng thức: 1 1 + + + .+ >1 n+1 n+2 n+ 3 n+1 Ví dụ 4: Tìm số ngun dương n cho: 2n> 5n 39/32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Lời giải + Với n = 1; 2; 3; vế trái nhỏ vế phải Với n = 25 = 32 > 25 = 5.5 Vậy bất đẳng thức n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k (Với k  N , k 5); Tức là: 2k> 5k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1; Tức là: 2k+1> 5(k + 1) Thậtvậy: 2k+1 = 2k.2mà 2k> 5k (Theo giả thiết quy nạp) Nên 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo điều kiện k 5 nên 5k > Vì vậy: 2k+1> 5k + = 5(k + 1) + Kết luận: Vậy với số nguyên dương n, n 5 ta có 2n> 5n *Một số tập giải tương tự: Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) 1 1 n 1+ + + + .+ n > −1 b) 1 1 13 + + + .+ > n+1 n+2 n+ n 24 ( Với n 2) Bài Chứng minh với số nguyên dương n 1 thì: 1 1 + + + +