Cho một tấm uranium có chiều dày l và hệ số dẫn nhiệt

MỤC LỤC VẤN ĐỀ I: 1.Yêu cầu đề 2.Giải vấn đề 2.1 Phân tích đề 2.2 Tiếp cận phương pháp sai phân hữu hạn 2.3 Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn việc giải toán dẫn nhiệt qua vách phẳng, ổn định, chiều 2.4 Ứng dụng MATLAB giải toán dẫn nhiệt qua vách phẳng, ổn định, chiều II VẤN ĐỀ 12 2.Yêu cầu đề 12 3.Giải vấn đề 13 3.1.Giải toàn tay 13 3.2.Giải toàn phần mềm Ansys 17 VẤN ĐỀ I: Yêu cầu đề Cho uranium có chiều dày L hệ số dẫn nhiệt k = 28 W/m.°C (Hình 1) Tốc độ truyền nhiệt không đổi ġ = 5.106 W/m3 Một bên trì nhiệt độ 0°C nước đá bên lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T∞ = 22 (oC) hệ số truyền nhiệt h = 42 ( W / m ) Xét nút cách bề mặt gồm nút biên nút Tính nhiệt độ nút 1, bề mặt với điều kiện ổn định cách sử dụng cơng thức sai phân hữu hạn Viết chương trình MATLAB vẽ biểu đồ thể nhiệt độ 2 Giải vấn đề 2.1 Phân tích đề Sơ lược truyền nhiệt: Trong thực tế, truyền nhiệt q trình trao đổi nhiệt hai mơi trường có nhiệt độ khác qua vách ngăn Truyền nhiệt trình trao đổi nhiệt phức tạp Quá trình truyền nhiệt bao gồm giai đoạn sau: - Trao đổi nhiệt mơi trường có nhiệt độ cao với vách ngăn, trình thực đối lưu đối lưu xạ - Dẫn nhiệt qua bề mặt vách ngăn - Trao đổi nhiệt vách ngăn với mơi trường có nhiệt độ thấp, thực đối lưu Vách ngăn có nhiều dạng vách trụ, vách cánh,… Dẫn nhiệt: Dẫn nhiệt ba phương thức truyền nhiệt Dẫn nhiệt xảy bên vật thể vật thể tiếp xúc có chênh lệch nhiệt độ phần Dẫn nhiệt khơng có mặt vật rắn, mà có mặt chất lỏng chất khí Dẫn nhiệt thực thơng qua q trình truyền dao động phần tử vi mô vật thể: kim loại dẫn nhiệt chủ yếu nhờ trình truyền dao động điện tử tự do, chất điện mơi chất lỏng dẫn nhiệt nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt, chất khí dẫn nhiệt nhờ q trình khuếch tán phân tử Có nhiều trường hợp dẫn nhiệt khác nhau, ví dụ hai chiều ổn định, chiều không ổn định, hai chiều không ổn định Trong phạm vi này, ta xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng - ổn định, chiều 2.2 Tiếp cận phương pháp sai phân hữu hạn Quy tắc: - Đây phương pháp biến đổi cách gần đạo hàm riêng phương trình vi phân chủ đạo thành thương số gia tương ứng Bằng cách dùng họ đường song song với trục toạ độ để tạo thành mạng lưới với bước mạng ∆𝑥 chia miền nghiệm vật thể thành số hữu hạn điểm nút, xác định nhiệt độ phẫn tử nút thay cho việc tính nhiệt độ toàn miền - Như phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ phương trình vi phân đạo hàm riêng thành phương trình đại số - Kết thiết lập hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng với giá trị nhiệt độ n nút cần tìm Phương trình dẫn nhiệt tổng quát không gian, ổn định: t = f ( x, y , z ) (Hàm nhiệt độ) Bài tốn xét trường hợp ổn định, tức nhiệt độ khơng thay đổi theo thời gian  : Phương trình dẫn nhiệt không gian, ổn định: q   2t  2t  2t ( )+ v = + + c  x y z c  Trong đó: c - nhiệt dung riêng (J/kgđộ)  - mật độ,( kg/m3;) qv - Năng suất sinh nhiệt thể tích hệ số dẫn nhiệt (W/ m3 )  =k - hệ số dẫn nhiệt ( W / mo C ) Do không chứa nguồn nhiệt bên q v = ; Suy ra: 2 t t t + + =0 x y z t =0  Phương trình truyền nhiệt ổn định, chiều: d2t =0 dx 2.3 Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn việc giải toán dẫn nhiệt qua vách phẳng, ổn định, chiều 𝐿 Ta chọn bước mạng ∆𝑥 = = 0.025 (𝑚) 𝑛−1 với L bề dày (𝑚) n = số nút cần xét ∆𝑥 = 0.025 (𝑚) Áp dụng phương pháp cân lượng dẫn nhiệt bên bề mặt bên trái + dẫn nhiệt bên bề mặt bên phải + tỉ lệ phát sinh nhiệt bên phần tử = tỉ lệ thay đổi lượng Nút 𝑇0 −2𝑇1 +𝑇2 ∆𝑥2 𝑔1 = 𝑘 g.∆x2 + 2T1 – T2 = 𝑘 Với g = 5.106 (W/m3) K = 28 (W/moC) ∆𝑥 = 0.025 (𝑚) 2T1 – T2 = 111.61 (oC) (1) Nút Điều kiện biên: Phương trình sai phân hữu hạn viết cách viết cân lượng phần tử biên hA( T − T2) + kA T1 − T2 + g( Ax / 2) = x Với h = 42 ( W / m ) T1 – 1.0375T2 = -56.62 (oC) Từ (1) (2) suy T1 = 160.392 (oC) T2 = 209.176 (oC) Từ đó, ta xây dựng cơng thức tổng qt để tính nhiệt độ vị trí x: Cơng thức tổng quát để tính nhiệt độ vị trí x: T( x) = 0,5ehL / k + eL + Th ex o ( C) x− hL + k 2k 2.4 Ứng dụng MATLAB giải toán dẫn nhiệt qua vách phẳng, ổn định, chiều Giới thiệu phần mềm MATLAB MATLAB phần mềm cung cấp môi trường tính tốn số lập trình, cơng ty MathWorks thiết kế MATLAB cho phép tính tốn số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thơng tin, thực thuật tốn, tạo giao diện người dùng liên kết với chương trình máy tính viết nhiều ngơn ngữ lập trình khác Với MATLAB, ta giải tốn phức tạp, rườm rà, đồ sộ địi hỏi xác tỉ mỉ cao MATLAB ứng dụng nhiều lĩnh vực giáo dục, nghiên cứu… Ứng dụng MATLAB giải toán dẫn nhiệt qua vách phẳng, ổn định, chiều Mỗi tốn có mức độ đặc thù khác nhau, phục vụ cho đối tượng khác Chúng em tiếp cận vấn đề theo khía cạnh thực tế, mong muốn giải toán thật nhanh xác Cụ thể, chúng em tổ chức code để phục vụ riêng cho toán Khi khởi động, không cần nhập thông số hay thay đổi thơng số, kích thước… Khi khởi động, chương trình tính kết Code MATLAB close all clear all clc %Input% L_total=.05; %Độ dày (đơn vị mét) %Số nút n=3; %Nhiệt độ ban đầu (độ C) T(1)=0; %Nhiệt độ môi trường (độ C) T(n+1)=22; %Tốc độ truyền nhiệt ( ) Hg=5000000; K=28; %Hệ số dẫn nhiệt ( ) h=42; %Hệ số truyền nhiệt ( ) %Số vòng lặp m=1000; %Bước mạng dX=L_total/(n-1); for i=1:n T(i)=0; %Điều kiện for j=0:m %1000 no of iterations for accuracy for i=2:n-1 T(i)=(((Hg*dX*dX)/(2*K))+((T(i-1)+T(i+1))/2)); %Đến nốt số L=0.025 m Chúng ta tính nhiệt độ nốt sau có liên quan đến nhiệt độ nốt xung quanh Đó điểm đặc trưng phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ trường hợp tốn hai chiều, nhiệt độ nốt tính dựa nhiệt độ nốt xung quanh tương ứng nốt trục x nốt trục y Với toán chiều này, ta lấy nốt xung quanh (trục x) end T(n)=((((K*T(n-1))/dX)+(h*T(n+1))+(Hg*(dX/2)))*(dX/(K+(dX*h)))); %Nhiệt độ nốt n: T(n) end end L=0:.025:.075 %Biểu thị đồ thị: Bắt đầu vị trí 0:bước nhảy 0.025 (ta cho bước mạng):kết thúc điểm x=0.075 (vì số nốt n = 3) %Output% disp(T); %Biểu diễn %Plotting% figure(2) plot(L,T,'color','yellow','linewidth',2) axis([0 0.05 500]) %Giới hạn khung biểu diễn trục xlabel( 'Độ dày tấm') %Độ dày ylabel('Nhiệt Độ') %Nhiệt độ title('Đồ thị độ dày nhiệt độ Uranium') %Tiêu đề đồ thị Kết Sau nhập code RUN, ta nhận kết sau: Số liệu: Đồ thị Giải thích kết VỊ TRÍ NÚT VỊ TRÍ NÚT RA MƠI TRƯỜNG NGỒI GỐC NHIỆT ĐỘ NÚT NHIỆT ĐỘ NÚT NHIỆT ĐỘ MÔI TRƯỜNG NGOÀI T = T∞ Mở rộng code MATLAB trường hợp nhiều nút mạng Ở phần CODE trên, ta chọn số nút – có nghĩa chia độ dày thành phần Theo tính chất phương pháp sai phân hữu hạn: Bước mạng nhỏ (chia thành nhiều thành phần) thu kết xác Chúng ta thử với số nút n = 5, L=0:.005:0.05 Ta code trường hợp n = 10 close all clear all clc %Input% L_total=.05; %Độ dày (đơn vị mét) n=10; %Số nút T(1)=0; %Nhiệt độ ban đầu (độ C) T(n+1)=22; Hg=5000000; %Nhiệt độ môi trường (độ C) %Tốc độ truyền nhiệt ( ) K=28; %Hệ số dẫn nhiệt ( ) h=42; %Hệ số truyền nhiệt ( ) m=1000; dX=L_total/(n-1); for i=1:n %Số vòng lặp %Bước mạng T(i)=0; %Điều kiện for j=0:m %1000 no of iterations for accuracy for i=2:n-1 T(i)=(((Hg*dX*dX)/(2*K))+((T(i-1)+T(i+1))/2)); end T(n)=((((K*T(n-1))/dX)+(h*T(n+1))+(Hg*(dX/2)))*(dX/(K+(dX*h)))); %Nhiệt độ nốt n: T(n) end end L=0:0.005:0.05 %Biểu thị đồ thị: Bắt đầu vị trí 0:bước nhảy 0.025 (ta cho bước mạng):kết thúc điểm x=0.075 (vì số nốt n = 3) %Output% disp(T); %Plotting% %Biểu diễn figure(2) plot(L,T,'color','yellow','linewidth',2) axis([0 0.05 500]) %Giới hạn khung biểu diễn trục xlabel( 'Độ dày tấm') %Độ dày ylabel('Nhiệt Độ') %Nhiệt độ 10 title('Đồ thị độ dày nhiệt độ Uranium') %Tiêu đề đồ thị Kết Ta thấy đồ thị dần biến thành đường cong cho số nút lớn (bước mạng nhỏ) chứng tỏ đáp án xác rõ ràng (Lưu ý: Khi thay đổi số nút nên ý tọa độ) ĐÂY LÀ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Kết toán T1=160.392 (oC) T2 =209.176 (oC) 11 II VẤN ĐỀ Yêu cầu đề Một kế cầu giàn gồm đánh số (nút thanh) Hình Vật liệu thép có module đàn hồi Ethép = 210 GPa Tiết diện I, II III 15 cm2 tiết diện IV V cm2 Xác định chuyển vị nút ứng suất Giải tốn hai cách: tính tay phần mềm ANSYS Phương án : a = 0.75m, 𝛼 =35o, P=2200N, Q=3200N 12 Giải vấn đề 4.1 Giải toàn tay - Cơ sở lý thuyết : Sử dụng kiến thức học chương : Phần từ không gian để giải toán - Hệ trục tọa độ: Chọn chiều hệ trục với Ox hướng từ trái sang phải Oy hướng từ lên - Áp dụng cơng thức chứng minh ta có: ui vi  l2 lm  EA  lm m2 k= L  −l −lm  −lm −m uj vj −l2 − lm   −lm −m  l2 lm   lm m2  u1  = −90 o , l = 0, m = −1, v1  = −90 , l = 0, m = −1,  = , l = 1, m = 0, o v3 0  21.4222 kII = 28.10  0   − 21.4222 u4 X j − Xi u5 0 0 21.4222 kI = 28.10  0  21.4222  − u3 o , l = cos = v4 0  7.5 kIII = 28.10  0   −7.5 13 v5  −21.4222    0  21.4222  u4 v4 0 N /m  −21.4222  N /m  0  21.4222  v5 0  −7.5    7.5  , l = sin  = u5 0 L N /m Y j − Yi L u2 v2 u5 v5  4.3973 3.0790 −4.3973 −3.0790   3.0790 2.1559  −3.0790 −2.1559 N /m  = −145 , l = −0.8192, m = −0.5736, k IV = 28.10   −4.3973 −3.0790 4.3973 3.0790     −3.0790 −2.1559 3.0790 2.1559  o u2 v2 u4 v4  4.3973 −3.0790 −4.3973 3.0790   −3.0790 2.1559 3.0790 −2.1559  N /m  = −35 , l = 0.8192, m = −0.5736, kV = 28.10   −4.3973 3.0790 4.3973 3.0790     3.0790 −2.1559 3.0790 2.1559  o Ma trận độ cứng chung k 0 0 0 21.4222 0  0 8.7946  0 4.3118  0 0 k = 28 106  0 0 0 −4.3973 3.079  3.079 −2.1559 0 0 −4.3973 −3.079  0 − 21.4222 − 3.079 −2.1559 0 0 0 0 0 0 0 0 0   −21.4222  −4.3973 −4.3973 −3.079  3.079  3.079 −2.1559 −3.079 −2.1559   0 0  21.4222 0 −21.4222   11.8973 −3.079 −7.5  −21.4 222 −3.079 23.5781 0  0 11.8973 3.079  −7.5  0 3.079 23.5781  Hệ phương trình phần tử hữu hạn Cơng thức: Ku=F 28 10 0 0 0 21.4222 0  0 8.7946  0 4.3118 0 0 0  0 0 0 −4.3973 3.079  3.079 −2.1559 0 0 −4.3973 −3.079  0 − 21.4222 − 3.079 − 2.1559 0 0 0 0 0 0 0 0 0   21.4222 −  −4.3973 3.079 −4.3973 −3.079   3.079 − 2.1559 −3.079 −2.1559  0 0   21.4222 0  −21.4222 11.8973 −3.079  −7.5  −21.4222 −3.079 23.5781 0  −7.5 0 11.8973 3.079   0 3.079 23.5781  14 u1   F1 X v   F    1Y u  F2 X    v   F2Y u  F3 X  = v   F3Y u  F4 X    v   F4Y u  F    5X v   F5Y                Trong đó: u1 = v1 = u2 = v2 = u3 = v3 = 0, F4X=P=2200N, F4Y = -Q = -3200N, F5X = -P = -2200N, F5Y = -Q = -3200N Ta có  u4   2200  − 7.5  11.8973 − 3.079  − 3.079 23.5781 0  v  − 3200   =  28 10    −7.5 11.8973 3.079  u5   −2200      3.079 23.5781 v   −3200   • Giải phương trình ta thu chuyển vị nút số số 5: u   3.3507  10 −6   v   4.4096 10 −6     −    −6  u 3.3507 10 −   5    v  − 4.4096  10 −6  m • Ứng suất E  =  −l L −m l  ui  v   i m   u j  v j        210 109 I =  − 1  −6  = 1.7633 10 o 0.75  tan(35 )  −3.3507 10   −4.4096 10−6  N / m2     210  109    II =  − 1  −6  = 1.7633 10 o  0.75  tan(35 ) 3.3507 10   −6  − 4.4096  10  N / m2 15  −3.3507 10−6    −4.4096 10−6  210  10 = 0.9382 10 N / m2  III = −1   −6  1.5    3.3507  10  −6     −  4.4096 10 210 10     = = 1.2096 106 N / m2 0.8192 0.5736 − 0.8192 − 0.5736  o  −6  −  0.75 / cos(35 )  3.3507 10   −4.4096 10 −6   IV V = 210 10  −0.8192 0.5736 0.8192 0.75 / cos(35o )       −0.5736   N / m2 −6  = 1.2096 10  3.3507  10   −4.4096 10 −6  16 4.2 Giải toàn phần mềm Ansys - Cơ sở lý thuyết: Sử dụng phần mềm ansys để tính toán chuyển vị ứng suất kết cấu giàn - Hệ trục tọa độ: Chọn chiều hệ trục với Ox hướng từ trái sang phải Oy hướng từ lên - Thông số : Ethép = 210 Gpa, AI,II,III =1500 mm2, AIV,V =800 mm2, tọa độ nút n5=(-750,0), n4=(750,0), n3=(750;525.1556537), n2=(0;525.1556537), n1=(-750;525.1556537) (mm), P=2200N, Q=3200N • Kết tính tốn Kết cấu giàn sau bị tác dụng lực P Q nút nút 17 Chuyển vị nút 18 Ứng suất Kết • Chuyển vị nút: - Nút 1, 2, (mm) - Nút số : Theo phương Ox 0.33507×10-2 mm Theo phương Oy -0.44095×10-2 mm - Nút số : Theo phương Ox -0.33507ì10-2 mm Theo phng Oy l -0.44095ì10-2 mm ã ng suất thanh: - Thanh I: 1.7633 N/mm2 - Thanh II: 1.7633 N/mm2 - Thanh III: 0.9382 N/mm2 - Thanh IV: 1.2096 N/mm2 - Thanh V: 1.2096 N/mm2 19 ... figure(2) plot (L, T,''color'',''yellow'',''linewidth'',2) axis([0 0.05 500]) %Giới hạn khung biểu diễn trục xlabel( ''Độ dày tấm'' ) %Độ dày ylabel( ''Nhiệt Độ'') %Nhiệt độ 10 title(''Đồ thị độ dày nhiệt độ Uranium'' )... chứng minh ta có: ui vi  l2 lm  EA  lm m2 k= L  ? ?l −lm  −lm −m uj vj ? ?l2 − lm   −lm −m  l2 lm   lm m2  u1  = −90 o , l = 0, m = −1, v1  = −90 , l = 0, m = −1,  = , l = 1, m = 0,... cầu đề Cho uranium có chiều dày L hệ số dẫn nhiệt k = 28 W/m.°C (Hình 1) Tốc độ truyền nhiệt không đổi ġ = 5.106 W/m3 Một bên trì nhiệt độ 0°C nước đá bên l? ??i chịu ảnh hưởng đối l? ?u với nhiệt