Luận văn thạc sĩ VNU UET đánh giá trên và dưới hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng

Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt

Xây dựng đánh giá dưới

Trong chương này chúng ta sẽ xem xét một số mô hình hình học cụ thể mà các hệ số A   có thể tính được chính xác hay xấp xỉ và giúp cho xây dựng các đánh giá nằm trong đánh giá Hashin-Strickman cho các tính chất hữu hiệu từ các bất đẳng thức đã được xây dựng trong chương 2

Cụ thể, ta áp dụng công thức đánh giá vừa xây dựng trên cho vật liệu tựa đối xứng và mô hình quả cầu lồng nhau

3.1 Vật liệu tựa đối xứng

Vật liệu tổ hợp đẳng hướng được gọi là vật liệu tựa đối xứng hay còn gọi là vật liệu ngẫu nhiên hoàn toàn (perfectly random composites) nếu có thể chia vật liệu tổ hợp thành nhiều phần có thể tích bằng nhau với mỗi phần chỉ được cấu tạo từ một loại vật liệu thành phần nhất định, sao cho việc đổi chỗ các vật liệu của hai phần bất kỳ khác nhau không làm thay đổi các đặc trưng vĩ mô của vật liệu (Xem Hình 3.1) Trái ngược với nó là vật liệu phi đối xứng dạng nền + cốt liệu: pha nền liên tục chia cắt các cốt liệu rời rạc từ pha còn lại

Hình 3.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha

Cụ thể: mỗi pha V α được chia thành p α phần V αk (k = 1, , p α ) với thể tích như nhau v 0 (v α = p α v 0 ) và giả thiết đối xứng đòi hỏi: const e v dx

 cho mọi αk # βl (nghĩa là α ≠ β hay k ≠ l )

Áp dụng

Vật liệu tựa đối xứng

Vật liệu tổ hợp đẳng hướng được gọi là vật liệu tựa đối xứng hay còn gọi là vật liệu ngẫu nhiên hoàn toàn (perfectly random composites) nếu có thể chia vật liệu tổ hợp thành nhiều phần có thể tích bằng nhau với mỗi phần chỉ được cấu tạo từ một loại vật liệu thành phần nhất định, sao cho việc đổi chỗ các vật liệu của hai phần bất kỳ khác nhau không làm thay đổi các đặc trưng vĩ mô của vật liệu (Xem Hình 3.1) Trái ngược với nó là vật liệu phi đối xứng dạng nền + cốt liệu: pha nền liên tục chia cắt các cốt liệu rời rạc từ pha còn lại

Hình 3.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha

Cụ thể: mỗi pha V α được chia thành p α phần V αk (k = 1, , p α ) với thể tích như nhau v 0 (v α = p α v 0 ) và giả thiết đối xứng đòi hỏi: const e v dx

 cho mọi αk # βl (nghĩa là α ≠ β hay k ≠ l )

Có thể hình dung nếu vật liệu tổ hợp thỏa mãn điều kiện “đối xứng” (3.1) với cách phân chia { p α } nhất định nào đó thì sẽ tồn tại các cách phân chia { r.p α } cũng thỏa mãn (3.2) với r là số tự nhiên tùy ý và bởi vậy ta có thể lấy các p α lớn theo tỷ lệ tùy ý

Có thể nói khái niệm "đối xứng” là mở rộng của cấu trúc bàn cờ với các ô đen và trắng có vai trò như nhau: đối xứng theo một nghĩa nào đó Tuy nhiên trong cấu trúc bàn cờ, các ô đen và trắng sắp xếp theo trật tự, còn các pha trong vật liệu ngẫu nhiên có hình học đa dạng, phân bố ngẫu nhiên và tỷ lệ thể tích khác nhau Nói tóm lại các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhau- đối ngược lại với loại vật liệu phi đối xứng trong đó có pha đóng vai trò ma trận và liên tục còn pha khác đóng vai trò cốt liệu phân bố rời rạc trong ma trận Loại vật liệu như vậy được xem xét đầu tiên bởi Miller [20] và Bruno [5] Miller [20], [21] đã xây dựng thành công đánh giá cho hệ số dẫn của vật liệu đối xứng hai pha Ở đây chúng ta đi con đường khác hẳn và nhằm xây dựng đánh giá cho các tính chất của vật liệu n pha tùy ý

Rõ ràng là e 1 , e 2 , e 3 , e 4 không phụ thuộc vào tỷ lệ thể tích v α của các thành phần cấu thành: ta có thể thay đổi vật liệu của phần V αk bất kỳ và do đó thay đổi v α nhưng không làm thay đổi e i từ (3.1)

Với (3.1) ta có thể tính các hệ số A   Ở đây lấy       :

V ij ij V ij ij dx p p p dx

V ij ij V ij ij dx p p dx

V ij ij V ij ij dx p dx p p (3.3)

Trong các bất đẳng thức trên, ta lấy 1 thay cho

 p p  1 vì rằng như đã nhận xét, ta có thể chọn p α lớn tùy ý

Bước tiếp theo là tìm các quan hệ giữa các e i Từ lý thuyết hàm thế điều hòa và nhớ rằng V là quả cầu, ta có: const x d x

Vì rằng e i không phụ thuộc v α như đã nhận xét ở trên, từ đẳng thức cuối cùng ta nhận được: e 2   e 1 , e 4  e 1  e 3

Do vậy, (3.3) được đưa về (      ):

(3.4) Đánh giá (33) và (36) trở thành:

 (3.4), e 1  e 3  2 3 Đánh giá chung cho vật liệu tựa đối xứng sẽ là:

Cho minh hoạ số cụ thể:

Ta chọn vật liệu ba thành phần với các tính chất như sau:

C 1 :C 2 :C 3 = 1: 10: 20, v 1 = 2v 3 ,v 2 = 0.1  0.9 Đánh giá (3.6) cùng các giá trị e 1 = e max và e 1 = e min (tại đó các giá trị max và min tương ứng đạt được) cho trong Bảng 3.1 Đánh giá rộng hơn theo kết quả trước [23] cũng được đưa vào để so sánh Các đánh giá này, cùng với đánh giá Hashin - Strikman [11] cũng được so sánh trên Hình 3.2

Bảng 3.1: Đánh giá hệ số dẫn hiệu quả vật liệu tựa đối xứng 3 pha C U sym , C sym L

- đánh giá mới (3.6); C P U , C P L - đánh giá từ [23]; e 1 max , e 1 min -tại đó các giá trị max và min trong (3.6) đạt được v 2 C HS L C P L C sym L C U sym C U P C U HS e 1 max e 1 min

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Đánh giá HS Đánh giá P Đánh giá (31)

Hình 3.2: Đánh giá trên và dưới đối với hệ số dẫn hiệu quả vật liệu tựa đối xứng 3 pha với các tính chất C 1 :C 2 :C 3 = 1: 10: 20, v 1 =2 v 3 , v 2 = 0.1  0.9; Đánh giá (3.6) so sánh với các đánh giá P (Pham, 1994) và Hashin - Strickman (Hashin – Strickman, 1962)

Các đường đánh giá cận trên và dưới của luận văn nằm trong các đường đánh giá của Hashin- Strickman và đánh giá P chứng tỏ kết quả nghiên cứu này hoàn toàn phù hợp với các nghiên cứu trước đây và đánh giá luận văn vừa xây dựng được là tối ưu hơn đánh giá kinh điển Hashin- Strickman và đánh giá P.