Đánh giá trên và dưới hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VƯƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ TRÊN VÀ DƯỚI HỆ SỐ DẪN NHIỆT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ HỌC KỸ THUẬT Hà Nội-2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VƯƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ TRÊN VÀ DƯỚI HỆ SỐ DẪN NHIỆT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG Ngành : Cơ học kỹ thuật Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật Mã số: 60 52 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ HỌC KỸ THUẬT Hà Nội-2012 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN …………………………………………………………… MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ …………………………………… Chương Mở đầu ………………………………………………………… Chương Đánh giá cho hệ số dẫn nhiệt ……………………… 11 2.1 Xây dựng đánh giá ……………………………………… 15 2.2 Xây dựng đánh giá ……………………………………… 20 Chương Áp dụng ………………………………………………………… 23 3.1 Vật liệu tựa đối xứng …………………………………………… 23 3.2 Mơ hình cầu lồng ba pha …………………………… 28 KẾT LUẬN ………………………………………………………………… 35 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ …………………… 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 37 PHỤ LỤC ………………………………………………………………… 40 DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ Trang Hình 3.1: Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha ……………………………… 23 Bảng 3.1: Đánh giá hệ số dẫn hiệu qủa vật liệu tựa đối xứng ba pha ………………………………………………………….………… 27 Hình 3.2: Đánh giá hệ số dẫn hiệu vật liệu tựa đối xứng ba pha ……………………………………… …………………… 28 Hình 3.3: Mơ hình cầu lồng hai pha …………………………… … 29 Hình 3.4: Mơ hình cầu lồng ba pha ………………………… ….… 32 Bảng 3.2: Đánh giá hệ sô dẫn hiệu cho mơ hình cầu lồng ba pha …………………………………………….… … 33 Hình 3.5: Đánh giá hệ sơ dẫn hiệu cho mơ hình cầu lồng ba pha ……………………………………… ………… 34 Chương Mở đầu Một số lớn vật liệu sử dụng tạo từ nhiều thành phần vật liệu khác nhằm phục vụ cho đòi hỏi nhiều lĩnh vực đời sống người Trong luận văn ta quan tâm nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng, phụ thuộc vào tính chất thành phần cấu thành tương tác chúng Việc nghiên cứu mối quan hệ cần thiết có ý nghĩa thực tiễn giúp giải thích mối quan hệ tính chất vĩ mơ vật liệu với tính chất thành phần cấu thành hình học vi mơ, giúp thiết kế vật liệu với tính chất vĩ mơ theo yêu cầu Vật liệu tổ hợp cấu tạo vi mô từ cách thành phần vật liệu khác mặt vĩ mô coi đồng tính chất hữu hiệu ( mơ đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện,…) nói chung khác với tính chất thành phần cấu thành Các cấu trúc vi mơ coi đủ lớn so với kích thước phan tử để xem môi trường liên tục Các trường (nội lực, chuyển vị, nhiệt, dòng nhiệt…) liên tục mặt ngăn cách pha Khi thành phần cấu thành phân bố hỗn độn khơng gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hướng vĩ mô Ở giới hạn với giả thiết vật liệu thành phần đẳng hướng Việc xác định lý tính hữu hiệu vật liệu tổ hợp vấn đề khoa học vật liệu Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng phụ thuộc vào tính chất vi mơ vật liệu thành phần cấu tạo nên như: tỷ lệ thể tích, dạng hình học pha, hệ số dẫn nhiệt vi mơ… Vì hình học pha vật liệu thường phức tạp cho trước đầy đủ xác được, nên người ta thường tìm cách xây dựng đánh giá tính chất vĩ mơ vật liệu Trong chương này, muốn giới thiệu đến bạn đọc lịch sử vấn đề, tầm quan trọng ý nghĩa thực tiễn nó, đồng thời sơ lược qua phương pháp nghiên cứu kết mà luận văn đạt Việc xác định hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng đưa việc giải tốn tìm điểm cực tri phiếm hàm lượng Đó toàn phức tạp tương đương với việc giải phương trình cân tương thích trêm miền khơng đồng V với cấu tạo hình học pha phức tạp, tùy tiện mà thực tế người ta khó mà có thơng tin đầy đủ hình học pha vật liệu tổ hợp sử dụng Do đó, đường lối biến phân đề nghị cách tiếp cận khác thực tiễn hơn: sở thơng tin hạn chế có cấu tạo miền thể tích xét ta tìm trường tốt gần với với điểm cực trị phiếm hàm lượng để từ nhận đánh giá hệ số dẫn nhiệt hiệu Khó khăn ta phải giải toán biến phân miền thể tích V với cấu trúc phức tạp mà ta thường khơng có đầy đủ thơng tin Các thơng tin xác nhất, đơn giản cho mơ tả (và quan trọng nhất) có thường tỷ lệ thể tích vα tính chất dẫn nhiệt Cα thành phần cấu thành Vào năm 1982, Voight [29] đưa công thức trung bình cộng số học để tính xấp xỉ tính chất hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng: n eff C vC Reuss [26] số trường hợp cơng thức trung bình cộng điều hịa cho kết xấp xỉ tốt hơn: C eff Xuất phát từ nguyên lý biến phân nói chọn trường số, Hill [13] Paul [22] chứng minh tính chất hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha ln nằm giá trị (1.1) (1.2) Cụ thể, đánh giá Hill- Paul viết sau: n vC1 Bước tiến quan trọng thực Hashin Strickman [11]; [12] Đưa vào trường phân cực (polarization fiels) có giá trị trung bình khác pha khác nhau, ông xây dựng thành công đánh giá tốt đánh giá Hill- Paul: PC 2Cmin C eff PC 2Cmax C * C Cmin C | 1, , n , C max max C | 1, , n Đánh giá Hashin- Strickman cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng (bất kể hình hịc pha nào) với tỷ lệ thể tích vα tính chất dẫn nhiệt thành phần Cα cho trước- coi thành tựu bật học vật liệu tổ hợp Câu hỏi đặt liệu có tồn đánh giá tốt đánh giá HashinStrickman có vα Cα cho trước? Hoặc đánh giá tối ưu phải mơ hình hình học cho giá trị hữu hiệu trùng với đánh giá (dưới) Hashin- Strickman đánh giá họ cho hệ số dẫn nhiệt eff C tối ưu trường hợp vật liệu hai pha cách xây dựng mơ hình cầu lồng Milton [18] đánh giá Hashin- Strickman cho C eff vật liệu n pha tối ưu cho lớp giới hạn giá trị vα, Cα Bên cạnh đánh giá nói trên, nghiên cứu nhiều nhà khoa học thời gian qua đề cập tới lớp vật liệu cụ thể với thơng tin bổ sung hình học pha Trong trường hợp vật liệu hai pha với pha cốt liệu gồm hạt hình ellipsoid có tỷ lệ thể tích nhỏ phân bố rời rạc xa pha thứ hai liên tục, ta nhận biểu thức tiệm cận hệ số hữu hiệu dựa kết Eshelby Người ta xem xét mơ hình mà tỷ lệ thể tích pha cốt liệu khơng nhỏ tính tới tương tác hai hạt, ba hạt cốt liệu gần để đưa công thức xấp xỉ (xem [7]) Với hình học pha đặc biệt: tuần hồn đơn giản, áp dụng trực tiếp phương pháp số để giải Một phương pháp tiếp cận xấp xỉ hay sử dụng thời gian gần gọi phương pháp tự tương hợp (self-consistent)- áp dụng [6], [14], [15]- nhiên bị phê bình thiếu sở tốn học chặt chẽ, có cho kết sai lệch có ý nghĩa hạn chế Để có đánh giá hẹp đánh giá Hashin- Strickman, người ta tìm cách đưa thêm vào thơng tin bổ sung hình học pha vật liệu thơng qua hàm ngẫu nhiên ([24], [16], [21], [28], [30], [31]) Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất n điểm lấy tình cờ (với khoảng cách định chúng) rơi vào pha Việc đo đạc hàm ngẫu nhiên thường phức tạp chưa nói đến việc sử dụng chúng để tìm đánh giá tối ưu Với phương tiện đo đạc thực nghiệm máy tính đại người ta nhận hàm ngẫu nhiên bậc hai bậc ba cho trường hợp cụ thể (về mặt lý thuyết người ta có hệ số hữu hiệu xác khơng đánh giá có tất hàm ngẫu nhiên tới bậc ) Miller [20] xem xét lớp vật liệu tổ hợp đẳng hướng- gọi vật liệu cấu trúc đối xứng (symmetric cell material) với rang buộc bổ sung lên hình học pha vật liệu: pha có cấu trúc hình học vi mơ tỷ lệ thể tích khác Hiển nhiên ràng buộc khơng địi hỏi phải cho trước hình học cụ thể vật liệu Miller xây dựng thành công đánh giá eff cho C vật liệu cấu trúc đối xứng hai pha- nằm đánh giá HashinStrickman: PC 2Cl C eff Cl PC 2Cu v1 C2 v C1 , v1 C v C Cu max v1 C v2 C1 , v1 C1 , v2 C2 Các tính chất loại vật liệu nhiều tác giả quan tâm- đáng ý nghiên cứu gần Bruno ([5]; [7]) Các phương pháp nghiên cứu vật liệu tổ hợp đẳng hướng không gian ba chiều dùng để xem xét vật liệu đẳng hướng mặt phẳng kết tương ứng nhận ([9], [10], [13], [28], [29], [30]) Trong luận văn này, dựa nguyên lý lượng cực tiểu (và nguyên lý lượng bù cực tiểu) phương pháp biến phân, đề xuất cách xây dựng đánh giá cho hệ số dẫn nhiệt hiệu có tính tới thơng tin ngẫu nhiên bậc ba hình học pha vật liệu nằm đánh giá Hashin-Strickman áp dụng cho số vật liệu đối xứng phi đối xứng Sử dụng trường thử tổng quát trường Hashin- Strickman, từ nguyên lý lượng cực tiểu nhận đánh cho hệ số dẫn hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần tốt đánh giá xây dựng [1],[4] [7] Đánh giá chứa đựng thơng tin bậc ba hình học pha vật liệu áp dụng cho lớp vật liệu tựa đối xứng mơ hình cầu lồng ba pha Bố cục luận văn: Luận văn bao gồm chương: 10 Chương Mở đầu Chương Đánh giá cho hệ số dẫn nhiệt Chương Áp dụng Ngoài chương nêu trên, luận văn gồm phần: -Kết Luận: nêu kết luận văn đạt được, ứng dụng ý nghĩa luận văn đề xuất thêm hướng nghiên cứu thời gian tới -Danh Mục Cơng Trình Khoa Học Đã Cơng Bố -Tài Liệu Tham Khảo 27 coi mức độ đại diện cho loại vật liệu hai pha dạng ma trận- cốt liệu với pha cốt liệu hạt hình cầu phân bố rời rạc pha ma trận liên tục Hình 3.3: Mơ hình cầu lồng hai pha Xét cầu lồng SIM V xây dựng hệ tọa độ Decac địa phương xi với tâm trùng với tâm cầu SI SIM: xi cij x j const, cij Ký hiệu: const, G(x, y) cijckj (3.8) ik (3.9) x y Vì V SI, SIM cầu, từ lý thuyết hàm điều hịa ta có (S SI hay SIM, R bán kính S): ký hiệu (3.10) G(x, y)dy S G(x, y)dy V SIM x i xi const, x V Cũng từ lý thuyết hàm thế, cầu lồng x SIM , ta có: G(x, y)dy vI G(x, y)dy, SI V khác với SIM G(x, y)dy vM SM G(x, y)dy SIM Với (3.10) (3.11) ta kiểm tra ( x SIM ) I ,ij G(x, y)dy vI VI \SI vI G(x, y)dyG(x, y)dy G(x, y)dy vM xi xi xi xi const VM \SIM Từ (3.8), (3.11), (3.12) A ij ij dx ta tính được: Đối với x SI VI : I (x) G(x, y)dy V I G(x, y)dy SI G(x, y)dy VI \SI v I xi xi x i xi x i xi 66 M (x) G(x, y)dy V const, M G(x, y)dyG(x, y)dy G(x, y)dy V \S M vM Như thế: M S IM xi xi xi xi const; S I (3.12) (3.13) AIIIijI ij I dxijI ij I dx 0, S V VI I AIIM Đối với x I AIMM 0; VM : SM (x) G(x, y)dy V I G(x, y)dy SI M G(x, y)dy VI \SI (x) G(x, y)dy Như thế: I I ij AMIIijI ijI ,ij dxij I I ij dx VM S SIM V AMM M I SI Trên sở lý thuyết mơ hình cầu lồng hai pha, ta xét đến mơ hình cầu lồng ba pha sau: Quả cầu thuộc pha lồng vỏ cầu thuộc pha 2, sau lồng tiếp với cầu thuộc pha Các cầu lồng với kích thước khác lấp kín khơng gian vật liệu, với thứ tự lồng tỷ lệ thể tích pha cầu lồng (xem Hình 3.4): 30 Hình 3.4: Mơ hình cầu lồng ba pha Các tham số hình học A cho mơ hình tính xác [6]: A33 v 3 11 A 3 A 12 22 A3 A11 23 A A22 Cho minh hoạ số cụ thể: Ta chọn cầu lồng pha với tính chất sau: C1: C2: C3 = 50: 10: v1= v3, v2 = 0.25 0.75 Các kết tính tốn cho đánh giá từ (2.33), (2.36), (3.16) hội tụ tới giá trị eff xác C , đánh giá cũ từ [17], đánh giá Hashin - Strikman [11] cho Hình 3.5 31 Bảng 3.2: Đánh giá hệ số dẫn hiệu cho mơ hình cầu lồng ba pha v2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 Hình 3.5: Đánh giá hệ số dẫn hiệu cho mơ hình cầu lồng ba pha Giá trị xác từ (2.33), (2.36), (3.16) so sánh với đánh giá LP (Le and Pham, 1991) HS (Hashin – Strickman, 1962) 32 Nhận xét: Đánh giá luận văn tốt nhiều so với đánh giá HashinStrickman đánh giá P Ngoài ra, đánh giá cận luận văn hồn tồn trùng với nhau, chứng tỏ với mơ hình này, luận văn xây dựng đánh giá tối ưu Đồng thời luận văn giải vấn đề nêu chương Mở Đầu: mơ hình hình học cụ thể mà đánh giá hữu hiệu trùng với đánh giá cận cận 33 KẾT LUẬN Đường lối biến phân sử dụng để đánh giá hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng Ưu đường lối biến phân chỗ có sở tốn học chặt chẽ sử dụng thành cơng chí khơng có thơng tin đầy đủ hình học pha vật liệu tổ hợp- thực tế thường gặp phải nghiên cứu vật liệu nhiều pha Trong tỷ lệ thể tich tính chất vật liệu thành phần cho xác hình học pha cụ thể nhiều vật liệu tổ hợp thường gặp lại mang tính tùy tiện, ngẫu nhiên khó mà nắm Thay giải phương trình cân tương thích hình học pha phức tạp- mà riêng việc mơ tả tốn học ba chiều xác hình học pha mục tiêu khơng thực tế, phương pháp biến phân cho ta đánh giá tính chất hữu hiệu Càng có thêm thơng tin hình học pha ta xây dựng đánh giá hẹp tìm cách sử dụng thơng tin nhiều trường hợp đánh giá đủ hẹp giá trị xấp xỉ tính chất hữu hiệu Đó nói mặt ngun tắc, cịn thực vấn đề khó khăn nhiều Đường lối biến phân không cho cách thức toán học cụ thể để dễ dàng áp dụng, chẳng hạn phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán kết cấu đàn hồi cần có cách sáng tạo Chúng ta cần phải tìm cực trị phiếm hàm … không với biến chưa biết mà cịn miền khơng xác định V với số thông tin hạn chế V tỷ lệ thể tích… ta thấy dù V khơng xác định ta có đánh giá- đánh giá Hill-Paul đặc biệt đánh giá Hashin-Shtrickman Các hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp xây dựng luân văn phụ thuộc vào hệ số hình học bậc ba tích phân hàm V việc xác định giá trị cụ thể chúng trường hợp chung vấn đề khó Các trường thử sử dụng rộng trường thử trước sử dụng [1] [17], cho đánh giá tốt Kết luận văn hoàn toàn phù hợp với kết kinh điển công bố trước Voight, Russe, Hashin- Strickman, P … 34 Ngoài ra, luận văn xem xét số mơ hình hình học hệ số A tính xác hay đơn giản hóa đánh giá tương ứng- ln nằm đánh giá Hashin-Shtrickman Vấn đề tìm đánh giá tốt cho vật liệu đẳng hướng nhiều pha đánh giá cho lớp vật liệu đối xứng, đặc biệt số pha n ≥ vấn đề khó tiếp tục mục tiêu nghiên cứu 35 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ “Đánh giá bậc ba hệ số dẫn vật liệu hỗn độn nhiều thành phần”Phạm Đức Chính Vương Thị Mỹ Hạnh, Tuyển tập cơng trình Hội Nghị Khoa Học Tồn Quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ X, Thái Nguyên, Tháng 11/2010 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Phạm Đức Chính Luận án Phó tiến sĩ khoa học tốn lý Đánh giá tính chất lý vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều pha (1995) Phạm Đức Chính Đánh giá tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ IV, 10/1994 Phạm Đức Chính Vương Thị Mỹ Hạnh Đánh giá bậc ba hệ số dẫn vật liệu hỗn độn nhiều thành phần Tuyển tập cơng trình Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ X, 11/2010 Lê Khánh Châu, Phạm Đức Chính Về hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp Hội thảo trao đổi nhiệt chất, Hà Nội (1988) Tiếng Anh: Bruno O.P>, Taylor expansions and bounds for the effective conductivity and the effective elastic moduli of multicomponent composites and polycrystals Asymptotic Analysis 4,339-369 (1991) Budiansky B., On the elastic moduli of some heterogeneous materials J Mech Phys Solids 13, 223 (1965) Hale D.K The physical properties of composite materials J Mater Sci 11, 2105 (1796) Hashin Z., The elastic moduli of heterogeneous materials, J Appl Mech 29,143-150 (1962) Hashin Z., On elastic behaviour of fiber reinfoeced materials of arbitrary transverse phase geometry J Mech Phys Solids 13, 119 (1965) 10 Hashin Z., Rosen W., The elastic moduli of fiber reinforced materials J Appl Mech 31, 223 (1964) 11 Hashin Z., Strikman S A variational approach to the theory of the effective magnetic peomeability of multiphase materials J Appl 37 12 Hashin Z., Strikman S A variational approach to the theory of elastic behaviour of multiphase materials J Mech Phys Solids 11, 127-140 (1963) 13 Hill R Theory of mechenical properties of fiber-strengthened materials: I Elastic behaviour J Mech Phys Solids (1964) 14 Hill R., Self-consistent mechanics of composite materials J Mech Phys 13, 213-222 (1965) 15 Kroner E., Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalss aus den Konstanten eds Einkristalls Z Phys (1958) 16 Kroner E., Elastic moduli of perfectly disorderd composite materals J Mech Phys Solids (1977) 17 Le R C., Pham D C On bounding the effective conductivity of isotropic composite materials ZAMP 42, 614 – 622 (1991) 18 Milton G.W The theory of composite Cambridge University Press, 2001 19 Miller M N., Bounds for effective electrical, thermal an magnetic properties of heterogeneous materials J Math Phys 10, 1988-2004 (1969) 20 Miller M N., Bounds for the effective elastic bulk moduls of heterogeneous materials J Math Phys 10, 2005 (1969) 21 Milton G.W., Kohn R.V., Variational bounds on the effective moduli of anisotropic composites J Mech Phys Solids (1988) 22 Paul B., Prediction of elastic constants of multiphasw materials Trans ASME (1960) 23 Pham D C., Bounds for the effective conductivity and alastic modul of fullydisordenad multicomponent materials Arch Rational Mech Anal 127, 191 198 (1994) 24 Pham D C., Torquato S, Strong-contrast expansions and approximations for the effective conductivity of isotropic multiphase composites J Appl Phys 94, 6591- 6602 (2003) 25 Pham D C., Estimations for the overall properties of same isotropic locallyordened composite Acta Mech 121, 177 – 190 (1997) 26 Reuss A., Berechnung der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatzsbedingung fur Einkristalle ZAMM (1929) 27 Torqueto S.Random heterogeneous media New York, Springer, 2002 38 28 Torquato S., Random heterogenous media: Microstructure and improved bounds on effective properties Appl Mech Rev (1991) 29 Voight W., Lehrbuch der Krystallphysik Teuber, Leipzig (1928) 30 Willis J.R., Bounds and self-consistent estimates for the overall moduli of anisotropic composite J Mech Phy Solids (1977) 31 Willis J R., Variational and related methods for the overall properties of composite materials In Advances in Appl Mech Academic press (1981) ... hướng Việc xác định lý tính hữu hiệu vật liệu tổ hợp vấn đề khoa học vật liệu Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng phụ thuộc vào tính chất vi mơ vật liệu thành phần cấu tạo nên như: tỷ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VƯƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ TRÊN VÀ DƯỚI HỆ SỐ DẪN NHIỆT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG Ngành : Cơ học kỹ thuật Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật Mã số: 60 52 02 LUẬN VĂN THẠC... hình hình học cụ thể mà đánh giá hữu hiệu trùng với đánh giá cận cận 33 KẾT LUẬN Đường lối biến phân sử dụng để đánh giá hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng Ưu đường lối biến