Đánh giá trên và dưới hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng

Trong luận văn này ta quan tâm nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng, nó phụ thuộc vào các tính chất của các thành phần cấu thành và tương tác giữa chúng.. Việc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Mã số: 60 52 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ HỌC KỸ THUẬT

Hà Nội-2012

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa ……… 1

LỜI CẢM ƠN ……… 2

LỜI CAM ĐOAN ……… 3

MỤC LỤC ……… 4

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ ……… 5

Chương 1 Mở đầu ……… 6

Chương 2 Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt ……… 11

2.1 Xây dựng đánh giá trên ……… 15

2.2 Xây dựng đánh giá dưới ……… 20

Chương 3 Áp dụng ……… 23

3.1 Vật liệu tựa đối xứng ……… 23

3.2 Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha ……… 28

KẾT LUẬN ……… 35

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ ……… 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 37

PHỤ LỤC ……… 40

ba pha ……… ……… 28 Hình 3.3: Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha ……… … 29 Hình 3.4: Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha ……… ….… 32 Bảng 3.2: Đánh giá trên và dưới đối với hệ sô dẫn hiệu quả cho mô hình quả cầu

lồng nhau ba pha ……….… … 33 Hình 3.5: Đánh giá trên và dưới đối với hệ sô dẫn hiệu quả cho mô hình quả cầu

lồng nhau ba pha ……… ………… 34

Chương 1 Mở đầu

Một số lớn các vật liệu đang sử dụng hiện nay được tạo ra từ nhiều thành phần vật liệu khác nhau nhằm phục vụ cho các đòi hỏi trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người

Trong luận văn này ta quan tâm nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng, nó phụ thuộc vào các tính chất của các thành phần cấu thành và tương tác giữa chúng Việc nghiên cứu các mối quan hệ này là cần thiết

và có ý nghĩa thực tiễn vì nó giúp giải thích được mối quan hệ giữa tính chất vĩ

mô của vật liệu với tính chất các thành phần cấu thành và hình học vi mô, giúp thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu

Vật liệu tổ hợp được cấu tạo vi mô từ cách thành phần vật liệu khác nhau nhưng về mặt vĩ mô được coi là đồng nhất và các tính chất hữu hiệu ( mô đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện,…) nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành Các cấu trúc vi mô được coi là đủ lớn so với kích thước phan tử để có thể được xem như là môi trường liên tục Các trường (nội lực, chuyển vị, nhiệt, dòng nhiệt…) là liên tục trên các mặt ngăn cách giữa các pha Khi các thành phần cấu thành phân bố hỗn độn trong không gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hướng vĩ mô

Ở đây chúng ta cũng giới hạn với giả thiết các vật liệu thành phần là đẳng hướng Việc xác định cơ lý tính hữu hiệu của vật liệu tổ hợp là một vấn đề cơ bản của khoa học vật liệu

Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng phụ thuộc vào tính chất vi mô của các vật liệu thành phần cấu tạo nên nó như: tỷ lệ thể tích, dạng hình học pha, các hệ số dẫn nhiệt vi mô… Vì hình học pha của vật liệu thường phức tạp và không thể cho trước đầy đủ và chính xác được, nên người ta thường tìm cách xây dựng các đánh giá trên và dưới đối với các tính chất vĩ mô của vật liệu

Trong chương này, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc về lịch sử vấn

đề, tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của nó, đồng thời sơ lược qua phương pháp nghiên cứu và các kết quả chính mà luận văn đã đạt được

Việc xác định hệ số dẫn nhiệt hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng được đưa về việc giải bài toán tìm điểm cực tri của phiếm hàm năng lượng Đó là một bài toàn rất phức tạp tương đương với việc giải các phương trình cân bằng và

tương thích trêm miền không đồng nhất V với cấu tạo hình học pha phức tạp, tùy

tiện mà trong thực tế người ta cũng khó mà có được thông tin đầy đủ về hình học pha của các vật liệu tổ hợp được sử dụng Do đó, đường lối biến phân đề nghị một cách tiếp cận khác thực tiễn hơn: trên cơ sở các thông tin hạn chế có được về cấu tạo của miền thể tích đang xét ta tìm trường khả dĩ tốt nhất gần với với điểm cực trị của phiếm hàm năng lượng để từ đó nhận được đánh giá trên và dưới đối với

hệ số dẫn nhiệt hiệu quả

Khó khăn chính là ta phải giải các bài toán biến phân trên miền thể tích V với cấu trúc phức tạp mà ta thường không có được đầy đủ các thông tin về nó Các thông tin chính xác nhất, đơn giản nhất cho mô tả (và cũng là quan trọng

nhất) có được thường là tỷ lệ thể tích v α và các tính chất dẫn nhiệt C α của các thành phần cấu thành

Vào năm 1982, Voight [29] đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học

để tính xấp xỉ các tính chất hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng:







n eff v C C

1





 (1.1) Reuss [26] đã chỉ ra rằng trong một số các trường hợp thì công thức trung bình cộng điều hòa cho được kết quả xấp xỉ tốt hơn:

1 1 1

n eff

dĩ hằng số, Hill [13] và Paul [22] đã chứng minh được rằng các tính chất hữu hiệu của vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha như thế nào luôn nằm ở giữa các giá trị (1.1) và (1.2) Cụ thể, đánh giá Hill- Paul có thể được viết như sau:

1 1

P C2CminC eff  P C2Cmax

Cmin  minC |   1, ,n, Cmax  maxC |   1, ,n

Đánh giá Hashin- Strickman đúng cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất kỳ

(bất kể hình hịc pha như thế nào) với tỷ lệ thể tích v α và tính chất dẫn nhiệt các

thành phần C α được cho trước- và được coi là một trong những thành tựu nổi bật

của cơ học các vật liệu tổ hợp

Câu hỏi được đặt ra là liệu có tồn tại đánh giá tốt hơn đánh giá Hashin-

Strickman nếu chỉ có v α và C α được cho trước? Hoặc nếu các đánh giá là tối ưu thì

phải chỉ ra mô hình hình học cho được giá trị hữu hiệu trùng với đánh giá trên

(dưới) Hashin- Strickman đã chỉ ra rằng các đánh giá của họ cho hệ số dẫn nhiệt

C eff là tối ưu trong trường hợp vật liệu hai pha bằng cách xây dựng mô hình quả

cầu lồng nhau Milton [18] đã chỉ ra rằng các đánh giá của Hashin- Strickman cho

C eff của vật liệu n pha là tối ưu cho một lớp giới hạn các giá trị của v α , C α

Bên cạnh những đánh giá cơ bản nói trên, các nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong thời gian qua đề cập tới các lớp vật liệu cụ thể với những thông tin

bổ sung về hình học pha Trong trường hợp vật liệu hai pha với một pha cốt liệu

gồm các hạt hình ellipsoid có tỷ lệ thể tích nhỏ phân bố rời rạc xa nhau trong pha

thứ hai liên tục, ta có thể nhận được các biểu thức tiệm cận của các hệ số hữu hiệu

dựa trên các kết quả cơ bản của Eshelby Người ta cũng xem xét các mô hình mà

tỷ lệ thể tích của pha cốt liệu không nhỏ và tính tới các tương tác giữa hai hạt, ba

hạt cốt liệu gần nhau nhất để đưa ra các công thức xấp xỉ (xem [7]) Với các hình

học pha đặc biệt: tuần hoàn và đơn giản, có thể áp dụng trực tiếp phương pháp số

để giải Một phương pháp tiếp cận xấp xỉ cũng hay được sử dụng cho tới thời gian

gần đây gọi là phương pháp tự tương hợp (self-consistent)- đầu tiên được áp dụng

trong [6], [14], [15]- tuy nhiên bị phê bình là thiếu cơ sở toán học chặt chẽ, có khi

cho kết quả sai lệch và bởi vậy có ý nghĩa hạn chế

Để có được đánh giá hẹp hơn đánh giá Hashin- Strickman, người ta tìm cách đưa thêm vào các thông tin bổ sung về hình học pha của vật liệu thông qua

các hàm ngẫu nhiên ([24], [16], [21], [28], [30], [31]) Các hàm ngẫu nhiên bậc n

(n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy

tình cờ (với khoảng cách nhất định giữa chúng) rơi vào cùng một pha Việc đo

đạc các hàm ngẫu nhiên này thường rất phức tạp chứ chưa nói đến việc sử dụng

chúng như thế nào để tìm các đánh giá tối ưu Với các phương tiện đo đạc thực nghiệm và máy tính hiện đại nhất hiện nay người ta cũng chỉ mới nhận được các hàm ngẫu nhiên bậc hai và bậc ba cho các trường hợp cụ thể (về mặt lý thuyết người ta có thể có được các hệ số hữu hiệu chính xác chứ không chỉ đánh giá nếu

có được tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc )

Miller [20] đã xem xét một lớp các vật liệu tổ hợp đẳng hướng- gọi là vật liệu cấu trúc đối xứng (symmetric cell material) với một rang buộc bổ sung lên hình học pha của vật liệu: các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhau mặc dù tỷ

lệ thể tích có thể khác nhau Hiển nhiên ràng buộc này không đòi hỏi phải cho trước hình học cụ thể của vật liệu Miller đã xây dựng thành công đánh giá mới

cho C eff của vật liệu cấu trúc đối xứng hai pha- nằm trong đánh giá Hashin- Strickman:

Trong luận văn này, dựa trên nguyên lý năng lượng cực tiểu (và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu) và phương pháp biến phân, chúng tôi đề xuất một cách xây dựng đánh giá mới cho hệ số dẫn nhiệt hiệu quả có tính tới thông tin ngẫu nhiên bậc ba về hình học pha của vật liệu nằm trong đánh giá Hashin-Strickman

và áp dụng cho một số vật liệu đối xứng và phi đối xứng

Sử dụng trường thử tổng quát hơn trường khả dĩ Hashin- Strickman, từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu chúng tôi đã nhận được các đánh mới cho hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần tốt hơn các đánh giá được xây dựng trong [1],[4] và [7] Đánh giá mới chứa đựng các thông tin bậc

ba về hình học pha của vật liệu đã được áp dụng cho lớp vật liệu tựa đối xứng và

mô hình quả cầu lồng nhau ba pha

Bố cục của luận văn:

Luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1 Mở đầu

Chương 2 Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn nhiệt

Chương 3 Áp dụng

Ngoài 3 chương được nêu trên, luận văn còn gồm các phần:

- Kết Luận: nêu các kết quả luận văn đạt được, các ứng dụng và ý nghĩa của luận văn cũng như đề xuất thêm hướng nghiên cứu mới trong thời gian tới

- Danh Mục Công Trình Khoa Học Đã Công Bố

- Tài Liệu Tham Khảo

Chương 2 Đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn

nhiệt

Trước tiên, ta cần quan tâm đến khái niệm phần tử đặc trưng (RVE) của vật liệu tổ hợp

Khái niệm: Một phần tử được gọi là phần tử đặc trưng của vật liệu nếu nó

đủ lớn so với cấu trúc vi mô để có thể được coi thực sự đại diện cho vật liệu được xem xét nhưng phải đủ nhỏ so với các kích thước vĩ mô của vật thể chịu lực (và

cả độ dài bước sóng trong trường hợp bài toán động) để các tính chất hữu hiệu thực sự có ý nghĩa

Ta xem xét phần tử đặc trưng V của vật liệu hỗn độn đẳng hướng vĩ mô như

một quả cầu có tâm trùng với tâm của hệ tọa độ Decac vuông góc {x} V được

cấu tạo từ n thành phần chiếm các vùng V  V có thể tích v α (α = 1,…,n; thể tích của V được coi là bẳng 1) và hệ số dẫn C α

Như vậy, hệ số dẫn địa phương có thể biểu diễn như sau:

C

1

) ( )

V x x

I

\ , 0

, 1 )

Hệ số dẫn C(x) chính là hệ số tỷ lệ của quan hệ tuyến tính:

J(x) C(x)E(x) (2.3) Với:

J (x): dòng nhiệt

E (x): Trường gradient nhiệt

Dòng J(x) cần thoả mãn phương trình cân bằng:

 J(x)  0 (2.4)

Trong khi đó trường E(x) là gradient:

E(x)  T(x) (2.5)

T: là trường nhiệt độ

Dấu ‘‘ -’’ trong công thức trên là do dòng nhiệt chạy từ nơi có nhiệt độ cao đến

nơi có nhiệt độ thấp

Liên kết giữa các pha là lý tưởng ( T(x) và J  n liên tục trên mặt ngăn cách giữa

các pha, n là pháp tuyến trên mặt ngăn cách)

Trong luận văn này, để xây dựng đánh giá mới cho hệ số dẫn nhiệt hiệu quả

ta dùng nguyên lý năng lượng cực tiểu:

   



V E E

C J J J J x

0

J J 0

1

inf (2.7) Trong đó :

E ( ) ; (2.8) . : ký hiệu phép lấy trung bình trên V

J : Trường cân bằng thỏa mãn (2.4)

0

J : Constant vector

Trước khi xây dựng các đánh giá, chúng ta cần định nghĩa các tham số

thống kê bậc ba về hình học pha của các vật liệu [17, 24] Ta có các hàm thế điều

Với giả thiết đẳng hướng vĩ mô ta có:

A M

ThayK và M vào (2.13) ta được:

,ij ij V

19

,

,

 ik jl il jk

kl ij V

ij V

kl

ij

V

ij ij

v A

A v

dx

v dx

1

~ 15

1 15

2 3

ij

V ij ij

d v

d A

x

x

, ,

, ,







n A

Trở lại với các bài toán cực trị (2.6) và (2.7), với các trường khả dĩ E và J

thích hợp chúng ta sẽ có thể nhận được các đánh giá trên và dưới tương ứng đối

với hệ số dẫn hiệu quả C eff

2.1 Xây dựng công thức đánh giá trên

Đối với đánh giá trên, ta sử dụng biểu thức năng lượng cực tiểu (6) và chọn

trường thử khả dĩ gradient E như sau:

ij j i

Với ràng buộc (2.21) dễ dàng kiểm tra trường thử khả dĩ gradient E từ (2.20) thoả

1

, 0 0





 

E E

Ta tính riêng số hạng thứ 2 trong biểu thức trên :

ij j n

ij

E a

1

, 0 1

, 0 1

, 0

n

ij

E a

1 1

, 0

1

, 0

v a E





  Vậy trường thử (2.20) thỏa mãn ràng buộc 0

E

Trường khả dĩ Hashin – Strickman được sử dụng trong [1], [4] chỉ là trường hợp riêng của (2.20) với 1 hệ số tự do Bởi vậy trường thử (2.20) tổng quát hơn sẽ có khả năng cho đánh giá trên nhỏ hơn (tốt hơn) so với đánh giá trong [1], [4]

Để tìm đánh giá trên, trước tiên ta đặt trường thử khả dĩ (2.20) vào biểu thức sau

inf trong (2.6) ta được :

V

n

ik k i

n

ij j i

E E i i eff E

1

, 0 0

0 0

i V

i

i E dx CE E a dx CE

VT

1 , 0 0 0

0





 

j V

n ik k

CE

1 1

, , 0

0 1

, 0 0

V

i i i

i E dx E E Cdx E E v C

CE

1

0 0 0

0 0

V

j i n

ij j

CE

1 , 1

0 0 1

, 0 0

0 0

i

v C a E

E

1 1

0 0

i E a v C E

1

0 0

ik k

CE

1

0 0 1

, 0 0

n n k j V

n n

ik ij k

1 1

, , 0

n n n k

0 0

Áp dụng công thức (2.16)

ik ij V

E CE

n n n j

j V

n n

ik ij k

j

~ 3

1

1 1 1

0 0

1 1

, , 0

1

, ,

ij ij

3

1 3

1 3

1

, ,

, ,

A

3

1 3

1 3

1

~

, ,

3

1 3

3

1 3

1 3

ik ij k

CE

1 , ,

0 0 1

,

, , 0

0

3

1 3

j

j E a a C A E E a a C v E

1 , ,

0 0 1

, ,

0 0

9

1 3

n V

i

E

1 2 1

1 , ,

0 0

9

1 3

2 3

 : gọi là trung bình cộng số học Voigt

Chúng ta cực tiểu hoá biểu thức (2.23) trên các biến tự do a α ràng buộc bởi (2.21)

bằng cách đưa vào nhân tử Lagrange λ :





F a F

δ = 1,…,n (2.24)

0 0

Đưa vào các ma trận A, A và vector a, v, v c trong không gian n chiều như sau:

n n

v v

C C A A

1 ,

1 9

2 3

C v c A A

1 ,

c A

1 ,



C và lấy tổng theo α từ 1 tới n, có tính tới ràng buộc

(2.21), ta nhận được:

1 c AaC R1  0 (2.29) Trong đó:

 

1 1

1 1

n

C v C

c : là trung bình cộng điều hoà Reuss

Cùng với (2.28), (2.29) cho lời giải:

v A v

v A v

1 c 1



Cuối cùng, từ (2.6), (2.20), (2.32) ta nhận được đánh giá trên mới cho C eff:

U    n n  n

A eff

A v C C

C   1,  1,  1

v A v

v A v

1 c 1

2.2 Xây dựng công thức đánh giá dưới

Tương tự, để tìm đánh giá dưới cho C eff , ta áp dụng nguyên lý năng lượng

J

1

, 0 0

ij ij i i

J

1

, ,

0 1

, 0 , 0

, ,

J

1

, 0 ,

Ngoài ra, từ ràng buộc 0

A v C C

C   1,  1,  1

c 1 1

v A v

v A v

C v C

A

1 1 1



A về hình học pha của vật liệu Trong trường hợp vật liệu

hai pha (n = 2) các đánh giá này trùng với các đánh giá đã biết và đánh giá trong [1], [17] Tuy nhiên với n ≥ 3 đánh giá mới tốt hơn đánh giá trong [1], [17], như

chúng ta sẽ thấy trong chương sau

Cụ thể, ta áp dụng công thức đánh giá vừa xây dựng trên cho vật liệu tựa đối xứng và mô hình quả cầu lồng nhau

3.1 Vật liệu tựa đối xứng

Vật liệu tổ hợp đẳng hướng được gọi là vật liệu tựa đối xứng hay còn gọi là vật liệu ngẫu nhiên hoàn toàn (perfectly random composites) nếu có thể chia vật liệu tổ hợp thành nhiều phần có thể tích bằng nhau với mỗi phần chỉ được cấu tạo

từ một loại vật liệu thành phần nhất định, sao cho việc đổi chỗ các vật liệu của hai phần bất kỳ khác nhau không làm thay đổi các đặc trưng vĩ mô của vật liệu (Xem Hình 3.1) Trái ngược với nó là vật liệu phi đối xứng dạng nền + cốt liệu: pha nền liên tục chia cắt các cốt liệu rời rạc từ pha còn lại

Hình 3.1: Mô hình vật liệu tựa đối xứng ba pha

Cụ thể: mỗi pha V α được chia thành p α phần V αk (k = 1, , p α ) với thể tích

như nhau v 0 (v α = p α v 0) và giả thiết đối xứng đòi hỏi:

const e

dx v

k

V

k ij k

ij   

11

v V

l ij k

 cho mọi αk # βl (nghĩa là α ≠ β hay k ≠ l )