I ®Æt vÊn ®Ò S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §¹i sè 8 Mét sè kinh nghiÖm trong ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö VÝ dô ym+3 ym = ym (y3 1) = ym(y 1) (y2 + y + 1) 2 1) C¸c ph ¬ng ph¸p th«ng th êng + §Æt[.]
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tư VÝ dơ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) 2.1) Các phơng pháp thông thờng + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp ba phơng pháp kể để phân tích đa thớc thành nhân tử Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử M2 = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bớc sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức không ?+ Nếu nhân tử chung, đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mÃn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M3 dạng đẳng thức, hạng tử nhân tử chung, làm để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phơng pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sư dơng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn1 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 ®· cã nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a 2b) Nh M3 đà đợc phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nh©n tư M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trớc hết hÃy xác định xem dùng phơng pháp trớc ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nh©n tư chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngc cã hạng tử hÃy xét xem có đẳng thức không? + Nhóm hạng tử: M4 = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đà đợc phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đà học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích đợc nữa) 2.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phơng pháp phân tích thành nhân tử thông thờng (đà học SGK) kết hợp phơng pháp sau để làm toán khó + Phơng pháp tách hạng tử + Phơng pháp thêm, bớt hạng tử + Phơng pháp đặt ẩn phụ + Phơng pháp tìm nghiệm đa thức + Phơng pháp dùng hệ số bất định + Phơng pháp xét giá trị riêng Cụ thể: 2.2.1: Phơng pháp tách hạng tử Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a) Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn2 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tư) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử lại Cách 2: N = a2 - 6a + - (T¸ch = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhãm h¹ng tư - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức) = (a - 2) (a + 2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) C¸ch 3: N = a2 - 4a + - 2a + (T¸ch = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tư) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng nhân tử) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác cách tách sau thông dụng nhất; - Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đợc đa hiệu hai bình phơng (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử lại (cách 3) - Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Ví dơ 6: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b Ngoài tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (nh cách 3) 2.2.2) Phơng pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử P1 = x4 + Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn3 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử = x4 + 4x2 + - 4x2 (thªm 4x2, bít 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhãm h¹ng tư) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) VÝ dô 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phơng tổng hay hiệu hai bình phơng phân tích triệt để đợc ví dụ 6, P1 đà có bình phơng hạng tử (x2) bình phơng hạng tử (2) Vậy muốn đẳng thức thiếu lần tích hạng tử Do ta thêm 2.x 2.2 = 4x2 đồng thời phải bớt 4x2 2.2.3) Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt y = x2+ x = x(x + 1) (®ỉi biÕn) Khi ®ã ta cã: D1 = y2 + 4y - 12 Ta cã thÓ dùng phơng pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (T¸ch 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) 2 Hay D = (x + x - 2) (x + x + 6) thay lại biến x D đà phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) (x2 + x+ 6) Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào phơng pháp đà nêu Chú ý có tam thức phân tích tiếp đợc nh : x2 + x + = (x + )2 + Do không phân tích tiếp đợc Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) 2.2.4) Phơng pháp tìm nghiệm đa thức Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn4 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nguyên tắc: NÕu ®a thøc ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tư (x - m), ®ã dïng phÐp chia ®a thøc ta cã: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp đợc dựa vào phơng pháp nêu Các phơng pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tỉng c¸c hƯ sè: a + b + c + d = ®a thøc cã nghiƯm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d ®a thøc cã x = -1 ®a thøc chøa nh©n tư chung (x + 1) + NÕu không xét đợc tổng hệ số nh ta xÐt c¸c íc cđa hƯ sè tù d (hệ số không đổi) Nếu ớc d làm cho đa thức có giá trị ớc nghiệm đa thức Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xÐt tỉng c¸c hƯ sè ta thÊy a + b + c = + + (-4) = x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1) Sau dùng phơng pháp ®· häc ®Ĩ ph©n tÝch tiÕp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Ta thấy tổng hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = có x = -2 lµ nghiƯm cđa E2 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1) C¸c vÝ dơ số phơng pháp để phối kết hợp với phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc toán khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức nh giải phơng trình 3) Một số tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tư 1a x2 - 4x + b»ng c¸ch (phơng pháp tách) Gợi ý cách làm C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: T¸ch = - C3: T¸ch = 12 - C4: Tách -4x = -2x + (-2x) = + Sau nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn5 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1b 81a4 + (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm lần tích 9a2 Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2 1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến) Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y 1d: x3 - 2x2 - x + (phơng pháp tìm nghiệm) Gợi ý: Xét tổng hệ số a + b + c = Ngoµi cã thĨ sư dơng phơng pháp khác để phân tích tập thành nhân tử Bài tập 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức M = a3 4a a víi a = 102 a 7a 14a Gỵi ý: + Ph©n tÝch tư thøc a3 - 4a2 - a+ phơng pháp nhóm đẳng thức đa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung cđa tư thøcvµ mÉu thøc + Thay a = 102 vào M đà rút gọn Bài tập 3: Giải phơng trình sau: 3.a) y2 - 5y + = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phơng trình trở phơng trình tích 3b: y - 2y2 - 9y + 18 = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đà cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích Bài tập 4: Chứng minh đa thøc sau 4a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hÕt cho 24 Víi a lµ mét số tự nhiên Gợi ý: + Trớc hết phân tích đa thức đà cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sư dơng h»ng đẳng thức hiệu hai bình phơng) Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn6 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * LËp luËn: + A ®· cho tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải cã mét sè chia hÕt cho vËy: A + Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp có số chẵn liên tiếp nên mộc hai số chia hết cho số lại chia hết cho Vậy A + Nhng (3 ; 8) = nªn tÝch số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 4b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24 Víi n lµ sè nguyên dơng tuỳ ý Bài tập 5: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gỵi ý: + Tríc hết sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (t¸ch 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhãm h¹ng tư) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * LËp luận Vì (x - 2)2 o (y + 1)2 0, dÊu " = "x¶y a = y = - nên A = (x - 2) + (y + 1)2 + VËy AMin = x = 2; y = -1 Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh Đơn7 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng ... nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Ví dụ 6: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thùc hành ta làm nh sau;