http //www danglam com/IMO/6 1964 VN htm Kỳ thi IMO lần thứ 6 1964 1 (a) Tìm tất cả các số tự nhiên n với 2n 1 chia hết cho 7 (b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để 2n + 1 chia hết cho 7 2[.]
Kỳ thi IMO lần thứ - 1964 (a) Tìm tất số tự nhiên n với 2n -1 chia hết cho (b) Chứng minh số tự nhiên n để 2n + chia hết cho Giả sử a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 3abc Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c Các đường tiếp tuyến đường tròn nội tiếp tam giác dựng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh tạo thành ba tam giác Đối với tam giác lại có đường trịn nội tiếp Tính tổng diện tích bốn đường trịn nội tiếp Có 17 người, cặp số họ trao đổi thư từ cho với ba chủ đề Chứng minh có người viết cho theo chủ đề (Hay nói cách khác, ta tô màu cho cạnh đồ thị đầy đủ 17 đỉnh với ba màu khác nhau, ta tìm thấy tam giác có tất cạnh màu) Cho năm điểm mặt phẳng cho khơng có hai đường thẳng (trong số đường thẳng nối hai số điểm trên) trùng nhau, song song với vng góc với (các đường thẳng nối từ hai năm điểm cho) Từ điểm ta kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng nối hai bốn điểm lại Hãy xác định số điểm giao lớn đường thẳng vng góc có Cho tứ diện ABCD D0 trọng tâm tam giác ABC Từ A, B, C kẻ đường thẳng song song với DD0 cắt mặt phẳng BCD, CAD, ABD tương ứng A0, B0, C0 Chứng minh thể tích A0B0C0D0 gấp ba lần thể tích ABCD Kết có D0 điểm tuỳ ý tam giác ABC không ?