SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 2019 ĐỀ THI MÔN TOÁN Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian[.]
111Equation Chapter Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi chun Tốn, chuyên Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) P : y x đường thẳng d : y 2mx m ( m a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol P hai điểm phân tham số) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt Parabol A x1 ; y1 B x2 ; y2 biệt thỏa mãn x1 x2 y1 y2 0 b) Giải phương trình: x x x2 6x x y 5 x y xy 5 c) Giải hệ phương trình x y z 9! 1 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình , x, y, z ẩn 9! tích số nguyên dương liên tiếp từ đến a) Chứng minh có số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) x, y , z chia hết cho b) Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn (1) Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 1 a ab b b2 bc c c ca a ABCD AC BD O tứ giác ABCD Câu (3,0 điểm) Cho hình thoi Đường trịn nội thứ tự tiếp xúc với cạnh AB, BC , CD, DA điểm E , F , G, H Xét điểm K đoạn HA điểm L đoạn AE cho KL tiếp xúc với đường tròn O a) Chứng minh LOK LBO BL.DK OB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt cạnh AB điểm M khác L đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt cạnh AD điểm N khác K Chứng minh bốn điểm K , L, M , N nằm đường tròn c) Lấy điểm P, Q tương ứng đoạn FC , CG cho LP song song với KQ Chứng O minh PQ tiếp xúc với Câu (1,0 điểm) Một bảng hình vng gồm có n hàng n cột ( n số nguyên dương) Các hàng cột đánh số từ đến n (các hàng đánh số từ xuống cột đánh số từ trái i, j 1, 2, , n bảng gọi ô i, j Tại ô qua phải) Ơ vng nằm hàng i , cột j i, j điền số 0, b j n , số số bảng điền số cho b dịng i j số số cột j Gọi P tổng tất số ô bảng hình vng cho a) Xây dựng bảng hình vng thỏa mãn u cầu tốn trường hợp n 4 P 8 n2 n2 n2 P , với phần nguyên số b) Chứng minh -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………… SỞ GDĐT VĨNH PHÚC (Đáp án gồm 06 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chuyên Toán, chuyên Tin học) Câu (3,0 điểm) P : y x2 Oxy , a) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol đường thẳng d : y 2mx m ( m P hai điểm phân tham số) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt Parabol A x1 ; y1 B x2 ; y2 biệt thỏa mãn x1 x2 y1 y2 0 b) Giải phương trình: x x x2 6x x y 5 x y xy 5 c) Giải hệ phương trình P : y x2 Oxy , 1a) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol đường thẳng d : y 2mx m ( m tham số) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt A x1; y1 B x2 ; y2 thỏa mãn Parabol x1 x2 y1 y2 0 1,00 P : x 2mx m 0 1 d Phương trình hồnh độ giao điểm P Để d cắt hai điểm phân biệt phải có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt 1 m2 m m 2 m 0,25 Theo Vi-ét ta có x1 x2 2m x1 x2 m 0,25 A x1 ; x12 , B x2 ; x22 x1 x2 y1 y2 0 4m m 1 0 0,5 m 1 0 m P Vậy, với m 1 đường thẳng d cắt hai điểm phân biệt thỏa mãn đề 1b) Giải phương trình: x x x x x 4 x x 0 ĐK Bình phương hai vế phương trình ta 1,00 0,25 0,25 x x x x x x x x x 0 t 1 t t t x x t 0 t loai Đặt PT có dạng x 2 t 1 x x 1 x x 0 x 2 loai Phương tình có nghiệm x 2 x y 5 x y xy 5 1c) Giải hệ phương trình x y xy 5 x y 5 x y xy 5 x y xy 5 Ta có x y xy 5 x y x y 15 x y xy 10 2 x y xy 10 x y x y x y 3 0 x y 3 x y xy 10 x y xy 10 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 x y 2 x y xy 10 x y 3 2 x y xy 10 0,25 y x x y x y x y xy 10 xy 10 x x 10 0 (vô nghiệm) TH1 x 1 y 3 x x y 3 x y 3 y 3 x 0,25 y 2 x 1 x 2 x y xy 10 xy 2 x 3x 0 x 2 y 1 TH2 x; y 1; , 2;1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y z 9! 1 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình , x, y, z ẩn 9! tích số nguyên dương liên tiếp từ đến a) Chứng minh có số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) x, y, z chia hết cho b) Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y , z thỏa mãn (1) Nội dung cần trình bày a) Chứng minh có số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) x, y, z chia hết cho Điểm 1,00 Ta viết lại phương trình (1) dạng: x3 y z 27.34.5.7 x3 2 x 2 x1 , x1 , thay trở lại phương trình (1) ta được: x y z 2 5.7 y 4 y 2 y1 , y1 3 0,25 Tiếp tục thay trở lại (1) ta được: x13 16 y13 z 27.34.5.7 z 8 z 2 z1 , z1 Thay trở lại (1) ta được: x 16 y 32 z 2 5.7 x y z 2 5.7 3 3 4 0,25 Lý luận tương tự ta được: x23 16 y23 32 z23 24.34.5.7 x23 y23 z23 2.34.5.7 0,25 (2) Như ta x 4 x2 , y 4 y2 , z 4 z2 x, y, z chia hết cho 0,25 b) Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn (1) Giả sử tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn (1) Khi theo kết phần a tồn số nguyên dương x2 , y2 , z2 cho x 4 x2 , y 4 y2 , z 4 z2 thay trở lại phương trình (1) 3 ta được: x2 y2 z2 2.3 5.7 x2 2 x2 2 x3 , thay trở lại phương trình vừa có ta được: x33 y23 z23 34.5.7 (2) n3 1,0,1 mod x3 , y2 , z2 n Nhận xét: Với Nếu ba số cho ba số có nhiều số chia hết cho Khi khơng chia hết 1,00 0,25 0,25 x33 y23 z23 4 1 2 mod 4 1 mod 0,25 1 2 mod 4 2 mod 3 Ta nhận thấy khơng có trường hợp x3 y2 z2 chia hết cho vơ lí Do ba số x3 , y2 , z2 chia hết cho Đặt x3 3 x4 , y2 3 y3 , z2 3 z3 , (2) 3 y 1;3 trở thành: x4 y3 z3 105 y3 125 y3 , kết hợp với y3 lẻ ta Thử trực tiếp ta thấy không thỏa mãn Vậy không tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 0,25 yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 1 a ab b b2 bc c c ca a Nội dung trình bày 1 Điểm 1 b b c c a a 1 1 1 a a b b c c Bất đẳng thức viết lại thành b c a x , y , z x, y , z 0, xyz 1 a b c Đặt Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 1 1 x x2 y y z z 0,25 Bất đẳng thức tương đương với 1 x x 1 y y 1 y y 1 z z 1 z z 1 x x x x y y z z 2 2 2 2 0,25 Khai triển sử dụng xyz 1 , rút gọn ta bất đẳng thức: x y z xy yz zx 0,25 0,25 x y z 2 xy yz zx x y xy y z yz z x zx 0 2 x y y z z x 0 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy x y z 1 a b c Chú ý: Cách khác cho tốn Nội dung cần trình bày 1 1 2 b xy c zx a yz b b c c a a2 , , x, y , z 1 1 1 a z b y c x a a b b c c BĐT Đặt z4 y4 x4 P 1 2 2 2 z z xy x y y y zx z x x x yz y z Khi BĐT trở thành (1) a b c (a b c)2 x y z (2) Dấu Chứng minh được: Với a, b, c x, y, z ta có x y z a b c x y z đẳng thức xảy P Áp dụng (2) vào (1) ta có: ( x2 y z )2 x y z xyz ( x y z ) x y y z z x 2 2 4 2 2 0,25 0,25 0,25 2 2 Vậy ta cần chứng minh ( x y z ) x y z xyz ( x y z ) x y y z z x (3) BĐT (3) tương đương với ( xy )2 ( yz )2 ( zx )2 ( xy )( yz ) ( yz )( zx ) ( zx )( xy ) xy yz yz zx zx xy im (lu ôn đúng) 0,25 T ú suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b c ABCD AC BD O tứ giác ABCD theo Câu (3,0 điểm) Cho hình thoi Đường tròn nội tiếp thứ tự tiếp xúc với cạnh AB, BC , CD, DA điểm E , F , G, H Xét điểm K đoạn HA O điểm L đoạn AE cho KL tiếp xúc với đường tròn a) Chứng minh LOK LBO BL.DK OB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt cạnh AB điểm M khác L đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt AD điểm N khác K Chứng minh bốn điểm K , L, M , N nằm đường tròn c) Lấy điểm P, Q tương ứng đoạn FC , CG cho LP song song với KQ Chứng O minh PQ tiếp xúc với Nội dung cần trình bày Điể m B E F M P L I A C O J N Q K H G D a) Chứng minh LOK LBO BL.DK OB 1 LOJ LOE , KOJ KOH LOK EOH Theo tính chất tiếp tuyến ta có 1 1800 2.BOE 1800 900 LBO LBO 2 Do LOK LBO (1) Ta có DOL LOK KOD LBO BLO LOK BLO KOD BLO (2) 1,00 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta tam giác BLO đồng dạng với tam giác DOK nên ta được: BL OB BL.DK OB.OD OB OD DK b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CFL cắt lại AB M đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG cắt AD điểm N khác K Chứng minh bốn điểm K , L, M , N nằm đường tròn BFM BLC Do bốn điểm C, F, L, M nằm đường tròn, nên , suy BFM ∽BLC , BM BL BF BC BO (do tam giác BOC vuông O OF BC ) Theo kết phần a), BO BL DK Suy BM DK Từ đó, M K đối xứng với qua AC (3) Chứng minh tương tự, N L đối xứng với qua AC (4) Từ (3) (4) suy KMLN hình thang cân nội tiếp c) Lấy điểm P, Q tương ứng đoạn FC , CG cho LP song song với KQ O Chứng minh PQ tiếp xúc với BP BL BC || DA, LP || KQ BPL DKQ BPL DKQ DK DQ Do 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Theo phần a), suy BP.DQ BL.DK BO BP BO DO BPO DOQ BO DQ DQ OP BP BP OQ DO BO (5) Từ suy ra: 0 Do: POQ 180 BOP DOQ 180 BOP BPO OBP QDO (6) 0,25 0,25 Từ (5) (6) suy ra: tam giác BOP, OQP DQO đôi đồng dạng Do BPO OPQ, PQO OQD (7) Gọi I hình chiếu vng góc O BC, suy hai tam giác vng OFP OIP có chung cạnh huyền OP FPO IOP (do (7)) OI OF , OI PQ , suy PQ tiếp O xúc với 0,25 Câu (1,0 điểm) Một bảng hình vng gồm có n hàng n cột ( n số nguyên dương) Các hàng cột đánh số từ đến n (các hàng đánh số từ xuống cột đánh số từ trái i, j 1, 2, , n bảng gọi ô i, j Tại qua phải) Ơ vng nằm hàng i , cột j i, j điền số 0, b j n , số số bảng điền số cho ô b dòng i j số số cột j Gọi P tổng tất số bảng hình vng cho a) Xây dựng bảng hình vng thỏa mãn u cầu toán trường hợp n 4 P 8 n2 n2 n2 P , với phần nguyên số b) Chứng minh Nội dung trình bày a) Xây dựng bảng thỏa mãn yêu cầu toán trường hợp n 4 P 8 Ta đưa cách xây dựng bảng thỏa mãn yêu cầu toán sau: 1 0 1 0 1 Điể m 0,50 n2 n2 n2 P , với phần nguyên số b) Chứng minh k min a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Giả sử Xét dịng có k số dịng m Xét k cột chứa chứa số dòng m , cột chứa k số suy số số k cột k Trong dịng m có n k chứa số 0, xét n k cột chứa số dịng m Trong cột có chứa n k số (Vì tổng số số hàng cột chứa số n , số số hàng m lại suy cột chứa số thuộc dòng m n k ) nên số số P k n k Do 0,25 0,25 n k cột n k 0,50 k n k n2 k2 n k n n2 P 2 1 2 2 Do -HẾT Lưu ý: - Hướng dẫn trình bày bước cách giải, HS có cách giải khác cho điểm theo thang điểm hướng dẫn chấm - Trong bài, thí sinh giải đến đâu cho điểm đến - Bài hình học khơng vẽ hình khơng cho điểm, vẽ hình sai khơng cho điểm ứng với phần vẽ hình sai - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn ... b) Chứng minh -Hết Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………… SỞ GDĐT VĨNH PHÚC (Đáp án gồm 06 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC... 2 2 Do -HẾT Lưu ý: - Hướng dẫn trình bày bước cách giải, HS có cách giải khác cho điểm theo thang điểm hướng dẫn chấm - Trong bài, thí sinh giải đến đâu cho điểm đến - Bài hình học khơng... MƠN: TỐN (Dành cho chuyên Toán, chuyên Tin học) Câu (3,0 điểm) P : y x2 Oxy , a) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol đường thẳng d : y 2mx m ( m P hai điểm phân tham số) Tìm tất giá