SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ DỰ BỊ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 2019 ĐỀ THI MÔN TOÁN Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao[.]
111Equation Chapter Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi chun Tốn, chuyên Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ DỰ BỊ Câu (2,0 điểm) 5x a) Giải phương trình: x x x x x x 1 y 1 4 xy 3 x y 1 x b) Giải hệ phương trình: f n Câu (1,0 điểm).Cho biểu thức để n n n n 2n n n 3n 3n , n * Tìm n 4 f 1 f f n 2018 Câu (1,0 điểm).Cho số nguyên x, y thỏa mãn x y 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y x y p Câu (1,0 điểm).Tìm tất số nguyên tố p cho số p số phương Câu (1,0 điểm).Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x y xy ( x y ) z z 1 1 3 2 4( x y ) ( x z ) ( y z ) Chứng minh rằng: Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AH tâm đường tròn nội tiếp I Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai M Gọi A' điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA' cắt đường thẳng AH, BC theo thứ tự N K a) Chứng minh tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD BC cắt điểm S Chứng minh AB AC 2 BC I trọng tâm tam giác AKS Câu (1,0 điểm).Cho bảng vng kích thước 50 50 Người ta tô số ô bảng ba màu đỏ, vàng xanh cho: i) có đỏ kề cạnh với vàng; ii) có đỏ ô vàng kề cạnh với ô xanh; iii) có đỏ, vàng ô xanh kề cạnh với ô không tô Chứng minh số ô không tô không vượt 1000 -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………… SỞ GDĐT VĨNH PHÚC (Đáp án gồm 06 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chun Tốn, chun Tin học) Câu (2,0 điểm) 5x a) Giải phương trình: x x x x x x 1 y 1 4 xy 3 x y 1 x b) Giải hệ phương trình: Nội dung cần trình bày 5x a) Giải phương trình: x x 5x2 1 x 0 x x x x 0 0 x x Điều kiện: 1 8 x x x x x x Nhận xét: Điểm x x x 1,00 5x2 0 x x x 0 x 0,25 0,25 1 a, x b; a, b 0 x x Đặt PT trở thành a b (a b)(a b 1) 0 a b (do a, b 0 , nên a b ) x x x x x x x Với a b ta phương trình x Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm 5x x 1 y 1 4 xy 3 x y 1 x b) Giải hệ phương trình: y 1(1) Điều kiện: Có xy x 1 y 1 4 x y 0 xy 1 Từ (1) (2) x 1 (3) 0,25 0.25 1,00 0,25 0,25 (2) x y 0 1 x 0 Từ (1) (3) suy PT thứ hai hệ 0,25 x 1 y 1 0,25 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; 1 Câu (1,0 điểm).Cho biểu thức để f n n n n n 2n n n 3n 3n , n * Tìm n 4 f 1 f f n 2018 f n n 1 n Rút gọn f 1 f f n 2018 Suy Vậy, n 2019 0,50 n 2018 n 2019 0,50 Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên x, y thỏa mãn x y 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y x y Ta có: x, y nguyên x y 5 (1) x 0, y 0 Mặt khác x, y phải khác dấu, x, y dấu từ (1) x 1, y 1 x y 7 (trái giả thiết) 2 y x y 5 x 1 y , Từ y 2 3t; x 4t mà x, y nguyên 2 y t , 0,25 với t nguyên +) Trường hợp 1: x> 0, y0 B x y x y x y x y ( x 2) ( y 1) Ta có: B 25t 30t (5t 3) Do x 4t t 0 5t (5t 3) 9 B 5 (3) 0,25 Từ (2) (3) B 5 Dấu xảy t = x y 2 Vậy giá trị nhỏ B đạt x y 2 0,25 p Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho số p số phương a b Do số nguyên tố, nên tồn số tự nhiên a, b cho n p 5 n p 5 với b a, a b p p (4 p 1) 1 mod p Nếu b 0 n 2 p Suy (5; p ) 1 , từ định lý Fermat p 5 mod p nhỏ, thu ; 4 0 mod p Do đó, suy p 2 Nhưng 4(2 ) 89 không số phương Vậy, b 1 0,25 0,25 0,25 2 2 Do ước ( n p ; n p ) ( n p ; p ) nên chia hết p Từ đó, p số nguyên tố, (5; 4) 1, nên p 5 55 4(54 ) 54 (5 4) 52 3 Với p 5 Kết luận p 5 0,25 số phương Câu (1,0 điểm) Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x y xy ( x y ) z z 1 1 3 2 4( x y ) ( x z ) ( y z ) Chứng minh rằng: xy ( x y) z z 1 ( x z )( y z ) 1 y z Giải Đặt x z a a Từ giả thiết x y x z y z a a 1 a Do x y x z ( y z ) a a Ta có: 1 a2 (a 1)2 2 2 4(a 1) a2 Khi đó: 4( x y ) ( x z ) ( y z ) a2 (a 1) a2 (a 1) 3 2 2 2 4( a 1) a 4( a 1) a Áp dụng BDT Cơsi có: a2 ( a 1) a 4(a 1) a2 Dấu “=” xz 1 1 3 y z 2 2 Vậy 4( x y ) ( x z ) ( y z ) Dấu “=” xáy a 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AH tâm đường tròn nội tiếp I Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai M Gọi A' điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA' cắt đường thẳng AH, BC theo thứ tự N K a) Chứng minh tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD BC cắt điểm S Chứng minh AB AC 2 BC I trọng tâm tam giác AKS a) Chứng minh tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn 1,50 A I B O L H K C A' M N OAC 900 AOC 900 ABC BAH Ta có mà AI phân giác góc A nên HAI OAI , suy 0,25 tam giác ANA' cân A Gọi L giao điểm MA BC Ta có HKN 90 HNK HAM LAA ' , suy tứ giác ALA'K nội tiếp 0,5 Do MA '.MK ML.MA (1) Dễ thấy hai tam giác MCL MAC đồng dạng, suy ML.MA MC (2) 0,25 Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên MI MC (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) suy MN MK MI NIK 90 Vậy tứ giác NHIK nội tiếp 0,25 b) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD BC cắt điểm S Chứng minh AB AC 2 BC I trọng tâm tam giác AKS 1,50 A D T l S B H O L C K A' M N * Từ tứ giác NHIK nội tiếp suy IHK INK IA ' M IAD Suy tứ giác AIHS nội tiếp Do AIS IHS 900 0,25 Gọi T trung điểm cạnh SA Khi TIA TAI INK MIK , suy ba điểm T , I , K thẳng 0,25 hàng (4) * Tiếp theo ta chứng minh L trung điểm SK AI AB BL AB BL AB AB BL AB BC AB AC 2BC Ta có IL BL LC AC 0,50 AI 2 Do IL (5) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASL với cát tuyến TIK ta có: TA KS IL 1 TS KL IA (6) Từ (5) (6) suy KS 2 KL , tức L trung điểm SK (7) 0,50 Từ (4) (7) suy I trọng tâm tam giác AKS (đpcm) Câu (1,0 điểm).Cho bảng vng kích thước 50 50 Người ta tô số ô bảng ba màu đỏ, vàng xanh cho: i) có đỏ kề cạnh với vàng; ii) có đỏ ô vàng kề cạnh với ô xanh; iii) có đỏ, vàng ô xanh kề cạnh với ô không tô Chứng minh số ô không tô không vượt q 1000 Coi khơng tơ màu có màu trắng Gọi a1 , a2 , a3 , a4 theo thứ tự số có màu đỏ, vàng, xanh, trắng Số ô nhiều nhất, kề với ô đỏ: 4a1 Vì ô vàng, ô xanh, trắng kề với 0,25 đỏ, nên 4a1 a2 a3 a4 Số ô xanh trắng nhiều nhất, kề với ô vàng: 3a2 , vàng phải kề đỏ, cịn lại kề với nhiều ô xanh trắng Mà ô xanh ô trắng kề với ô vàng, nên tổng số ô xanh, trắng kề với ô vàng nên 3a2 a3 a4 0,25 Tương tự, có 2a3 a4 a 2a3 a4 a3 a a a a 50 50 2500 Từ đó, để ý suy a 3a a 3a2 a3 a4 a4 a2 2 a a a 4a1 a2 a3 a4 a4 2a4 a1 2 a a a 5a 2500 a1 a2 a3 a4 a4 a4 1000 2 2 Từ Vậy, số ô không tô không vượt 1000 Điều phải chứng minh 0,25 0,25 -HẾT Lưu ý: - Hướng dẫn trình bày bước cách giải, HS có cách giải khác cho điểm theo thang điểm hướng dẫn chấm - Trong bài, thí sinh giải đến đâu cho điểm đến - Bài hình học khơng vẽ hình khơng cho điểm, vẽ hình sai khơng cho điểm ứng với phần vẽ hình sai - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn ...SỞ GDĐT VĨNH PHÚC (Đáp án gồm 06 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chun Toán, chuyên Tin học) Câu (2,0 điểm) 5x a) Giải... minh 0,25 0,25 -HẾT Lưu ý: - Hướng dẫn trình bày bước cách giải, HS có cách giải khác cho điểm theo thang điểm hướng dẫn chấm - Trong bài, thí sinh giải đến đâu cho điểm đến - Bài hình học khơng... rằng: xy ( x y) z z 1 ( x z )( y z ) 1 y z Giải Đặt x z a a Từ giả thi? ??t x y x z y z a a 1 a Do x y x z ( y z ) a a Ta có: 1 a2 (a