ECA ch5 2 Fourier Series 1 5 2 Chuoãi Fourier & Baøi toaùn xaùc laäp khoâng sin 5 2 1 Chuoãi Fourier daïng löôïng giaùc 5 2 2 Tính ñoái xöùng vaø chuoãi Fourier 5 2 3 Chuoãi Fourier daïng muõ 5 2 4 Ph[.]
5.2: Chuỗi Fourier & Bài toán xác lập không sin: 5.2.1 Chuỗi Fourier dạng lượng giác 5.2.2 Tính đối xứng chuỗi Fourier 5.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ 5.2.4 Phổ tần số 5.2.5 Giải tích xác lập không sin 5.2.6 Công suất mạch không sin ECA - ch5.2 Fourier Series �Bài toán : Electronic Wattmeter + Mạch _ e(t) 13.4 W * A V * Taûi 1.41 V Voltmeter DCV + u(t) - ACV I COM V Taùc động e(t) tín hiệu tuần hoàn không sin � Xác định biểu thức xác lập u(t) ? � Xác định số dụng cụ đo ? ECA - ch5.2 Fourier Series 5.2.1 Chuỗi Fourier dạng lượng giác � Chuỗi Fourier dạng lượng giác tín hiệu tuần hoàn không sin f(t) thoả điều kiện Dirichlets (đơn điệu bị chặn chu kỳ) có dạng: ∞ f (t ) = a0 + ∑ [ an cos( nω t ) + bn sin( nω t ) ] (1) Trigonometric series n =1 Với : n = 1,2 ω0 = 2π/T = tần số a0 , an , bn = hệ số khai trieån Fourier ECA - ch5.2 Fourier Series � Các hệ số khai triển Fourier � Tín hiệu có chu kỳ T (s) T a0 = T ∫ f (t ) dt T an = ∫ f (t )cos(nω0t )dt T0 � Tín hiệu có chu kyø 2π (rad) a0 = 2π an = T bn = ∫ f (t )sin(nω0t )dt T0 bn = π π 2π ∫ 2π ∫ f (ω t ) d (ω t ) f (ω t ) cos(nω 0t )d (ω t ) 2π ∫ f (ωt )sin(nω t )d (ωt ) 0 ECA - ch5.2 Fourier Series � Chuoãi Fourier hài (harmonic) � Từ Phương trình (1) , ta biến đổi : ∞ f (t ) = d + ∑ Dn cos( nω t + ϕ n ) (2) Cosine expansion n =1 � Với : d0 = thành phần DC (trung bình) D1cos(ω0t + ϕ1) = Tp hài Dkcos(kω0t + ϕk) = Tp hài thứ k d = a0 2 D a b = + n n n ϕ n = − a r c tg b n an ECA - ch5.2 Fourier Series � Ứng dụng chuỗi Fourier Ý nghóa xếp chồng : tín hiệu tuần hoàn không sin tổng tín hiệu DC điều hòa , có tần số bội số tần số ∞ f (t ) = TpDC + ∑ harn n =1 Tín hiệu tuần hoàn không sin f(t) tạo từ tín hiệu : tín hiệu DC tín hiệu điều hòa , có tần số bội số tần số tín hiệu muốn tạo ECA - ch5.2 Fourier Series � Tạo tín hiệu không sin từ hài ECA - ch5.2 Fourier Series 5.2.2 Tính đối xứng hàm hệ số khai triển chuỗi Fourier a) Hàm chẵn f(t) = f(-t) : Tín hiệu nhận trục tung làm trục đối xứng a0 = T an = T T /2 ∫ f (t ) d t T /2 ∫ f (t )cos(nω0t )dt bn = ECA - ch5.2 Fourier Series b) Tính đối xứng lẻ : Hàm lẻ f(t) = - f(-t) : Tín hiệu nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng a0 = an = bn = T T /2 ∫ f (t ) sin( nω t ) dt ECA - ch5.2 Fourier Series c) Đối xứng nửa sóng � Hàm đối xứng nửa sóng : f(t) = - f(t ± T/2 ) : � TP DC : a0 = � Khi n chaün : an = bn = � Khi leû : an = T T /2 bn = T T /2 ∫ f (t ) cos( nω 0t )dt ∫ Examples of signals with half-wave symmetry f (t ) sin( nω 0t ) dt ECA - ch5.2 Fourier Series 10 � Chuỗi dạng mũ chuỗi lượng giác � Chuỗi dạng mũ quan hệ với dạng khác : an2 + bn2 bn Dn an − jbn Cn = = ∠− arctg = ∠ϕn 2 an ∞ � Và : f (t) = C0 + ∑2 Cn cos(nω0t +∠Cn ) (4) n=1 ECA - ch5.2 Fourier Series 16 � Time Shifting : � It is easier to study the effect of time-shift with the exponential series expansion � Nếu hàm f(t) bị làm trễ t0 , ta coù : f (t − t ) = ∞ ∑ n =−∞ Cn e jnω ( t −t0 ) = ∞ ∑ n =−∞ (Cn e − jnω 0t0 )e jnω 0t � Tức miền tần số , góc pha hài thứ n bị thay đổi : nω0t0 t0 = time shift for f (t ) − nω t = phase shift for cn ECA - ch5.2 Fourier Series 17 5.2.4 Phổ tần số (fre spectrum) � Phổ tần số : biểu diễn đồ thị hệ số chuỗi Fourier a) Phổ tần số phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng : f (t ) = d + ∞ ∑D n =1 n co s( nω t + ϕ n ) (2 ) Cosine expansion � Phổ biên độ : biểu diễn Dn theo n � Phổ pha : biểu dieãn ϕn theo n ECA - ch5.2 Fourier Series 18 b) Phổ tần số hai phía � Phổ tần số hai phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng : f (t ) = ∞ ∑Ce n =−∞ n jnω t (3) � Phổ biên độ : biểu diễn |Cn| theo n Phổ biên độ nhận trục tung làm trục đối xứng � Phổ pha : biểu diễn ∠Cn theo n Phổ pha nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng � Cả hai loại phổ có thông tin ECA - ch5.2 Fourier Series 19 � Xác định vẽ phổ tần số phía Xác định chu kỳ , tần số Xác định hàm f(t) chu kỳ Xác định C0 dùng tích phân hay trung bình diệân tích Xác định Cn công thức tích phân Biểu diễn số phức dạng số mũ Vẽ |Cn| theo số hài tồn n : phổ biên độ Vẽ ∠Cn theo số hài tồn n : phổ pha ECA - ch5.2 Fourier Series 20 ... kỳ 2? ? (rad) a0 = 2? ? an = T bn = ∫ f (t )sin( nω0t )dt T0 bn = π π 2? ? ∫ 2? ? ∫ f (ω t ) d (ω t ) f (ω t ) cos(nω 0t )d (ω t ) 2? ? ∫ f (ωt )sin( nω t )d (ωt ) 0 ECA - ch5. 2 Fourier Series � Chuỗi Fourier. .. không sin f(t) tạo từ tín hiệu : tín hiệu DC tín hiệu điều hòa , có tần số bội số tần số tín hiệu muốn tạo ECA - ch5. 2 Fourier Series � Tạo tín hiệu không sin từ hài ECA - ch5. 2 Fourier Series 5 .2. 2... nω t ) + bn sin( nω t ) ] (1) Trigonometric series n =1 Với : n = 1 ,2 ω0 = 2? ?/T = tần số a0 , an , bn = hệ số khai triển Fourier ECA - ch5. 2 Fourier Series � Caùc hệ số khai triển Fourier �