Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập ôn cuối năm A Phần Đại Số Bài 1 trang 130 SGK Toán lớp 8 tập 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) a2 – b2 – 4a + 4; b) x2 + 2x – 3; c) 4x2y2 – (x2 + y2)2; d) 2a3 – 54b3 Lời giải a) a2[.]
Bài tập ôn cuối năm A - Phần Đại Số Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a2 – b2 – 4a + 4; b) x2 + 2x – 3; c) 4x2y2 – (x2 + y2)2; d) 2a3 – 54b3 Lời giải: a) a2 – b2 – 4a + = a2 – 4a + – b2 = (a – 2)2 – b2 = (a – + b)(a – – b) = (a + b – 2)(a – b – 2) b) x2 + 2x – = x2 + 2x + – = (x + 1)2 – 22 = (x + + 2)(x + – 2) = (x + 3)(x – 1) c) 4x2y2 – (x2 + y2)2 = (2xy)2 – (x2 + y2)2 = (2xy + x2 + y2)(2xy - x2 - y2) = - (x2 + 2xy + y2).(x2 - 2xy + y2) = -(x + y)2 (x - y)2 d) 2a3 – 54b3 = 2(a3 – 27b3) = 2[a3 – (3b)3] = 2(a – 3b)(a2 + 3ab + 9b2) Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: a) Thực phép chia: (2x4 – 4x3 + 5x2 + 2x – 3):(2x2 - 1) b) Chứng tỏ thương tìm phép chia luôn dương với giá trị x Lời giải: a) Thực phép chia 2x − 4x + 5x + 2x − − 2x − x2 − 4x + 6x + 2x − − −4x + 2x 6x − 6x − 2x −1 x − 2x + Vậy (2x4 – 4x3 + 5x2 + 2x – 3) : (2x2 – 1) = x2 – 2x + b) Ta có: x2 – 2x + = x2 – 2x + + = (x – 1)2 + Vì (x – 1)2 ≥ với ∀ x ⇒ x2 – 2x + = (x – 1)2 + ≥ > với ∀ x Vậy thương tìm luôn dương với giá trị x Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho Lời giải: Gọi hai số lẻ 2a + 2b + (a, b ∈ Z) Hiệu bình phương hai số lẻ bằng: (2a + 1)2 – (2b + 1)2 = (4a2 + 4a + 1) – (4b2 + 4b + 1) = (4a2 + 4a) – (4b2 + 4b) = 4a(a + 1) – 4b(b + 1) Tích hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho ⇒ a.(a + 1) ⋮ b.(b + 1) ⋮ ⇒ 4a(a + 1) ⋮ 4b(b + 1) ⋮ ⇒ 4a(a + 1) – 4b(b + 1) ⋮ Vậy (2a + 1)2 – (2b + 1)2 chia hết cho (đpcm) Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau −1 x = x +3 x − 24x 12 + − 1: − (x − 3)2 x − (x + 3) x − 81 x +9 Lời giải: Điều kiện xác định: x * Rút gọn biểu thức: + Ngoặc vuông thứ nhất: x +3 x −3 + − (x − 3)2 x − (x +3)2 = x +3 x −3 + − (x − 3)2 (x + 3)(x − 3) (x +3) (x +3)3 + 6(x − 3)(x +3) − (x − 3)3 = (x +3) (x − 3) x +9x + 27x + 27 + 6(x − 9) − (x − 9x +27x − 27) = (x + 3) (x − 3) x +9x + 27x + 27 + 6x − 54 − x + 9x −27x + 27) = (x + 3)2 (x − 3)2 (x = − x ) + ( 9x + 6x + 9x ) + ( 27x − 27x ) + ( 27 − 54 + 27 ) ( x + 3) ( x − 3) 24x = (x + 3) (x − 3) + Ngoặc vuông thứ hai: 24x 12 1: − x − 81 x +9 24x 12 = 1: − (x + 9)(x − 9) x +9 24x − 12(x − 9) = 1: (x + 9)(x − 9) = 1: = 1: 24x − 12x + 108 12x + 108 = 1: (x + 9)(x − 9) (x + 9)(x − 9) 12(x + 9) 12 x2 − = 1: = (x + 9)(x − 9) x2 − 12 x +3 x − 24x 12 + − 1: − Do đó: 2 2 (x − 3) x − (x +3) x − 81 x +9 24x x2 − = (x +3) (x − 3) 12 24x (x +3)(x − 3) 2x = = (x +3) (x − 3) 12 (x +3)(x − 3) −1 −1 −1 = * Tại x = (thỏa mãn điều kiện), giá trị biểu thức −1 −1 40 − 3 + Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 b2 c2 a2 + + = + + a + b b +c c + a a + b b +c c + a Lời giải: a2 b2 c2 b2 c2 a2 Giả sử: + + = + + a + b b +c c + a a + b b +c c + a a2 b2 b2 c2 c2 a2 − + − + − =0 a + b a + b b +c b +c c + a c + a a − b2 b2 − c2 c2 − a − + =0 a+b b+c c+a (a +b)(a − b) (b + c)(b − c) (c + a)(c − a) + + =0 a +b b+c c+a a − b + b − c +c − a = Hay = (đpcm) a2 b2 c2 b2 c2 a2 Vậy + + = + + a + b b +c c + a a + b b +c c + a Bài trang 130 SGK Tốn lớp tập 2: Tìm giá trị nguyên x để phân 10x − 7x − thức M có giá trị số nguyên: M = 2x − Lời giải: Điều kiện: x 10x − 7x − Ta có: M = = 5x+ + 2x − 2x − (thực phép chia đa thức cho đa thức) Z 2x − Vì x nguyên nên 5x +4 nguyên Z Suy ra: 2x − Suy ra: 2x – U(7) = 1; 7 Ta có bảng sau: 2x - -1 2x x Để M nguyên 5x + + -7 -4 -2 10 Vậy với x ∈ {-2; 1; 2; 5} giá trị biểu thức M số nguyên Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: a) 4x + 6x − 5x + − = + 3; b) 3(2x − 1) 3x +1 2(3x +2) ; − + 1= 10 c) x + 3(2x − 1) 5x − + − =x + 12 Lời giải: a) 4x + 6x − 5x + − = +3 21(4x + 3) − 15(6x − 2) 35(5x + 4) + 3.105 = 105 105 ⇔ 21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 105.3 ⇔ 84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 140 + 315 ⇔ 84x – 90x – 175x = 140 + 315 – 63 – 30 ⇔ -181x = 362 ⇔ x = -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2 b) 3(2x − 1) 3x +1 2(3x +2) − + 1= 10 15(2x − 1) − 2(3x +1) + 20 8(3x + 2) = 20 20 ⇔ 15(2x – 1) – 2(3x + 1) + 20 = 8(3x + 2) ⇔ 30x – 15 – 6x – + 20 = 24x + 16 ⇔ 30x – 6x – 24x = 16 – 20 + 15 + ⇔ 0x = 13 vơ lí Vậy phương trình vô nghiệm c) x + 3(2x − 1) 5x − + − =x + 12 4(x + 2) +9(2x − 1) − 2(5x − 3) 12x + = 12 12 ⇔ 4(x + 2) + 9(2x – 1) – 2(5x – 3) = 12x + ⇔ 4x + + 18x – – 10x + = 12x + ⇔ 4x + 18x – 10x – 12x = – + – ⇔ 0x = ln Vậy phương trình nghiệm với x Bài trang 130 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: a) |2x – 3| = ; b) |3x – 1| - x = Lời giải: a) 2x − = 2x − = 2x − = −4 x = 2x = 2x = −1 x = −1 −1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = ; 2 b) |3x – 1| - x = (1) + Trường hợp 1: Nếu 3x −1 x Khi đó: |3x – 1| = 3x – (1) trở thành: 3x – – x = ⇔ 2x = ⇔ x = + Trường hợp 2: Nếu 3x – < hay x (thỏa mãn) Khi |3x – 1| = -(3x – 1) = – 3x (1) trở thành: – 3x – x = ⇔ – 4x = ⇔ 4x = -1 ⇔ x = −1 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = ; 4 −1 (thỏa mãn) 3 2 Bài trang 130-131 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: x +2 x +4 x +6 x + + = + 98 96 94 92 Lời giải: x +2 x +4 x +6 x + + = + 98 96 94 92 x +2 x +4 x +6 x +8 + 1+ +1 = +1+ +1 98 96 94 92 x +100 x +100 x +100 x +100 + = + 98 96 94 92 x +100 x + 100 x +100 x +100 − + − =0 98 94 96 92 1 (x + 100) − + − =0 98 94 96 92 x +100 = 1 1 − + − =0 98 94 96 92 Nếu x + 1000 = x = -100 1 1 1 1 Ta có: ; − + − 0 98 94 96 92 98 94 96 92 Vậy phương trình có nghiệm x = -100 Bài 10 trang 131 SGK Tốn lớp tập 2: Giải phương trình: a) 15 − = ; x +1 x − (x + 1).(2 − x) b) x −1 x 5x − − = x + x − − x2 Lời giải: a) 15 − = ; x +1 x − (x + 1).(2 − x) Điều kiện xác định: x − 1; x Ta có: 15 − = x +1 x − (x + 1).(2 − x) −15 − = x +1 x − (x + 1).(x − 2) 1.(x − 2) − 5(x + 1) −15 = (x +1).(x − 2) (x + 1).(x − 2) Suy ra: x – – 5x – = -15 x – – 5x – + 15 = - 4x + = −4x = −8 = x − 2x − +x − x − +10 − x : (x +2).(x − 2) x +2 = −6 −6 x +2 : = (x +2).(x − 2) x +2 (x +2).(x − 2) = −6(x +2) −1 = (x +2)(x − 2).6 x − b) Ta có: x = 1 x = ( thỏa mãn điều kiện) 2 Trường hợp 1: Với x = Trường hợp 2: Với x = c) Để A< −1 A= = −2 −1 −1 A = = −1 −2 −1 x − x (do -1 < 0) x−2 Kết hợp điều kiện, để A < x > Bài 15 trang 131 SGK Tốn lớp tập 2: Giải bất phương trình: x −1 1 x−3 Lời giải: Điều kiện xác định: x Ta có: x −1 1 x−3 x −1 x − − (x − 3) −1 0 x−3 x −3 x −1− x + 0 0 x −3 x −3 x −3 x Kết hợp điều kiện, để x −1 x > x−3 B - Phần Hình Học Bài trang 131 SGK Tốn lớp tập 2: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm đường chéo AC = 5cm Lời giải: * Dựng hình: - Dựng tam giác ADC có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm - Dựng tia Ax song song với CD - Đường tròn (C; 3cm) cắt Ax B1 B2 Hình thang ABCD với B ≡ B1 B ≡ B2 hình thang cần dựng * Chứng minh: + Tứ giác ABCD có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm + Ax // CD ⇒ AB // CD ⇒ ABCD hình thang + Vì B ∈ (C; 3cm) ⇒ BC = 3cm Bài trang 131 SGK Tốn lớp tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O tam giác ABO tam giác Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng OA, OD BC Chứng minh tam giác EFG tam giác Lời giải: Vì tam giác AOB nên: AOB = OAB = OBA = 600 Vì AB // CD nên OAB = OCD; OBA = ODC (các góc so le trong) Suy ra: OCD = 600 ; ODC = 600 (1) Tam giác OCD có: OCD + ODC + DOC = 1800 (tổng ba góc tam giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: DOC = 600 Suy ra: tam giác COD tam giác Theo giả thiết ΔAOB ⇒ BE đường trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ BE ⊥ AO ⇒ ΔBEC vuông E Mà EG đường trung tuyến ⇒ EG = BC (3) Vì ΔCOD ⇒ CF đường trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ CF ⊥ OD ⇒ ΔBFC vuông F Mà FG đường trung tuyến ⇒ FG = BC (4) Hình thang ABCD (AB// CD) có: AC = AO + OC = OB + OD = BD ⇒ ABCD hình thang cân ⇒ AD = BC Xét ΔAOD có: AE = EO, FO = FD ⇒ EF đường trung bình ΔAOD ⇒ EF = AD Mà AD = BC (cmt) ⇒ EF = BC (5) Từ (3); (4); (5) suy EF = FG = GE ⇒ ΔEFG (đpcm) Bài trang 131 SGK Toán lớp tập 2: Tam giác ABC có đường cao BD, CE cắt H Đường vng góc với AB B đường vng góc với AC C cắt K Tam giác ABC phải có điều kiện tứ giác BHCK là: a) Hình thoi? b) Hình chữ nhật? Lời giải: Ta có: CE ⊥ AB (giả thiết) KB ⊥ AB (giả thiết) ⇒ BK // CE (1) Tương tự BH // KC (2) Từ (1) (2) ⇒ BHCK hình bình hành Gọi M giao điểm hai đường chéo BC HK a) Tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H nên H trực tâm tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC (3) Để tứ giác BHCK hình thoi ⇔ HM ⊥ BC ( M giao điểm hai đường chéo HK BC) (4) Từ (3) (4) suy ra: A, H, M thẳng hàng Khi đó,tam giác ABC có AM đường cao đồng thời đường trung tuyến nên tam giác ABC cân A b) Để BHCK hình chữ nhật HBK = 900 DBK = ABK Suy ra: D trùng với A Khi đó: BAC = 900 Vậy BHCK hình chữ nhật tam giác ABC vng A Bài trang 132 SGK Tốn lớp tập 2: Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi E giao điểm AN DM, K giao điểm BN CM Hình bình hình ABCD phải có điều kiện để tứ giác MENK là: a) Hình thoi? ; b) Hình chữ nhật? ; c) Hình vng? Lời giải: ABCD hình bình hành ⇒ AB = CD Vì M trung điểm AB ⇒ AM = MB = Vì N trung điểm CD ⇒ CN = DN = AB CD ⇒ AM = MB = CN = DN + Tứ giác BMDN có: BM // DN BM = DN ⇒ BMDN hình bình hành ⇒ DM // BN hay ME // NK + Tứ giác AMCN có: AM // NC, AM = NC ... 8) ⇔ 5x2 – 35x+ 60 + 5x2 - 20x + 20 = 16x2 – 96x + 1 28 ⇔ 10x2 - 55x + 80 = 16x2 – 96x + 1 28 ⇔ 10x2 - 55x + 80 - 16x2 + 96x - 1 28 = ⇔ -6x2 + 41x – 48 = ⇔ 6x2 - 41x + 48 = ⇔ 6x2 – 9x – 32x + 48. .. − + − =0 98 94 96 92 1 (x + 100) − + − =0 98 94 96 92 x +100 = 1 1 − + − =0 98 94 96 92 Nếu x + 1000 = x = -100 1 1 1 1 Ta có: ; − + − 0 98 94 96 92 98 94 96 92... +2 x +4 x +6 x + + = + 98 96 94 92 Lời giải: x +2 x +4 x +6 x + + = + 98 96 94 92 x +2 x +4 x +6 x +8 + 1+ +1 = +1+ +1 98 96 94 92 x +100 x +100 x +100 x +100 + = + 98 96 94 92 x +100 x + 100