Bài tập ôn tập cuối năm Bài tập 1 trang 125 SGK Toán lớp 11 Hình học Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 1), B(0; 3), C(2; 4) Xác định ảnh của tam giác ABC qua các phép biến hình sau a) Phép[.]
Bài tập ôn tập cuối năm Bài tập trang 125 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1), B(0; 3), C(2; 4) Xác định ảnh tam giác ABC qua phép biến hình sau a) Phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2;1) ; b) Phép đối xứng qua trục Ox; c) Phép đối xứng qua tâm I(2; 1) d) Phép quay tâm O góc 90o e) Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Lời giải: Gọi tam giác A’B’C’ ảnh tam giác ABC qua phép biến hình a) Biểu thức tọa độ qua phép tịnh tiến theo v = ( 2;1) x ' = x + y' = y + Do ảnh A, B, C qua phép tính tiến vectơ v A’(3; 2), B’(2; 4), C’(4; 5) b) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox x ' = x y' = − y Do ảnh A, B, C qua phép đối xứng trục Ox A’(1; −1), B’(0; −3), C’(2; −4) c) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng tâm I(2; 1) x ' = − x y' = − y Do ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm I(2; 1) A’(3; 1), B’(4; −1), C’(2; −2) d) Vẽ hình ta A’(1; −1), B’(0; −3), C’(2; −4) x ' = −x e) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Oy là: y' = y Ta ảnh A, B, C qua phép đối xứng trục Oy là: A’(−1; 1), B’(0; 3), C’(−2; 4) x ' = −2x Biểu thức tọa độ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là: y' = −2y Ta ảnh A’, B’, C’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là: A”(2; −2), B”(0; −6), C”(4; −8) Bài tập trang 125 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G H tương ứng trọng tâm trực tâm tam giác, điểm A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’ b) Chứng minh O, G, H thẳng hàng c) Tìm ảnh O qua phép vị tự F d) Gọi A”, B”, C” trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1, C1 theo thứ tự giao điểm thứ hai tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A’1, B’1, C’1 tương ứng chân đường cao qua A, B, C Tìm ảnh A, B, C A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số e) Chứng minh chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 thuộc đường tròn (đường tròn gọi đường tròn Ơ-le tam giác ABC) Lời giải: B1 A C1 A'' C1' B 1' H C' B' C2 B2 G B'' B O A1' A1 C'' C A' A2 a) Ta có GA' = − GA GB' = − GB GC' = − GC biến A, B, C thành A’, B’, C’ b) A’ trung điểm dây BC nên OA' ⊥ BC Ta lại có BC // C’B’ OA' ⊥ B'C' Tương tự B'O ⊥ A'C' Trong tam giác A’B’C’, A'O ⊥ B'C' , B'O ⊥ A'C' nên O trực tâm A'B'C' H trực tâm ABC O trực tâm A'B'C' nên O ảnh H 1 phép vị tự tâm G, tỉ số k = − GO = − GH 2 Ba điểm O, G, H thẳng hàng c) Gọi V( G;−12 ) (O) = O ' ta có: Vậy phép vị tự tâm G tỉ số k = − GO' = − GO 1 GO' = − GH OG = GH 2 1 GO + GO' = GH − GO 2 OO' = GH − GO OO' = OH Suy O’ trung điểm đoạn thẳng OH d) Gọi A”, B”, C” trung điểm AH, BH, CH ta có: HA" = HA HB" = HB HC" = HC Vậy A”, B”, C” ảnh điểm A, B, C phép vị tự V ( ) 1 H; 2 Ta dễ dàng chứng minh A’1, B’1, C’1 theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng HA1, HB1, HC1 nên: HA1 ' = HA1 HB1 ' = HB1 HC1 ' = HC1 Như A’1, B’1, C’1 theo thứ tự ảnh điểm A1, B1, C1 phép vị tự V H; 2 e) Gọi A2, B2, C2 theo thứ tự điểm xuyên tâm đối điểm A, B, C qua tâm O đường tròn Ta dễ dàng chứng minh tứ giác BHCA2 hình bình hành, H A2 đối xứng qua A’, ta có: HA' = HA 2 HB' = HB2 HC' = HC2 Như vậy, điểm A’, B’, C’ theo thứ tự ảnh điểm A2, B2, C2 phép vị tự V H; 2 Từ ta có: Chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 theo thứ tự ảnh điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2 phép tự vị V mà chín điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2, H; 2 B2, C2 nằm đường trịn (O) nên chín điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2 nằm đường tròn ảnh đường tròn (O) phép vị tự V H; 2 Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M trung điểm đoạn AB, E giao điểm hai cạnh hình thang ABCD G trọng tâm tam giác ECD a) Chứng minh bốn điểm S, E, M, G thuộc mặt phẳng (α) mặt phẳng cắt hai mặt phẳng (SAC) (SBD) theo giao tuyến d b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) c) Lấy điểm K đoạn SE gọi C' = SC KB , D' = SD KA Chứng minh giao điểm AC’ BD’ thuộc đường thẳng d nói Lời giải: S K D' I A O D N C' M B C G E a) Gọi O giao điểm AC DB; N giao EM DC M trung điểm AB nên N trung điểm DC (vì ABCD hình thang) Mà G trọng tâm tam giác EDC nên G EN G (SEM) hay điểm S, E, G, M thuộc mặt phẳng (α) mặt phẳng (SEM) (SEM) (SAC) = SO Ta dễ thấy (SEM) (SBD) = SO b) E = AD BC E AD E (SAD) E BC E (SBC) Vậy E điểm chung hai mặt phẳng (SAD) (SBC) S điểm chung hai mặt phẳng (SAD) (SBC) (SAD) (SBC) = SE c) C' = SC KB C' SC C' (SAC) Tương tự ta có: BD' (SDB) Hai đường thẳng AC’ BD’ thuộc mặt phẳng (ABK), giả sử I = AC' BD' I AC' (SAC) ; I BD' (SDB) Suy I điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SDB) hay I d giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Bài tập trang 126 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M N trung điểm AC, BD, AC’ BD’ Chứng minh MN = EF Lời giải: Vì M trung điểm A’C E trung điểm AC nên ME đường trung bình ACC' EM = CC' (1) Tương tự ta có FNFN đường trung bình tam giác BDB’: FN = BB' (2) Ta lại có: CC' = BB' (3) Từ (1), (2), (3) EM = FN hay tứ giác MNFE hình bình hành Vậy MN = EF Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có E F trung điểm cạnh AB DD’ Hãy xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’) (EFK) với K trung điểm cạnh B’C’ Lời giải: Ta có A thuộc EB nên A thuộc (EFB) Vì AB // DC nên (EFB) // DC Qua F kẻ đường thẳng song song với DC cắt CC’ I Thiết diện cắt (EFB) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ hình bình hành ABIF Gọi M trung điểm AA' Ta có: CF // BM Suy (EFC) // BM Qua E kẻ đường thẳng song song với BM cắt AA’ N Khi thiết diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt mặt phẳng (EFB) hình thang ENFC Ta có FC’ // MB’, nên mặt phẳng (EFC’) // MB’ Qua E kẻ đường thẳng song song với MB’ cắt BB' H Qua F kẻ đường thẳng song song với C’H cắt AD L Thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFC’) ngũ giác EHC’FL Gọi E’ hình chiếu E A’B’ Q giao điểm EF E’D’ Suy Q thuộc (EFK) Gọi P giao điểm KQ D’C’ Vẽ ER // KP, EH // FP Ta có thiết diện hình lục giác EHKPFR Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Hãy xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo BD’ B’C b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD’ B’C Lời giải: a) AB ⊥ ( BCC'B') AB ⊥ B'C BCC’B’ hình vng có BC' ⊥ B'C B'C ⊥ ( ABC'D') Trong mặt phẳng (ABC’D’), kẻ IK ⊥ BD ' Vì B'C ⊥ ( ABC'D ') B 'C ⊥ IK Kết hợp với IK ⊥ BD' suy IK đường vng góc chung B’C BD’ b) Ta có: d(B’C, BD’) = IK C'B = CB2 + B ' B2 = a + a = a D'B = C'B2 + C ' D'2 = 2a + a = a Xét BIK BD'C ' có: B chung BC ' D ' = BKI = 90 Suy BIK ~ BD'C' (góc – góc) IK BI = D'C' BD' BI.D'C' BD' a Mà BI = BC' = nên: 2 IK = a a a IK = = a a Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình thang ABCD vng A B có AD = 2a, AB = BC = a Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Gọi C’, D’ hình chiếu vng góc A SC SD Chứng minh rằng: Vậy d ( B'C,BD' ) = a) SBC = SCD = 90 b) AD’, AC’ AB nằm mặt phẳng c) Chứng minh đường thẳng C’D’ qua điểm cố định S di động Ax Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BC SA ⊥ BC SB ⊥ BC (định lí đường vng góc) AB ⊥ BC SBC = 90 SBC vuông B Gọi K trung điểm AD 1 Ta có: CK = AB = AD Nên tam giác ACD vng C Ta có: CD ⊥ AC CD ⊥ ( SAC ) CD ⊥ SA CD ⊥ SC SCD = 90 Vậy SBC = SCD = 90 b) Ta có : AB ⊥ SA AB ⊥ (SAD) AB ⊥ SD (1) AB ⊥ AD SD (SAD) CD ⊥ AC CD ⊥ (SAC) AC' ⊥ CD CD ⊥ SC AC' (SAC) Kết hợp với AC' ⊥ SC AC' ⊥ (SCD) AC' ⊥ (SCD) AC' ⊥ SD (2) S D ( SCD ) Giả thiết cho AD' ⊥ SD (3) Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng AB, AD’, AC’ vng góc với SD chúng qua A Vậy chúng nằm mặt phẳng (P) qua A vng góc với SD c) Gọi I giao điểm C’D’ với AB I C'D' I (SCD) I AB I (ABCD) Suy I giao điểm hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) Mà (SCD) (ABCD) = CD I CD Vậy ba đường thẳng AB, CD, C’D’ đồng quy I AB, CD cố định suy I cố định Vậy S chạy Ax C’D’ qua điểm cố định giao điểm I AB CD ... A’, B’, C’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là: A”(2; −2), B”(0; −6), C”(4; −8) Bài tập trang 125 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G H tương ứng trọng... P giao điểm KQ D’C’ Vẽ ER // KP, EH // FP Ta có thiết diện hình lục giác EHKPFR Bài tập trang 126 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Hãy xác định đường vng... điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SDB) hay I d giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M N trung điểm AC,