1. Trang chủ
  2. » Tất cả

Toán 11 bài tập ôn tập cuối năm

12 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 317,69 KB

Nội dung

Bài tập ôn tập cuối năm Bài tập 1 trang 125 SGK Toán lớp 11 Hình học Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 1), B(0; 3), C(2; 4) Xác định ảnh của tam giác ABC qua các phép biến hình sau a) Phép[.]

Bài tập ôn tập cuối năm Bài tập trang 125 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1), B(0; 3), C(2; 4) Xác định ảnh tam giác ABC qua phép biến hình sau a) Phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2;1) ; b) Phép đối xứng qua trục Ox; c) Phép đối xứng qua tâm I(2; 1) d) Phép quay tâm O góc 90o e) Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Lời giải: Gọi tam giác A’B’C’ ảnh tam giác ABC qua phép biến hình a) Biểu thức tọa độ qua phép tịnh tiến theo v = ( 2;1) x ' = x +   y' = y + Do ảnh A, B, C qua phép tính tiến vectơ v A’(3; 2), B’(2; 4), C’(4; 5) b) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox x ' = x   y' = − y Do ảnh A, B, C qua phép đối xứng trục Ox A’(1; −1), B’(0; −3), C’(2; −4) c) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng tâm I(2; 1) x ' = − x   y' = − y Do ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm I(2; 1) A’(3; 1), B’(4; −1), C’(2; −2) d) Vẽ hình ta A’(1; −1), B’(0; −3), C’(2; −4) x ' = −x e) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Oy là:   y' = y Ta ảnh A, B, C qua phép đối xứng trục Oy là: A’(−1; 1), B’(0; 3), C’(−2; 4)  x ' = −2x Biểu thức tọa độ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là:   y' = −2y Ta ảnh A’, B’, C’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là: A”(2; −2), B”(0; −6), C”(4; −8) Bài tập trang 125 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G H tương ứng trọng tâm trực tâm tam giác, điểm A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’ b) Chứng minh O, G, H thẳng hàng c) Tìm ảnh O qua phép vị tự F d) Gọi A”, B”, C” trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1, C1 theo thứ tự giao điểm thứ hai tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A’1, B’1, C’1 tương ứng chân đường cao qua A, B, C Tìm ảnh A, B, C A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số e) Chứng minh chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 thuộc đường tròn (đường tròn gọi đường tròn Ơ-le tam giác ABC) Lời giải: B1 A C1 A'' C1' B 1' H C' B' C2 B2 G B'' B O A1' A1 C'' C A' A2 a) Ta có GA' = − GA GB' = − GB GC' = − GC biến A, B, C thành A’, B’, C’ b) A’ trung điểm dây BC nên OA' ⊥ BC Ta lại có BC // C’B’  OA' ⊥ B'C' Tương tự B'O ⊥ A'C'  Trong tam giác A’B’C’, A'O ⊥ B'C' , B'O ⊥ A'C' nên O trực tâm A'B'C' H trực tâm ABC O trực tâm A'B'C' nên O ảnh H 1 phép vị tự tâm G, tỉ số k = −  GO = − GH 2  Ba điểm O, G, H thẳng hàng c) Gọi V( G;−12 ) (O) = O ' ta có: Vậy phép vị tự tâm G tỉ số k = − GO' = − GO 1 GO' = − GH  OG = GH 2 1 GO + GO' = GH − GO 2  OO' = GH − GO  OO' = OH Suy O’ trung điểm đoạn thẳng OH d) Gọi A”, B”, C” trung điểm AH, BH, CH ta có: HA" = HA HB" = HB HC" = HC Vậy A”, B”, C” ảnh điểm A, B, C phép vị tự V ( ) 1  H;   2 Ta dễ dàng chứng minh A’1, B’1, C’1 theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng HA1, HB1, HC1 nên: HA1 ' = HA1 HB1 ' = HB1 HC1 ' = HC1 Như A’1, B’1, C’1 theo thứ tự ảnh điểm A1, B1, C1 phép vị tự V   H;   2 e) Gọi A2, B2, C2 theo thứ tự điểm xuyên tâm đối điểm A, B, C qua tâm O đường tròn Ta dễ dàng chứng minh tứ giác BHCA2 hình bình hành, H A2 đối xứng qua A’, ta có: HA' = HA 2 HB' = HB2 HC' = HC2 Như vậy, điểm A’, B’, C’ theo thứ tự ảnh điểm A2, B2, C2 phép vị tự V   H;   2 Từ ta có: Chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 theo thứ tự ảnh điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2 phép tự vị V  mà chín điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2,  H;   2 B2, C2 nằm đường trịn (O) nên chín điểm A, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2 nằm đường tròn ảnh đường tròn (O) phép vị tự V   H;   2 Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M trung điểm đoạn AB, E giao điểm hai cạnh hình thang ABCD G trọng tâm tam giác ECD a) Chứng minh bốn điểm S, E, M, G thuộc mặt phẳng (α) mặt phẳng cắt hai mặt phẳng (SAC) (SBD) theo giao tuyến d b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) c) Lấy điểm K đoạn SE gọi C' = SC  KB , D' = SD  KA Chứng minh giao điểm AC’ BD’ thuộc đường thẳng d nói Lời giải: S K D' I A O D N C' M B C G E a) Gọi O giao điểm AC DB; N giao EM DC M trung điểm AB nên N trung điểm DC (vì ABCD hình thang) Mà G trọng tâm tam giác EDC nên G  EN  G  (SEM) hay điểm S, E, G, M thuộc mặt phẳng (α) mặt phẳng (SEM) (SEM)  (SAC) = SO Ta dễ thấy  (SEM)  (SBD) = SO b) E = AD  BC  E  AD  E  (SAD) E  BC  E  (SBC) Vậy E điểm chung hai mặt phẳng (SAD) (SBC) S điểm chung hai mặt phẳng (SAD) (SBC)  (SAD)  (SBC) = SE c) C' = SC  KB  C'  SC  C'  (SAC) Tương tự ta có: BD'  (SDB) Hai đường thẳng AC’ BD’ thuộc mặt phẳng (ABK), giả sử I = AC' BD' I  AC'  (SAC) ; I  BD'  (SDB) Suy I điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SDB) hay I  d giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Bài tập trang 126 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M N trung điểm AC, BD, AC’ BD’ Chứng minh MN = EF Lời giải: Vì M trung điểm A’C E trung điểm AC nên ME đường trung bình ACC'  EM = CC' (1) Tương tự ta có FNFN đường trung bình tam giác BDB’:  FN = BB' (2) Ta lại có: CC' = BB' (3) Từ (1), (2), (3)  EM = FN hay tứ giác MNFE hình bình hành Vậy MN = EF Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có E F trung điểm cạnh AB DD’ Hãy xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’) (EFK) với K trung điểm cạnh B’C’ Lời giải: Ta có A thuộc EB nên A thuộc (EFB) Vì AB // DC nên (EFB) // DC Qua F kẻ đường thẳng song song với DC cắt CC’ I Thiết diện cắt (EFB) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ hình bình hành ABIF Gọi M trung điểm AA' Ta có: CF // BM Suy (EFC) // BM Qua E kẻ đường thẳng song song với BM cắt AA’ N Khi thiết diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt mặt phẳng (EFB) hình thang ENFC Ta có FC’ // MB’, nên mặt phẳng (EFC’) // MB’ Qua E kẻ đường thẳng song song với MB’ cắt BB' H Qua F kẻ đường thẳng song song với C’H cắt AD L Thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFC’) ngũ giác EHC’FL Gọi E’ hình chiếu E A’B’ Q giao điểm EF E’D’ Suy Q thuộc (EFK) Gọi P giao điểm KQ D’C’ Vẽ ER // KP, EH // FP Ta có thiết diện hình lục giác EHKPFR Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Hãy xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo BD’ B’C b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD’ B’C Lời giải: a) AB ⊥ ( BCC'B')  AB ⊥ B'C BCC’B’ hình vng có BC' ⊥ B'C  B'C ⊥ ( ABC'D') Trong mặt phẳng (ABC’D’), kẻ IK ⊥ BD ' Vì B'C ⊥ ( ABC'D ')  B 'C ⊥ IK Kết hợp với IK ⊥ BD' suy IK đường vng góc chung B’C BD’ b) Ta có: d(B’C, BD’) = IK C'B = CB2 + B ' B2 = a + a = a D'B = C'B2 + C ' D'2 = 2a + a = a Xét BIK BD'C ' có: B chung BC ' D ' = BKI = 90 Suy BIK ~ BD'C' (góc – góc) IK BI  = D'C' BD' BI.D'C' BD' a Mà BI = BC' = nên: 2  IK = a a a IK = = a a Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình thang ABCD vng A B có AD = 2a, AB = BC = a Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Gọi C’, D’ hình chiếu vng góc A SC SD Chứng minh rằng: Vậy d ( B'C,BD' ) = a) SBC = SCD = 90 b) AD’, AC’ AB nằm mặt phẳng c) Chứng minh đường thẳng C’D’ qua điểm cố định S di động Ax Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ (ABCD)  SA ⊥ BC SA ⊥ BC    SB ⊥ BC (định lí đường vng góc) AB ⊥ BC  SBC = 90  SBC vuông B Gọi K trung điểm AD 1 Ta có: CK = AB = AD Nên tam giác ACD vng C Ta có: CD ⊥ AC  CD ⊥ ( SAC )  CD ⊥ SA   CD ⊥ SC  SCD = 90 Vậy SBC = SCD = 90 b) Ta có : AB ⊥ SA  AB ⊥ (SAD)     AB ⊥ SD (1) AB ⊥ AD  SD  (SAD)  CD ⊥ AC CD ⊥ (SAC)     AC' ⊥ CD CD ⊥ SC  AC'  (SAC)  Kết hợp với AC' ⊥ SC  AC' ⊥ (SCD) AC' ⊥ (SCD)  AC' ⊥ SD (2)  S D  ( SCD )  Giả thiết cho AD' ⊥ SD (3) Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng AB, AD’, AC’ vng góc với SD chúng qua A Vậy chúng nằm mặt phẳng (P) qua A vng góc với SD c) Gọi I giao điểm C’D’ với AB I  C'D'  I  (SCD) I  AB  I  (ABCD) Suy I giao điểm hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) Mà (SCD)  (ABCD) = CD  I  CD Vậy ba đường thẳng AB, CD, C’D’ đồng quy I AB, CD cố định suy I cố định Vậy S chạy Ax C’D’ qua điểm cố định giao điểm I AB CD ... A’, B’, C’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 là: A”(2; −2), B”(0; −6), C”(4; −8) Bài tập trang 125 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G H tương ứng trọng... P giao điểm KQ D’C’ Vẽ ER // KP, EH // FP Ta có thiết diện hình lục giác EHKPFR Bài tập trang 126 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Hãy xác định đường vng... điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SDB) hay I  d giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Bài tập trang 126 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M N trung điểm AC,

Ngày đăng: 19/11/2022, 16:32

w