Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.. Có bao nhiêu cách chia số học s[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I Một số công thức lượng giác cần nhớ 1 ;1 cot x cos x sin x sin x cos x ;cot x ; tan x 2) tanx cos x sin x cot x 1) sin x cos x 1;1 tan x 3) Công thức cộng: sin(a b) sin a cos b cos asinb cos(a b) cos a cos b sin a sin b 4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – = - sin2x 5) Công thức hạ bậc: cos x cos x cos x ;sin x 2 6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; 7) Công thức biểu diễn theo tanx: sin x cos3x = 4cos3x – 3cosx tan x tan x tan x ;cos x ; tan x tan x tan x tan x 8) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos(a b) cos(a b) sin a sin b cos(a b) cos(a b) sin a cos b sin(a b) sin(a b) cos a cos b 9) Công thức biến đổi tổng thành tích: x y x y cos 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 x y x y cos x cos y 2cos cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 sin x sin y 2sin Lop12.net (2) B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình bậc hai Bài Giải các phương trình sau: 1) 2cosx - = 2) tanx – = 3) 3cot2x + = 4) sin3x – = 5) cosx + sin2x = Bài Giải các phươn trình sau: 1) 2cos2x – 3cosx + = 2) cos2x + sinx + = 3) 2cos2x + cosx – = 4) cos2x – 5sinx + = 5) cos2x + 3cosx + = 6) 4cos2x - cosx + = 7) 2sin2x – cosx + = 8) 2sin2x – 7sinx + = 2 9) 2sin x + 5cosx = Bài Giải các phương trình: 1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + = 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = 3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 4) cos2x + sin2x + 2cosx + = 5) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 6) tan2x + ( - 1)tanx – = 7) 3cot x sin x 4sin 2 x 6sin x 3cos x 0 8) cos x cos x(cos x 2sin x) 3sin x(sin x 2) 9) sin x Dạng Phương trình bậc sinx và cosx Bài Giải các phương trình sau: 1) 4sinx – 3cosx = 2) sinx - cosx = 3) sin3x + cos3x = 4) sin4x + cos4x = 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = Bài Giải các phương trình: 1) cos3 x sin x 2) 3sin x cos9 x 4sin x 3) cos7 x cos5 x sin x sin x sin x 4) cos7 x sin x 5) 2(sin x cos x)cos x cos x Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sin và côsin 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = 3) sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 2) sin2x – 3sinxcosx + = 5 2 3 x ) cos( x ) 5sin ( x) 4) 3sin (3 x ) 2sin( 2 1 5) a) sin x cos x ; b) 4sin x cos x cos x cos x 6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – = 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - = 10) sin x - 3sinxcosx 5cos x = Lop12.net (3) Dạng Phương trình đối xứng sinx và cosx: Bài Giải các phương trình sau: 1) (2 2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + = 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + = 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = Bài Giải các phương trình: 1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 3) cos x 1 10 sin x cos x sin x 4) sin3x + cos3x = 5) sinx – cosx + 7sin2x = 6) (1 2)(sin x cos x) 2sin x cos x 7) sin x sin( x ) 8) sin x cos x 4sin x 9) + tgx = 2 sinx 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải các phương trình sau: 1) sin3x = 2) cos2x = - 3) tan(x + 60o) = - 4) cot x = 5) sin2x = sin 3x 6) 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2 7 12) tan(3x + 2) + cot2x = 13) sin3x = cos4x 14) tan3x.tanx = 15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) 4 tan x = tan 3x 3 6 16) - 2sin2x = 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos - = 3 4 8) tan x = - cot x 18) 3tan 20o + = 4 x 2x 3 với -120o < x < 90o 2 10) cos(2x + 1) = với - < x < 9) sin(2x - 10o) = Bài Giải các phương trình: Lop12.net 19) 2sinx - sin2x = 20) 8cos3x - = (4) 1) sin2x = 11) sin2x + sin22x = sin23x 3) sin4x + cos4x = 4) 5) 6) cos2x 7) 8) 9) 12) sin x 2cos x tan2x = 4 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 2) cos23x = sinx + cosx = cosx.cos3x = cos5x.cos7x cos2x.cos5x = cos7x 14) sinx + sin2x + sin3x = 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 16) + sinx + cos3x = cosx + sin2x + sin3x.cos7x = sin13x.cos17x sin4x.sin3x = cosx + 2cosx + cos2x = 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 20) cosx - cos2x + cos3x = 10) cosx + cos2x + cos3x = Bài Giải các phương trình: 1) 2sin2x - 3sinx + = 2) 4sin2x + 4cosx - = 3) tan x + 2cot x - = 4) 6 6 + (3 - 3)cot2x - - = sin 2x 5) cot2x - 4cotx + = 6) cos22x + sin2x + = 7) sin22x - 2cos2x + = 8) 4cos2x - 2( - 1)cosx + = 4 9) tan x + 4tan x + = 10) cos2x + 9cosx + = 11) + 3cot2x = cos x Bài Giải các phương trình sau: 1) 3sinx + 4cosx = 2) 2sin2x - 2cos2x = 3) 2sin x + sin x = 4 4 4) 3cos x + 4sinx + =3 3cos x + 4sinx - 5) 2sin17x + cos5x + sin5x = 6) cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + cosx = + 3tanx Bài Giải các phương trình: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - = 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + = 4) cos3x + sin3x = 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = 6) sin2x - 3 (sinx + cosx) + = 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + = 8) sin2x + sin(x - 45o) = 9) 2sin2x + sinx + cosx + = 10) (sinx - cosx)2 + ( + 1)(sinx - cosx) + = Lop12.net (5) Bài Giải các phương trình 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 2) cos2x - 3sinxcosx + = 3) cos2x - sin2x - sin2x = 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 5) 4sin2x + 3 sin2x - 2cos2x = 6) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = Bài Giải các phương trình 1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + =0 3) cos2x + 9cosx + = 5) 2cos6x + tan3x = 2) tan2x + (1 - )tanx - = 4) sin22x - 2cos2x + = 6) + 3cot2x = cos x Bài Giải các phương trình 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x π π 6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + ) 4 7) (1 + tan )(1 + sin2x) = 2π π 8) tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 3 Bài 10 Giải các phương trình 1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x 2) sin4x - cos4x = cosx 1 π - cotx 3) + cos(x - ) = + cosx 2(1 + cotx) 4) - (2 + )sinx = 2 + cot x - cosx - sinx 6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x Bài 10 Giải các phương trình sin2x 1) sinx + cosx -1=0 2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( + ) = 3) tanx + tan2x = tan3x 5) tan2x = Lop12.net (6) 4) cosx sinx = x - cosx cos D MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải các phương trình 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x 2) tan2x - tanxtan3x = 3) - 3sin x - 4cosx = - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = sin x 6) + 2cosx = + sinx 7) 2tanx + cotx = + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = cot x - tan x 10) = 16(1 + cos4x) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 16 12) cos10x + cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 13) sin2xcosx = + cos3xsinx 6 14) sin x + cos x = cos4x π π 15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) sinxcot5x 16) =1 cos9x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 1 18) 2sin3x = 2cos3x + sinx cosx 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 4 sin x + cos x 20) = (tanx + cotx) sin x 21) + tanx = 2 sinx 22) cosx - sinx = cos3x 23) sin x - 2cos x = 2 + 2cos2x 24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 26) 2sin(3x + ) = + 8sin2xcos 2x Bài Giải các phương trình Lop12.net (7) x x 1) sin4 + cos4 = 3 3 2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = (1 - cosx) + (1 + cosx) + sinx 4) - tan xsinx = + tan x 4(1 - sinx) 5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 6) cos6x + sin6x = 16 Bài Giải các phương trình 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x cos x + 3cot2x + sin4x 1) 2) =0 =2 cosx cot x - cos2x cosx(2sinx + 2) - 2cos x - =1 3) 4) sin4x = tanx + sin2x 5) cos2x + sin2x 2cosx + = 6) sin3x + 2cos2x - = 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 8) + cos2x + 5sinx = 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + sin2x = 8cosx Bài Giải phương trình lượng giác 1) cosx + sinx = 2) 3sin3x - cos9x = + cosx + 3sinx + 4sin33x 3) cos7xcos5x - sin2x = - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 6) 4sin3x - = 3sinx - cos3x 7) sin2x + cos2x = 8) 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x 9) cos2x - sin2x = + sin2x Bài Giải các phương trình (biến đổi đưa dạng tích) 1) sin3x sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = - 4cos2x x 3x x 3x 4) cosxcos cos - sinxsin sin = 2 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = - 4cos2x 9) 2cos3x + cos2x + sinx = 10) sin3x - sinx = sin2x cos x 11) sin x sin x Lop12.net (8) 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = x x 13) cos4 - sin4 = sin2x 2 14) - 4cos x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx 16) sin2x + sin22x + sin23x = 17) cos3x + sin3x = sinx - cosx 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x 20) sin23x - sin22x - sin2x = 21) + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 25) 2cos2x = (cosx - sinx) 26) 4cos3x + sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài Giải các phương trình sin3x - sinx 1) = cos2x + sin2x với < x < 2 - cos2x 5π 7π π 2) sin(2x + ) - 3cos(x ) = + 2sinx với < x < 3 2 2π 6π 3) cos7x - sin7x = - với <x< Bài Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: 1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x cosx + 2sinx + 2) y = khoảng ( - ; ) 2cosx - sinx + π 3) y = 4sin2x + 2sin(2x + ) 4) y = sinx - cos2x + Bài (Các đề thi ĐH, CĐ mới) cos3x + sin3x 1) A_02 Giải phương trình: sin x + = cos2x + 2sin2x 2) D_02 Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - = cos2x 3) A_03 Giải phương trình: cotx - = + sin2x - sin2x + tanx x π x 4) D_03 Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 5) D_04 Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05 Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = Lop12.net (9) π π )sin(3x - ) - = 4 8) A_05_dự bị1 Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) phương trình: x 3π 4sin2 - cos2x = + 2cos2(x ) π 9) A_05_dự bị Giải pt: 2 cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 3π sin x 10) D_05_dự bị Giải pt: tan( - x) + =2 cos x 11) D_05_dự bị Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - = 2+3 12) A_06_dự bị Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 13) A_06_dự bị Giải pt: 4sin x + 4sin x + 3sin2x + 6cosx = 14) B_06_dự bị Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 15) B_06_dự bị Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 16) D_06_dự bị Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 17) D_06 Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - = 18) A_07 Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 19) B_07 Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - = sinx x x 21) D_07 Giải phương trình: (sin2 + cos2 )2 + cosx = 2 π 22) CĐ_07 Giải phương trình: 2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1 7π + = 4sin - x 23) A_08 Giải phương trình: 3π sinx sin x 24) B_08 Giải phương trình: sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx 25) D_08 Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx 26) CĐ_08 Giải pt: sin3x - cos3x = 2sin2x 7) D_05 Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - Lop12.net (10) CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I) QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN: Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm chữ số bất kỳ? Bài 2: Có đường nối liền điểm A và điểm B, có đường nối liền điểm B và điểm C Ta muốn từ A đến C qua B, từ C trở A qua B Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình và ta không muốn dùng đường làm đường trên hai chặng AB và BC? Bài 3: Có miếng bìa, trên miếng ghi chữ số 0, 1, 2, 3, Lấy miếng bìa này đặt cạnh từ trái sang phải để các số gồm chữ số Hỏi có thể lập bao nhiêu số có nghĩa gồm chữ số và đó có bao nhiêu số chẵn? Bài 4: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Từ chữ số trên có thể lập bao nhiêu số, số gồm chữ số đôi khác và không chia hết cho 10 Bài 5: Một người có cái áo, đó có áo sọc và áo trắng; có quần, đó có quần đen; và có đôi giày, đó có đôi giầy đen Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào được; còn chọn áo trắng thì mặc với quần đen và giày đen II) HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP: Bài 1: Có n người bạn ngồi quanh bàn tròn (n > 3) Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho: 1) Có người ấn định trước ngồi cạnh 2) người ấn định trước ngồi cạnh theo thứ tự định Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư làm tổ trưởng, công nhân làm tổ phó và công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ Lớp học có 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý b) Các học sinh ngồi nam cùng bàn, các học sinh nữ ngồi cùng bàn Bài 4: Với các số: 0, 1, 2, …, lập bao nhiêu số lẻ có chữ số Bài 5: Từ hai chữ số 1; lập bao nhiêu số có 10 chữ số đó có mặt ít chữ số và ít chữ số Bài 6: Tìm tổng tất các số có chữ số khác viết từ các chữ số: 1, 2, 3, , Bài 7: Trong phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý 2) Các học sinh nam ngồi bàn và các học sinh nữ ngồi bàn Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, có thể thành lập bao nhiêu số chia hết cho và gồm chữ số khác Bài 9: Từ các chữ cái câu: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có bao nhiêu cách xếp từ (từ không cần có nghĩa hay không) có chữ cái mà từ đó chữ "T" có mặt đúng lần, các chữ khác đôi khác và từ đó không có chữ "Ê" Lop12.net (11) Bài 10: Cho A là tập hợp có 20 phần tử a) Có bao nhiêu tập hợp A? b) Có bao nhiêu tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử là số chẵn? Bài 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, nà các số đó nhỏ số 345? Bài 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất các số có chữ số khác Hỏi các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? Bài 13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, đó có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm học sinh số 50 học sinh trên dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có ba chữ số khác và không lớn 789? Bài 15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có bãy chữ số từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng lần 2) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít hai học sinh khá Bài 16: Số nguyên dương n viết dạng: n = 3 Trong đó , , , là các số tự nhiên 1) Hỏi số các ước số n là bao nhiêu? 2) Áp dụng: Tính số các ước số 35280 Lop12.net (12) k k III) TOÁN VỀ CÁC SỐ Pn , A n , C n : n Bài 1: Giải bất phương trình: C n1 A 4n1 14P3 A 4n 143 Bài 2: Tìm các số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với: xn = Pn 4Pn Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và k n; Chứng minh: C kn 4C kn1 6C kn 4C kn C kn4 C kn Bài 4: Cho n là số nguyên Chứng minh: Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương cho k < n Chứng minh rằng: C kn C kn11 C kn12 C kk1 C kk11 VI) NHỊ THỨC NEWTON: n 1 2.C n2 n 3.C n3 n n.C nn n.4 n1 Bài 1: Chứng minh rằng: C n Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 1 x 9 1 x 10 1 x 14 ta đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + … + A14x14 Hãy xác định hệ số A9 Bài 3: 1) Tính 1 x n dx (n N) 1 2 n 1 n 2) Từ kết đó chứng minh rằng: C n C n Cn n1 n1 n n Bài 4: Chứng minh rằng: 2.1.C n 3.2.C n nn 1C n nn 1.2 n Bài 5: Tính tổng S = C n 2.C n 3.C n 4.C n 1 n1 nC n (n 2) 16 15 14 16 16 Bài 6: Chứng minh rằng: C16 C16 C16 C16 Bài 7: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức: f(x) = 2x 14 2x 15 2x 16 2x 17 10 Bài 8: Trong khai triển x thành đa thức: 3 10 P(x) = a a x a x a 10 x Hãy tìm hệ số ak lớn (0 k 10) n n Bài 9: Tìm số nguyên dương n cho: C n 2C n 4C n C n 243 2 4 2000 2000 2000 2001 C 2001 2 1 Bài 10: CMR: C 2001 C 2001 C 2001 Bài 11: Với n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 1 C nn 1) C n C n C n 1 n n1 1 2 3 C nn n 2) C n C n C n C n n1 10 Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2) 1) Tìm hệ số x2 khai triển trên P(x) 2) Tính tổng các hệ số khai triển trên P(x) Lop12.net (13) n Bài 13: Biết tổng tất các hệ số khai triển nhị thức: x 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) số hạng a.x12 khai triển đó n 28 Bài 14: Trong khai triển nhị thức: x x x 15 hãy tìm số hạng không phụ thuộc n n 1 n2 vào x biết rằng: C n C n C n 79 Bài15: Chứng minh: n1 C1n n1 C n2 3.2 n C n3 4.2 n4 C 4n nC nn n.3 n1 3 Bài 16: Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức: x x2 0 Bài 17: Khai triển nhị thức: n n x x 1 x 1 x 1 2 2 C 2 C 2 n n Biết khai triển đó C n3 a Bài 18: Trong khai triển: b 5C1n b a n 1 x x 1 x n 1 C nn1 2 17 x x n Cn và số hạng thứ tư 20n, tìm n và x 21 Tìm số hạng chứa a, b có số mũ B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập bào nhiêu số có chữ số khác nhau? Bài Dùng chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm chữ số khác Hỏi: a Bắt dầu chữ số b Bắt đầu chữ số 36 c Bắt đầu chữ số 482 Bài Dùng chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi: a Có bao nhiêu số b Có bao nhiêu số bắt đầu chữ số Bài Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số Bài Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số Bài Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất các số có chữ số khác Hỏi các số thiết lập có bao nhiêu số mà chữ số đứng chính Bài Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác Bài a Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số có các chữ số phân biệt b Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? Bài Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 5? Lop12.net n (14) Bài 10 Một tập thể gồm 14 người gồm nam và nữ, người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn cho tổ phải có nam và nữ? Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 người, đó có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành hàng dọc cho học sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12 Có hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chon ngẫu nhiên viên bi lấy từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số viên bi lấy không đủ màu? Bài 13 Một lớp có 20 học sinh đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho người có ít cán lớp? Bài 14 Một đội văn nghệ có 20 người đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho: Có đúng người nam người đó Có ít nam và ít nữ người đó Bài 15 Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ và nhà Vật lý nam Lập đoàn công tác cần có nam và nữ, cần có nhà Toán học và nhà Vật lý Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16 Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọ để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác Nếu phải có ít nữ Nếu phải chọn tuỳ ý Bài 17 Một tổ học sinh gồm nam và nữ Giáo viên muốn chọn học sinh xếp vào bàn ghế lớp, đó có ít nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 18 Chứng minh rằng: Bài 19 Chứng minh rằng: Bài 20 Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: Bài 21 Chứng minh rằng: Bài 22 Tính tổng: Bài 23 Tính tổng: Bài 24 Chứng minh rằng: Bài 25 Cho n là số nguyên dương: a Tính : I = (1 x) n dx b Tính tổng: Bài 26 Tìm số nguyên dương n cho: Bài 27 Tìm số nguyên dương n cho: Lop12.net (15) Bài 28 Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: Bài 29 Tính tổng: , biết rằng, với n là số nguyên dương: Bài 30 Tìm số nguyên dương n cho: Bài 31 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức của: Bài 32 Gọi a3n - là hệ số x3n - khai triển đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n - = 26n n 1 26 Bài 33 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton x x n 20 Biết rằng: C2 n1 C2 n1 C2 n1 Bài 34 Tìm các số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton của: với x > Bài 35 Tìm số hạng thứ khai triển nhị thức: ; Bài 36 Cho : Sau khai triên và rút gọn thì biểu thức A gồm bao nhiêu số hạng? Bài 37 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton , biết rằng: Bài 38 khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đa thức có dạng: Tỡm hệ số , biết ao+a1+a2 = 71 Bài 39 Tìm hệ số x5 khai triển đa thức: 1 Bài 40 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức x x Biết rằng: Bài 41 Giải các phương trình: Bài 42 Giải các hệ phương trình: Lop12.net n (16) Bài 43 Giải các bất phương trình: Lop12.net (17) CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài Chứng minh a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) = n2(n + 1) với n N* n+1 (3 - 3) với n N* n(4n 1) c) 12 + 32 + 52 + + (2n - 1)2 = với n N* 2 n (n 1) d) 13 + 23 + 33 + + n3 = với n N* n ( n 1)(2n 1) e) 12 + 22 + 32 + + n2 = với n N* f) 2n n(n 1) với n N* n(3n 1) g) (3n 2) với n N* h) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1) với n N* n(n 1)(n 2) i) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) với n 2n(n 1)(2n 1) k) 2 (2n) với n N* b) + + 27 + + 3n = Bài Chứng minh với n N* ta có: a) n3 + 2n chia hết cho b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho c) n3 + 11n chia hết cho d) 2n3 - 3n2 + n chia hết cho e) 4n + 15n - chia hết cho f) 32n + + 2n + chia hết cho g) n7 - n chia hết cho h) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 2n + > 2n + với n N* b) 2n > 2n + với n N*, n c) 3n > n2 + 4n + với n N*, n d) 2n - > 3n - với n n e) > n(n + 2) với n Lop12.net (18) CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ Dạng Xác định số số hạng dãy số Xác định số hạng tổng quát Bài Viết số hạng đầu dãy số sau: - 1 b) un = 2n - a) un = n-1 u = u =1 b) (n > 2) u n = u n-1 + u n+1 1 n = 2k n d) (với k 1) n - n = 2k+1 n nπ g) un = cos n n 3n - c) un = 2n + e) u1 = 2; un + = h) nsin (un + 1) nπ nπ + n2cos 2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số a) (un): 1; 2; 4; 8; 16; … 1 1 u = c) (un): (với n 1) u n+1 = 2u n b) (un): ; ; ; ; … d) (un): ; 7 9 12 ; ; ; … 10 13 Bài Cho dãy số (un): u1 = , un+ = 4un + với n a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 22n+1 b) Chứng minh rằng: un = với n Bài Cho dãy số (un): u1 = 1; un + = un + với a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 b) Chứng minh rằng: un = 7n – Bài Cho (un): u1 = 2; un + = 3un + 2n – Chứng minh rằng: un = 3n - n Dạng Xét tính đơn điệu dãy số Bài Xét tính đơn điệu các dãy số sau n+1 ; n n2 d) un = n+1 3n - 2n + g) un = n+1 a) un = 2n + n+2 3n e) un = n + n2 + n + h) un = 2n + b) un = n+1 n-2 3n f) un = n c) un = Dạng Xét tính bị chặn dãy số Bài Xét tính bị chặn các dãy số a) un = 2n – b) un = n(n + 1) c) un = 3.22n – 3n n2 + e) un = n 7 2n + f) un = d) un = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm các giới hạn sau: Lop12.net 3n 3n + n2 + n + (19) 2n n 1 3n 4n lim 2n 3n n3 lim 5n n lim lim n 2n 1 3n 6n 1 lim n 1 n2 n4 lim n 3n lim lim lim n 2n 1 6n 1 n3 n 1 n 2n 1 3n 6n 1 Bài Tìm các giới hạn sau: n2 2n n 1 lim n2 2 lim lim lim lim n3 n n2 lim n 1 n 1 lim Bài Tìm các giới hạn sau: lim n n lim lim n 5n n n 3n 2n 3n 4n n n3 n n3 n2 n n3 n n n n2 n 4n n lim n n lim lim n 2 n n 1 2 lim n n lim lim n n 10 lim n n3 n2 n n3 3n n 4n Bài Tìm các giới hạn sau: 4n 4n 3n 4n 1 lim n n 4 lim 3n 4n 5n 3n 4n 5n 2n 6n 4n 1 lim n n 1 6 lim lim 3n 4n n 2n Bài Tìm các giới hạn sau: sin n sin10n cos10n lim n 1 n 2n 1 lim + + n+ n+ n n+ 1 lim Bài Tìm các giới hạn sau: lim (2n 1) 3n 12 22 32 n lim n(n 1)(n 2) lim n + sinn 3n + lim n n2 n 1 lim - 3n 1 lim (2n 1)(2n 1) 1.3 3.5 Lop12.net (20) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm các giới hạn sau (dạng ): x 5x 8x 1) lim 2) lim1 x 3 x 8x 15 x 6x 5x x 4x 4x 3) lim x 3 x 3x x 3x 5) lim x 1 x 4x x 2x 7) lim x 1 x 2x Bài Tìm các giới hạn sau(dạng ): x2 x 2 x7 2x 6x 3x 4) lim x 1 3x 8x 6x x 2x 4x 6) lim x 2 x 8x 16 1 x 1 2x 1 3x 8) lim x 0 x 2x x32 1) lim 2) lim x2 1 3) lim x 0 x 4x 5) lim x 2 x2 x2 x 7) lim x 1 x 1 x 7 3 x 2 x2 x2 1 6) lim x 0 x2 x 1 8) lim x 0 x 1 x 1 4) lim x 2 x 7 5 x 2 x2 3x 4x x 11) lim x 1 x 3x 10) lim 1 x 1 x x 12) lim 2x 3x x 1 14) lim x x 16 x 9) lim x 0 x 1 x 2x x 2x 13) lim x 3 x 4x x x2 x 15) lim x 1 x2 1 Bài Tìm các giới hạn(dạng ): x7 x3 1) lim x 1 x 3x 1 x 1 x 3) lim x 0 x x 0 3 5) lim x 1 1 x x x 0 x x 11 8x 43 4) lim x 2 2x 3x 2) lim x3 x x 1 6) lim x 1 Lop12.net x x2 x 1 (21)