Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNP với hình hộp và giao tuyến của MNP với mặt phẳng A’B’C’D’ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 23 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước... Trường THPT Hùng[r]
(1)Trường THPT Hùng Vương PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Bài tập Toán khối 11 I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN Hai cung đối nhau: -x và x π Hai cung phụ nhau: − x và x cos(− x) = cos x sin(− x) = − sin x π π sin − x ÷ = cos x cos − x ÷ = sin x tan(− x) = − tan x 2 2 cot(− x) = − cot x π π tan − x ÷ = cot x cot − x ÷ = tan x π − x Hai cung bù nhau: và x 2 2 sin(π − x) = sin x π + x và x Hai cung kém Pi: sin(π + x) = − sin x cos(π − x) = − cos x cos(π + x) = − cos x tan(π − x) = − tan x tan(π + x) = tan x cot(π − x) = − cot x cot(π + x) = cot x Các đẳng thức lượng giác a sin x + cos x = b + tan x = cos x c + cot x = d tan x.cot x = sin x Công thức cộng lượng giác cos( x − y ) = cos x.cos y + sin x.sin y cos( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y sin( x − y ) = sin x.cos y − sin y.cos x sin( x + y ) = sin x.cos y + sin y.cos x Công thức nhân đôi nx nx sin x = 2sin x cos x TQ : sin nx = 2sin cos 2 2 2 cos x = cos x − sin x = 2cos x − = − 2sin x Công thức nhân ba: sin x = 3sin x − 4sin x cos3 x = 4cos x − 3cos x Công thức hạ bậc: − cos x + cos x sin x = cos x = 2 10 Công thức biến đổi tích thành tổng cos x.cos y = [ cos( x − y ) + cos( x + y ) ] sin x.sin y = [ cos( x − y ) − cos( x + y ) ] sin x.cos y = [ sin( x − y ) + sin( x + y ) ] 11 Công thức biến đổi tổng thành tích Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (2) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 cos x + cos y = 2cos A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 3æ 3p ö ÷ ç p<a < Bài 1: Cho sin a = ÷.Tính cosa ,tana ,cota ç ç è ø ÷ Bài 2: o o Cho 5cosa + = ( 180 < a < 270 ) Tính sina , tana, cota Bài 3: Cho tan15o = - Bài 4: Tính sin15o ,cos15o ,cot15o tan x + cot x 2sin x + 3cos x Tính A = biết sinx = Tính B = biết tanx = -2 3sin x - 2cos x tan x - cot x Tính C= sin x + 3sin x cos x - 2cos x + 4sin x biết cotx = -3 Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin 6x+cos 6x=1-3sin xcos x (sử dụng công thức) Bài 5: c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 1-2cos x 1+sin x cosx 2 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx 1-cosx 4cotx sin x cos x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan x-tan y sin x-sin y i/ ( 1-cosx ) ( 1+cot x ) = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập x: A=2 ( sin x+cos x ) -3( sin x+cos x ) ; B=cos x ( 2cos x-3) +sin x ( 2sin x-3) C=2( sin x+cos x+sin xcos x ) - ( sin x+cos x ) ; D=3( sin x-cos8 x ) +4 ( cos x-2sin x ) +6sin x sin x+3cos x-1 sin x+cos x+3cos x-1 é pù H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x Î ê0; ú) ê ë 2ú û E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= sin x+cos x-1 ; sin x+cos x-1 G= II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết HSLG khác: æ ö 3p ç < x < 2p÷ ÷ ç ÷ ç ø Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với è æp ö æp ö÷ ç + x ÷, cot ( 3p - x ) , cos p x , tan ( ) a/ Tính cosx ; b/ Tính sin ççç + x÷ ÷ è2 ÷ ø èçç2 ø÷ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (3) Trường THPT Hùng Vương Bài 2: Tính: æ ö æ ö p çp + a ÷ 2cos ç - a÷ ÷ ÷ ç ÷sin ç ÷tan ( p - a ) ç ç Bài tập Toán khối 11 è2 ø è2 ø - 2cos a; æ ö p ÷ cot ç + a÷ ç ÷sin ( p - a ) ç è2 ø æ ö æ ö æ ö æ ö 3p p 3p p ÷ ÷ ÷ ç ç ç sin ç + a÷ tan + b sin b cot + a ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ è ÷ ÷ è ÷ ç2 ç2 ç2 ç2 è ø ø è ø ø B= + cot b ( cot b - tan b) æ ö cos ( 2p - b) tan ( p - a ) 3p ÷ ç cos ( p - a ) cot ç - b÷ ÷ ç è2 ø A= Bài 3: Đơn giản biểu thức: æ 9p ö æ5p ö ÷ ÷ ç A = sin ( 13p + a ) - cos ç a + cot 12 p a + tan a ( ) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷; ç ç è ø è ø 2 æ 7p ÷ ö æ3p ö æ3p ö ÷ ÷ ç ç B = cos ( 15p - a ) + sin ç a tan + a cot a ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è è2 ø è2 ø 2ø æ 5p ÷ ö æ ö æ 7p ö 9p ÷ ÷ ç ç C = sin ( p + a ) + cos ç acot p a + tan a + tan a( ) ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç2 ç è ø è ø è 2÷ 2ø Bài 4: Đơn giản biểu thức: A = sin ( p + a ) + sin ( 2p + a ) + sin ( 3p + a ) + + sin ( 100p + a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B = cos 1710o - x - 2sin x - 2250 o + cos x + 900 o + 2sin 720 o - x + cos 540 o - x ) Bài 5: Đơn giản biểu thức: æ ö 19p tan ç - x÷ ÷ ç 2sin 2550o cos ( - 188o ) ÷.cos ( 36p - x ) sin ( x - 5p) ç è2 ø A= B= + o æ9p ö tan 368 2cos 638o + cos98o ÷ ç sin ç - x ÷ cos x 99 p ( ) ÷ ç è2 ø Bài 6: Chứng minh: a / sin825o cos ( - 2535o ) + cos75o sin ( - 555o ) + tan ( 695o ) tan ( 245o ) = æ 85p ö ö 3p ÷ 2æ ÷ ç b / sin ç x+ + cos 207 p + x + sin 33 p + x + sin x =1 ( ) ( ) ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è è ø ø 2÷ Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A+B C a / sin(A + B) = sin A; b / cos A + cos(B + C) = 0; c / sin = cos ; 2 3A + B + C d / cosC + cos(A + B + 2C) = 0; e / sin A + cos =0 III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG các cung sau: 15o ,75o ,105o ,285o ,3045o 7p 13p 19p 103p 299p , , , , Bài 9: Tính giá trị các HSLG các cung sau: 12 12 12 æp ö 12 p - x÷ Bài 10: Tính cos ç ÷ ç ÷biết sin x = - 13 , ( < x < 2p) ç è3 ø Bài 11: Cho góc nhọn a , b có tan a = a +b 12 12 1 , tan b = a/ Tính tan ( a + b) b/ Tính ìï p ïï x + y = Bài 12: Cho góc nhọn x và y thoả : í ïï tan x.tan y = 3- 2 îï a/ Tính tan ( x + y ) ; tan x + tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (4) Trường THPT Hùng Vương æ pö 40 3p x- ÷ p < x < ÷ sin x = Bài 13: Tính tan ç bi ế t và ç ÷ ç è 4ø Bài tập Toán khối 11 41 æ pö a+ ÷ ÷ Bài 14: Tính tan ç theo tan a Áp dụng: Tính tg15o ç ÷ ç è ø Bài 15: Tính: A = sin 20o cos10o + sin10 o cos 20 o D = sin15o - cos15o B= tan 25o + tan 20o - tan 25o.tan 20o E = sin15o + cos15o C= F= + tan15o - tan15o tan 225o - cot 81o.cot 69o cot 261o + tan 201o Bài 16: Tính: æ p÷ ö æ p÷ ö æ p÷ ö æ 3p ö ç ç a / A = cos ç x- ÷ cos x + + cos x + cos ç x+ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è 3÷ 4÷ 6÷ 4ø æ p÷ ö æ p÷ ö æ 2p ö æ 2p ÷ ö ÷ ç ç ç b / B = tan x.tan ç x+ ÷ + tan x + tan x + + tan x + tan x ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ç ç ç ç è ø è ø è è ø 3÷ 3÷ 3ø 3÷ Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập x: æp ö ö ö 2æ 2æ 2æ ççp - x ÷ çç2p + x ÷ çç2p A = cos x + cos çç + x ÷ + cos B = sin x + sin + sin ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç3 ç3 ç3 ç3 è ø è ø è ø è Bài 18: Chứng minh: a / cos ( a + b) cos ( a - b) = cos a - sin b = cos b - sin a b / sin ( a + b ) sin ( a - b ) = sin a - sin b = cos b - cos a c / sin ( a + b) cos ( a - b ) = sin a cosa + sin bcos b æp ö æp ö ÷ ç d / sin ç + a÷ sin a = sin a ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç4 ç4 è ø è ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin = cos cos - sin sin 2 2 A B C B C 4/ cos = sin cos - cos sin 2 2 æ pö 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ç A,B,C ¹ ÷ ÷ ç ç è ø 2÷ A B B C C A 6/ tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C 7/ cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = ( học thuộc kết ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG p 2p a / sin sin b / cos 5x.cos 3x c / sin ( x + 30 o ) cos ( x - 30 o ) 5 d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x; æ p÷ ö æ pö f / sin ç x+ ÷ sin ç x- ÷ ÷ ç ç ÷ ÷.cos 2x; g / cos ( a - b ) cos ( b - c ) cos ( c - a ) ç ç è 6ø è 6ø Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước ö x÷ ÷ ÷ ø (5) Trường THPT Hùng Vương a / cos 4x + cos 3x; b / cos3x - cos 6x; d / sin ( a + b ) - sin ( a - b ) ; e / tan ( a + b ) + tan a; Bài tập Toán khối 11 c / sin 5x + sin x f / tan 2a - tan a Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = ( +cosA.cosB.cosC) 14/ cos A + cos B + cos C = - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos 2 ( Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh D ABC vuông nếu: a / sin A = sin B + sin C ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin A + sin B + sin C = cos B + cos C Chứng minh D ABC cân nếu: Bài 24: C sin B a / sin A = 2sin B.cos C; b / tan A + tan B = 2cot ; c / tan A + tan B = tan A.tan B; d / = 2cos A sin C Bài 25: Chứng minh D ABC nếu: a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C = Bài 26: Chứng minh D ABC cân vuông nếu: sin ( B + C) sin ( B - C) tan B sin B C a / tan A.tan B.tan = 1; b / = ; c/ = tan C sin C sin B + sin C sin B - sin C Bài 27: Hãy nhận dạng D ABC biết: sin A a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = b / cos A + cos B + cos C = c / = 2sin C cos B B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượng giác Chú ý : 1) 2) 3) 4) 5) A có nghĩa B ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa A ≥ B −1 ≤ s inx ≤ ; -1 ≤ cosx ≤ π π sin x = ⇔ x = kπ ; s inx = ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π 2 π cosx = ⇔ x = + k π ; cosx = ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π π Hàm số y = tanx xác định x ≠ + k π Hàm số y = cotx xác định x ≠ k π Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 4) y = cos x − 3x + 5) y = x +1 x+2 cos2x 3) y = sin x + 6) y = − s inx Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (6) Trường THPT Hùng Vương + cosx π 7) y = 8) y = tan(x + ) 1-sinx 1 − 10) y = s inx 2cosx Bài tập Toán khối 11 π 9) y = cot(2x - ) II Xét tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả f (− x) = f ( x) → f ch½n f (− x) = − f ( x) → f lÎ Có x để f (− x ) ≠ ± f ( x ) → f không chẳn, không lẻ 0 Bài Xét tính chẳn, lẻ các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 4) y = tan2x 3) y = sin2x + 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x III Xét biến thiên hàm số lượng giác π π 3π π Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng + k 2π ; + k 2π ÷ 2 Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng − + k 2π ; + k 2π ÷ Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) π π Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng ( k π ; π + k π ) Hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng − + k π ; + k π ÷ Bài 3* Xét biến thiên các hàm số π π 2π 3π 1) y = sinx trên − ; ÷ 3π π ;− ÷ 2 121π 239π ; 5) y = tanx trên đoạn − 3) y = cotx trên khoảng − π π ; ÷ 12 7) y = tan3x trên khoảng − 2) y = cosx trên khoảng ; ÷ 13π 29π ; 4) y = cosx trên đoạn π 3π 4 6) y = sin2x trên đoạn − ; 8) y =sin(x + π ) trên đoạn Bài 4: * Xét biến thiên các hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx 3π ;π÷ π π − ; ÷ 3 23π 25π ; ÷ 4π 2π − ; 362π 481π ;− − ÷ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (7) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B đồng biến trên K A > nghÞch biÕn trªn K nÕu A < Bài 5* Lập bảng biến thiên hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – trên đoạn [ −π; π] π 2π π 2) y = -2cos 2x + ÷ trên đoạn − ; 3 3 IV Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác −1 ≤ s inx ≤ ; -1 ≤ cosx ≤ ; ≤ sin2 x ≤ ; A2 + B ≥ B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN các hàm số π cos2x 1) y = 2sin(x- ) + 2) y = – 4) y = + cos(4x ) - 5) y = s inx + π 3) y = -1 - cos (2x + ) 6) y = 5cos x + 7) y = sin x − 4s inx + π 8) y = − 3cos x + Chú ý : ax f ( x) = f (b) ; f ( x) = f (a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b ] thì m [ a ; b] [ a ; b] ax f ( x) = f (a ) ; f ( x) = f (b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b ] thì m [ a ; b] [ a ; b] Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN các hàm số π π π 1) y = sinx trên đoạn − ; − 3 3) y = sinx trên đoạn − ;0 π π 2) y = cosx trên đoạn − ; 2 1 3 4) y = cos π x trên đoạn ; 4 2 C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I:LÍ THUYEÁT 1/Phư n g trình lượn g gia ù c bả n u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π (k∈Z) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π (k∈Z) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (k∈ Z) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) 2/ Phö ô n g trình ña ë c bie ä t : π π sinx = ⇔ x = kπ , sinx = ⇔ x = + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = + k2π cosx = ⇔ x = π + k π , cosx = ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π 3/ Phư n g trình bậ c nha á t đo ái với sinx va ø co s x Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) đó a + b2 ≠ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (8) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a + b cos( x − ϕ ) = c với cos ϕ = a a2 + b2 asinx +bcosx = c ⇔ a + b sin( x + ϕ ) = c với cos ϕ = a a + b2 Caùch : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan x ta phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = Chú ý : pt(1) pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: cos x − sin x = , cos x − sin x = −1 π 3 sin 3x − cos x = + sin 3x , sin x + cos ( x + ) = 4 cos x − sin x = (cos x − sin x) , tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) 3(1 − cos x) = cos x 2sin x sin x + sin x = 4/ Phư n g trình ch ỉ chư ù a mo ä t ø m so á lượ n g gia ù c : Phương trình chứa hàm số lượng giác là phương trình coù daïng : f[u(x)] = với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx Đặt t = u(x) ta phương trình f(t) = Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 2cos2x +5sinx – = , 2cos2x – 8cosx +5 =0 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 2(sin 4x + cos4x) = 2sin2x – 4x cos = cos x sin42x + cos42x = – 2sin4x 3 = + tan x 5tan x -2cotx - = cos x 6sin x + cos12 x = 10 4sin x + 12cos x = 5/ Phö ô n g trình ñaú n g caá p th e o sinx va ø co s x : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = Caùch : • Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm • Xeùt cos x ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho cos 2x roài ñaët t = tanx Caùch 2: Thay sin2x = sinxcosx = 1 (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 2 sin2x ta phương trình bậc theo sin2x vaø cos2x Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (9) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët ẩn phụ t = tanx sau đã xét phương trình trường hợp cos x = hay x = π + kπ ,k∈Z Baøi taäp : 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( - 9)cos2x = 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx sin x + sin x − 2cos x = 6/ Phö ô n g trình daïn g : a( co s x ± sinx ) + b sinx c o s x + c = Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − ≤ t ≤ đó sinxcosx t −1 = Ta đưa phưong trình đã cho phương trình bậc hai theo t Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx +c=0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − ≤ t ≤ đó sinxcosx = 1− t2 Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + = sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = cosx –sinx – 2sin2x – = Các phư n g trình lượ n g gia ù c kha ù c Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = , 5/ 2tg 2x + = 3/ – , 6/ 4sin4 cos x +12cos2x = Baøi : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : ñaët t =sinx π 4x = cos x 2/ cos ÑS : x = k3π , x= ± +k3π , x =± 5π +k3π x x π x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( − ) 2 sin x ÑS: sinx =1 v =1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x ÑS : x = - π HD : ñaët t = tanx , +kπ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng V ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (10) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 5/ 2cos 2x – 8cosx + = π +k2π cos x 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2x 2x = ÑS : x = k2π , x = ± ÑS : cosx = , cos 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx :ñaët t = tan HD x 10/ sin2x+ 2tanx = 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x :ñaët t =cos 2x 12/ tan3( x kπ v x = π π ) = tanx - ÑS : x = + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tanx = ÑS : x = HD HD : Ñöa veà PT baäc π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = II PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3x kπ π 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= + π π 5/ sin3(x ) = sinx ÑS : x = +kπ 4 π 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = ÑS :x = ± + π kπ + 4 7/ 3sin x +5cos4x – = 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3x + cos 2x +sinx = kπ v x= 3/ + sin3x + cos3x = sinxcosx + = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 10 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (11) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 5/ sin x – cos x = + sinxcosx 6/ 1 10 + + sin x + cos x = cos x sin x 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + = sin x 9/ + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos 3x – sin3x = - 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ) IV PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHAÙC Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 4/ cos3x cos 3x – sin3xsin3x = cos34x + 5/ sin4 x x + cos4 = – 2sinx 2 =0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - cos 9x = + 4sin3x x π 11/ sin2 ( − ) tan2x – cos2 = sin x x =0 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 10/ cos x + sin x = sin x − cos x 12/ cotx – tanx + 4sinx 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2x - sinx + sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) cos x + sin x ) = cos x + 15/ 5(sin x + + sin x cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – = (2 − sin 2 x)sin x tan x + = cos x 4/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – 18/ x 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ) cos x + sin x − sin x + tan x 21/ –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = 20/ cotx – = D TỔ HỢP Tóm tắt giáo khoa I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo hai phương án A và B Phương án A có thể thực n cách; phương án B có thể thực hi ện b ởi m cách Khi đó, công việc thực theo n + m cách Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 11 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (12) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực n cách; công đoạn B có thể thực m cách Khi đó, công việc thực n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị: a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi xếp n phần tử đó theo thứ tự định trước là phép hoán vị các phần tử tập A b Định lý: Số phép hoán vị tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Chỉnh hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k ∈ ¥ mà ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử số n phần tử đem xếp k phần tử đó theo thứ tự định trước, ta phép chỉnh hợp chập k n phần tử b Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu A kn là: A kn = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n! ( n − k) ! Tổ hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà ≤ k ≤ n Một tập hợp A có k phần tử gọi là tổ hợp chập k n phần tử b Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ckn là: n ( n − 1) ( n − k + 1) n! C kn = = k!( n − k ) ! k! c Hai tính chất tổ hợp: Cho a, k ∈ ¥ * : Ckn = C nn − k C k n +1 = C +C k n k −1 n ( ≤ k ≤ n) (1 ≤ k ≤ n) III Khai triển nhị thức Newton ( a + b) n n = ∑ C kn a n − k b k = C0n a n + C1n a n −1b + + C kn a n − k b k + + C nn b n k =0 Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + số hạng – Trong số hạng thì tổng số mũ a và b n – Các hệ số khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì k n −k k – Số hạng tổng quát thứ k + kí hiệu Tk+1 thì: Tk +1 = Cn a b – C0n + C1n + C2n + + C nn = n – C0n − C1n + C n2 − C3n + + ( −1) C nk + + ( −1) C nn = Chú ý: k – – ( a + b) n n n = ∑ C kn a n − k b k là khai triển theo số mũ a giảm dần k =0 n ( a + b ) = ∑ Ckn a k bn − k là khai triển theo số mũ a tăng dần n k =0 Các Dạng bài toán Dạng 1: Bài toán quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm tiến hành theo phương án A B để chọn quy tắc cộng, bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 12 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (13) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua áo sơ mi, thoe cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà số gồm ba chữ số khác chọn số các phần tử A? Bài 3: Từ tập A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập bao nhiêu số có chữ số cho chữ số xuất lần, còn các chữ số khác xuất lần? Dạng 2: Thực phép hoán vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n • Thực quy tắc cộng quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các ghế, xếp theo hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự k phần tử n phần tử: A kn = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n! n ( − k) ! Bài 5: Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm các điểm đó? Bài 6: Từ tập A = { 0,1, 2,3, 4,5} có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự k phần tử chọn n phần tử: C kn = n! k!( n − k ) ! ( ≤ k ≤ n) Bài 7: Cho điểm phân biệt không tồn ba điểm thẳng hàng Từ điểm trên có thể lập bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * phương trình chứa Pn , A nk , Cnk Phương pháp giải: Dùng các công thức: Pn = n! ( n ≥ 1) ; A nk = n ( n − 1) ( n − k + 1) = Bài 8: Tìm n∈¥ *, có: 2Pn = A3n Pn −1 Bài 9: Tìm n∈¥ *, có: 6n − + C3n ≥ C3n +1 n! ( n − k) ! (1 ≤ k ≤ n) ; C nk = n! k!( n − k ) ! ( ≤ k ≤ n) ( 1) ( 2) Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt khai triển (a + b)n Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: ( a + b) n n = ∑ C kn a n − k b k = C0n a n + C1n a n −1b + C 2n a n − b + + C kn a n − k b k + + C nn b n k =0 (khai triển theo lũy thừa a tăng, b giảm) (Chú ý: ( a + b ) n n = ∑ C kn a k b n − k k =0 khai triển theo lũy thừa a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 khai triển (11 + x)11 10 Bài 11: Trong khai triển 2 x − ÷ x , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x Bài 12: Tìm hệ số x8 khai triển 1 + x ( − x ) Bài 13: Cho khai triển: ( + 2x ) = a + a1x + a x + + a10 x10 , có các hệ số số lớn Bài 14: Tìm số hạng các khai triển sau 10 a , a1 , a , , a10 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 13 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước Tìm hệ (14) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1) Số hạng thứ 13 khai triển (3 - x)25 2) Số hạng thứ 18 khai triển (2 - x )25 12 æ 1ö ÷ ç 3) Số hạng không chứa x khai triển çx + ÷ ÷ ç xø è 12 28 ö æ ÷ ç 15 ÷ 4) 32) Số hạng không chứa x khai triển ç ÷ çx x + x ÷ ÷ ç è ø 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ khai triển 21 æ a ö b ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç è b aø Bài 15: Tìm hệ số số hạng các khai triển sau 12 æx ö ÷ 1) Hệ số số hạng chứa x khai triển ç - ÷ ç ÷ ç è3 x ø æ1 2) Hệ số số hạng chứa x khai triển ç + ç ç èx 12 ö ÷ x ÷ ÷ ø 3) Hệ số số hạng chứa x khai triển é1 + x (1 - x) ù ê ú ë û ( 4) Hệ số số hạng chứa x khai triển + x + x + x ) 10 5) Hệ số số hạng chứa x khai triển (x - x + 2)10 6) Hệ số số hạng chứa x khai triển (1 + x + 3x )10 7) Hệ số số hạng chứa x khai triển: 8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 9) Hệ số số hạng chứa x khai triển: 10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 11) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10 (x + 1)10 Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ckn Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy kết k n Bài 16: Tính tổng: S1 = C0n + C1n + Cn2 + + Cnn ; S2 = C0n − C1n + C n2 − + ( −1) C nk + + ( −1) C nn Bài 17: Tính tổng: S3 = C2n0 + C2n2 + C2n4 + + C2n2n ; S4 = C12n + C32n + + C2n2n −1 n Bài 18: Tính tổng: T = C0n − 2C1n + 22 C2n − 23 C3n + + ( −2 ) C nn E CAÁP SOÁ COÄNG Kieá n thö ù c caà n nhô ù : Định ng h ĩ a : Cấp số cộng là dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng là tổng số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công sai Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 14 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (15) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: u n+1 = un + d (n = 1, 2, ) Ñaëc bieät : Khi d = thì caáp soá coäng laø moät daõy soá đó tất các số hạng Để dãy số (u n) là cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un, So á haïn g toå n g qua ù t Ñòn h lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù số hạng đầu u1 và công sai d cho công thức: un = u1 + (n - 1)d Tính cha á t caù c so á haïn g cuû a caá p so á co ä n g Địn h lí: cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng cấp số cộng hữu hạn), là trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức là uk = u k −1 + u k +1 (k ≥ 2) Tổn g n so á hạn g đầ u củ a mo ä t cấ p so á co ä n g Địn h lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau: • Sn tính theo u1 vaø d • Sn tính theo u1 vaø un n [ 2u1 + (n − 1)d ] n S n = (u1 + u n ) Sn = BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm moãi caáp soá coäng đây: a /÷ 2,5,8, tìm u15 tìmu20 b / ÷ + ,4,2 − , ÑS: a / u15 = 44 b / u 20 = 40 − 18 Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30 u + u − u = 10 u + u = 26 Baøi 3: Cho caáp soá coäng: Tìm số hạng đầu và công sai nó Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165 Baøi 5: Tìm soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá hạng đầu là và tích số chúng là 1140 Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng biết chúng tạo thành cấp số cộng với công sai là 25 Baøi 7: Cho caáp soá coäng ÷ u1, u2, u3, Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng đầu tiên cấp số cộng đó Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 15 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (16) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng Toång cuûa chúng là 176 Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3 Tính a10 Baøi 11: Tính u1, d caùc caáp soá coäng sau ñaây: u + u = 14 1/ S13 = 129 u = 19 / u = 35 S = / 45 S = u + u10 = −31 / 2u − u = 53 ÑS : 1/ u1 = vaø d = 13 38 ; 39 2/ u1 = vaø d = 3/ u1 = vaø d = ; 4/ u1 = vaø d = Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng đầu tiên Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = Tính u20 vaø S20 ÑS : u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4 Tính u1 vaø S10 ÑS : u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1 Tính d vaø S11 ÑS : d = − 18 vaø S11 = 187 Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng đầu tiên ÑS : S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kieá n thö ù c caà n nhô ù : Định ng h ĩ a : Cấp số nhân là dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai số hạng là tích số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công bội Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ) Ñaëc bieät: Khi q = thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, 0, 0, , 0, Khi q = thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, u1, , u1, Nếu u1 = thì với q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, , Để dãy số (un) là cấp số nhân ta thường duøng kí hieäu u1, u2, , un, Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 16 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (17) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 So á haïn g toå n g qua ù t Địn h lí: Số hạng tổng quát cấp số nhân cho công thức: n −1 u n = u1 q (q ≠ ) Tính cha á t caù c so á haïn g cuû a caá p so á nha â n Định lí: Trong cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức là: u k = u k −1 u k +1 (k ≥ 2) Tổn g n so á hạn g đầ u củ a mo ä t cấ p so á nha â n Cho cấp số nhân với công bội q ≠ u1, u2, ,un, Ñònh lí: Ta coù: S n = u1 qn −1 q −1 (q ≠ 1) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q cấp số nhân đó Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát: u − u = 72 u − u = 144 Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48 Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát: u1 + u + u = 13 u + u + u = 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có số haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp laàn soá hạng thứ hai Baøi 7: Toång soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng là 21 Nếu số thứ hai trừ và số thứ ba cộng thêm thì ba số đó lập thành cấp số nhân Tìm ba số đó Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 17 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (18) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v( a; b) biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) Tìm tọa độ điểm M' Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) Pheùp tònh tieán theo vectơ v(2;3) biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5) Tìm ñieåmB(x,y) cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo v(2;1) : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác B) hình chữ nhật C) Hình vuoâng D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3) Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tieán vectô v(1;1) ? Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh phép đối xứng trục ox Câu :Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N? 3x+4y-6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’ Tìm phöông trình d' đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 Phép tịnh tieán theo vectô v(1;2) bieán (C) thaønh (C’) Tìm phöông trình (C') đường tròn (C) có phương trình (x-5) +(y-4)2 =25 Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C') Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi là phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= ±1 ; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Câu 13 : đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 Phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') và phép tịnh tieán v(1;4) bieán (C') thaønh (C’') Tìm phöông trình cuûa (C'') Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai đường chéo Thực phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó Tìm số đo góc quay đó? Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) là phép biến hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ cho : uuuu uuuuu A) OM = k OM ' uuuuu uuuu B) OM ' = k OM C) OM’ =k OM uuuuu D) OM ' = uuuu OM k Câu 16 : mp oxy cho điểm M( -2;4 ) Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – = Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến d thành đường thẳng d' Tìm phöông trình d'? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 18 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (19) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Câu 18 : mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 ) + y2 = 16 phép vị tự tâm O tỉ số k = biến (C) thành đường tròn (C') Tìm phương trình (C') Câu 19 : Thực liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là phép naò sau đây: A) phép đối xứng trục B) phép tịnh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép V 2o và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số và phép đối xứng qua trục ox bieán d thaønh d’ Tìm phöông trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình nào không có tính chất “biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) phép tịnh tiến C) phép vị tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1) + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp pheùp vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép tịnh tiến theo vectơ u V (1;2) bieán (C) thaønh (C') Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1) + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai caùc khaúng ñònh sau : A)phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cuøng baùn kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường troøn coù cuøng baùn kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường troøn coù cuøng baùn kính D) phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cuøng baùn kính CHÖÔNG QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng α và β ta tìm hai điểm chung I ; J α và β α ∩ β = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý : β Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung J I • • M ∈ d và d ⊂ α M ∈ α a ∩ b = M (P) a ⊂ α ; b ⊂ β M là điểm chung α Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 19 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (20) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD Tìm giao tuyến các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm ABC; N là điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm trên AB cho AM = MB ; N nằm trên AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J là trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC Tìm giao tuyến (IBC) và (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lấy hai điểm M và N cho : AM AN ≠ Tìm giao tuyến (DMN) và (BCD) MB NC 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 20 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (21) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Chứng minh A; B; C thẳng hàng : β A B Chỉ A ; B ; C ∈ α Chỉ A ; B ; C ∈ β Kết luận : A; B; C∈ α ∩ β A; B; C thẳng hàng • • C • α Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : a b Đặt a ∩ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P P • • M N 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt theo giao tuyến d Trên α lấy hai điểm A ; B không thuộc d O là điểm ngoài hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt β A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ngoài mặt phẳng α Gọi M ; N ; P là giao điểm AB ; BC ; AC với α Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N là trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm AB và CD là I ; J là giao điểm hai giao tuyến câu a và câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : Giả sử : a không chéo b Từ đó suy hai đường thẳng a và b nằm cùng mặt phẳng α ( đồng phẳng ) b α a Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 21 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (22) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Từ đó suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết mâu thuẫn với điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm cùng mặt phẳng – đồng phẳng Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn A điểm đó cắt α • song song với • C • D • B α A C • D• B • • 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 2: Cho hai đường thẳng chéo a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD không ? c)O là trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại ? 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J là trung điểm AD; BC a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ? Phương pháp 1: Tìm a ⊂ α Chỉ a ,d nằm cùng mặt phẳng và chúng cắt M d ∩ α = M ( hình vẽ ) Phương pháp 2: Tìm β chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a α và β Trong β : a ∩ d = M d α = M ( hình vẽ b) d • M α α a • a M β d 1: Cho tứ diện SABC; M ; N là các điểm nằm SAB ; SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P là các điểm nằm trên AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 22 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (23) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng M; N là trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 5: Cho tứ diện SABC I ; H là trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M là trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ? 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC 7: Gọi I ; J là hai điểm nằm ABC; ABD tứ diện ABCD M là điểm tuỳ ý trên CD Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ? c) N là điểm tuỳ ý trên BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ? Vấn đề 5: DIỆN THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA Lần lượt xét giao tuyến với các mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm các cạnh đa diện với mặt phẳng Khi các đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng α nhờ vào quá trình tìm giao tuyến và giao điểm trên Trong phần này ta xét hai cách làm : B A C F E D α I Xác định thiết diện cách kéo dài các giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P là trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P là trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 23 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (24) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi E; F; K là trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp và mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm nằm trên SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ngoài BD cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) và tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N là điểm trên cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P là trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm ∆SAB ; ∆SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) và (SDM) ? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 24 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (25) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính KA KS JA JD HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N cho AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với BC Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN luôn qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN và JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM và JN ? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 25 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (26) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : SA’ = 1 SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC n +1 2n + 3n + a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I và A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ Vấn đề HAI ĐT SONG SONG Phương pháp : Có thể dùng các cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến 6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC và BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE 6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC và BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM' AB với M' trên AD; NN' AB với N' trên AF Chứng minh : a) MM' và NN' // CD b) M’N// DF Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Phương pháp : Ta chứng minh d không nằm (P) và song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi chú : Nếu a không có sẵn hình thì ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến (P) và (Q) 7.1 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với ( a ) ? b)Xác định vị trí N trên BC cho tiết diện là hình bình hành ? 7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD a)Mặt phẳng ( a ) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA // 7.3 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ( a ) di động luôn luôn song song BC và đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng ( a ) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ? b)Chứng minh ( a ) chuyển động luôn luôn chứa đường thẳng cố định c)Gọi M là giao điểm A’C’ và B’D’ Chứng minh ( a ) di động thì M di động trên đường thẳng cố định Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 26 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (27) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (∝) chứa AM và BD a)Chứng minh (∝) luôn luôn qua đường thẳng cố định M chuyển động trên cạnh SC b) (∝) cắt SB và SD E ; F Trình bày cách dựng E và F ? c)Gọi I là giao điểm ME và CB; J là giao điểm MF và CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Vấn ñ ề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng 8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H,I,K là trung điểm SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa AI vaø KD, N laø giao ñieåm cuûa DH và CI Chứng minh (SMN) //(HIK) 8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ tam giác A’BD vaø CB’D’ 8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,N là trung điểm SA ,CD a) Cm: (OMN) //(SBC) b) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE,A F là các đường phân giác tam giác ACD và SAB Cm: E F //(SAD) 8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm moät mặt phẳng Trên các đường chéo AC,BF lấy các điểm M,N cho AM=BN Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N cắt AD, A F M’,N’ a)Cm: (CBE) //(AD F) b) Cm: (DE F)//(MNN’M’) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 27 Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước (28)