Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp CÂU HỎI Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1 Phân tích đa thức 2x 3 y – 2xy 3 – 4xy 2 – 2xy thành nhân tử Lời giải 2x 3 y – 2xy 3[.]
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp CÂU HỎI Câu hỏi trang 23 Tốn Tập 1: Phân tích đa thức 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy thành nhân tử Lời giải 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy = 2xy(x2 - y2 - 2y - 1) = 2xy[x2 - (y2 + 2y + 1)] = 2xy[x2 - (y + 1)2 ] = 2xy(x + y + 1)(x - y - 1) Câu hỏi trang 23 Toán Tập 1: a) Tính nhanh x2 + 2x + - y2 x = 94,5 y = 4,5 b) Khi phân tích đa thức x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm sau: x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y) = (x - y)2 + 4(x – y) = (x – y)(x – y + 4) Em rõ cách làm trên, bạn Việt sử dụng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải a) x2 + 2x + - y2 = (x + 1)2 – y2 = (x + y + 1)(x – y + 1) Thay x = 94,5 y = 4,5 ta có: (x + y + 1)(x - y + 1) = (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1) = 100.91 = 100 Vậy với x = 94,5 y = 4,5 giá trị biểu thức 9100 b) x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử = (x - y)2 + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng đẳng thức cho ngoặc đặt nhân tử chung cho ngoặc lại = (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung BÀI TẬP Bài 51 trang 24 Tốn Tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 2x2 + x b) 2x2 + 4x + – 2y2 c) 2xy – x2 – y2 + 16 Lời giải: a) x3 – 2x2 + x = x.x2 – x.2x + x ( nhân tử chung x) = x(x2 – 2x + 1) ( biểu thức ngoặc có dạng đẳng thức (2)) = x(x – 1)2 b) 2x2 + 4x + – 2y2 (có nhân tử chung 2) = 2.(x2 + 2x + – y2) (biểu thức ngoặc xuất x2 + 2x + đẳng thức) = 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] (biểu thức ngoặc có dạng đẳng thức (3)) = 2(x + – y)(x + + y) c) 2xy – x2 – y2 + 16 = 16 – x2 + 2xy – y2 = 16 – (x2 – 2xy + y2) (biểu thức ngoặc có dạng đẳng thức số (2)) = 42 – (x – y)2 (xuất đẳng thức (3)) = [4 – (x – y)][4 + (x - y)] = (4 – x + y)(4 + x – y) Bài 52 trang 24 Toán Tập 1: Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n Lời giải Ta có: (5n + 2)2 – = (5n + 2)2 – 22 = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) Vì ⋮ nên 5n(5n + 4) ⋮ với số nguyên n Vậy (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n Bài 53 trang 24 Toán Tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 3x + b) x2 + x – c) x2 + 5x + (Gợi ý : Ta áp dụng phương pháp học để phân tích tách hạng tử - 3x = - x – 2x ta có x2 – 3x + = x2 – x – 2x + từ dễ dàng phân tích tiếp Cũng tách = - + 6, ta có x2 – 3x + = x2 – – 3x + 6, từ dễ dàng phân tích tiếp) Lời giải: a) Cách 1: x2 – 3x + = x2 – x – 2x + (Tách –3x = – x – 2x) = (x2 – x) – (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – nhân tử chung) = (x – 1)(x – 2) Cách 2: x2 – 3x + = x2 – 3x – + (Tách = – + 6) = x2 – – 3x + = (x2 – 22) – 3(x – 2) = (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất nhân tử chung x – 2) = (x – 2)(x + – 3) = (x – 2)(x – 1) Cách 3: x2 – 3x + x x 2.x 3 2.x 2 x x x x x 2.x 2 2 2 9 4 2 x 2 3 (thêm bớt hang tử để tạo thành đẳng thức) 2 b) Cách 1: x2 + x – = x2 + 3x – 2x – (Tách x = 3x – 2x) = x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + nhân tử chung) = (x + 3)(x – 2) Cách 2: x2 + x – x 2x 2 x x x x x 2.x 6 2 25 2 x 2 c) Cách 1: x2 + 5x + (Tách 5x = 2x + 3x) = x2 + 2x + 3x + = x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + nhân tử chung) = (x + 2)(x + 3) Cách 2: x2 + 5x + x 2.x x x x 5 2 25 2 2 2 x x x x 2 Luyện tập chung Bài 54 trang 25 Tốn Tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c) x4 – 2x2 Lời giải: a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x (Có x nhân tử chung) = x(x2 + 2xy + y2 – 9) (biểu thức ngoặc có x2 + 2xy + y2 đẳng thức số (1)) = x[(x2 + 2xy + y2) – 9] = x[(x + y)2 – 32] (biểu thức ngoặc xuất đẳng thức (3)] = x(x + y – 3)(x + y + 3) b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 (Có x2 ; 2xy ; y2 ta liên tưởng đến HĐT (1) (2)) = (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2) = 2(x – y) – (x – y)2 (Có x – y nhân tử chung) = (x – y)[2 – (x – y)] = (x – y)(2 – x + y) c) x4 – 2x2 (Có x2 nhân tử chung) = x2(x2 – 2) x2 x2 x2 x x (biểu thức ngoặc vuông đẳng thức số (3)) Bài 55 trang 25 Toán Tập 1: Tìm x, biết: x a) x 0; b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0; c) x2(x – 3) + 12 – 4x = Lời giải: x a) x x x2 xx x x (biểu thức bên ngoặc vng có dạng đẳng thức số (3)) 0 2 x Vậy x x x x 2 x x x 0 1 ; ;0 2 b) Ta có: (2x – 1)2 – (x + 3)2 =0 (xuất HĐT (3)) ⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = ⇔ (2x – – x – 3).(2x – + x + 3) = ⇔ (x – 4)(3x + 2) = x 3x x x Vậy x 4; c) x2(x – 3) + 12 – 4x ⇔ x2(x – 3) – 4.(x – 3) = (Có nhân tử chung x – 3) ⇔ (x2 – 4)(x – 3) = ⇔ (x2 – 22).(x – 3) = (biểu thức ngoặc xuất HĐT (3)) ⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = x x x Vậy x = x = –2 x = Bài 56 trang 25 Tốn Tập 1: Tính nhanh giá trị đa thức: a) x x x = 49,75 16 b) x2 – y2 – 2y – x = 93 y = Lời giải: a) Ta có: x x 16 x 2.x 4 2 x Thay x 49 49,75 49 49 vào biểu thức trên, ta được: 4 49 502 2500 Vậy giá trị biểu thức 500 x = 49,75 b) Ta có: x2 – y2 – 2y – (Thấy có y2 ; 2y ; ta liên tưởng đến HĐT (1) (2)) = x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2 (Xuất HĐT (3)) = (x – y – 1)(x + y + 1) Thay x = 93, y = vào biểu thức trên, ta được: (93 – – 1)(93 + + 1) = 86.100 = 8600 Vậy với x = 93, y = giá trị biểu thức 600 Bài 57 trang 25 Tốn Tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 4x + 3; b) x2 + 5x + 4; c) x2 – x – 6; d) x4 + (Gợi ý câu d): Thêm bớt 4x2 vào đa thức cho) Lời giải: a) Cách 1: x2 – 4x + = x2 – x – 3x + (Tách –4x = –x – 3x) = x(x – 1) – 3(x – 1) (Có x – nhân tử chung) = (x – 1)(x – 3) Cách 2: x2 – 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 + – 22 (Thêm bớt 22 để có HĐT (2)) = (x – 2)2 – (Xuất HĐT (3)) = (x – – 1)(x – + 1) = (x – 3)(x – 1) b) Cách 1: x2 + 5x + = x2 + x + 4x + (Tách 5x = x + 4x) = x(x + 1) + 4(x + 1) (có x + nhân tử chung) = (x + 1)(x + 4) Cách 2: x x 5x 2.x x x x 2 2 3 x 2 25 x x c) Cách 1: x2 – x – = x2 + 2x – 3x – (Tách –x = 2x – 3x) = x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + nhân tử chung) = (x – 3)(x + 2) Cách 2: x2 – x – x 2.x 2 x x x x x 2 25 5 x 2 2 d) x4 + = (x2)2 + 22 = x4 + 2.x2.2 + – 4x2 (Thêm bớt 2.x2.2 để có HĐT (1)) = (x2 + 2)2 – (2x)2 (Xuất HĐT (3)) = (x2 + – 2x)(x2 + + 2x) Bài 58 trang 25 Toán Tập 1: Chứng minh n3 – n chia hết cho với số nguyên n Lời giải: A = n3 – n (có nhân tử chung n) = n(n2 – 1) (Xuất HĐT (3)) = n(n – 1)(n + 1) +) Nếu n chẵn n n n Nếu n lẻ n + số chẵn n n n Do A chia hết cho với số tự nhiên n (1) +) Nếu n chia hết cho n n n Nếu n chia cho dư n = 3k + k n n n chia hết cho n – = 3k k chia hết cho 3 Nếu n chia cho dư n = 3k + k n n n n – = 3k k Do A chia hết cho với số tự nhiên n (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho với số tự nhiên n Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n ... Tập 1: Tính nhanh giá trị đa thức: a) x x x = 49, 75 16 b) x2 – y2 – 2y – x = 93 y = Lời giải: a) Ta có: x x 16 x 2.x 4 2 x Thay x 49 49, 75 49 49 vào biểu thức trên, ta được: 4 49 502 2500 Vậy... = (x – y – 1)(x + y + 1) Thay x = 93 , y = vào biểu thức trên, ta được: (93 – – 1) (93 + + 1) = 86 .100 = 86 00 Vậy với x = 93 , y = giá trị biểu thức 600 Bài 57 trang 25 Toán Tập 1: Phân tích đa thức... sau thành nhân tử: a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c) x4 – 2x2 Lời giải: a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x (Có x nhân tử chung) = x(x2 + 2xy + y2 – 9) (biểu thức ngoặc có x2 + 2xy + y2