Đường trung bình của tam giác Đường trung bình của hình thang I Lí thuyết 1 Đường trung bình của tam giác a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối tr[.]
Đường trung bình tam giác Đường trung bình hình thang I Lí thuyết Đường trung bình tam giác a) Định nghĩa đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác b) Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba c) Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh thứ ba Xét hình vẽ: Tam giác ABC có: M trung điểm AB N trung điểm AC Nên MN đường trung bình tam giác ABC MN // BC MN BC 2 Đường trung bình hình thang a) Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh bên hình thang ABCD hình thang, AB // CD E trung điểm AD, F trung điểm BC EF đường trung bình hình thang ABCD b) Định lí 2: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên thứ song song với cạnh đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai hình thang c) Định lí 3: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Xét hình thang ABCD có đường trung bình FE FE / /AB / /CD FE AB CD II Dạng tập Dạng Sử dụng định nghĩa định lý đường trung bình tam giác để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, định lý để suy điều cần chứng minh Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM I Chứng minh: a) EM song song với DC; b) I trung điểm AM; c) DC = 4DI Lời giải: a) Vì ED = EB nên E trung điểm BD Lại có M trung điểm BC Suy EM đường trung bình tam giác BCD EM // CD b) Xét tam giác AEM có: Ta có: AD = DE nên D trung điểm AE Lại có I DC DI // EM (do DC // EM) Do đó: DI qua trung điểm AM I trung điểm AM c) Từ câu a ta có: EM đường trung bình tam giác BCD EM DC (1) Lại có I trung điểm AM, D trung điểm AE DI đường trung bình tam giác AEM DI EM (2) 1 1 Từ (1) (2) DI EM DC DC hay DC = DI (đpcm) 2 Dạng Sử dụng định lý đường trung bình hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa định lý liên quan đến đường trung bình hình thang để chứng minh Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các đường phân giác A,D cắt E, cắc đường phân giác B,C cắt F Chứng minh: a) EF song song AB CD b) EF có độ dạng nửa chu vi hình thang ABCD Lời giải: a) Vì AE phân giác góc ngồi A nên A1 A Vì DE phân giác góc ngồi D nên D1 D2 Mà A1 A2 D1 D2 180 (hai góc phía) 2A2 2D2 180 A2 D2 90 Xét tam giác AED có: A2 D2 AED 180 (tính chất tổng ba góc tam giác) AED 180 A D2 180 90 90 DE AE Gọi AE DC M ADM có DE vừa đường cao vừa đường phân giác nên ADM cân D Nên DE đường trung tuyến ADM E trung điểm AM Gọi BF DC N Chứng minh tương tự có điểm F trung điểm BN Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM hình thang Mà có E, F trung điểm AM BN Nên EF đường trung bình hình thang ABNM EF // AB // MM Hay EF // AB // CD b) Vì EF đường trung bình hình thang ABNM EF AB MN (tính chất) EF AB MD CD CN (1) Mà MD = AD (do tam giác AMD cân D); CN = BC (do tam giác BCN cân C) nên thay vào (1) ta có: EF AB AD CD BC Vậy độ dài EF nửa chu vi tứ giác ABCD Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp định nghĩa định lý đường trung bình để chứng minh tốn Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh: a) M, N ,P, Q nằm đường thẳng b) NP DC AB Lời giải: a) Ta có M trung điểm AD, Q trung điểm BC MQ đường trung bình hình thang ABCD MQ // AB // CD (1) M trung điểm AD, N trung điểm BD MN đường trung bình tam giác DAB MN // AB (2) P trung điểm AC, Q trung điểm BC PQ đường trung bình tam giác ABC PQ // AB (3) Từ (1), (2) , (3) MN // MQ // QP // AB bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng M, N, P, Q thuộc đường thẳng b) Đặt AB = a; CD = b Vì MQ đường trung bình hình thang ABCD MQ AB CD a b 2 Lại có MN, PQ đường trung bình tam giác ABD ABC MN a a ; PQ 2 Ta có: MQ = MN +NP + PQ = a a ab NP 2 NP ab a a 2 NP ba = (CD AB) 2 III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, có M trung điểm BC Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB E tia My song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) EF đường trung bình tam giác ABC; b) AM đường trung trực EF Bài 2: Cho hình thang ABCD vng A D Gọi E, F trung điểm AD BC Chứng minh a) AFD cân F b) BAF CDF Bài 3: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến ứng với cạnh BC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD DC Kẻ Mx song song song với BD cắt AC E Đoạn BD cắt AM I Chứng minh: a) AD = DE = EC; b) SAIB SIBM ; c) SABC SIBC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Từ H kẻ Hx vng góc với AB P, Hy vng góc với AC Q Trên tia Hx, Hy lấy điểm D E cho PH = PD; QH = QE Chứng minh: a) A trung điểm DE; b) PQ DE ; c) PQ = AH Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) với AB = a; BC = b, CD = c AD = d Các tia phân giác A D cắt E, tia phân giác B C cắt F Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M, E, N, F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d Bài 6: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB; b) So sánh EF AB CD ; c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng từ chứng minh EF AB CD Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC Chứng minh E, F, I thẳng hàng Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC Chứng minh EI // CD; IF // AB Bài 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi I, K theo thứ tự trung điểm GB, GC Chứng minh DE // IK; DE = IK Bài 10: Cho tam giác ABC vng cân A Trên cạnh góc vng AB, AC lấy D E cho AD = AE Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BE cắt BC K Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC H Gọi M giao điểm DK AC Chứng minh: a) Tam giác BAE tam giác CAD; b) Tam giác MDC cân; c) HK = HC ... Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh bên hình thang ABCD hình thang, AB // CD E trung điểm AD, F trung điểm BC EF đường trung bình hình thang ABCD b)... lý đường trung bình hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa định lý liên quan đến đường trung bình hình thang để chứng minh Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các đường. .. MN (AB // CD) nên ABNM hình thang Mà có E, F trung điểm AM BN Nên EF đường trung bình hình thang ABNM EF // AB // MM Hay EF // AB // CD b) Vì EF đường trung bình hình thang ABNM EF AB