50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2022) – toán 8

Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của phân thức I Lý thuyết Cho biểu thức f(x, y, ) M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y, ) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau + Với mọi x, y, thỏa mãn điều kiện x[.]

Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ phân thức I Lý thuyết Cho biểu thức f(x, y, ) - M giá trị lớn biểu thức f(x, y, ) M thỏa mãn hai điều kiện sau + Với x, y, thỏa mãn điều kiện xác định f(x,y,…)  M + Tồn x ; y0 cho f  x ; y0 ,   M - m giá trị nhỏ biểu thức f(x, y, ) m thỏa mãn hai điều kiện sau + Với x, y, thỏa mãn điều kiện xác định f(x,y,…)  m + Tồn x ; y0 cho f  x ; y0 ,   m Chú ý: Với hai số a, b dấu a > b  1  a b a  m  m với m a  b  2ab với a, b II Bài tập vận dụng Dạng 1: Tìm giá trị lớn phân thức Phương pháp giải: Cho phân thức Ax với B  x   B x  Bước 1: Đánh giá tử thức mẫu thức để tìm giá trị lớn nhỏ tử mẫu Bước 2: Đánh giá phân thức cho Ax M B x  Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm để giải x thỏa mãn Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) A  x  6x  13 3x  2x  x2  b) B  Lời giải: a) Điều kiện xác định: x  6x  13  x  6x     x  3  Vì  x  3  nên  x  3   2 A xác định với x A x  6x  13 x  6x   A A  x  3 4 Ta có:  x  3 0   x  3       x  3 A 4  4 Dấu “=” xảy  x    x  3 Vậy Amax = x = -3 b) Điều kiện xác định: Vì x  nên x   B xác định với x 3x  2x  B x2  B B 4x   x  2x  x2   x  1   x  2x  1 x2   x  1 x  2x  B  x2  x2   x  1  B4 x2  Ta có: x   x     x  1   x  1  x2  0  x  1 B4 x2  404 Dấu “=” xảy x    x  1 Vậy Bmax = x = -1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn C  x với x  10 x  20x  100 Lời giải: C x x  20x  100 C x  x  10  Đặt y  C 1  x   10 thay vào C ta x  10 y  10 y 1   y  10  10     10y y C y2 C  10y : y y C  10y y y  C  1  10y  y  10y  y    C  10  y  y  10   2        C  10  y  2.y        20  20   20        C  10  y     20  400      C  10  y    20  40  Ta có:    y    với y thỏa mãn điều kiện 20      10  y    20    1   10  y    0  20  40 40 40  C 40 Dấu “=” xảy y  y =0 20 1  x   10   10  10 (thỏa mãn điều kiện) 20 y 20 Vậy Cmax = x = 10 40 Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức Phương pháp giải: Cho phân thức Ax với B  x   B x  Bước 1: Đánh giá tử thức mẫu thức để tìm giá trị lớn nhỏ tử mẫu Bước 2: Đánh giá phân thức cho Ax m B x  Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm để giải x thỏa mãn Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ phân thức sau: A= Lời giải: Điều kiện: x  1 A= 4x  4x  4  x  1 4x  4x  4  x  1 A A 3x  6x   x  2x   x  1  x  2x  1   x  2x  1  x  1 3 x  1   x  1 A  x  1 3 x  1 2  x  1 A  2  x  1  x  1 2  x 1   A     x  1   x 1   A     2x   2  x 1  Ta có:   0  2x    x 1  A     2x   A  x 1  Dấu “=” xảy    0  2x    x 1  x    x  (thỏa mãn điều kiện) 2x  Vậy Amin = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức x  y2 B với x   y;x  0; y  x  2xy  y Lời giải: B x  y2 x  2xy  y B B B  x  y2   x  2xy  y  2x  2y 2 x  y x  2xy  y  x  2xy  y 2 x  y  x  y   x  y B 2 x  y 2  x  y   x  y B 2 2 x  y 2 x  y  xy  B     x  y   2  xy   B    2x  2y  Ta có:  xy    0 2x  2y    xy  B     2x  2y  2  xy  Dấu “=” xảy    0 2x  2y    xy 0 2x  2y xy0 xy Vậy Bmin = x = y x; y thỏa mãn điều kiện Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ phân thức C 6 x  2x  Lời giải: Điều kiện: x  2x   x  2x     x  1  Vì  x  1  nên  x  1   2 C xác định với x C 6 x  2x  C C 6 x  2x   6  x  1 8 Ta có:  x  1 0   x  1       x  1 8 6  x  1 8 6  x  1 8   6  3 Dấu “=” xảy   x  1   x    x  1 Vậy Cmin = 3 x = -1 III Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị lớn phân thức sau: A  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức: B  2x  3x  10 3 x  5x  10 3x  8x  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ phân thức sau: A  với x  x  2x  Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phân thức: M   4x x2  5x  4x  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức N  với x  x2 3x  4x Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức E  x 1 Bài 7: Tìm giá trị lớn P  2017 x  6x  20  x  x  64 Bài 8: Cho biểu thức Q   16    19 với x  0;x  x 8 x  Tìm giá trị nhỏ Q  x  2 Bài 9: Cho biểu thức B  x  x  x  6x  1   x  x2 a) Tìm điều kiện xác định B b) Rút gọn B c) Tìm x để B đạt giá trị lớn  x  2 Bài 10: Cho biểu thức D  x Tìm giá tri lớn Q  x  x  10x  1  với x  2;x   x  x   ... Tìm giá trị lớn phân thức sau: A  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức: B  2x  3x  10 3 x  5x  10 3x  8x  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ phân thức sau: A  với x  x  2x  Bài 4: Tìm gá trị lớn. .. gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phân thức: M   4x x2  5x  4x  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức N  với x  x2 3x  4x Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức E  x 1 Bài 7: Tìm giá trị lớn P  2017... Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức Phương pháp giải: Cho phân thức Ax với B  x   B x  Bước 1: Đánh giá tử thức mẫu thức để tìm giá trị lớn nhỏ tử mẫu Bước 2: Đánh giá phân thức cho Ax