Diện tích tam giác I Lý thuyết + Tam giác thường Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng S = a 1 a h 2 (đơn vị diện tích) Với a là độ dài cạnh BC; ah là độ dài đường cao tươn[.]
Diện tích tam giác I Lý thuyết + Tam giác thường: Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao tương ứng S= a.h a (đơn vị diện tích) Với a độ dài cạnh BC; h a độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC + Tam giác vng Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng Cho tam giác ABC vng A có AB = c; AC = b Diện tích tam giác vng ABC: S = bc (đơn vị diện tích) Chú ý: - Nếu hai tam giác có cạnh tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng với hai cạnh - Nếu hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số cạnh tương ứng II Dạng tập Dạng 1: Tính diện tích tam giác chứng minh hệ thức diện tích tam giác Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác + Đối với tam giác thường S= a.h a (đơn vị diện tích) Với a độ dài cạnh; h a độ dài đường cao tương ứng + Đối với tam giác vuông S= bc (đơn vị diện tích) Với b, c độ dài hai cạnh góc vng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Chứng minh SAMB SAMC Lời giải: Ta có: M trung điểm BC nên BM = CM Kẻ AH BC H Xét tam giác ABM có: AH BC AH BM nên AH đường cao tam giác ABM Diện tích tam giác ABM SAMB AH.BM (đơn vị diện tích) (1) Xét tam giác AMC có: AH BC AH CM nên AH đường cao tam giác ACM SAMC AH.CM (2) Từ (1) (2) kết hợp với BM = CM SAMB = SAMC Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên a độ dài cạnh đáy b theo a, b Lời giải: Giả sử tam giác cân cần tính diện tích tam giác ABC cân A với AB = AC = a; BC = b Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BC Vì tam giác ABC cân A nên AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên H trung điểm BC BH = CH = 1 BC = b 2 Xét tam giác AHB vng H ta có: AB2 AH2 BH2 (định lý Py – ta – go) b a AH 2 2 b2 AH a 2 4a b 4a b2 b2 AH a 4 Diện tích tam giác ABC 1 4a b2 b 4a b2 S AH.BC b 2 Dạng 2: Sử dụng cơng thức diện tính tích tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức hình học Phương pháp giải: 2S 2S + Từ công thức S ah ta suy công thức h a a h a, h độ dài đáy chiều cao tương ứng + Phát quan hệ diện tích hình sử dụng cơng thức Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Có BC = 60cm Đường cao AH = 40cm Tính đường cao BE CF tam giác Lời giải: Vì tam giác ABC tam giác cân A nên AH vừa đường cao, vừa đường trung tuyến tam giác nên H trung điểm BC BH CH BC 60 30cm 2 Xét tam giác ABH vng H ta có: AB2 AH2 BH2 (định lý Py – ta – go) AB2 402 302 AB2 1600 900 AB2 2500 AB 50cm Mà tam giác ABC tam giác cân AB AC 50cm Diện tích tam giác ABC 1 SABC AH.BC 40.60 1200cm 2 1 Lại có: SABC BE.AC BE.50 1200cm2 2 BE 1200.2 : 50 BE 48cm Tính tốn tương tự CF 48cm Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn Đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh HD HE HF AD BE CF Lời giải: Diện tích tam giác ABC 1 SABC AD.BC BE.AC CF.AB 2 Diện tích tam giác BHC là: SBHC HD.BC Diện tích tam giác AHC là: SAHC HE.AC Diện tích tam giác AHB là: SAHB HF.AB Tỉ số diện tích tam giác BHC tam giác ABC là: SBHC HD.BC HD (1) SABC AD.BC AD Tỉ số diện tích tam giác AHC tam giác ABC là: SAHC SABC HE.AC HE (2) BE BE.AC Tỉ số diện tích tam giác AHB tam giác ABC là: SAHB SABC HF.AB HF (3) CF CF.AB Cộng vế với vế (1); (2); (3) ta được: SBHC SAHC SAHB HD HE HF SABC SABC SABC AD BE CF HD HE HF SBHC SAHC SAHB AD BE CF SABC HD HE HF SABC 1 AD BE CF SABC Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất, nhỏ hình Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhỏ hình ta liên hệ đường vng góc đường xiên Chú ý: + Nếu diện tích hình lớn số m tồn vị trí hình để diện tích m m diện tích nhỏ hình + Nếu diện tích hình ln nhỏ số M tồn vị trí hình để diện tích M M diện tích lớn hình Ví dụ 1: Tìm diện tích lớn tam giác ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm Vẽ AH vng góc với BC H Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có: AH AB Khi diện tích tam giác ABC 1 SABC AH.BC AB.BC 2 SABC lớn SABC AB.BC Dấu “=” xảy AH AB hay H B, tam giác ABC vuông B Diện tích lớn tam giác ABC là: 1 SABC AB.BC 3.4 6cm2 2 Ví dụ 2: Tính diện tích lớn tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = a Lời giải: Đặt AC = b; AB = c Xét tam giác ABC vng A ta có: a b2 c2 (định lý Py – ta – go) Áp dụng bất đẳng thức cho hai số b, c ta có: b2 c2 bc Diện tích tam giác ABC là: SABC 1 b2 c2 b2 c2 bc 2 b2 c2 S ABC a2 SABC Dấu “=” xảy b = c ABC vuông cân A Vậy diện tích lớn tam giác ABC vng cân a2 tam giác ABC tam giác III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, BN, CP cắt trọng tâm G Chứng minh: a) SAGP SPGB SBGM SMGC SCGN SNGA b) Các tam giác GAB; GBC GCA có diện tích Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 60cm, đường cao AH; AH = 40cm Gọi D E theo thứ tự trung điểm AB AC Tính diện tích tứ giác BDEC Bài 3: Tính diện tích tam giác có cạnh a Bài 4: Cho tam giác ABC Hãy vị trí điểm M tam giác cho SMAB SMAC SMBC Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh: a) SBMN SABC b) SMNPQ SABCD Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm G trọng tâm tam giác Tính diện tích tam giác BCG Bài 7: Cho tam gác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm Tính độ dài đường cao BK Bài 8: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm a) Chứng minh BD vng góc với CE b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 6cm Lấy M cạnh AC cho AM AC Xác định vị trí điểm N BC cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp ba lần diện tích MNC Bài 10: Các hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10cm Hình có diện tích lớn ... HD.BC Diện tích tam giác AHC là: SAHC HE.AC Diện tích tam giác AHB là: SAHB HF.AB Tỉ số diện tích tam giác BHC tam giác ABC là: SBHC HD.BC HD (1) SABC AD.BC AD Tỉ số diện tích tam giác. .. Dạng 1: Tính diện tích tam giác chứng minh hệ thức diện tích tam giác Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác + Đối với tam giác thường S= a.h a (đơn vị diện tích) Với a độ... Xét tam giác ABM có: AH BC AH BM nên AH đường cao tam giác ABM Diện tích tam giác ABM SAMB AH.BM (đơn vị diện tích) (1) Xét tam giác AMC có: AH BC AH CM nên AH đường cao tam giác