Diện tích hình thoi I Lý thuyết 1 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc Tứ giác có hai đường chéo vuông góc có diện tích bằng nửa tích của hai đường chéo 1 2 1 S d d 2 trong đó 1 2d ,d là độ[.]
Diện tích hình thoi I Lý thuyết Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Tứ giác có hai đường chéo vng góc có diện tích nửa tích hai đường chéo S d1.d d1,d độ dài hai đường chéo Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Khi diện tích tứ giác ABCD là: S AC.BD 2 Diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S d1.d d1,d độ dài hai đường chéo Cho ABCD hình thoi, hai đường chéo AC BD có độ dài d1,d Khi diện tích hình thoi ABCD là: 1 S AC.BD d1.d 2 II Dạng tập Dạng 1: Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Phương pháp giải: Bước 1: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vng góc (nếu đề chưa cho) Bước 2: Sử dụng cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc S d1.d d1,d độ dài hai đường chéo Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, có AC BD vng góc với nhau, AC = 4cm, BD = 6cm Tính diện tứ giác ABCD Lời giải: Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với nên diện tích tứ giác ABCD 1 S AC.BD 4.6 12cm2 2 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5cm, CD = 12cm, BD = 8cm, AC = 15cm a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD E Tính DBE b) Tính diện tích hình thang ABCD Lời giải: a) Đường thẳng qua B song song với AC cắt CD E nên BE // AC CE // AB (do AB // CD) Xét tứ giác ABEC có: BE // AC (chứng minh trên) CE // AB (chứng minh trên) Do tứ giác ABEC hình bình hành AB = CE = 5cm; AC = BE = 15cm (tính chất) Ta có: DE = DC + CE = 12 + = 17cm Xét tam giác BED có: BE 152 225 BD2 82 64 DE 172 289 Nhận thấy: DE2 BD2 BE2 (289 = 64 + 225) Do tam giác BED vuông B (định lý Py – ta – go đảo) DBE 90 b) Vì DBE 90 nên BD BE Mà BE // AC nên BD AC Diện tích hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với 1 SABCD AC.BD 15.8 60cm2 2 Dạng 2: Tính diện tích hình thoi Phương pháp giải: Có hai cách tính diện tích hình thoi Cách 1: Dựa vào cơng thức tính diện tích theo hai đường chéo vng góc Cách 2: Xem hình thoi hình bình hành sử dụng cơng thức tính diện tích hình bình hành Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh 2cm góc 60 Lời giải: Gọi hình thoi cần tính diện tích ABCD, có A 60 Vì ABCD hình thoi nên AB = BC = CD = AD = 2cm Xét tam giác ABD có: AB = AD A 60 Do tam giác ABD tam giác (dấu hiệu nhận biết) AB = AD = BD = 2cm (tính chất) Vì ABCD hình thoi nên BD vng góc AC BD, AC cắt trung điểm đường Gọi E giao điểm AC BD E trung điểm BD BE = ED = 1cm Xét tam giác AED vuông E AE2 ED2 AD2 AE 12 22 AE AE 3cm Vì E trung điểm AC AC 2AE 3cm Diện tích hình thoi ABCD là: 1 SABCD AC.BD 2.2 cm 2 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD cân (AB // CD) có E, N, G, M trung điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác MENG hình gì? b) Cho SABCD 800m2 Tính SMENG ? Lời giải: a) Vì E trung điểm AB, N trung điểm BC nên EN đường trung bình tam giác ABC EN / /AC (1) (tính chất) EN AC Vì M trung điểm AD, G trung điểm CD nên MG đường trung bình tam giác DAC MG / /AC (2) (tính chất) MG AC MG / /EN Từ (1) (2) MG EN Xét tứ giác ENGM có: MG / /EN MG EN tứ giác ENGM hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Vì E trung điểm AB, M trung điểm AD nên EM đường trung bình tam giác ADB EM BD (tính chất đường trung bình tam giác) Mà ABCD hình thang cân nên AC = BD 1 Do EM = NE ( BD AC ) 2 Hình bình hành ENGM có EM = NE Hình bình hành ENGM hình thoi b) Vì ABCD hình thang cân nên AD = BC AM = BN; MD = CN Xét tam giác MAE tam giác NBE có: MAE NBE (hai góc đáy hình thang cân) AE = BE (do E trung điểm AB) AM = BN (chứng minh trên) Do MAE NBE (c – g – c) SMAE SNBE Vì E trung điểm AB nên độ dài đường vng góc kẻ từ E xuống AD nửa độ dài đường vng góc kẻ từ B xuống AD Gọi h1 độ dài đường vng góc kẻ từ E xuống AD, h độ dài đường vng góc kẻ từ B xuống AD đó: h = h1 Ta có: SMAE h1.AM SABD h AD Tỉ số diện tích tam giác MAE tam giác ABD SMAE SABD h1.AM h AM h AD 2h1.2AM SMAE SEBN SABD (do SMAE SNBE ) Chứng minh tương tự ta được: SMDG SGCN SBCD Ta có: SENGM SABCD SMAE SNBE SMDG SGNC SENGM SABCD SMAE SNBE SMDG SGNC 1 SENGM SABCD SABD SBCD 2 SENGM SABCD SABD SBCD Mà SABCD SABD SBCD 1 SENGM SABCD SABCD 800 800 400 m 2 III Bài tập vận dụng Bài 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh 5cm góc 30 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I kẻ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N Lấy D đối xứng I qua N a) Tứ giác ADCI hình gì? b) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh: DK DC c) Cho AB = 12cm, BC = 20cm Tính diện tích hình ADCI Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM, D thuộc tia đối tia MA cho AD = 3AM Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm Bài 4: Cho hình thoi ABCD Chứng minh: AC.BD 2AB2 Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM D thuộc tia đối tia MA cho AD = 3AM Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh 17cm, tổng hai đường chéo 46cm Bài 7: Tính cạnh hình thoi có diện tích 24cm2 , tổng hai đường chéo 14cm Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vng góc với BD O a) Chứng minh tam giác OCD, OAB vuông cân b) Biết AB = 2cm, CD = 8cm, AD = 5cm Tính diện tích hình thang ABCD Bài 9: Cho hình thoi ABCD có AC = 10cm, BD = 6cm Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b) Tính diện tích hình thoi ABCD c) Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 10: So sánh diện tích hình thoi hình vng có chu vi ... điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b) Tính diện tích hình thoi ABCD c) Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 10: So sánh diện tích hình thoi hình vng có chu vi ... dụng cơng thức tính diện tích hình bình hành Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh 2cm góc 60 Lời giải: Gọi hình thoi cần tính diện tích ABCD, có A 60 Vì ABCD hình thoi nên AB = BC = CD... diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh 17cm, tổng hai đường chéo 46cm Bài 7: Tính cạnh hình thoi có diện tích 24cm2 , tổng hai đường chéo 14cm Bài