Bài 3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế A Lý thuyết 1 Giải tam giác Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó Để giải t[.]
Bài Giải tam giác ứng dụng thực tế A Lý thuyết Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết yếu tố đủ để xác định tam giác Để giải tam giác, ta thường sử dụng cách hợp lí hệ thức lượng như: định lí sin, định lí cơsin cơng thức tính diện tích tam giác Ví dụ Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 A = 60 Hướng dẫn giải +) Theo định lí cơsin ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 452 + 322 – 2.45.32.cos60° BC2 = 1609 BC ≈ 40,11 +) Theo định lí sin ta có: BC AC = sin A sin B 40,11 32 = sin 60 sin B sin B = 32.sin 60 0,69 40,11 B 44° (không thể xảy trường hợp B 136 A + B 180 ) Xét tam giác ABC có A = 60, B = 44 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 44 = 76 Vậy BC ≈ 40,11; B 44 C 76 Áp dụng giải tam giác vào thực tế Vận dụng giải tam giác giúp ta giải nhiều toán thực tế, đặc biệt thiết kế xây dựng Ví dụ Một khung thành bóng đá rộng mét Một cầu thủ đứng vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét cách cột lại 23 mét, sút vào khung thành Tính góc nhìn cầu thủ tới hai cột khung thành Hướng dẫn giải Vị trí cầu thủ C khung thành AB mơ tả hình vẽ đây: Gọi α góc nhìn cầu thủ C tới hai cột khung thành A B, tức = ACB Áp dụng hệ định lí cơsin tam giác ABC ta có: AC2 + BC2 − AB2 232 + 262 − 52 cos = = 0,9866 2.AC.BC 2.23.26 Suy α ≈ 9°23' Vậy góc nhìn cầu thủ tới hai cột khung thành khoảng 9°23' Ví dụ Từ hai vị trí A B nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' Tính độ cao núi Hướng dẫn giải Ta có BAC = BAH − CAH BAC = 90 − 30 = 60 ABC = 90 + 1530' = 10530' Xét tam giác ABC ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) ACB = 180 − BAC − ABC ACB 180 − 60 − 10530' = 1430' AC Áp dụng định lí sin ta có: sin ABC AC 70 = sin10530' sin1430' AC = 70.sin10530' sin1430' = AB sin ACB AC ≈ 269,4 (m) Tam giác ACH vuông H ta có: CH = AC.sin CAH 269, 4.sin 30 134, ( m ) Vậy núi cao khoảng 134,7 m B Bài tập tự luyện Bài Giải tam giác ABC biết AC = 16, A = 60 B = 50 Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 60, B = 50 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 60 − 50 = 70 Theo định lí sin ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C BC 16 AB = = sin 60 sin 50 sin 70 16.sin 60 BC = sin 50 18,1 AB = 16.sin 70 19,6 sin 50 Vậy C = 70, BC 18,1 AB ≈ 19,6 Bài Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB = 40 m, A = 45 B = 70 Tính khoảng cách AC Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có A = 45, B = 70 ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B C = 180 − 45 − 70 = 65 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C BC AC 40 = = sin 45 sin 70 sin 65 AC = 40.sin 70 41, 47 ( m ) sin 65 Vậy khoảng cách từ A bờ sông đến gốc C khoảng 41,47 m Bài Trên tồ nhà có cột cờ cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột cờ góc 45° 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ) Tìm chiều cao tồ nhà Hướng dẫn giải ( ) Từ hình vẽ ta có BAC = 45 − 40 = 5 ABD = 180 − BAD + ADB (định lí tổng ba góc tam giác) Do ABD = 45 Suy ra: ABC = ABD = 45 Áp dụng định lí sin tam giác ABC có: BC sin BAC = AC sin ABC Suy AC = BC.sin ABC sin BAC = 2.sin 45 16, ( m ) sin 5 Trong tam giác vng ADC có CD = AC.sin CAD 16, 2.sin 40 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10,4 + ≈ 15,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15,4 m Bài Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M trung điểm BC, cosAMB = AM > Tính AM giải tam giác ABC biết tam giác ABC tam giác tù Hướng dẫn giải Vì M trung điểm BC nên BM = MC = 1 BC = = 2 Xét tam giác ABM, áp dụng hệ định lí cơsin ta có: AM + BM − AB2 cosAMB = 2.AM.BM 13 AM + 42 − 32 = 26 2.AM.4 AM + = 40 13 AM 26 13 26 AM − 20 13 AM + = 13 AM = 13 ( tm : AM 3) 13 AM = ( ktm : AM 3) 13 Do AM = 13 Vì AMB AMC hai góc kề bù nên AMB + AMC = 180° Suy cosAMC = −cosAMB = − 13 26 Xét tam giác AMC, áp dụng định lí cơsin ta có: AC2 = AM + CM − 2.AM.CM.cosAMC AC2 = ( ) 13 13 + 42 − 13.4 − 26 AC2 = 49 AC = Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM = 13 áp dụng định lí cơsin ta có: cos ABM = AB2 + BM − AM 2.AB.BM cos ABM = 32 + 42 − ( 13 ) 2.3.4 = ABM = 60 ABC = 60 Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có: BC sin BAC = AC sin ABC = sin BAC sin BAC = sin 60 8.sin 60 = 7 BAC 82 BAC 98 Mà tam giác ABC tam giác tù nên BAC 98 Xét tam giác ABC ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) ACB = 180 − BAC − ABC ACB 180 − 98 − 60 = 22 Vậy AM = 13, AC = 7, ABC = 60, BAC 98 ACB 22 ... 10, ( m ) Do CH = CD + DH ≈ 10, 4 + ≈ 15,4 (m) Vậy chiều cao nhà khoảng 15,4 m Bài Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M trung điểm BC, cosAMB = AM > Tính AM giải tam giác ABC biết tam giác ABC tam. .. mét, sút vào khung thành Tính góc nhìn cầu thủ tới hai cột khung thành Hướng dẫn giải Vị trí cầu thủ C khung thành AB mơ tả hình vẽ đây: Gọi α góc nhìn cầu thủ C tới hai cột khung thành A B,... 30 = 60 ABC = 90 + 1530'' = 105 30'' Xét tam giác ABC ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) ACB = 180 − BAC − ABC ACB 180 − 60 − 105 30'' = 1430'' AC Áp dụng định