File đáp án dạng 3

Trang 1 Dạng 3 Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit 1 Định lý Nếu hàm số  y f x đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên  ;a b thì *      ; ; u v a[.]

Dạng Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải toán logarit Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  * u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v * Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nghiệm khoảng  a; b  Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  , đồng thời lim f  x  lim f ( x)  phương trình f  x   k  k  const  có nghiệm  a; b  xa x b Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: 1.2 Hệ quả: Cho số dương a  số dương b, c Cho số dương a  số dương b, c  Khi a  log a b  log a c  b  c  Khi a  log a b   b   Khi  a  log a b  loga c  b  c  Khi  a  log a b   b   log a b  log a c  b  c Logarit tích: Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có Cho số dương a, b1, b2 với a  , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 b1  log a b1  log a b2 b2 log a Đặc biệt: với a, b  0, a  log a   log a b b Logarit lũy thừa: Công thức đổi số: Cho a, b  0, a  , với  , ta có Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log a b   log a b Đặc biệt: log a n b  log a b ( n nguyên dương) n log a b  Đặc biệt: log a c  log c b log c a 1 log a b  log a b với log c a    Câu (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  a x 1  b y  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  3x  y thuộc tập hợp đây? A  7;9 B 11;13 C 1;2 D 5;7  Lời giải Chọn A Trang x 1   x   y.log a b log a b  y x 1 y 1   a x 1  b y  ab      x y 3y 1 3y 1  y  1  log b a  log b   a 3y 1 Vì a  1, b  nên log a b  Suy y  P  x  y  y 1 12 y  y   4y  3y 1 y 1 Xét hàm số f  y   f /  y  12 y  y  ; y 3y 1 36 y  24 y   y  1 0 y 2 Bảng biến thiên:  2  Từ bảng biến thiên, suy Pmin  f     7, 64   Câu (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Số giá trị m nguyên, m  20;20 , cho x0,3;1 log 0,3 x m  16 log 0,3 x  m  16 A B C 20 Lời giải D 40 Chọn B  Đặt t  log 0,3 x  Đặt f  x   m log 0,3 x  16 log 0,3 x  m  Khi đó: Xét f  t   Từ f   t   f  0  mt  16 đoạn  0;1 tm m  16 t  m  x  0 , 16 m  16 , f 1  (Điều kiện m  0, 1 ) m m 1 Trang  Trường hợp 1: m  20;  4  f   t   m2  16 t  m  0, t   0;1 Nên hàm số đồng biến khoảng  0;1 Suy ra, f    f  t   f 1  nên f    f  t   f 1  , t   0;1 Nên max f  t   f 1  t0;1 Mà m  16 m  16   f  t   f 1   m  1 t 0;1 m 1 m 1 m   l  m  16  16    m  32  l  m 1  17  Trường hợp 2: m  4;0  f   t   m  16 t  m  0, t   0;1 Nên hàm số nghịch biến đoạn  0;1 Suy ra,  f    f  t   f 1 nên f 1  f  t   f    , t   0;1 Nên max f  x   f    f  x   f    x 0;1 Mà x 0;1 16  m  0 m  m  1 l  16  16   m  m  1 l   Trường hợp 3: m   0; 4  f   t   m2  16 t  m  0, t   0;1 Nên hàm số nghịch biến khoảng  0;1 Suy ra, f    f  t   f 1  nên f 1  f  t   f    , t   0;1 Nên f  t   f 1  f  t   f 1  x 0;1 Mà x0;1 m  16  m  1 m 1 m   n  m  16    16  m  32  l  m 1  17  Trường hợp 4: m  4; 20  f   t   m  16 t  m  0, t   0;1 Nên hàm số đồng biến khoảng  0;1 Suy ra,  f    f  t   f 1 nên  f    f  t   f 1 , t   0;1 Trang Nên f  t   f    f  t   f    x 0;1 x 0;1 Mà 16  m  0 m  m  1 l  16  16   m  m  1 l  Vậy tổng hợp trường hợp: m  thỏa ycbt Chọn B Câu (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Gọi S cặp số thực x  x, y  cho y ln  x  y   2020 x  ln  x  y   2020 y  e 2021 x   1;1 Biết giá trị lớn biểu thức P  e 2021 x  y  1  2021x với  x , y   S đạt  x0 ; y0  Mệnh đề sau đúng? 1  A x0   ;1 2  1  B x0   ;  4 2  1 D x0  0;   4 C x0   1;0  Lời giải Chọn A Điều kiện x  y  x y Ta có: ln  x  y   2020 x  ln  x  y   2020 y  e 2021   x  y  ln  x  y   2020  x  y   e2021  ln  x  y   2020  Xét hàm f  t   ln t  2020  e2021  * x y e2021 e2021  0, t  , có f   t    t t t Do f  t  đồng biến khoảng  0;    Suy *  f  x  y    f  e 2021   x  y  e 2021  y  x  e 2021 Khi P  e 2021 x 1  x  e 2021   2021x  g  x  g   x   e 2021x  2022  2021x  2021e 2021   4042 x g   x   e 2021x  2021.2022  20212 x  20212 e 2021   4042  e2021x  2021.2022  20212 x  20212 e 2021   4042  0, x   1;1 Nên g   x  nghịch biến đoạn  1;1 Mà g   1  e 2021  2021  0, g     2022  2021e 2021  nên tồn x0   1;  cho g  x0   Max g  x   g  x0  Vậy P lớn x0   1;   1;1 Câu (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2 x x.log  y  x  Giá trị lớn biểu thức P  x  y y 1 A 12 B 12 C 12 D 1 12 Trang Lời giải Chọn E Đặt t  log x x  y 1  t y 1 2 x.log x x  y  x  trở thành: x.t  t  x  2t.2t  4.2t   2t  t     t  1 y 1 2  log x x  1    y  2x 1 y 1 y 1 2  P  x   x  1  3 x  x   P '  x   6 x    x  2  P   3 Bảng biến thiên P  x   0;   : x  P 1 Vậy Pmax  Câu  x  (Khơng có phương án đưa ra) 3 (Chuyên AMSTERDAM - Hà Nội - 2021) Cho x, y  số thực dương thỏa mãn log 2021 x  log 2021 y  log 2021  x  y  Gọi Tmin giá trị nhỏ biểu thức T  3x  y Mệnh đề đúng? A Tmin  13;15  B Tmin  10;12  C Tmin   8;10  Lời giải D Tmin  15;17  Chọn C  Ta có log 2021 x  log 2021 y  log 2021  x  y   log 2021 xy  log 2021  x  y   xy  x  y  y  x  1  x (1) Do x, y  nên từ (1) suy x  Khi từ (1) ta có y   Ta có T  x  y  x  x2 x 1 x2 x  3x  x 1 x 1 x  3x với x  1;   x 1 x  8x  Có g   x    x  1 Xét hàm g  x   Trang  1;    1;    x  g  x    x    Bảng biến thiên hàm g  x   x g x  g x  x  3x sau: x 1    3 Vậy Tmin  x  , y  1;  2 (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S tập hợp cặp số thực  x ; y  thỏa mãn đẳng đẳng thức sau x  y 1 22 x y 1  22 x  y 1  32 x  y 1  32 x y 1   52 x  y 1 Từ bảng biến thiên suy g  x    x  Câu Biết giá trị nhỏ biểu thức P  y  2021x  với  x ; y S đạt  x0 ; y0  Khẳng định sau đúng? A x0  0;100 B x0  200;  100  C x0  100;0  D x0  300;  200  Lời giải Chọn D Đặt t  x  y , ta được: 2t 1  21 t  3t 1  31 t   5t 1  51 t   Xét hàm f  t   2t 1  21 t  3t 1  31 t   5t 1  51 t  với t   f '  t    2t 1  21t  ln   3t 1  31t  ln   5t 1  51t  ln f ''  t    2t 1  21 t  ln 2   3t 1  31 t  ln   5t 1  51 t  ln Xét hàm h  u   u t 1  u1t ( với t : số; u >1) h '  u    t  1 u  1  t  u  t  u  u   u  u  t t t t t t t  u 2t  1 u t  ut  u t Ta thấy nếu: t  u t   t  u t   Và u t  u  t  0; Nên h '  u   t  u 2t  1 u t  u t  u t  0;  u  Suy ra: h  u  đồng biến 1;    Trang h    h   ; h  3  h   f ''  t   h   ln 2  h  3 ln  h   ln  h   ln 2  ln  ln 5  Từ f '  t  nghịch biến  Mà f '    nên ta có bảng biến thiên: f  0   2x  y   y  2x Theo đề ta có: P  y  2021x   x  2021x  đạt GTNN x   2021 Vậy x   300; 200  Câu (Sở Quảng Bình - 2021) Cho số thực dương x , y thỏa mãn e x  y  e  x  y  Giá trị nhỏ biểu thức P  A  2016 1   2020 x  y x y B 2012 C  2020 D  Lời giải Xét hàm số f  t   et  et với t  Ta có f   t   et  e , f   t    t  BBT Từ BBT ta có f  t   t  f  t    t  Từ giả thiết ta có f  x  y   Vậy f  x  y    x  y  Ta có P  1 1 1   2020    2020    2020 x y xy  xy xy  x  y   x  y   3xy  xy  x y Đặt u  xy  u       Trang Xét hàm số g  u   Có g   u   1  với  u   3u u 1  3u   3 , g u    u  u BBT Vậy g  u    nên P   2016  1 u 0;   4 Câu  x y  ln     (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 5ln x  y   2ln Tìm giá trị lớn biểu thức P  ( x  1) ln x  ( y  1) ln y A Pmax  10 B Pmax  C Pmax  D Pmax  ln Lời giải  x y  ln     5ln( x  y )  2ln  2ln( x  y ) ln 2.5ln( x  y )  2ln  2ln( x  y ).5ln( x  y )  2ln 5.2ln  10ln( x  y )  2ln10  ln( x  y )  log  2ln10   ln( x  y)  ln10.log  eln( x  y )  eln10.log  x  y  10log  x  y  Do P   x  1 ln x    x  ln   x  Xét hàm số f ( x)  ( x  1) ln x  (3  x) ln(2  x) f ( x )  ln x  f   x    x 1 3 x x  2x  ln(2  x )   ln  x 2x  x x (2  x ) 2  x  x x2  x    0, x   0;2  2 x x  x   Do f   x   có nhiều nghiệm  0;2  Mà x  nghiệm pt f   x   nên phương trình f   x   có nghiệm x 1 Lập bảng biến thiên ta max f  x   f 1  Câu (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số thực a , b thỏa mãn a  b  Biết biểu thức P a  loga đạt giá trị lớn b  a k Khẳng định sau sai logab a b A k   2;3 B k   0;1 C k   0;1  3 D k   0;   2 Lời giải Trang Ta có a  b   log a b  P a  log a  loga ab  loga a  loga b   log a b   loga b log ab a b Đặt t   log a b  t    log a b   t Ta có: P  t  t   0;   Bảng biến thiên t   P Hàm số đạt giá trị lớn t  Với t  1 3    log a b  log a b   b  a  k  2 4 Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b số dương thỏa mãn b  a  b  a Tìm giá trị a nhỏ biểu thức P  log a a  2log b   b b A B C D Lời giải Chọn D Ta có: P  1   logb a  1    log b a  1 1  log a b 1 log b a Đặt t  log b a Vì P 1 1 t a  b  a  logb   t  1  Xét hàm số f (t )   a    log a  2t   t   t  b t   t  1 với t  1;2  t 1 t   t  1 với t  1;2  t 1  t   tm   f (t )   4, f ( t )   t        t  1 t   l   1 Bảng biến thiên Trang t -∞ 3 2 f '(t) - +∞ + +∞ f (t) 3 Từ bảng biến thiên suy ra: minf  t   f    1;2   2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Câu 11 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  2 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x  y A Pmin  C Pmin  B Pmin  25 D Pmin  17 Lời giải Ta có: log x  log y  log  x  y   log  xy   log  x  y   xy  x  y 2 2 2 y2  x    x  y  1  y   y  ( Vì x; y  ) y 1  Ta có: P  x  y  y2  3y  y 1 y 1 y 1 Xét hàm số: f  y   y   Đạo hàm: f /  y     y  f /  y    y   ; y  y 1  y  1  n l  Bảng biến thiên Trang 10 ... Chọn A Do ln y  ln  x3    ln  x3   y  y  x3  x   y  x H e yx   y  x Đặt t  y  x  t  g x   y  x  2 x3  x3  3x  x  g  x  với x  2 3 3x  , g   x   ... nguyên, m  20;20 , cho x0 ,3; 1 log 0 ,3 x m  16 log 0 ,3 x  m  16 A B C 20 Lời giải D 40 Chọn B  Đặt t  log 0 ,3 x  Đặt f  x   m log 0 ,3 x  16 log 0 ,3 x  m  Khi đó: Xét f  t...  100;0  D x0  ? ?30 0;  200  Lời giải Chọn D Đặt t  x  y , ta được: 2t 1  21 t  3t 1  31  t   5t 1  51 t   Xét hàm f  t   2t 1  21 t  3t 1  31  t   5t 1  51