Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng 1 Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức Định nghĩa logarit Cho hai số thực dương ,a b với 1, log α aa α b a b Cá[.]
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Tính tốn liên quan đến logarit dùng đẳng thức Định nghĩa logarit: Cho hai số thực dương a , b với a 1, α log a b a α b : Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a , b, c với a, b, c log a b log c b log a b ; log a b log a c log a bc; log a b log a c ; log a a log a c log a b.log b c log a c 0 a 1; b 0 Phương trình mũ a x b x log a b Cách giải phương trình mũ có dạng α1a x α2 ab α3b2 x αi i 1, 2,3 hệ số, x số a , b 2x x a a B1: Biến đổi phương trình dạng: 2α1 α2 α3 * b b a B2: Đặt ẩn phụ t , t , phương trình * trở thành α1t α2t α3 b x B3: Giải tìm t thỏa mãn t x a B4: Giải phương trình mũ t Tìm x b Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho x , y số thực dương thỏa mãn log x log y log x y Giá trị A Câu B x y 3 C log 2 D log (Chuyên Lào Cai - 2020) số thực a , b , c thỏa mãn (a 2)2 (b 2)2 (c 2)2 a 3b c Khi a b c A Câu B C 2 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho x x Khi biểu thức P a phân số tối giản a, b Tích a.b có giá trị b A 10 B 8 C Câu D x 2 x a với x x b 4.2 4.2 D 10 (Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c số thực khác thỏa mãn 4a 9b 6c Khi c c a b A B C D Trang Câu Biết a log 30 10 , b log 30 150 log 2000 15000 nguyên, tính S x1a y1b z1 với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y ; z số x2 a y2b z2 x1 x2 D S log x y log y x Câu Cho số thực dương x, y khác thỏa mãn log x y log x y x y 2 Giá trị x xy y A S A Câu B S C S B C Cho số thực dương a , b thỏa mãn D log a log b log a log b 100 log a , log b , log a , log b số nguyên dương Tính P ab A 10164 Câu Câu B 10100 C 10 200 D 10144 mb nac Tính A m 2n p 4q pc q A 27 B 25 C 23 D 29 log12 x log12 y Cho x , y số thực lớn thoả mãn x y xy Tính M log12 x y Cho log9 a; log b; log c Biết log 24 175 A M B M C M D M Câu 10 Cho f x a ln x x b sin x với a , b Biết f log log e Tính f log ln10 A B 10 x C D -x a 6+3(3 +3 ) a phân số tối giản Tính P a.b = với x+1 1-x b 2-3 -3 b A P 10 B P 45 C P 10 D P 45 a Câu 12 Cho hai số thực dương a, b thỏa log a log6 b log9 a b Tính b Câu 11 Cho x + 9-x = 14 1 x Câu 13 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x log9 y log x y Tính tỉ số ? y x x x x A B C D y y y y 1 1 A B 1 Câu 14 Cho x , y số thực dương thỏa mãn log 25 C 1 D x x y x a b log15 y log9 , với a , y 2 b số nguyên dương, tính a b A a b 14 B a b C a b 21 D a b 34 * Câu 15 Cho dãy số un thỏa mãn log3 2u5 63 2log un 8n 8 , n Đặt Trang S n u1 u2 un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn un S2n 148 u2 n Sn 75 A 18 B 17 C 16 D 19 Câu 16 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho số thực dương a, b khác thỏa mãn a log a log b 16 ab 64 Giá trị biểu thức log b 25 A B 20 C 25 Câu 17 D 32 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: 5a 7b 35c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 2 b 2 c 2 2 A 18 B log2 35 C log2 D Câu 18 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho x, y hai số nguyên không âm thỏa mãn log x y log3 x y Hỏi tổng x y ? Câu 19 A B C D (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho số thực dương x 1, y thỏa mãn x log x log y 16 tích xy 64 Giá trị biểu thức log y A 20 B 25 C 45 D 25 (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - 2021) Cho số thực a b thỏa mãn a 3log50 a log b log5 7a 6b Giá trị b Câu 20 A 22 Câu 21 B 12 C 24 15 D 36 (Sở Lạng Sơn 2022) Biết đồ thị hàm số y f x đối xứng với đồ thị hàm số y a x a 0, a 1 qua điểm I 1;1 Giá trị biểu thức f log a 2022 A 2022 B 2021 C 2022 D 2020 (Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số f x ln 1 Biết x a f f 3 f 2019 f 2020 với a, b số nguyên dương nguyên tố Giá trị b 2a b A B C 2 D 4 Câu 22 x (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2022) Cho f ( x) 2023.ln e 2023 e Tính giá trị biểu thức H f 1 f f 2022 Câu 23 A 1011 B 2022 C e 2022 D e1011 Trang Dạng Bài tốn tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ mũ – loagrit (sử dụng phương pháp bất đẳng thức – biến đổi) Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) a, b 0, a b ab Dấu " " xảy khi: a b a, b, c 0, a b c 3 abc Dấu " " xảy a b c ab abc Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.b a.b.c Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcơpki) a b a, b, x, y, thì: (a.x b y )2 (a b2 )( x y ) Dấu " " x y a, b, c, x, y, z thì: (a.x b y c.z )2 (a b c )( x y z ) Dấu " " xảy khi: a b c x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x b y ( a b )(x y ) Hệ Nếu a, b, c số thực x, y, z số dương thì: a b (a b) a b c ( a b c) : bất đẳng thức cộng mẫu số x y x y x y z x yz Câu ax by (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét số thực dương a, b, x, y thoả mãn a 1, b ab Giá trị nhỏ biểu thức P x y thuộc tập hợp đây? A 1;2 Câu 5 B 2; 2 C 3; 5 D ;3 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x y.4 x y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A Câu P 33 B 65 Xét số thực x, y thỏa mãn x C y 1 4y gần với số đây? 2x y 1 A 2 B 3 Câu 49 D 57 x y x x Giá trị nhỏ biểu thức C 5 D 4 Cho số thực x , y thỏa mãn bất đẳng thức log x2 9 y x y Giá trị lớn biểu thức P x y A Câu B 10 C 10 D 10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a , b Khi biểu thức P log 3a b log b a 9a 81 đạt giá trị nhỏ tổng a b A Trang B C D Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho số thực a, b, c thỏa mãn b 1; c Gọi M giá trị nhỏ biểu thức 8 b c P log a logb log c a Khẳng định sau đúng? 16 16 16 a 1; A Câu M B M C M D M Cho số thực a, b, m, n cho 2m n thoả mãn điều kiện: log a b log 3a 2b 4 9 m.3 n.32 m n ln 2m n 1 81 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P A Câu A Câu B C Cho số thực a, b, c thỏa mãn a 1; biểu thức P a m b n 2 D b 1; c Gọi M giá trị nhỏ 8 b c log a logb log c a Khẳng định sau đúng? 16 16 16 3 M B M C M D M (Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét số thực dương a , b, c lớn ( với a b ) thỏa mãn log a c logb c 25log ab c Giá trị nhỏ biểu thức logb a log a c log c b A Câu 10 B C 17 D (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a , b a x b 3y a b Biết giá trị nhỏ biểu thức P xy x y có dạng m n 165 (với m, n số tự nhiên), tính S m n A 58 Câu 11 B 54 C 56 D 60 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét số thực x, y thỏa mãn log x 1 log y 1 Khi biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ 3x y a b với a, b Tính T ab ? A T Câu 12 P B T C T D T (Chuyên Sơn La - 2020) Cho a, b, c số thực lớn Giá trị nhỏ biểu thức 4040 1010 8080 log bc a log ac b 3log ab c A 2020 Câu 13 B 16160 C 20200 D 13130 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a, b, c số thực dương khác thỏa mãn c c log b Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ b b P log a b log b c Giá trị biểu thức S 3m M log 2a b log b2 c log a A 16 B C 6 D Trang Câu 14 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện xy Biểu thức y2 4 đạt giá trị nhỏ x x0 , y y0 Đặt T x0 y0 mệnh đề sau A T 131 B T 132 C T 129 D T 130 P log x x log y Câu 15 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn abc 10 Biết giá trị lớn biểu thức F log a.log b log b.log c log c.log a m n A 13 Câu 16 B 16 m m với m , n nguyên dương tối giản Tổng n n C D 10 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho số thực dương a; b; c khác thỏa mãn c c log a Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ b ab P log a ab log b bc Tính giá trị biểu thức S 2m2 9M log 2a b log b2 c log b A S 28 Câu 17 ax by C S 26 D S 27 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét số thực a, b, x, y thỏa mãn a 1, b a Giá trị lớn biểu thức P x y thuộc tập đây? b 1 A 0; 2 Câu 18 B S 25 1 B 1; 2 3 C 1; 2 3 D ; 2 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P y x 3 (1 42 x y 1 ) 22 x y 1 biểu thức Q log y 3 x y Giá trị nhỏ y để tồn x đồng thời thỏa mãn P Q số y0 Khẳng định sau ? A y0 số hữu tỷ B y0 số vô tỷ C y0 số nguyên dương Câu 19 D y0 số tự nhiên chẵn (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số un có số hạng đầu u1 thỏa mãn log 22 5u1 log 22 7u1 log 22 log 22 un 1 7un với n Giá trị nhỏ n để un 1111111 bằng: A 11 Câu 20 B C D 10 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét số thực x, y thỏa mãn log x 1 log y 1 Khi biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ 3x y a b với a, b Tính T ab A T B T C T D T Câu 21 Xét số thực a , b , c thỏa mãn 3a 5b 15 c Giá trị nhỏ biểu thức P a2 b2 c2 4(a b c) thuộc tập hợp đây? A 1; B 5; 1 C 2; D 4;6 Câu 22 Xét số thực dương a , b , c , x , y , z thỏa mãn a , b , c a x b y c z abc Giá trị nhỏ biểu thức P x y z Trang thuộc tập hợp đây? A 10;13 B 7;10 C 3;5 D 5;7 2 Câu 23 Xét số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a 1, b a x b y a.b Giá trị nhỏ biểu thức P x y A P B P C P Câu 24 Xét số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a 1, b a x2 y D P b y2 x ab Giá trị nhỏ biểu thức P x y A P C P B P D P Câu 25 Xét số thực dương a , b, c , x, y , z thỏa mãn a 1, b 1, c 1, y a x 1 b y c z 1 abc Giá trị nhỏ biểu thức P x y z A P 13 Câu 26 B P D P C P (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Cho số thực x, y thỏa mãn log x2 y2 x y 3 Giá trị lớn biểu thức P 3x y có dạng M m với M , m Tính M m ? A 2 B 11 C D Câu 27 (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho hai số thực x , y thỏa mãn x y Giá trị nhỏ 2x 24 A 2.3 y A Amin Câu 28 81 C Amin D Amin 51 (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - 2021) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x log 2 y Giá trị nhỏ biểu thức P 10 x x y A 3 Câu 29 B Amin B 1 C D 7 (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn 2a 4b 8c Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức S a 2b 3c Giá trị biểu thức M log M m A Câu 30 2809 500 B 4096 729 C 281 50 D 14 25 (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S tập hợp cặp số thực x, y thỏa mãn đẳng thức sau 22 x y 1 22 x y 1 32 x y 1 32 x y 1 52 x y 1 52 x y 1 Biết giá trị nhỏ biểu P y 2021x với x, y S đạt x0 , y0 Khẳng định sau đúng? A x 0 300; 200 B x 0 200; 100 C x 0 100;0 D x 0 0;100 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hai số thực a ; b thỏa mãn b a b 3b biểu thức P log a bằng: 12 log 2b a có giá trị nhỏ Tỷ số a 4a a Câu 31 Trang A Câu 32 B C 3 2 D (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Trong nghiệm x; y thỏa mãn bất phương trình log x y x y Giá trị lớn biểu thức T x y bằng: A Câu 33 B C A 0;1 1 log a b thuộc tập hợp đây? 4 b 11 B 4; 2 5 C ;4 2 5 D 1; 2 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Cho số thực a, b, c số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn a x b y c z abc Tìm giá trị lớn biểu thức P B 24 A 24 Câu 35 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b Giá trị nhỏ biểu thức P log a b Câu 34 D 16 16 z x y D 20 C 20 3 (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho số thực x, y thỏa mãn bất đẳng thức log x2 9 y2 x y Giá trị lớn biểu thức P x y gần với số số sau? A Câu 36 B C D (Sở Hưng Yên - 2021) Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x2 y 1 x y Tính P x y biểu thức S x y đạt giá trị lớn A P 52 25 B P 13 25 C P 13 25 Câu 37 Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a b2 1 2a 8b Tính P đạt giá trị lớn A Câu 38 B 13 C 52 25 a biểu thức S 4a 6b b D 17 44 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Biết phương trình x ax bx cx có nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức T a2 b2 c2 A Tmin B Tmin Câu 39 13 D P C Tmin D Tmin (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét số thực x, y thỏa mãn log x 1 log y 1 Khi biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ 3x y a b với a, b Tính T ab ? A T Trang B T C T D T Câu 40 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x y xy hàm số f t 2t 3t Gọi M m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ 5x y Q f Tổng M m x y4 A 4 Câu 41 B 4 C 4 2 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho x, y số dương thỏa mãn log x y log x log y Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức P A Câu 42 D 4 31 B C x2 y2 là: 1 2y 1 x 29 D 32 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Xét x, y, z số thực lớn thỏa mãn điều kiện xyz Giá trị nhỏ biểu thức S log 32 x log32 y log 32 z 1 A B 32 Câu 43 C 16 D (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a b , biết giá trị nhỏ biểu thức P 2.log a b 4b log 2b a m 3 n với m, n số a nguyên dương Tính S m n A S Câu 44 C S 54 D S 15 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Xét số thực dương a b thỏa mãn log3 1 ab 1 a 1 b2 log3 b a Giá trị nhỏ biểu thức P a a b A Câu 45 B S 18 B C (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn D log a log Giá trị nhỏ b biểu thức P 4a b log 4a b viết dạng x y log z , với x, y , z số nguyên, z số lẻ Tổng x y z A 11 B Câu 46 D (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực a, b lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức S log a a 4b A Câu 47 C log ab b B 11 C D (Mã 103 2018) Cho a 0, b thỏa mãn log a 5b 1 16a b 1 log8ab1 4a 5b 1 Giá trị a 2b A B 27 C 20 D Trang Câu 48 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho a 0, b thỏa mãn log a 5b 1 16a b 1 log8ab 1 4a 5b 1 Giá trị a 2b A Câu 49 27 B C 20 D (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho a 0, b thỏa mãn log10 a 3b 1 25a b 1 log10 ab 1 10a 3b 1 Giá trị biểu thức a 2b bằng? A Câu 50 B 11 C D 22 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho a 0, b thỏa mãn log4 a5b1 (16a2 b2 1) log8 ab1 (4a 5b 1) Giá trị a b A Câu 51 B C 27 D 20 3 (Mã 104-2022) Xét tất số thực x , y cho 89 y a x log2 a với số thực dương a Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A 21 B 6 C 25 D 39 Câu 52 (Mã 103 - 2022) Xét tất số thực x , y cho 275 y a x log3 a với số thực dương a Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A 15 Câu 53 B 25 C 5 D 20 2 (Mã 102 - 2022) Xét số thực x, y cho 499 y a x log7 a với số thực dương a Giá trị lớn biểu thức P x y x y bằng: A Câu 54 121 B 39 C 24 D 39 2 (Mã 101-2022) Xét tất số thực x , y cho a x log5 a 2540 y với số thực dương a Giá trị lớn biểu thức P x y x y A Câu 55 125 B 80 C 60 D 20 (Chuyên Vinh 2022) Gọi m giá trị nhỏ hàm số f ( x) x (a 2)2 x đoạn [ 1;1] Tất giá trị a để m A a B a C a D a Câu 56 (THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x2 y y (9 x 10 y 20) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ S M m Trang 10 y Tính x B M m A M m C M m D M m Câu 57 (Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho số thực a, b thỏa mãn a , b Khi biểu thức P log a b log b a 4a 16 đạt giá trị nhỏ tổng a b A B 18 C 14 D 20 Câu 58 (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho x, y, z 0;2 thỏa mãn x y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P 32 xx 52 y y 3z x2 y A max P 25 B max P 27 C max P 26 D max P 30 2 x y 1 Câu 59 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên - 2022) Cho số thực x, y thỏa mãn x 1 x y2 2x 2 x y Giả trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y M m Tính M m A Câu 60 B 10 C 12 D (Sở Ninh Bình 2022) Cho số thực a , b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3log a b 16b 16 16 log 3b a 27 a A B 18 C D 17 Câu 61 (Sở Vĩnh Phúc 2022) Xét số thực x, y thỏa mãn x y log x y x y Giá trị lớn biểu thức P x y A 10 Câu 62 B (Chuyên Lam Sơn 2022) Cho a , b số thực thay đổi thỏa mãn log a b 20 (6 a 8b 4) c, d số thực dương thay đổi thỏa mãn biểu thức D 10 C c c log c 2d d Giá trị nhỏ d ( a c 1) (b d ) A B 29 12 5 D C Trang 11 Câu 63 (Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình 2022) Cho số thực a, b thỏa mãn b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4(3b 1) P log a 8log 2b a a A B C D Câu 64 (Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho số thực a , b, c, d thỏa mãn điều kiện: log a b log (2 2a b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( a c ) (b d ) 4c 5 d 10 c d e 12 3c 4d e 5 B C 12 D A Câu 65 (THPT Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình - 2022) Cho ba số thực x, y, z không âm thoả mãn x y z Gọi M , N giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức S T 2M N Khẳng định đúng? A T 1; B T 2;3 Câu 66 D 21 C 25 (Sở KonTum 2022) Xét số thực x y thỏa mãn x y 1 M , m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P A Câu 68 B C 2 x y x x Gọi 4y Tính M m 2x y D 2 (Sở Nghệ An 2022) Cho số thực a, b, c thỏa mãn log ab c log 2b c log a c biết phương trình c x 1 a x có nghiệm Giá trị lớn biểu thức P log a 2bc m , n, p số nguyên dương A 48 B 60 C 56 D 64 Trang 12 D T 4;5 (Sở Hà Nam 2022) Với số thực không âm a, b thỏa mãn 16b 3a.23a 4b , giá trị nhỏ biểu thức P 3a 3b 12a 18b A 15 B 18 Câu 67 C T 3; x y z Đặt m phân số tối giản Giá trị m n p p m n p Câu 69 (THPT Thanh Miện - Hải Dương 2022) Cho số thực a, b, m, n thoả mãn 2m n log a b log 3a 2b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 9 m.3 n.3 m n ln 2m n 1 81 A B C 52 a m b n D Dạng Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải toán logarit Định lý: Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục a; b * u; v a; b : f u f v u v * Phương trình f x k k const có nhiều nghiệm khoảng a; b Định lý: Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục a; b , đồng thời lim f x lim f ( x) phương trình f x k k const có nghiệm a; b xa x b Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: Cho số dương a số dương b, c 1.2 Hệ quả: Cho số dương a số dương b, c Khi a log a b loga c b c Khi a log a b b Khi a log a b loga c b c Khi a log a b b log a b loga c b c Logarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a , ta có log a (b1.b2 ) log a b1 log a b2 Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a , ta có log a b1 log a b1 log a b2 b2 Đặc biệt: với a, b 0, a log a Logarit lũy thừa: Cho a, b 0, a , với , ta có Cơng thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a 1, c , ta có log a b log a b Đặc biệt: log a n b log a b log a b ( n nguyên dương) n log a b b Đặc biệt: log a c log c b log c a 1 log a b log a b với log c a Câu a x 1 (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a 1, b b y ab Giá trị nhỏ biểu thức P 3x y thuộc tập hợp đây? A 7;9 B 11;13 C 1;2 D 5;7 Trang 13 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Số giá trị m nguyên, m 20;20 , cho Câu log 0,3 x m 16 x 0,3;1 log 0,3 x m 16 A C 20 B D 40 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Gọi S cặp số thực x, y cho Câu x y ln x y 2020 x ln x y 2020 y e 2021 x 1;1 Biết giá trị lớn biểu thức P e 2021 x y 1 2021x với x, y S đạt x0 ; y0 Mệnh đề sau đúng? 1 A x0 ;1 2 Câu x.log C x0 1;0 1 D x0 0; 4 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x y x Giá trị lớn biểu thức y 1 A B 12 Câu 1 B x0 ; 4 2 P x2 y2 12 C 12 D 1 12 (Chuyên AMSTERDAM - Hà Nội - 2021) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log 2021 x log 2021 y log 2021 x y Gọi Tmin giá trị nhỏ biểu thức T 3x y Mệnh đề đúng? A Tmin 13;15 Câu B Tmin 10;12 C Tmin 8;10 D Tmin 15;17 (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S tập hợp cặp số thực x ; y thỏa mãn đẳng đẳng thức sau x y 1 22 x y 1 22 x y 1 32 x y 1 32 x y 1 52 x y 1 Biết giá trị nhỏ biểu thức P y 2021x với x ; y S đạt x0 ; y0 Khẳng định sau đúng? A x0 0;100 B x0 200; 100 C x0 100;0 Câu (Sở Quảng Bình - 2021) Cho số thực dương x, y thỏa mãn e x y e x y Giá trị nhỏ biểu thức P 1 2020 x y x y A 2016 Câu D x0 300; 200 B 2012 C 2020 D (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y ln ln x y 2ln Tìm giá trị lớn biểu thức P ( x 1) ln x ( y 1) ln y A Pmax 10 Câu P B Pmax C Pmax D Pmax ln (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số thực a, b thỏa mãn a b Biết biểu thức a loga đạt giá trị lớn b a k Khẳng định sau sai logab a b A k 2;3 Trang 14 B k 0;1 C k 0;1 3 D k 0; 2 Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b số dương thỏa mãn b a nhỏ biểu thức P log a a 2log b b b A B Câu 11 a b a Tìm giá trị D C (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log x log y log x y Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P x y 2 A Pmin Câu 12 C Pmin B Pmin 25 D Pmin 17 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log 2019 x log 2019 y log 2019 x y Gọi Tmin giá trị nhỏ biểu thức T x y Mệnh đề đúng? A Tmin 7;8 Câu 13 B Tmin 6;7 C Tmin 5; D Tmin 8;9 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Xét số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a 1, b 2 a x b y ab Giá trị nhỏ biểu thức P 2 x y thuộc tập hợp đây? A 10;15 Câu 14 B 6;10 C 1; D 4;6 (Chuyên Lào Cai - 2020) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log x log y log x y Biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ bằng: A Pmin 16 Câu 15 B Pmin 33 C Pmin 11 D Pmin 31 (Sở Bình Phước - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log x log y log x y Giá trị nhỏ biểu thức x y A 2 Câu 16 B C D (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Xét số thực dương x y thỏa mãn log x log y log x y Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P x y 2 A Pmin Câu 17 17 B Pmin D Pmin 25 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn ln y ln( x 2) ln Tìm giá trị nhỏ biểu thức H e y x A Câu 18 C Pmin x2 B x2 y2 x ( y 1) y C e D e (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho số thực x, y thay đổi, thỏa mãn x y ln x y ln xy ln x y Giá trị nhỏ M x y A 2 B C D 16 Trang 15 Câu 19 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Xét số thực a, b, x thoả mãn a 1, b 1, x a logb x b loga ( x ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ln a ln b ln(ab) A Câu 20 log 1 3 B e C D 3 2 12 (Trung Tâm Thanh Tường -2021) Cho hai số thực x, y 0;3 thỏa mãn x y ( x 1)( y 1) Giá trị nhỏ biểu thức P x y xy A 10 Câu 21 y 1 17 125 x 1 y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y A Pmin 125 B Pmin 57 C Pmin 43 D Pmin 25 (Chuyên Bắc Giang - 2021) Xét số thực dương x, y thoả mãn x y 1 log 1 1 x 3x Khi x y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y A Câu 23 D (Chuyên ĐHSP - 2021) Cho hai số thực dương x, y thoả mãn log5 x y 1 Câu 22 C B B C (Sở Cao Bằng - 2021) Xét số thực dương x, y thoả mãn log D xy xy x y Giá x 2y trị nhỏ Pmin biểu thức P x y là: A Pmin Câu 24 11 B Pmin 18 11 29 11 19 C Pmin 9 D Pmin (Sở Cần Thơ - 2021) Cho x, y số thực dương thoả mãn x y xy 3 11 19 xy Giá trị nhỏ x y biểu thức x y A Câu 25 C D (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hai số thực dương x, y thoả mãn log x y 1 y 1 A 5 Câu 26 B x y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y bằng: B 11 C 4 D 27 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x y.4 x y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A Câu 27 65 B 33 C 49 D 57 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x y.4 x y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A Trang 16 33 B C 21 D 41 Câu 28 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x y.4 x y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y x y A Câu 29 33 A 21 D y 1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét số thực x , y thỏa mãn x 41 x y x x Giá trị lớn D y 1 x y x x Giá trị nhỏ 8x gần với số 2x y A C B D (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét số thực x y thỏa mãn x lớn biểu thức P y 1 x y x x Giá trị 4y gần với số đây? 2x y B A Câu 32 C 8x gần với giá trị sau nhất? 2x y 1 B C biểu thức P Câu 31 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét số thực thỏa mãn x biểu thức P Câu 30 B C D (Mã 123 2017) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log xy xy x y Tìm giá trị x 2y nhỏ Pmin P x y Câu 33 A Pmin 11 3 B Pmin 11 19 C Pmin 18 11 29 21 D Pmin 11 19 (Mã 110 2017) Xét số thực dương a, b thỏa mãn log ab 2ab a b Tìm giá trị ab nhỏ Pmin P a 2b A Pmin Câu 34 log3 10 B Pmin 10 C Pmin 10 D Pmin 10 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho số thực x, y thỏa mãn x, y x y x 1 y 1 Tìm giá trị nhỏ P x y xy A B C D Câu 35 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn 4a 2b 2 log5 a 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức T a b ab A B C D Trang 17 Câu 36 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực a, b bất kì, ta kí hiệu f a ,b x x a x b x x Biết tồn số thực x0 để f a ,b x f a ,b x0 với số thực a, b thỏa mãn ab ba a b Số x0 xR B 2,5 A 2e Câu 37 C e D 2e (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x , y số thực lớn cho y x e x ey ex x y ey Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P log x xy log y x 2 A B 2 C Câu 38 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 1 2 D 1 2 1 y 3xy x y Tìm giá trị nhỏ Pmin x 3xy P x y A Pmin Câu 39 34 B Pmin 34 C Pmin 34 D Pmin 34 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f ( x) 2x 2 x Gọi m0 số lớn số nguyên m thỏa mãn f (m) f (2m 212 ) Mệnh đề sau đúng? A m0 1513; 2019 Câu 40 B m0 1009;1513 C m0 505;1009 D m0 1;505 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho x; y hai số thực dương thỏa mãn x y y x x2 y2 x y P Giá trị nhỏ biểu thức xy y 2x 2y A Câu 41 13 B C D (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 x 2 x y log xy Khi x y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y 1 A B C D Câu 42 log (Chuyên KHTN - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 3x y 5x y x y 1 x y 1 xy 1 Giá trị lớn biểu thức P 2 x y 2x y 1 A B C D Câu 43 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho số thực x , y thỏa mãn x , y x y log3 x y Tìm giá trị nhỏ P với P 2x y xy A Trang 18 B C D Câu 44 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P A Câu 45 B x 4y x y x y x y xy y x( x y )2 C D (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x x x y log y x Giá trị nhỏ biểu thức T x3 y A 16 Câu 46 log B 18 C 12 D 20 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Xét số thực dương a , b thoả mãn ab 2ab a b Tìm giá trị nhỏ Pmin P a b ab A Pmin 1 B Pmin C Pmin 1 D Pmin 2 x (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn log log y x y xy 2 x Hỏi giá trị nhỏ P x y xy bao nhiêu? Câu 47 A 30 20 Câu 48 B 33 22 C 24 16 D 36 24 (Sở Yên Bái - 2020) Cho số thực x, y thuộc đoạn 0;1 thỏa mãn 20201 x y x 2021 y y 2022 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x3 y x xy Tính M m A Câu 49 B 5 C D 3 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với số thực dương x, y , z thay đổi cho x y 2z log x x y y z z 8 , gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2 x y z T x y z x y 11z thứ tự M m Khi M m bằng: x y 86 A B C 2 Câu 50 D (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 22 xy x y xy x y Khi P xy xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức x y A Câu 51 B C D (Chuyên KHTN - 2021) Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2a b 2ab3 ab Giá trị nhỏ ab biểu thức a b là: A 1 B C 1 D Trang 19 Câu 52 (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hai số thực x, y thỏa mãn e2 x e y ln x y 2, ( x 0) Giá trị lớn biểu thức P A e Câu 53 B e y bằng: x C e D e (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Xét tất số thực dương x, y thỏa mãn x y log xy Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy 10 x y 2x y A Câu 54 200 64 C 100 D 32 (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log3 x 1 y 1 A Pmin Câu 55 B y 1 x 1 y 1 Giá trị nhỏ biểu thức P x y 11 B Pmin 25 C Pmin 5 D Pmin 3 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Xét số thực x , y thỏa mãn 5 x y 25xy x y xy 53 xy 1 Gọi m , M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P x y x y Khi 3m 2M A 3m 2M Câu 56 C 3m M 10 D 3m 2M 1 (Sở Hà Tĩnh 2022) Xét số thục̣ dương x, y , z thoả män ( y z ) 3x 81 y z xy xz Giá trị nhỏ biểu thức P log A B C D Câu 57 B 3m M x log 2 y z log log log 11 log (Sở Phú Thọ 2022) Xét số thực dương x , y thỏa mãn y 2 2 2 x y log 2022 xy Khi biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị x x y 1 A B C D Câu 58 (Sở Thái Nguyên 2022) Cho x, y 0; x y thỏa mãn x2 y2 x2 y2 2022 log 1 x y Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x y 2 P x y 14 x y 2022 A 4124 Trang 20 B 4042 C 4044 D 4122 ... thức f log a 20 22 A ? ?20 22 B 20 21 C 20 22 D ? ?20 20 (Sở Vĩnh Phúc 20 22) Cho hàm số f x ln 1 Biết x a f f 3 f 20 19 f 20 20 với a, b số... trị b 2a b A B C ? ?2 D 4 Câu 22 x (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 20 22) Cho f ( x) 20 23.ln e 20 23 e Tính giá trị biểu thức H f 1 f f 20 22 Câu 23 A 101 1... D ? ?20 2 (Mã 1 02 - 20 22) Xét số thực x, y cho 499 y a x log7 a với số thực dương a Giá trị lớn biểu thức P x y x y bằng: A Câu 54 121 B 39 C 24 D 39 2 (Mã 101 -20 22) Xét tất số