BÀI 6 một số bài TOÁN KHÓ đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 PCấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn ToánHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN KHÓ DẠNG 1 TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Bài tập tự luận Câu 1 Tính tổng 2 1001 2 2 2S      Lời giải Ta có      2 100 100 2 101 1 2 2 2 2 1 2 1 2.

https://www.nbv.edu.vn/ Bài MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ • Chương CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN CÁC DẠNG TỐN KHĨ DẠNG TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Bài tập tự luận Câu Tính tổng: S    22   2100 Lời giải Ta có S    22   2100    1 S    1  2100   22   1  S  2101  Câu Tính tổng S  10  102   1020 Lời giải Ta có S  10  102   1020  S    10  102   1020   S  110  1  10  1 1020   102  10  1   S  1  1021   S  Câu 1021  10 1 1 Tính tổng M      10 5 5 Lời giải Ta có 10 1 1 1 1 1      M              10 5 5 5 5 5 10       1 1    M  1   1    1            1            11 10 5.510  510  1     1    M  1      M    M        4.510 4.510     5 M Câu Tính tổng S  1.2  3.4  5.6   11.12 Lời giải Ta có n ak   2k  1 2k , k  * S n   ak  1.2  3.4  5.6    2n  1 2n k 1 n n n  S n    2k  1 2k  4 k  2 k k 1 k 1 k 1 4n  n  1 2n  1 n  n  1 4n  1  n  n  1  6   1 4.6  1 Vậy S  1.2  3.4  5.6   11.12   322  Sn  Trang https://www.nbv.edu.vn/ Câu Tính tổng S  2.3  4.5  6.7   20.21 Lời giải Ta có n ak  2k  2k  1 , k  * S n   ak  2.3  4.5  6.7   2n  2n  1 k 1 n n n  S n   2k  2k  1  4 k  2 k k 1 k 1 k 1 4n  n  1 2n  1 n  n  1 4n    n  n  1  10 10  1 40   Vậy S  2.3  4.5  6.7   20.21   1650  Sn  Câu Tìm x biết:  x  3   x     x  11    x  79   1720 Lời giải Ta có 3440   x   x  79    x   x  75     x  79  x  3 ( có 20 ngoặc đơn ) Do 3440  20  x   x  79   3440  20  x  82   x  Câu 45    2018    1009 Lời giải Đặt P      2018, Q      1009 Tính giá trị biểu thức: A  Ta có P  1  2018     2017     2018  1  2018.2019  P  2037171 2Q  1  1009     1007    1009  1  505.1010  Q  255025 Vậy A  Câu 2037171 255025 Cho tổng: Sn     n  với n  * Tính S102  S152 Lời giải Ta có S10      37  190   S10   36100 S15      57  435   S15   189225 Vậy S102  S152  225325 Câu Tìm x biết:  x  x  3   x  x     x  x  11    x  x  79   740 Lời giải Ta có 1480   x  x   x  x  79     x  x  79  x  x  3  20  x  10 x  82  x   74  x  10 x  82  x  x     x  Câu 10 Cho tổng: S n  1 1 Tính S30     1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1 n   Lời giải 2 2 Ta có S n      1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1 n   Trang https://www.nbv.edu.vn/ Trong 1 1 1   ;   ;   ; 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 3.4.5 3.4 4.5 1   n  n  1 n   n  n  1  n  1 n   Khi     1   1  1  2Sn               1.2 2.3   2.3 3.4   3.4 4.5   n  n  1  n  1 n     1 n  3n n  3n    Sn  1.2  n  1 n    n  1 n    n  1 n   Vậy S30  302  3.30 495   30  1 30   992       1430   Câu 11 Tìm x biết:  x  x x     x   1.3   3.5   5.7  51.53  53   Lời giải Ta có       1430   x x x     x   1.3   3.5   5.7  51.53  53   1  1430 52 1430  1 1  26 x              26 x    x 1 51 53  53 53 53  3 5 Câu 12 Cho tổng: Sn   2.2! 3.3!  n.n ! Tính S20 Lời giải Ta có S1   2! 1; S  2!  2.2!  3! 1; S3  3!  3.3!  4! Dự đoán S n   2.2! 3.3!  n.n !   n  1 ! Ta dễ dàng chứng minh dự đoán quy nạp Vậy S 20  21! Câu 13 Cho tổng S n  5 5 Tính S42  S62     1.2 2.3 3.4 n  n  1 Lời giải Ta có Sn  5 5 1   1 1                1.2 2.3 3.4 n  n  1 n n 1   2 3  5n   1    n 1  n 1 30 900 1684 Suy S  4; S6  Vậy S 42  S62  16   49 49      19  1701   Câu 14 Tìm x biết:  x  3x     x  3x     x  3x      x  3x   1.4   4.9   9.16  81.100  100   Lời giải Ta có Trang https://www.nbv.edu.vn/      19  1701    x  3x     x  3x     x  3x      x  3x   1.4   4.9   9.16  81.100  100   1  1701 99 1701  1 1   x  x   1          x  27 x    81 100  100 100 100  4 9 16 x   x  3x     x      35   7 Câu 15 Tìm x biết:  cos x  sin x     cos x  sin x      cos x  sin x   1.4   4.7  19.22  22   Lời giải Ta có     35   7  cos x  sin x     cos x  sin x      cos x  sin x   1.4   4.7  19.22  22   5 1 1  35   cos x  sin x            7 3 4 19 22  22 35 35     cos x  sin x      cos x  sin x   cos  x    22 22 4   x   k 2  x     k 2 , k   1  1   Câu 16 Tìm x biết:  x  1   x     x      x  3     Lời giải Ta có   16.3 x    2.37  1  1  38  16.37 x     1   x     x      x    3    2.37    38  8.37 x  38  38  16.37 x   1 2 x  1        8x    37 2.37 2.37  3 x x   8x2  8x    x  Câu 17 Cho tổng: S    93  99      Tính 8S 9 9 Lời giải Ta có  92  93  99  1 1 1 S      S         9 9  9 9 1 910  71.99  1  1  S  10  1        S  10    8S  71  9 9  8.9 8.9  9 Câu 18 Cho tổng: S n  1.a  2.a1  3.a    n  1 a n với n  * , a  Tìm cơng thức S n Lời giải Ta có Trang https://www.nbv.edu.vn/ S n  1.a  2.a1  3.a    n  1 a n a.S n  a  2a  3a  na n   n  1 a n 1  S n  a  1   1  a  a   a n    n  1 a n 1  S n  a  1    a n 1  a n 1  n  1 a   n  1 a n 1  S n   1 a a 1  a  1 n 1 Câu 19 Tính tổng: S   99  999   999 ( n chữ số 9) Lời giải Ta có S   99  999   999    1   99  1    999  1  n  S  101  102  103   10n  n  S  10  10n 10n1  10  9n n   10 DẠNG 2: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Câu Bài tập tự luận Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, chứng minh rằng: a) a  2bc  c  2ab b) a  8bc   2b  c  c) a  ab  b , a  ac  c , b  bc  c cấp số cộng Lời giải a) Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng: a  c  2b  a  2b  c Ta có: a  2ab  a  a  a  c    ac  c  2b  c   c  2bc Vậy a  2ab  c  2bc  a  2bc  c  2ab b) Ta có a  8bc   2b  c   8bc  4b  4bc  c  8bc  4b  4bc  c   2b  c  c) Ta cần chứng minh: a      ab  b  b2  bc  c  a  ac  c   2b2  ab  bc  a  2ac  c  2b2  b  a  c    a  c   2b  2b   2b  2  4b  4b (đúng) Câu Cho a, b, c số hạng liên tiếp CSC Chứng minh: a) a  bc, b  ac, c  ab số hạng liên tiếp CSC b)  a  b  c    a  b  c   b  a  c   c  a  b   Lời giải Vì a, b, c số hạng liên tiếp CSC Nen theo tính chất CSC có: a  c  2b  a) Ta phải chứng minh: a  bc  c  ab  b2  ac   a  c  b  a  c   2b  2ac  a  2ac  c  2b  2b 2   a  c   4b  4b  4b (đúng) (đpcm) Trang https://www.nbv.edu.vn/ b) Ta có:  a  b  c   b  a  c   c  a  b     a  3b  a   2b3   2b  a   a  b       3a 2b  a  2b3  4b  4ab  a   a  b     3a 2b  a  2b3  4ab2  4b3  4a 2b  4ab  a  a 2b  54b3 (1) 3 Ngoài ra:  a  b  c    3b   54b3 (2) Từ (1) (2) suy đpcm Câu Cho a , b , c lập thành cấp số cộng có cơng sai khác khơng 1 ; ; lập thành cấp số cộng bc ca ab Lời giải 2 Theo giả thuyết a  c  2b 1   Ta phải chứng minh: bc ab ca 2 Ta có: a  c  b  b2 a b bc  a  b2  b2  c   a  b  a  b    b  c  b  c    bc ab b  c   a  c   b  c    a  b  c  a  a b     b  c  c  a   a  b  c  a   b  c  c  a   a  b  c  a  Chứng minh  ac bc ab ca     a  c  c  a   b  c  c  a   a  b  c  a   a  b  c  a  1 1    bc ca ca ab 1    (đpcm) ab bc ca  Câu Cho cấp số cộng:a,b,c CMR: 1 ; ; ,  a  0; b  0; c   theo thứ tự b c c a a b lập thành CSC Lời giải Vì a, b, c lập thành CSC, ta có a  c  2b 1 Ta cần chứng minh:   b c a b c a Ta có: a  c  2b  a  b  b  c   a b b c   b c a b  a b a b    a b    b  c  c  a    a  c b  c   b  a c  a   b  c  c  a   a  b  c  a  b c  b c  b c a b  c a  1 1 1       b c c a c a a b b c a b c a 1 Theo thứ tự lập thành cấp số cộng  ; ; b c c a a b  Trang https://www.nbv.edu.vn/ Câu Cho cấp số cộng u1 , u2 , , un , với công sai d  tất số hạng dương Chứng minh: 1 n 1      u1  u2 u2  u3 un 1  un u1  un Lời giải u  uk 1 1  k  uk  uk 1 d uk 1  uk Ta có VT   Câu d  d    uk  uk 1 ,  k  2,3, , n  u2  u1  u3  u2    un 1  un  un  un1  un  u1  d un  u1 un  u1   n 1 (đpcm) un  u1 Một cấp số cộng có tính chất với số ngun dương m n khác nhau, có tổng S m S n thỏa hệ thức: u S m m2 2m   Chứng minh: m  Sn n un 2n  Lời giải m  2u1   m  1 d  m 2u   m  1 d m Sm m       Sn n n 2u1   n  1 d n n  2u1   n  1 d  2u   m  1 d 2u1   n  1 d  2u1   m  1 d    2u1   n  1 d     d m n mn  d  2u1 Ta có Câu um u1   m  1 d u1   m  1 2u1 2m     (đpcm) un u1   n  1 d u1   n  1 2u1 2n  A B C , tan , tan theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh 2 cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Cho tam giác ABC có tan Lời giải C B sin sin  2  C B cos cos 2 A sin A C B Ta có: tan  tan  tan  A 2 cos A C C A B sin cos  sin cos sin 2 2   A C B cos cos cos 2 A C B B B sin    sin cos sin 2   2  2   A C B A C B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 B A C B  cos  2.cos cos sin 2 2   cos B   A  C  B  A  C   cos    cos    sin 2      Trang https://www.nbv.edu.vn/  cos B AC B B B   cos sin  sin sin 2 2  cos B AC AC B   cos cos  sin 2 2  cos B 1  cos B   cos  C   cos A  2   cos B  cos C  cos A   cos B  cos A  cos C  cos B  cos A,cos B,cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu A B C , cot , cot theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh: Ba cạnh a,b,c 2 theo thứ tự tạo thành cấp số cộng Lời giải A C B cos cos cos A C B   2 Ta có: cot  cot  cot  A C B 2 sin sin sin 2 C A C A B sin cos  cos sin cos 2 2 2  A C B sin sin sin 2 A C B B B sin    cos cos cos  2   2  2   A C B A C B sin sin sin sin sin sin 2 2 2 B B A C B  sin cos  2.sin sin cos 2 2  A C B  A C   sin B   cos     cos     cos 2  2   2 2 Cho ABC có cot  B B B A C sin B  cos    cos  sin cos 2 2 2 2 A C A C sin B  cos    sin     sin B 2 2 2 2 b a c  sin B   sin A  sin C   2sin B  sin A  sin C     a  c  2b 2R 2R 2R  Ba cạnh  tạo thành cấp số cộng  Câu Chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số cộng ba số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: x  a  bc , y  b  ca , z  c  ab Lời giải a, b, c cấp số cộng nên a  c  2b Ta có 2y = 2b  2ca, x  z  a  c  b(a  c)  x  z  (a  c)  2ac  2b  4b  2ac  2b  2b  2ac  y (đpcm) Trang https://www.nbv.edu.vn/ DẠNG 3: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: Bài tập tự luận Câu Cho a, b, c, d bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh: a)  ab  bc  ca   abc  a  b  c     b) a  b b  c   ab  bc  c)  a  b  c  a  b  c   a  b  c 2 2 d)  b  c    c  a    d  b    a  d   1 1 e) a 2b c      a3  b3  c3 a b c  Lời giải Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên có ac  b 3  a) Ta có abc  a  b  c   b3  a  b  c   ab  b  bc      ab  bc  ca  (đpcm)  b) Ta có: a  b2 b  c  a 2b2  a 2c  b  b 2c  a 2b2  2b  b c 2  a 2b  2ab.bc  b c   ab  bc  (đpcm) c) Ta có  a  b  c  a  b  c    a  c   b   a  c   b    a  c   b  a  2ac  c  b  a  2b  c  b  a  b  c (đpcm) d) Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có: a.d  bc, a.c  b , b.d  c 2 2 Khai triển:  b  c    c  a    d  b   a  2b  2c  d  2bc  2ca  2bd  a  2b  2c  d  2ad  2b  2c  a  2ad  d  a  d  ac  b c  ac ab  1 1 bc e) Có: a 2b c      (1) Ta có ac  b  a 3c  b a   a b c a b c   2 a c  b 2 2 2 1  ac b a 3c   3    a  b3  c (điều phải chứng minh) a b c a b c  1  a 2b 2c  Câu Cho tổng A   11  111    111  Chứng minh A  n 10n 1   n  1  81 Lời giải Ta có A   11  111    111    A   99  999    99 n n  10  1  10  1  10  1    10  1 n    10  102  103    10 n    1 1    1 n   Trang https://www.nbv.edu.vn/ 10 1  10n  10n 1  9n  10  n   10 10n 1   n  1  Vậy A  81 Câu Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1  q  0, q  1 Gọi S n tổng n số hạng Chứng minh: Sn  S3n  S2 n    S2 n  Sn  Lời giải u1 1  q n   u1 1  q 3n  u1 1  q n     VT  S n  S3 n  S n    1 q  1 q 1 q     u1q n 1  q n    (1)   1 q  q  q     q   q  1  q        1 q 1  q  1  q    u12 n 2n 3n u12 n 2n n VP   S n  S n  2  u1 1  q n  u1 1  q n    u  n n n      1  q 1  q   1  q    q  1  q    q    u    q n 1  q n   (2) 1  q  Kết luận từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu Cho ba số dương a, b, c lập thành CSN Chứng minh: 1  a  b  c  ,  ab  bc  ca  , abc lập thành CSN 3 Lời giải Ta có ac  b (tính chất CSN)   Ta phải chứng minh:  a  b  c  abc    ab  bc  ca     1 1   a  b  c  b3   ab  bc  ca    a  b  c  b   ab  bc  ca  3 3 1 1   ab  b  cb    ab  bc  ca    ab  ac  cb    ab  bc  ca  (đpcm) 3 3 Câu Cho CSN (un ) số nguyên dương m, k  m  k  Chứng minh rằng: uk  muk  m  uk2 Lời giải Có uk  muk  m  u1.q k  m1 u1.q k  m 1  u12 q k    u1.q k 1   uk2 (đpcm) Câu Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh rằng: (a  b )(b  c )  (ab  bc)2 Lời giải Trang 10 https://www.nbv.edu.vn/ n   n  1 2n  1  3 A  n  n  1 2n  1   C n  n  1 2n  1   B D  n  1 2n  1  6 Lời giải Chọn A Ta có n ak   2k  1 2k  1 , k  * S n   ak  1.3  3.5  5.7    2n  1 2n  1 k 1 n n n  S n    2k  1 2k  1  4 k  1 k 1  Sn  k 1 k 1 n   n  1 2n  1  3 2n  n  1 2n  1 n   3 Câu 29 Cho: 1.3  4.5  9.7   n  2n  1 n Biết:  n3   23  33  n3  n  n  1 Công thức Sn là: n  n  1  3n  5n  1 A n  n  1 3n  1 B n  n  1  3n  5n  1 C D n  n  1 5n  1 Lời giải Chọn C Ta có n ak  k  2k  1 , k  * Sn   ak  1.3  4.5  9.7   n  2n  1 k 1 n n n  Sn   k  2k  1  2 k   k k 1  Sn  k 1 k 1 n  n  1 n  n  1 2n  1 n  n  1  3n  5n  1   6 2 Câu 30 Tìm x biết:  x  x  1.2    x  x  2.5    x  x  3.8     x  x  13.38   2444 A x   x  B x  2  x  C x  2  x  3 Lời giải D x   x  3 Chọn B Ta có x  x  1.2    x  x  2.5    x  x  3.8     x  x  13.38   2444  13  x  x   1.2  2.5  3.8   13.38   2444  13  x  x   132.14  2444 x   13  x  x   2366  2444  x  x      x  2 Câu 31 Tìm x  [0;  ] biết:  2sin x  1.2    2sin x  2.5    2sin x  3.8     sin x  13.38   2392 A x  Trang 18  B x   C x   D x   https://www.nbv.edu.vn/ Lời giải Chọn A Ta có  2sin x  1.2    2sin x  2.5   2sin x  3.8    2sin x  13.38  2392  26sin x  1.2  2.5  3.8   13.38   2392  26sin x  132.14  2392  26sin x  2366  2392  sin x   x     0;   Câu 32 Cho tổng: 1.4  2.7  3.10   n  3n  1 với n  * Biết: S k  294 Hoán vị k phần tử là: A 5040 B 620 C 120 Lời giải D 720 Chọn D Ta có n ak  k  3k  1 , k  * S n   ak  1.4  2.7  3.10   n  3n  1 k 1 n n n  Sn   k  3k  1  3 k   k k 1  Sn  k 1 k 1 n  n  1 2n  1 n  n  1   n  n  1 2 Sk  294  k  k  1  294  k  2k  k  294   k   6!  720 Câu 33 Cho tổng: S k  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 với n  * Biết: S k  576 Khi hình vng có cạnh k  m  có diện tích là: A 64m2 B 64cm2 C 81m Lời giải D 81cm2 Chọn A Ta có n ak  k  3k  1 , k  * S n   ak  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 k 1 n n n  Sn   k  3k  1  3 k   k k 1 k 1 k 1 n  n  1 2n  1 n  n  1   n  n  1 2 S k  576  k  k  1  576  k  k  576   k   Sn  Vậy diện tích hình vng 82  64 m Câu 34 Cho tổng:  3.4  5.9    2n  1 n với n  * Tính S62  S52 : A 469606 B 469650 C 469656 Lời giải D 46965 Chọn C Ta có Trang 19 https://www.nbv.edu.vn/ n ak   2k  1 k , k  * Sn   ak   3.4  5.9    2n  1 n k 1 n n n  Sn    2k  1 k  2 k   k k 1 k 1 k 1 n  n  1 n  n  1 2n  1 n  n  1  3n  n  1  Sn    6 2  6.7  3.62   1  S6   791  S62  625681   S62  S52  469656  5.6  3.5   1  S   395  S52  156025   Câu 35 Cho dãy số un  Tính tổng Sn  u1   xác định sau:  un2 u   un , n  1, 2,  n1 2017  u u1 u2     n u2 u3 un1   un   A Sn  2017    B Sn  2017    C Sn  2017  un  1 D Sn  2017  un1   un  Lời giải : Chọn A Ta có: un 1  un    un2 u  , n  1, 2, 3,  n  2017    2017 un1  un un1  u u1 u2     n u2 u3 un 1  1   1   1  1   2017                 un1 un   un un1    u1 u2   u2 u3       2017     2017     u1 un1   un1  u12 u 2018 2017 Ngồi ra, tính u2   S1    u1  1  2017 2017 2017 u2 2018 2018 2017 Thay n=1 vào đáp án, ta nhận đáp án A u  2039 Câu 36 Cho dãy số  un  có:  Hãy tính tổng Sn  u1  u2   un n un1  un   2011 ( n  1) A Sn  26n  2n   2011   n  n  1 C Sn  26n  2n   2011 n  n  1 Trang 20    D Sn  26n  2n   2011 Lời giải Chọn C  B Sn  26n  2n   2011 n  n  1 n  n  1 ... 20 28 84     là: 4. 16 16. 36 36. 64 400.484 30 32 B C 121 121 Lời giải D 33 121 Chọn B 12 1 20 1 28 1 84 1   ;   ;   ;   Ta có 4. 16 16 16. 36 16 36 36. 64 36 64 400.484 400 484  1 30...  3n  n  1  Sn    6 2  6. 7  3 .62   1  S6   791  S62  62 568 1   S62  S52  469 6 56  5 .6  3.5   1  S   395  S52  1 560 25   Câu 35 Cho dãy số un  Tính tổng Sn  u1...  5 76  k  k  1  5 76  k  k  5 76   k   Sn  Vậy diện tích hình vng 82  64 m Câu 34 Cho tổng:  3.4  5.9    2n  1 n với n  * Tính S62  S52 : A 469 6 06 B 469 650 C 469 6 56 Lời