Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 48 trang 164 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) a)[.]
Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài 48 trang 164 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) a) Chứng minh OA ⊥ MN b) Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC // AO c) Tính độ dài cạnh tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm Lời giải: a) Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy A thuộc trung trực đoạn thẳng MN Ta có: OM = ON (= R) Suy O thuộc vào trung trực đoạn thẳng MN Do OA trung trực đoạn thẳng MN Gọi H giao điểm AO MN OA ⊥ MN H b) Tam giác MNC nội tiếp đường trịn (O) có NC đường kính nên tam giác MNC vng M NM ⊥ MC M Mà: OA ⊥ MN H MC // OA (từ vng góc đến song song) c) Ta có: AN ⊥ NC (do AN tiếp tuyến NC đường kính) Xét tam giác AON vng N Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AO2 = AN + ON AN2 = AO2 − ON2 = 52 − 32 = 16 AN = 16 = (cm) Do OA trung trực đoạn thẳng MN nên H trung điểm MN NH = MH = MN Xét tam giác OAN vng N có đường cao NH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: OA.NH = AN.ON NH = AN.ON 4.3 = = 2,4 (cm) OA MN = 2NH = 2.2,4 = 4,8 (cm) Bài 49 trang 164 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), điểm M nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E tiếp điểm) Qua I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD ME theo thứ tự P Q Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ Lời giải: Xét đường trịn (O) Ta có: MD = ME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) PD = PI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) QI = QE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Chu vi tam giác MPQ bằng: MP + PQ + QM = MP + PI + IQ + QM = MP + PD + QE + QM = MD + ME = 2.MD = 2.4 = (cm) Bài 50 trang 164 SBT Toán lớp tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm tia Ox Dựng đường tròn (I) qua A tiếp xúc với hai cạnh góc xOy Lời giải: Cách dựng: - Dựng góc xOy khác góc bẹt - Dựng tia phân giác góc xOy - Dựng đường thẳng vng góc với Ox A cắt tia phân giác góc xOy I - Dựng đường tròn (I; IA) đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề Chứng minh: Ta có: IA vng góc với Ox A Nên Ox tiếp tuyến đường tròn (I; IA) I nằm tia phân giác góc xOy nên I cách hai cạnh Ox, Oy Khi khoảng cách từ I đến Oy IA nên Oy tiếp tuyến đường tròn (I) Vậy đường tròn (I) qua A tiếp xúc với hai cạnh góc xOy Bài 51 trang 164 SBT Toán lớp tập 1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a Tính số đo góc MON b Chứng minh MN = AM + BN c Chứng minh AM.BN = R (R bán kính nửa đường tròn) Lời giải: a) Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến MN với đường tròn (O) Nối OI Ta có: AOI + BOI = 180o (hai góc kề bù) OM tia phân giác góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O1 O2 (1) ON tia phân giác góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O3 O4 (2) O1 Từ (1) (2) suy Mà O1 O1 O4 O4 O2 O2 O3 O3 O4 O2 O3 1800 900 MON = O2 + O3 = 90o b) Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà: MN = MI + IN MN = AM + BN c) Xét tam giác OMN vuông O Có OI vng góc với MN (do MN tiếp tuyến tiếp xúc với (O) I, OI bán kính) Do đó, OI đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: OI2 = MI.NI Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên) AM.BN = OI2 = R (đcpcm) Bài 52 trang 165 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm AC, AB theo thứ tự D, E Cho BC = a, AC = b, AB = c Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AD, AE theo a, b, c Lời giải: Gọi F tiếp điểm đường trịn (I) với BC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AE = AD BE = BF CD = CF Mà: AE = AB – BE AD = AC – CD Nên: AE + AD = (AB – BE) + (AC – CD) = AB + AC – (BE + CD) = AB + AC – (BF + CF) = AB + AC – BC AE + AD = c + b – a Hay: AE = AD = c+b−a Bài 53 trang 165 SBT Tốn lớp tập 1: Tính diện tích tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (I; r) Lời giải: Gọi H tiếp điểm đường trịn (I) với BC Ta có: IH ⊥ BC (tính chất tiếp tuyến) Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI tia phân giác góc BAC Tam giác ABC nên AI đường cao tam giác ABC Khi A, I, H thẳng hàng Ta có: HB = HC (tính chất tam giác đều) Tam giác ABC nên I trọng tâm tam giác ABC AI = AH IH = AH AH = 3IH = 3r Do AI hay AH tia phân giác góc BAC nên ta có: HAB BAC o 60 30o Xét tam giác ABH vuông H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BH AH.tan HAB 3r.tan30o 3r 3 r Mà H trung điểm BC (do I trọng tâm AH đường trung tuyến) BC = 2BH = 2r 1 Diện tích tam giác ABC là: SABC = AH.BC = 3r.2r = 3r (đơn vị diện 2 tích) Bài 54 trang 165 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; 3cm) điểm A có OA = 5cm Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC) a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE Lời giải: a) Ta có: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó, tam giác ABC cân A AO tia phân giác góc BAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó, AO đường cao tam giác ABC (tính chất tam giác cân) Ta có: AO vng góc với BC H hay BH vng góc với AO AB vng góc với OB B (tính chất tiếp tuyến) Xét tam giác ABO vng B có đường cao BH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: OB2 = OH.OA OH = OB2 32 = = 1,8 (cm) OA b) Xét tam giác ABO vng B Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AO2 = AB2 + BO2 AB2 = AO2 − BO2 = 52 − 32 = 16 AB = 16 = (cm) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM EM = EC Chu vi tam giác ADE bằng: AD + DE + EA = AD + DB + AE + EC = AB + AC = 2AB = 2.4 = (cm) Bài 55 trang 165 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), tiếp tuyến AB AC kẻ từ A đến đường tròn vng góc với A (B C tiếp điểm) a) Tứ giác ABOC hình gì? Vì sao? b) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE Lời giải: Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Nối OA, OB, OC Khoảng cách từ tâm O đến tiếp điểm đường cao tam giác OAB, OAC, OBC Ta có: SABC = SOAB + SOAC + SOBC 1 SABC = AB.r + AC.r + BC.r 2 SABC = r ( AB + AC + BC ) Mà chu vi tam giác ABC 2p = AB + AC + BC SABC = r.2p = p.r (đcpcm) Bài 58 trang 165 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC vng A Đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC D E a) Tứ giác ADOE hình gì? Vì sao? b) Tính bán kính đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm Lời giải: a) Ta có: OD vng góc với AB D ODA = 90o OE vng góc với AC E OEA = 90o DAE = 90o (tam giác ABC vng A) Do tứ giác AEOD hình chữ nhật Mà: OD vng góc với AB D nên AB tiếp tuyến đường trịn (O) OE vng góc với AC E nên AC tiếp tuyến đường tròn (O) Mà AB giao AC A nên ta có: AE = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Hình chữ nhật AEOD có: AE = AD Do đó, AEOD hình vuông b) Xét tam giác ABC vuông A Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 BC = (cm) Theo tính chất hai tiếp tuyến giao ta có: AD = AE BD = BF CE = CF Mà: AD = AB – BD AE = AC – CF AD + AE = AB – BD + (AC – CF) = AB + AC – (BD + CF) = AB + AC – (BF + CF) = AB + AC – BC AD = AE = AB + AC − BD + − = = (cm) 2 Vậy bán kính đường tròn là: OD = OE = AD = 1cm Bài 59 trang 165 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC vuông A Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: AB + AC = 2(R + r) Lời giải: Vì tam giác ABC vng A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh huyền BC Ta có: BC = 2R Giả sử đường tròn (O) tiếp với AB D, AC E BC F Ta có: OD vng góc với AB D ODA = 90o OE vng góc với AC E OEA = 90o DAE = 90o (tam giác ABC vuông A) Do tứ giác AEOD hình chữ nhật Mà: OD vng góc với AB D nên AB tiếp tuyến đường trịn (O) OE vng góc với AC E nên AC tiếp tuyến đường tròn (O) Mà AB giao AC A nên ta có: AE = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Hình chữ nhật AEOD có: AE = AD Do đó, AEOD hình vng AD = AE = EO = OD = r Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: AD = AE BD = BF CE = CF Ta có: 2R + 2r = BF + FC + AD + AE = (BD + AD) + (AE + CE) = AB + AC Vậy AB = AC = 2(R + r) Bài 60 trang 166 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC, đường trịn (K) bàng tiếp góc A tiếp xúc với tia AB AC theo thứ tự E F Cho BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng: a) AE = AF = a+b+c b) BE = a +b−c c) CF = a+c−b Lời giải: a) Gọi D tiếp điểm đường tròn (K) với cạnh BC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: BE = BD; CD = CF Mà: AE = AB + BE AF = AC + CF AE + AF = AB + BE + AC + CF = AB + AC + (BD + DC) = AB + AC + BC = c + b + a Mà: AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AE = AF = a+b+c b) Ta có: BE = AE − AB = a+b+c a +b−c −c= 2 c) Ta có: CF = AF − AC = a+b+c a+c−b −b= 2 Bài 61 trang 166 SBT Tốn lớp tập 1: Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường trịn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo tự C D a) Chứng minh đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C, D để hình thang ABCD có chu vi 14cm, biết AB = 4cm Lời giải: ... Xét đường tròn (O) Ta có: MD = ME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) PD = PI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) QI = QE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Chu vi tam giác MPQ bằng: MP + PQ +... O1 O1 O4 O4 O2 O2 O3 O3 O4 O2 O3 1800 90 0 MON = O2 + O3 = 90 o b) Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà: MN = MI + IN MN = AM + BN... Ta có: AOI + BOI = 180o (hai góc kề bù) OM tia phân giác góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O1 O2 (1) ON tia phân giác góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O3 O4 (2) O1 Từ (1)