Tứ giác nội tiếp I Lý thuyết 1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn Trong hình vẽ trên, ta nói Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O) n[.]
Tứ giác nội tiếp I Lý thuyết Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong hình vẽ trên, ta nói: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180 - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường trịn Xét hình vẽ: - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) A + C = 180 B + D = 180 - Tứ giác ABCD có A + C = 180 B + D = 180 tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng góc đối 180 tứ giác nội tiếp Xét hình vẽ: Nếu A + C = 180 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp Xét hình vẽ: Nếu D1 = B Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) tứ giác nội tiếp, điểm cách tâm đường trịn nội tiếp tứ giác Xét hình vẽ: Nếu OA = OB = OC = OD Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc khơng đổi tứ giác nội tiếp Xét hình vẽ: Nếu DAC = DBC Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay ABCD tứ giác nội tiếp II Dạng tập Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta dùng bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 180 Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác điểm Cách 3: Chứng minh hai góc có đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh góc khơng đổi Các 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E F Chứng minh tứ giác PEDC tứ giác nội tiếp Lời giải: Ta có: MDC góc nội tiếp chắn cung MC MDC = sđ MC (định lí) Mà MC = MB + BC Nên MDC = (sđ MB + sđ BC ) (1) Lại có CPB góc có đỉnh nằm bên đường trịn CPB = (sđ BC + sđ MA ) (2) Lạ có M điểm cung AB sđ MA = sđ MB (định lý) (3) Từ (1); (2); (3) CPB = MDC Xét tứ giác PEDC có: CPB = MDC Mà góc CPB góc ngồi đỉnh P đỉnh P D hai đỉnh đối diện Do đó: tứ giác PEDC tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Ví dụ 2: Cho tam gác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiếp Lời giải: Vì BM đường cao tam giác ABC nên AMB = BMC = 90 Vì CN đường cao tam giác ABC nên ANC = BNC = 90 Xét tứ giác AMHN có: AMB + ANC = 90 + 90 = 180 Mà góc AMB ANC hai góc đối Do tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Xét tứ giác BNMC có: BMC = BNC = 90 Mà hai góc hai góc có đỉnh kề nhìn cạnh BC góc 90 Do tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn Phương pháp giải: Ta chia điểm thành tứ giác, tam giác sau chứng minh cho tứ giác, tam giác nội tiếp đường trịn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn Lời giải: Vì E hình chiếu D lên BC nên DE ⊥ BC DEB = 90 Gọi O trung điểm BD Xét tam giác DEB vuông E, trung tuyến EO ta có: BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) (1) OE = OD = OB = Xét tam giác ABD vng A, trung tuyến AO ta có: AO = OD = OB = BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) (1) Vì E đối xứng với F qua BD nên EF ⊥ BD Gọi giao điểm EF với BD G Vì E đối xứng với F qua BD nên EG = GF Xét tam giác DGF tam giác DGE có: GF = GE DG chung DGF = DGE = 90 Do DGF = DGE (c – g – c) DF = DE (các cặp cạnh tương ứng cặp góc tương ứng) FDG = EDG Xét FDB tam giác EDB có: BD chung DF = DE (chứng minh trên) FDG = EDG (chứng minh trên) Do FDB = EDB (c – g – c) DFB = DEB = 90 Xét tam giác FDB vuông F, trung tuyến FO ta có: BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) (3) FO = OD = OB = Từ (1); (2); (3) ta có: OA = OB = OD = OE = OF = BC Do điểm A, B, D, E, F cách O Do O tâm đường tròn ngoại tiếp qau điểm A, B, D, E, F Ví dụ 2: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B tiếp điểm cát tuyến SCD với đường tròn Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm A, I, O, B, S thuộc đường trịn Lời giải: Vì SA tiếp tuyến đường tròn, A tiếp điểm nên SA vng góc với OA SAO = 90 Vì SB tiếp tuyến đường tròn, B tiếp điểm nên SB vng góc với OB SBO = 90 Vì I trung điểm CD nên OI vng góc với CD (tính chất) SOI = 90 Gọi trung điểm SO K Tam giác OAS vuông A với K trung điểm SO OK = KS = AK = SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông B với K trung điểm SO OK = KS = BK = SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vng I có K trung điểm SO OK = KS = IK = SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3) Từ (1); (2); (3) OK = KS = IK = AK = BK = SO Hay điểm A, B, S, I, O cách điểm K Vậy điểm A, B, S, I, O nằm đường tròn (K) bán kính KS Dạng 3: Sửng dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song, vng góc… Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vng góc với AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp b) AH.AB = AD2 c) Tam giác ACF tam giác cân Lời giải: a) Vì CD vng góc với AB H CHA = 90 Vì CK vng góc với AE K AKC = 90 Xét tứ giác AKCH có: AKC + CHA = 90 + 90 = 180 Mà hai góc vị trí đối Do tứ giác AKCH tứ giác nội tiếp b) Vì AB đường kính ADB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ADB = 90 Xét tam giác ABD vng D, đường cao DH ta có: AH.AB = AD2 (hệ thức lượng tam giác vuông) c) Vì AHCK tứ giác nối tiếp KHC = KAC (hai góc có đỉnh kề nhìn cạnh KC) Lại có KAC = EDC (hai góc nội tiếp chắn cung EC Do đó: EDC = KHC Mà hai góc vị trí đồng vị với Do KH // DF Mặt khác AB vng góc với CD H nên H trung điểm CD (tính chất) Vì H trung điểm CD, KH // DF K trung điểm CF (tính chất) Xét tam giác ACF có: AK vng góc với CF K trung điểm CF Do AK vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác ACF Tam giác ACF tam giác cân A Ví dụ 2: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M thuộc OA (M không trùng với O A) Qua M kẻ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nối NB cắt (O) C Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E tiếp điểm, A E thuộc nửa mặt phẳng bờ d Chứng minh: a) Tứ giác O, E, M, N thuộc đường tròn b) NE = NC.NB c) NEH = NME (H giao điểm AC d) Lời giải: a) Vì NE tiếp tuyến (O) nên OE vng góc với EN OEN = 90 Vì MN vng góc với AB nên NMO = 90 Xét tứ giác ENOM có: OEN = NMO = 90 Mà hai góc có đỉnh kề nhìn cạnh ON Do tứ giác ENOM tứ giác nội tiếp bốn điểm E, N, O, M thuộc đường trịn b) Ta có: NBE góc nội tiếp chắn cung NC NEC góc nội tiếp chắn cung NC Do NBE = NEC Xét tam giác NEC tam giác NBE có: N chung NEC = NBE Do đó: NEC ∽ NBE (g – g) NE NC (hai cặp cạnh tương ứng) = NB NE Hay NE = NB.NC c) Vì ACB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ACB = 90 NCH = 90 Xét tam giác HCN tam giác BMN có: NCH = NMB = 90 N chung Do HCN ∽ BMN (g – g) NC NH (hai cạnh tương ứng) = NM NB NC.NB = NM.NH Theo cấu b ta có: NC.NB = NE Do đó: NE = NM.NH NE NH = NM NE Xét hai tam giác NEH tam giác NME có: N chung NE NH = NM NE Do NEH ∽ NME (c – g – c) NEH = NME (hai góc tương ứng) III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ đường kính AC đường trịn (O) cắt (O’) F Kẻ đường kính AE (O’) cắt đường tròn (O) G Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE, AB đồng quy Bài 2: Cho điểm C nằm nửa đường tròn (O) với đường kính AB cho cung AC lớn cung BC ( B C ) Đường thẳng vng góc với AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H không trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh tứ giác MCID MCHB tứ giác nội tiếp Bài 4: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Bài 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh: Tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: AH.AK có giá trị không đổi K di chuyển cung nhỏ BC c) Kẻ DN vng góc với CB, DM vng góc với AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Bài 7: Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H a) Chứng minh tứ giá AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI c) Chứng minh bốn điểm D, E, I, F nằm đường trịn Bài 9: Cho tam giác ABC vng A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác BCD c) Chứng minh ABED hình thang Bài 10: Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định ngồi dường tròn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh: AM = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chứng minh IE song song với MC d) Chứng minh d di chuyển quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC nằm cố định đường thẳng Bài 11: Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tếp tuyến MA MB tới đường tròn, A, B tiếp điểm (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H a) Chứng minh: AE // CD b) Tìm vị trí M để AM vng góc với MB Bài 12: Cho đường tròn (O; R), hai điểm C, D thuộc đường tròn, B điểm chỉnh cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với C cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh: a) Tứ giác AMHK nội tiếp b) HK // CD Bài 13: Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (E khác C, D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh: a) CAF = CKF b) Tam giác KAF vuông cân c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc với AC I a) Chứng minh: IHM = ICM b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc với BK c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MAB d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc với EF ... = 180 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp Xét hình vẽ: Nếu D1 = B Tứ giác ABCD nội tiếp đường... Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay ABCD tứ giác nội tiếp II Dạng tập Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta dùng bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác. .. = OD Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hay tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc khơng đổi tứ giác nội tiếp Xét hình