Cung chứa góc và các bài toán về quỹ tích, dựng hình I Lý thuyết 1 Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc ( )0 180 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB = là hai cung ch[.]
Cung chứa góc tốn quỹ tích, dựng hình I Lý thuyết Quỹ tích cung chứa góc - Với đoạn thẳng AB góc ( 0 180 ) cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB = hai cung chứa góc dựng đoạn AB Chú ý: - Hai cung chứa góc nói ta gọi hai cung tròn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích - Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc - Vẽ đường trung trung trực d đoạn thẳng AB; - Vẽ tia Ax tạo với AB góc ; - Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d; - Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H ta sau: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần nghịch: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Từ đến kết luận quỹ tích điểm M có tính chất T hình H II Các dạng tốn Dạng 1: Quỹ tích cung chứa góc Phương pháp giải: Bước 1: Tìm tọa độ cố định hình vẽ Bước 2: Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc khơng đổi Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm cung chứa góc dựng đoạn cố định Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, BC cố định, A = 50 Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D Lời giải: Xét tam giác ABC ta có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) B + C = 180 − 50 B + C = 130 Lại có: D giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC nên BD phân giác B DBC = B D giao điểm ba đường phân giác tam gác ABC nên CD phân giác C DCB = C Do đó: 1 DBC + DCB = B + C 2 DBC + DCB = ( B+C ) DBC + DCB = 130 DBC + DCB = 65 Xét tam giác BCD có: BDC + DBC + DCB = 180 BDC + 65 = 180 BDC = 180 − 65 BDC = 115 Do BC cố định nên quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 115 dựng đoạn BC Ví dụ 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm di động đường tròn Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác BCD vng cân C Tìm quỹ tích điểm D Lời giải: Phần thuận: Ta có: ACB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ACB = 90 Lại có: DCB (do tam giác BCD vng cân C) Do đó: ACB + DCB = 180 A, C, D thẳng hàng ADB = CDB = 45 (do tam giác BCD vng cân) Vì AB cố định nên D nằm cung chứa góc 45 dựng đoạn AB Dựng đường thẳng vng góc với AB A, đường thẳng giao với cung chứa góc 45 dựng đoạn AB I Nếu C A D I Phần đảo: Lấy điểm D’ cung chứa góc 45 dựng đoạn Ab (D’ thuộc cung IB) Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) C’ Ta chứng minh tam giác BCD’ vuông cân C’ Ta có: ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BCD = 90 (kề bù với góc ACB ) mà CDB = 45 tam giác BC’D’ vng cân C’ Vậy quỹ tích điểm D cung BI cung chứa góc 45 dựng đoạn AB Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn tốn dựng hình Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ AB nhìn đoạn cố định AB góc khơng đổi Ví dụ 1: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B tiếp điểm cát tuyến SCD với đường tròn Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm A, I, O, B, S thuộc đường trịn Lời giải: Vì SA tiếp tuyến đường tròn, A tiếp điểm nên SA vng góc với OA SAO = 90 Vì SB tiếp tuyến đường trịn, B tiếp điểm nên SB vng góc với OB SBO = 90 Vì I trung điểm CD nên OI vng góc với CD (tính chất) SOI = 90 Gọi trung điểm SO K Tam giác OAS vuông A với K trung điểm SO OK = KS = AK = SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông B với K trung điểm SO OK = KS = BK = SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vuông I có K trung điểm SO OK = KS = IK = SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3) Từ (1); (2); (3) OK = KS = IK = AK = BK = SO Hay điểm A, B, S, I, O cách điểm K Vậy điểm A, B, S, I, O nằm đường trịn (K) bán kính KS Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Trên OA lấy điểm M cho OM = OB Trên OB lấy N cho ON = OA Chứng minh: điểm D, M, N, C thuộc đường tròn Lời giải: Xét tam giác OAB tam giác OMN có: AOB chung OA = ON OB = OM Do AOB = NOM (c – g – c) BAO = MNO (hai góc tương ứng) (1) Mặt khác, ABCD hình thang nên AB // CD (giả thuyết) BAO = DCO (hai góc so le trong) (2) Từ (1) (2) MNO = DCO Hai góc nhìn cạnh MD Do hai điểm N, C nằm cung trịn dựng đoạn MD với góc DCO Ví dụ 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, D = 70 Lời giải: Cách dựng hình: - Dựng đoạn CD = 3cm - Dựng góc CDx = 70 - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường trịn tâm C bán kính 4cm cắt Dx A - Dựng dây Ay song song với CD - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung trịn tâm D bán kính 4cm cắt Ay B - Nối B với C ta hình thang ABCD cần dựng III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi Bài 2: Dựng tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 4,5cm, AB = 2cm Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia đối tia Am lấy điểm D cho MD = MB, tia đố tia NB lấy điểm E cho NA = NE, tia đối tia MB lấy điểm C cho MC = MA Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Bài 4: Dựng cung chứa góc 55 đoạn AB = 3cm Bài 5: Cho I O tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60 Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Bài 6: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động BC Bài 7: Cho cung AB cố định tạo bán kính OA, OB vng góc với nhau, điểm I chuyển động cung AB Trên tia OI lấy điểm M cho OM tổng khoảng cách từ điểm I đến OA, OB, Tìm quỹ tích điểm M Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BF Từ điểm I nằm B F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt Ai D Hai đường thẳng DN BF cắt E Chứng minh: a) Bốn điểm A, B, D, E thuộc đường tròn b) Năm điển A, B, C, D, E thuộc đường trịn Từ suy BE vng góc với CE Bài 9: Từ điểm M nằm bên đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB qua O tiếp tuyến MC, MD Gọi K giao điểm AC BD Chứng minh điểm B, C, M, K thuộc đường tròn Bài 10: Cho đường trịn đường kính AB cố định, M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = 2MB a) Chứng minh AIB khơng đổi b) Tìm tập hợp tất điểm I nói ... D nằm cung chứa góc 45 dựng đoạn AB Dựng đường thẳng vng góc với AB A, đường thẳng giao với cung chứa góc 45 dựng đoạn AB I Nếu C A D I Phần đảo: Lấy điểm D’ cung chứa góc 45 dựng đoạn... 4cm, D = 70 Lời giải: Cách dựng hình: - Dựng đoạn CD = 3cm - Dựng góc CDx = 70 - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường trịn tâm C bán kính 4cm cắt Dx A - Dựng dây Ay song song với... song với CD - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung trịn tâm D bán kính 4cm cắt Ay B - Nối B với C ta hình thang ABCD cần dựng III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, BC