Các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn I Lý thuyết 1 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Dấu hiệu 1 Theo định nghĩa tiếp tuyến Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là[.]
Các tốn tiếp tuyến đường trịn I Lý thuyết Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa tiếp tuyến: Đường thẳng có điểm chung với đường trịn tiếp tuyến đường trịn Đường thẳng d có điểm chung với đường tròn (O) A nên d tiếp tuyến đường tròn A tiếp điểm Dấu hiệu 2: Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Trên hình ta có, đường thẳng ∆ qua điểm H đường trịn (O) vng góc với bán kính OH nên đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường trịn (O) Tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tuyến tuyến đường tròn cắt điểm - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tiếp điểm Cho đường trịn (O;R) có AB; AC hai tiếp tuyến đường trịn Khi ta có: AB = AC AO tia phân giác BAC OA tia phân giác BOC Đường tròn nội tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao ba đường phân giác góc tam giác Cho tam giác ABC có D giao ba đường phân giác nên D tâm đường trịn nội tiếp tam giác Khi D cách ba cạnh tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh tam giác cịn lại gọi đường tròn bàng tiếp tam giác - Với tam giác, ta xác định ba đường tròn bàng tiếp - Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác xác định giao hai đường phân giác góc ngồi hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc Cho tam giác ABC có I giao hai đường phân giác ngồi góc B góc C nên I tâm đường tròn bàng tiếp tam giác II Bài tập vận dụng Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn (O;R) điểm C ta làm sau: Cách 1: Chứng minh điểm C thuộc (O) a vng góc với OC C Cách 2: Kẻ OH vng góc với a H Chứng minh OH = OC = R Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ (O;R) C Chứng minh a trùng a’ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK cắt I Chứng minh: a) Đường trịn đường kính AI qua K; b) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Lời giải: a) Vì BK đường cao nên BK ⊥ AC mà I BK nên AKI = 90 Tam giác AKI tam giác vuông K A, K, I nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác AKI với đường kính AI (định lí) Đường trịn đường kính AI qua K b) Gọi O trung điểm AI Ta có: + OK = OA = AI Tam giác AKO cân O OKA = OAK (tính chất) (1) Do tam giác AHC vng H nên OAK + ACB = 90 Do tam giác BCK vuông K nên HBK + ACB = 90 Ta có: OAK + ACB = 90 HBK + ACB = 90 OAK = HBK (do phụ với góc ACB ) (2) Vì tam giác ABC tam giác cân A nên AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến H trung điểm BC KH đường trung tuyến tam giác BKC Tam giác BKC vuông K KH = HB (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Tam giác BHK tam giác cân H HBK = HKB (3) Từ (1) (2) (3) OKA = HKB Mà OKA + OKB = 90 Do đó: HKB + OKB = 90 HKO = 90 HK ⊥ KO K HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax By hai tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB) Trên tia Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho COD = 90 Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải: Vẽ OH vng góc với CD, H thuộc CD Tia CO cắt tia đối tia By E Vì Ax By tiếp tuyến CAO = EBO = 90 Xét tam giác ACO tam giác BEO có: OA = OB = R AOC = BOE (hai góc đối đỉnh) CAO = EBO = 90 Do đó: ACO = BEO (g – c – g) OC = OE nên O trung điểm EC Tam giác CDE có OD vừa đường cao (do COD = 90 ) vừa đường trung tuyến nên tam giác DEC cân D OD tia phân giác góc D Xét tam giác OHD tam giác OBD có: HDO = BDO (do DO tia phân giác) OHD = OBD = 90 OD chung Do đó: OHD = OBD (cạnh huyền – góc nhọn) OH = OB = R Ta có: OH ⊥ CD OH = OB = R Nên CD tiếp tuyến đường trịn (O) Dạng 2: Tính độ dài Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm vận dụng tính chất tiếp tuyến sử dụng công thức hệ thức lượng tam giác vng Ví dụ 1: Cho (O;R) đường kính AB Vẽ dây AC cho CAB = 30 Trên tia đối tia BA lấy điểm M cho BM = R Chứng minh: a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) b) MC = R Lời giải: a) Ta có: Tam giác ABC có đỉnh A, B, C thuộc đường trịn (O) AB đường kính ABC vng C Xét ABC vng C ta có: CAB + ABC + BCA = 180 (định lý tổng ba góc tam giác) 30 + ABC + 90 = 180 ABC = 180 − 90 − 30 ABC = 60 Xét tam giác OBC có: OB = OC = R OBC = 60 Do đó: Tam giác OBC tam giác OB = CB (1) Lại có: M nằm tia đối tia BA BM = R B trung điểm OM OB = BM (2) Từ (1) (2) OB = CB = BM Xét tam giác OCM có: CB đường trung tuyến OB = BM = CB Tam giác OCM vuông C CO ⊥ CM Ta có : CO ⊥ CM CO = R Do đó: CM tiếp tuyến đường trịn (O) b) Ta có : OM = OB + BM = R + R = 2R Xét tam giác OCM vng C ta có: OM = OC2 + MC2 (định lý Py – ta – go) ( 2R ) = R + MC2 4R = R + MC2 MC2 = 4R − R MC = 3R MC = 3R (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O bán kính OA = R, dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OCAB hình gì? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B cắt đường thẳng OA D Tính BD theo R Lời giải: a) Vì OA ⊥ BC nên OA qua trung điểm BC (định lí) M trung điểm BC Xét tứ giác OCAB có: M trung điểm OA (giả thuyết) M trung điểm BC Do tứ giác OCAB hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Lại có OC = OB = R Nên tứ giác OCAB hình thoi b) Vì OCAB hình thoi nên OC = CA = AB = OB = R Xét tam giác OAB có: OA = OB = AB = R Tam giác OAB tam giác BOA = 60 Lại có BD tiếp tuyến đường tròn tâm (O) Nên BD ⊥ OB Tam giác OBD vuông B Xét tam giác OBD có: tan BOD = BD OB tan 60 = BD R BD = 3R Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Dùng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt Ví dụ 1: Cho đường trịn (O), hai tiếp tuyến B C cắt A a) Chứng minh: AO trung trực đoạn thẳng BC b) Vẽ đường kính CD (O) Chứng minh BD OA song song Lời giải: a) Vì AB AC hai tiếp tuyến cắt AB = AC BOA = COA BAO = CAO Gọi giao điểm BC AO F Xét tam giác OFB tam giác OFC có: OF chung OB = OC = R BOA = COA (chứng minh trên) Do OFB = OFC (c – g – c) BF = FC (các cặp cạnh góc tương ứng) OFB = OFC Ta có: OFB + OFC = 180 Mà OFB = OFC OFB = OFC = 90 Vì BF = CF OFB = OFC = 90 nên OA đường trung trực BC b) Vì O trung điểm CD F trung điểm BC nên OF đường trung bình tam giác CBD OF // BD Mà A, O, F thẳng hàng Do OA // BD (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt M Đường thẳng vng góc với OA O cắt MB C Chứng minh CM = CO Lời giải: Vì MA tiếp tuyến đường tròn (O) A MA ⊥ OA Ta có: MA ⊥ OA(cmt) MA // OC OC ⊥ OA(gt) COM = AMO (hai góc so le trong) (1) Do MA MB hai tiếp tuyến cắt OM tia phân giác AMB AMO = BMO (tính chất) (2) Từ (1) (2) COM = AMO = BMO Xét tam giác OCM có: COM = CMO OCM tam giác cân C OC = CM Dạng 4: Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt Phương pháp giải: Chúng ta sử dụng nội dung kiến thức sau - Tính chất hai tiếp tuyến cắt - Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác - Các hệ thức lượng tam giác vng Ví dụ 1: Cho đường trịn (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Chứng minh BAC = 60 OA = 2R Lời giải: Để góc BAC = 60 OAB = 30 (Vì theo tính chất hai tiếp cắt tia nối điểm với tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến) Ta có: AB tiếp tuyến đường trịn (O) B nên AB ⊥ OB B Xét tam giác OAB vng B ta có: sin OAB = OB = sin30 OA R = OA OA = 2R (điều phải chứng minh) Chiều ngược lại: Nếu OA = 2R, ta chứng minh BAC = 60 Do AB tiếp tuyến, B tiếp điểm nên tam giác OAB vng B Ta có: sin OAB = OB R = = (tỉ số lượng giác tam giác vuông) AB 2R OAB = 30 Mà AB, AC hai tiếp tuyến cắt nen OA tia phân giác góc BAC BAC = 2.OAB = 2.30 = 60 (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến ME MF (E, F hai tiếp điểm) cho EMO = 30 Biết chu vi tam giác MEF 30cm a) Tính độ dài EF b) Diện tích tam giác MEF Lời giải: a) Ta chứng minh OM vng góc với EF Vì MF ME hai tiếp tuyến cắt nên OM tia phân giác EOF Gọi giao điểm EF MO I Xét tam giác OFI tam giác OEI có: OI chung OE = OF = R EOI = FOI (do OM tia phân giác EOF ) Do OFI = OEI (c – g – c) OIF = OIE (hai góc tương ứng) Ta có: OIF + OIE = 180 Mà OIF = OIE OIF = OIE = 90 Lại có: IF = IE (hai cạnh tưng ứng) nên I trung điểm EF Chu vi tam giác MEF : c = ME + MF + EF Mà ME = MF, EF = 2EI nên ta có Chu vi tam giác MEF là: c = 2ME + 2EI (*) Ta lại có tam giác IME vuông EMI = 30 sin EMI = IE EM sin 30 = IE = EM 2IE = EM thay vào (*) ta có: c = 2ME + 2IE = 2ME + ME = 3ME = 30cm ME =10cm IE = 5cm EF = 2IE = 10cm b) Xét tam giác MIE vng I ta có: MI2 + IE2 = ME2 ( định lý Py – ta – go) MI2 + 52 = 102 MI2 = 100 − 25 MI = 75 MI = cm Diện tích tam giác MEF S= 1 MI.EF = 3.10 = 25 ( cm ) 2 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt Ví dụ 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax By Điểm M nằm (O) cho tiếp tuyến M cắt Ax, By C D Chứng minh: a) AC + BD = CD b) COD = 90 c) AC.BD = OA Lời giải: a) Gọi d tiếp tuyến (O) qua M Vì Ax d hai tiếp tuyến cắt C AC = CM (tính chất) (1) Vì By d hai tiếp tuyến cắt D BD = DM (tính chất) (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: AC + BD = CM + DM AC + BD = CD (điều phải chứng minh) b) Vì Ax d hai tiếp tuyến cắt C AOC = MOC Vì By d hai tiếp tuyến cắt D MOD = BOD Ta có: AOC + MOC + MOD + BOD = 180 Mà AOC = MOC MOD = BOD 2MOC + 2MOD = 180 ( ) MOC + MOD = 180 MOC + MOD = 90 COD = 90 c) Vì d tiếp tuyến (O) M nên CD tiếp tuyến (O) M Do đó: CD ⊥ OM M Xét tam giác COD vuông O có OM đường cao ta có: OM = CM.DM (hệ thức lượng tam giác vng) Ta có: OM = OA (bán kính) CM = CA (cmt) BM = BD (cmt) Do OM = CM.DM OA = CA.BD CA.BD = R (do OA = R) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường trịn (A; AH) Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) D, E tiếp điểm a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng DE b) Chứng minh BD.CE = Lời giải: a) Vì CE BC hai tiếp tuyến cắt nên EAC = HAC (tính chất) Vì BD BC hai tiếp tuyến cắt nên DAB = HAB Ta có: HAB + HAC = 90 ( ) HAB + HAC = 180 2.HAB + 2.HAC = 180 Mà EAC = HAC DAB = HAB EAC + HAC + DAB + HAB = 180 DAE = 180 ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Vì AH đường cao tam giác vuông ABC nên AH ⊥ BC AH = R nên Bc tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Vì BD BC hai tiếp tuyến cắt B nên BD = BH Vì CE BC hai tiếp tuyến cắt C nên CE = CH Ta có: BD CE = BH HC (do BD = BH CE = HC) DE Lại có: BH HC = AH = (do DE đường kính) BD.CE = DE (điều phải chứng minh) III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax By M điểm (O) cho tiếp tuyến Ax By cắt tiếp tuyến M đường tròn hai điểm B C Đường thẳng AD cắt BC N a) Chứng minh A, C, N, O thuộc đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn b) Chứng minh OC song song với BM c) Tìm vị trí điểm M cho diện tích tứ giác ACDB nhỏ d) Chứng minh MN AB vng góc với Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB M điểm nằm (O) Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B (O) C D Đường thẳng AM cắt OC E Đường thẳng BM cắt OD F a) Chứng minh COD = 90 b) Tứ giác MEOF hình gì? c)Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Bài 3: Cho đường trịn (O;6cm) điểm A nằm đường tròn (O) Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn lấy điểm B tia Ax cho AB = 8cm a) Tính độ dài OB b) Qua A kẻ đường vng góc với OB, cắt (O) C Chứng minh BC tiếp tuyến (O) Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh tam giác COD tam giác AMB đồng dạng ... kẻ đường vng góc với OB, cắt (O) C Chứng minh BC tiếp tuyến (O) Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến. .. - Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác - Các hệ thức lượng tam giác vng Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Chứng... giao hai đường phân giác ngồi góc B góc C nên I tâm đường tròn bàng tiếp tam giác II Bài tập vận dụng Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng