50 bài tập về các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn (có đáp án 2022)

Các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn I Lý thuyết 1 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Dấu hiệu 1 Theo định nghĩa tiếp tuyến Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là[.]

Các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn

I Lý thuyết

1 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa tiếp tuyến:

Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó

Đường thẳng d có duy nhất một điểm chung với đường tròn (O) là A nên d là tiếp tuyến của đường tròn và A là tiếp điểm

Dấu hiệu 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc

với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Trên hình ta có, đường thẳng ∆ đi qua điểm H của đường tròn (O) và vuông góc với bán kính OH nên đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

2 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm

Cho đường tròn (O;R) có AB; AC là hai tiếp tuyến của đường tròn

Khi đó ta có:

AB = AC

AO là tia phân giác BAC

OA là tia phân giác BOC

3 Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn

- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác các góc trong tam giác

Cho tam giác ABC có D là giao của ba đường phân giác nên D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Khi đó D cách đều ba cạnh tam giác

3 Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh tam giác còn lại thì gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

- Với mỗi tam giác, ta xác định được ba đường tròn bàng tiếp

- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác được xác định bởi giao của hai đường phân giác góc ngoài của hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc

Cho tam giác ABC có I là giao của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C nên

I là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác

II Bài tập vận dụng

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Phương pháp giải: Để chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của đường

tròn (O;R) tại điểm C ta làm như sau:

Cách 1: Chứng minh điểm C thuộc (O) và a vuông góc với OC tại C

Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H Chứng minh OH = OC = R

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ của (O;R) tại C Chứng minh a trùng a’

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I

Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Lời giải:

a) Vì BK là đường cao nên BK ⊥AC

mà I BK nên AKI 90= 

Tam giác AKI là tam giác vuông tại K

 A, K, I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI với đường kính là AI (định lí)

 Đường tròn đường kính AI đi qua K

b) Gọi O là trung điểm của AI

Do tam giác AHC vuông tại H nên OAK ACB 90+ = 

Do tam giác BCK vuông tại K nên HBK ACB 90+ = 

 OAK = HBK (do cùng phụ với góc ACB) (2)

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 H là trung điểm của BC  KH là đường trung tuyến của tam giác BKC

Tam giác BKC vuông tại K  KH = HB (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

 Tam giác BHK là tam giác cân tại H

 HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Ax và By là hai tia tiếp tuyến của

(O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB) Trên tia Ax lấy điểm C,

trên By lấy điểm D sao cho COD 90=  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải:

Vẽ OH vuông góc với CD, H thuộc CD

Tia CO cắt tia đối của tia By tại E

Vì Ax và By là tiếp tuyến CAO=EBO=  90

Xét tam giác ACO và tam giác BEO có:

 = nên O là trung điểm của EC

Tam giác CDE có OD vừa là đường cao (do COD 90=  ) vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D

 OD là tia phân giác góc D

Xét tam giác OHD và tam giác OBD có:

HDO=BDO(do DO là tia phân giác)

Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm rồi vận dụng tính chất của tiếp tuyến và

sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho (O;R) đường kính AB Vẽ dây AC sao cho CAB 30=  Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) MC = R 3

Lời giải:

a) Ta có: Tam giác ABC có 3 đỉnh A, B, C thuộc đường tròn (O) và AB là đường kính

 ABC vuông tại C

Xét ABC vuông tại C ta có:

CAB ABC+ +BCA 180= (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Lại có: M nằm trên tia đối tia BA và BM = R

 B là trung điểm của OM

OB = BM (2)

Từ (1) và (2)

 OB = CB = BM

Xét tam giác OCM có:

CB là đường trung tuyến

 = (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại

trung điểm M của OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng OA tại D Tính BD theo R

Lời giải:

a) Vì OA ⊥BC nên OA đi qua trung điểm của BC (định lí)

 M là trung điểm của BC

Xét tứ giác OCAB có:

M là trung điểm của OA (giả thuyết)

M là trung điểm của BC

Do đó tứ giác OCAB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có OC = OB = R

Nên tứ giác OCAB là hình thoi

b) Vì OCAB là hình thoi nên OC = CA = AB = OB = R

Xét tam giác OAB có: OA = OB = AB = R

 Tam giác OAB là tam giác đều

BOA 60

 = 

Lại có BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)

Nên BD ⊥OB

 Tam giác OBD vuông tại B

Xét tam giác OBD có:

Phương pháp giải: Dùng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A

a) Chứng minh: AO là trung trực của đoạn thẳng BC

b) Vẽ đường kính CD của (O) Chứng minh BD và OA song song

Lời giải:

a) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

Gọi giao điểm của BC và AO là F

Xét tam giác OFB và tam giác OFC có:

OFB OFC 90

Vì BF = CF và OFB=OFC= 90 nên OA là đường trung trực của BC

b) Vì O là trung điểm của CD và F là trung điểm của BC nên OF là đường trung bình của tam giác CBD

 OF // BD

Mà A, O, F thẳng hàng

Do đó OA // BD (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M Đường

thẳng vuông góc với OA tại O cắt MB tại C Chứng minh CM = CO

 COM AMO= (hai góc so le trong) (1)

Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau  OM là tia phân giác AMB

 AMO BMO= (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) COM=AMO=BMO

Xét tam giác OCM có: COM CMO=

Phương pháp giải: Chúng ta sử dụng các nội dung kiến thức sau

- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

- Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các

tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm) Chứng minh BAC= khi và chỉ khi 60

OA = 2R

Lời giải:

Để góc BAC 60= thì OAB 30= (Vì theo tính chất hai tiếp cắt nhau thì tia nối điểm đó với tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến)

Ta có: AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB ⊥ OB tại B

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

 = (điều phải chứng minh)

Chiều ngược lại: Nếu OA = 2R, ta chứng minh BAC=  60

Do AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm nên tam giác OAB vuông tại B

 = =  =  (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp

tuyến ME và MF (E, F là hai tiếp điểm) sao cho EMO=  Biết chu vi tam giác 30MEF là 30cm

a) Tính độ dài EF

b) Diện tích tam giác MEF

Lời giải:

a) Ta đi chứng minh OM vuông góc với EF

Vì MF và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM là tia phân giác EOFGọi giao điểm của EF và MO là I

Xét tam giác OFI và tam giác OEI có:

Lại có: IF = IE (hai cạnh tưng ứng) nên I là trung điểm của EF

Chu vi tam giác MEF là : c = ME + MF + EF

Mà ME = MF, EF = 2EI nên ta có

Chu vi tam giác MEF là: c = 2ME + 2EI (*)

Ta lại có tam giác IME vuông và EMI=  30

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt

Ax, By tại C và D Chứng minh:

a) AC + BD = CD

b) COD=  90

c) AC.BD = OA2

Lời giải:

a) Gọi d là tiếp tuyến của (O) qua M

Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C  AC = CM (tính chất) (1)

Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D  BD = DM (tính chất) (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

AC + BD = CM + DM

 AC + BD = CD (điều phải chứng minh)

b) Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C  AOC MOC=

Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D  MOD BOD=

Ta có:

AOC+MOC+ MOD BOD 180+ = 

Mà AOC MOC= và MOD BOD=

 2MOC 2MOD 180+ = 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A; AH)

Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

b) Chứng minh

2

DEBD.CE

4

Lời giải:

a) Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên EAC HAC= (tính chất)

Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DAB HAB=

Mà EAC HAC= và DAB HAB=

EAC HAC DAB HAB 180

DAE 180

 ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) Vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên AH ⊥BC và AH = R nên Bc

là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)

Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B nên BD = BH

Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CE = CH

Ta có:

BD CE = BH HC (do BD = BH và CE = HC)

Lại có: BH HC = AH = 2

2

DE2

4

 = (điều phải chứng minh)

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB

vẽ hai tiếp tuyến Ax và By M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyến Ax và By cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tại hai điểm B và C Đường thẳng AD cắt BC tại

N

a) Chứng minh A, C, N, O cùng thuộc một đường tròn Tìm tâm và bán kính

đường tròn đó

b) Chứng minh OC song song với BM

c) Tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất

d) Chứng minh MN và AB vuông góc với nhau

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và M là một điểm nằm trên (O)

Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D Đường thẳng

AM cắt OC tại E Đường thẳng BM cắt OD tại F

a) Chứng minh COD=  90

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c)Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Bài 3: Cho đường tròn (O;6cm) và điểm A nằm trên đường tròn (O) Qua A kẻ tiếp

tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8cm

a) Tính độ dài OB

b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) tại C Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O)

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn cùng phía đối với AB Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By ở C và D

a) Chứng minh tam giác COD và tam giác AMB đồng dạng

b) Chứng minh MC.MD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

c) Cho OC = BA = 2R Tính AC và BD theo R

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8cm, BC = 16cm

Gọi D là điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn

b) Tính HE

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác Tính IG

Bài 7: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến

AB AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm

a) Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của BC

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC Biết B = 2cm và OH = 1cm.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB Lấy M thuộc (O) sao cho MA < MB

Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H Đường thẳng AN cắt BM tại C Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D

a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh BK là tia phân giác góc MBN

c) Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Tìm vị trí điểm M trên (O) để tứ giác MNKC là hình thoi

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K là

tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác

a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nói trên

c) Tính bán kính (O) biết AB = AC = 20cm; BC = 24cm

Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi d và d’ là các tiếp tuyến tại A

và B Lấy C bất kỳ thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d’ tại D AD cắt BC tại N

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại điểm M

b) Tìm vị trí điểm C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất

c) Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BC và 12 1 2

OC +OD theo a

Bài 11: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Các cạnh AB, BC, AC tiếp

xúc với đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F Đặt BC = a, AC = b, AB = c