Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9 A Lý thuyết 1 Định lý 1 Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Áp dụng vào hìn[.]
Chuyên đề Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây - Toán A Lý thuyết Định lý Trong đường tròn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Áp dụng vào hình vẽ sau: Ta có OH ⊥ AB; OK ⊥ CD AB = CD ⇔ OH = OK Định lý Trong hai dây đường tròn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn Áp dụng vào hình vẽ sau: Ta có: OA = OB = OC = OD = R OH < OK ⇒ AB > CD Do Ví dụ cụ thể Câu 1: Cho đường trịn tâm O có bán kính 5cm, dây AB dài 8cm a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI = 1cm Kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh CD = AB Hướng dẫn: a) Gọi H trung điểm AB AH = HB = AB/2 = cm ⇒ OH ⊥ AB Khi đó: b)Điểm I nằm A H nên: AI + IH = AH suy ra: IH = AH – AI = - 1= cm Từ O kẻ OK ⊥ CD Ta có OKIH hình chữ nhật mà có OH = IH = 3cm ⇒ OKIH hình vng Nhận xét: Khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O đến CD nên Giải thích: B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho đường trịn (O; R = 25) Khi dây cung lớn đường trịn bằng? A 12,5 B 25 C 50 D 20 Lời giải: Trong đường trịn đường kính dây lớn đường trịn Vậy dây lớn đường tròn 50 Chọn đáp án C Câu 2: Cho đường tròn (O; R = 20) Cho dây cung MN có độ dài 36 Khoảng cách từ tâm O đến dây cung là? A 15 B √35 C √76 D 20 Lời giải: Khoảng cách từ O đến dây cung MN là: Chọn đáp án C Câu 3: Cho đường trịn (O; R), có dây cung MN có độ dài 24cm, khoảng cách từ O đến đường thẳng MN 16cm Độ dài bán kính R là? A 24cm B 25cm C 16cm D 20cm Lời giải: Độ dài bán kính đường tròn là: Chọn đáp án D Câu 4: Cho đường trịn (O), đường kính AB Kẻ hai dây AC BD song song Khi đó: A AC = BD B.AC = BD C BD = AC D Tất sai Chứng minh AC = BD Lời giải: Qua O dựng đường thẳng vng góc với AC BD Đường thẳng cắt AC BD M N Chọn đáp án A Câu 5: Cho đường tròn (O; 5cm) Dây AB CD song song, có độ dài cm cm Tính khoảng cách hai dây A cm B.8 cm C cm D cm Lời giải: Qua O dựng đường thẳng vng góc với AB CD, cắt AB CD M N Ta có: Áp dụng định lí Py tago vào tam giác vng OND OMB ta có: Khoảng cách hai dây AB CD là: MN = OM + ON = + = cm Chọn đáp án C Câu 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 13 cm, dây CD có độ dài 12 cm vng góc với AB H ( H nằm O A) Tính HB A 6cm B 8cm C.9cm D 10 cm Lời giải: Do AB đường kính nên bán kính đường trịn là: Chọn đáp án B Câu 7: Cho đường trịn tâm O bán kính cm hai dây AB AC Biết AB = 5cm, AC = 2cm Trong dây AB AC dây gần tâm hơn? A AB B AC C Chưa thể kết luận D Hai dây cách tâm Lời giải: Ta có: AB > AC ( cm > cm) nên dây AB gần tâm Chọn đáp án A Câu 8: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 6cm ngoại tiếp tam giác ABC vng A có AB = 6cm, AC = cm Trong dây AB , BC AC dây gần tâm hơn? A AB B BC C AC D chưa kết luận Lời giải: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 nên BC =10 cm Ta có: AB < AC < BC ( cm < cm < 10 cm ) Do đó, dây BC gần tâm nhất, dây AB xa tâm Chọn đáp án B Câu 9: Cho đường trịn tâm O, bán kính R = 10cm Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, biết góc A góc tù Hỏi dây AB, BC AC dây gần tâm nhất? A AB B AC C BC D Chưa kết luận Lời giải: Tam giác ABC có góc A góc tù nên Mà cạnh đối diện với góc A cạnh BC Áp dụng định lí: tam giác cạnh đối diện với góc lớn lớn ta được: BC > AC BC > AB Vậy tam giác ABC có độ dài cạnh BC lớn nên dây BC gần tâm Chưa thể kết luận dây xa tâm Chọn đáp án C Câu 10: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm (O) Tìm khẳng định đúng? A Hai dây AB AC cách tâm B Dây BC gần tâm C Dây BC gần tâm dây AC D Dây AB gần tâm dây BC Lời giải: Vì tam giác ABC cân A nên AB = AC Suy ra: hai dây AB AC cách tâm Ta chưa thể so sánh độ dài AB BC; AC BC nên ta chưa thể kết luận dây gần tâm hơn, dây xa tâm hay dây cách tâm Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn tâm O có bán kính 5cm, dây AB dài 8cm a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI = 1cm Kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh CD = AB Lời giải: a) Gọi H trung điểm AB AH = HB = AB/2 = cm ⇒ OH ⊥ AB Khi đó: b)Điểm I nằm A H nên: AI + IH = AH suy ra: IH = AH – AI = - 1= cm Từ O kẻ OK ⊥ CD Ta có OKIH hình chữ nhật mà có OH = IH = 3cm ⇒ OKIH hình vuông Nhận xét: Khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O đến CD nên Giải thích: Câu 2: Cho đường trịn tâm O bán kính 5, dây AB = a) Tính khoảng cách từ O đến AB b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI = , kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh AB = CD Lời giải: a) Gọi E hình chiếu O lên AB Khoảng cách từ O đến AB độ dài đoạn OE Ta có: b) Gọi F hình chiếu O lên CD Khi khoảng cách O đến CD OF Tứ giác OFIE có ba góc vng nên hình chữ nhật Do đó: OF = EI = AE - AI = - = Suy OE = OF theo định lí nên AB = CD Câu 3: Cho đường tròn (O; R) Lấy điểm A B đường trịn Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua MN; M C N a) Chứng minh: CM = DN b) Giả sử Lời giải: Tính OM theo R cho CM = MN = ND a) Xét hai tam giác COM DON có: b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên MN Câu 4: Cho hình vẽ sau, MN=PQ Chứng minh rằng: a, AE=AF b, AN=AQ Lời giải: Vì MN=PQ nên OE=OF( theo định lý liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Xét tam giác vuông AOE tam giác vng AOF có: OE=OF ( chứng minh trên) AO: chung Suy ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vng) Suy AE=AF( cạnh tương ứng)(1) Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính dây cung) Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính dây cung) Mà MN=PQ Suy ME=NE=PF=QF.(2) Từ (1) (2) suy AN=AQ Câu 5: Cho đường tròn(O), dây AB dây CD, AB < CD Giao điểm K đường thẳng AB, CD nằm ngồi đường trịn Đường trịn (O;OK) cắt KA KC M N Chứng minh KM < KN Lời giải: Kẻ OI ⊥AB, OE ⊥ CD Xét đường trịn (O;OA) có: AB CD dây cung, AB < CD Suy OI > OE Xét đường trịn (O;OK) có KN KM dây cung OI > OE Suy KM < KN Câu 6: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD cắt điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh rằng: a, IO tia phân giác hai góc tạo hai dây AB CD b, Điểm I chia AB, CD thành đoạn thẳng đôi Lời giải: a, Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD Vì CD=AB nên OK=OH Xét tam giác vuông IKO tam giac vng IOH ta có: OK=OH IO: chung Suy Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vng) => ∠KIO = ∠OIH ( góc tương ứng) Suy OI tia phân giác góc BID b, Theo câu a, Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vng) => IH=IK Xét đường trịn tâm (O), ta có: OK ⊥ CD nên suy CK=KD( định lý đường kính dây) (1) Xét đường trịn tâm (O), ta có: OH ⊥ AB nên suy AH=HB (định lý đường kính dây) (2) Từ (1) (2) ta có: CK=AH Mặt khác, IH=IK Suy AI=CI Vì CD=AB, mà AI=CI(chứng minh trên) nên ta suy ID=IB Câu 7: Cho đường trịn (O), bán kính OA OB Trên cung nhỏ AB lấy điểm M N cho AM=BN Gọi C giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh rằng: a, OC tia phân giác góc AOB b, OC vng góc AB Lời giải: Xét đường trịn tâm (O) có AM=BN Từ ta suy OE=OD (tính chất quan hệ đường kính dây cung) Xét tam giác vuông AOD tam giác vuông BOE có: OA=OB(cùng bán kính) OE=OD(chứng minh trên) => ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vng) => ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1) Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2) Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2 ∠BOC = ∠O3 + ∠O4 Từ (1) (2) ta suy ∠AOC= ∠BOC Suy OC tia phân giác góc AOB Xét tam giác OBF tam giác OAF có: ∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên) OA=OB OF: chung Suy ΔOBF = ΔOAF (c-g-c) => BF=AF( cạnh tương ứng) => OC ⊥ AB Câu 8: Cho hình vẽ sau, MN=PQ Chứng minh rằng: a, AE=AF b, AN=AQ Lời giải: Vì MN=PQ nên OE=OF( theo định lý liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Xét tam giác vuông AOE tam giác vng AOF có: OE=OF ( chứng minh trên) AO: chung Suy ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vng) Suy AE=AF( cạnh tương ứng)(1) Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính dây cung) Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính dây cung) Mà MN=PQ Suy ME=NE=PF=QF.(2) Từ (1) (2) suy AN=AQ Câu 9: Cho đường tròn(O), dây AB dây CD, AB < CD Giao điểm K đường thẳng AB, CD nằm ngồi đường trịn Đường trịn (O;OK) cắt KA KC M N Chứng minh KM < KN Lời giải: ... 36 Khoảng cách từ tâm O đến dây cung là? A 15 B √35 C √76 D 20 Lời giải: Khoảng cách từ O đến dây cung MN là: Chọn đáp án C Câu 3: Cho đường trịn (O; R), có dây cung MN có độ dài 24cm, khoảng cách. .. gần tâm hơn, dây xa tâm hay dây cách tâm Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn tâm O có bán kính 5cm, dây AB dài 8cm a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB b) Gọi... nên dây BC gần tâm Chưa thể kết luận dây xa tâm Chọn đáp án C Câu 10: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm (O) Tìm khẳng định đúng? A Hai dây AB AC cách tâm B Dây BC gần tâm C Dây BC