D \Tap chi khoa hoc 2017\Latex so 9 ho a Trung\tong9PP dvi HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI 10 18173/2354 1075 2017 0148 Educational Sci , 2017, Vol 62, Iss 9, pp 27 33 This paper is available online at ht[.]
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Educational Sci., 2017, Vol 62, Iss 9, pp 27-33 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2017-0148 MỘT PHƯƠNG ÁN GIỚI THIỆU VỀ SỐ TỰ NHIÊN TRONG GIẢNG DẠY SỐ HỌC Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung, Nguyễn Thành Quang Khoa Trung Giáo dục, Trường Đại học Vinh tâm Nghiên cứu - Khởi nghiệp sáng tạo, Trường Đại học Vinh Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi rõ tính cần thiết phần nội dung số tự nhiên giảng dạy học phần Số học đề xuất phương án trình bày việc xây dựng số tự nhiên lí thuyết tập hợp Ngồi ra, chúng tơi cịn tìm số ứng dụng cụ thể nguyên lí thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên giảng dạy nghiên cứu tốn học Từ khóa: Tập hợp, số, số tự nhiên, tiên đề quy nạp, tính thứ tự tốt Mở đầu Các nhà triết học Hy Lạp Pythagore Archimedes người đặt vấn đề nghiên cứu cách hệ thống số thực thể trừu tượng.Trong lịch sử, q trình đưa định nghĩa tốn học xác số tự nhiên trình nhiều khó khăn Các định đề Peano (1858 – 1932) đưa điều kiện tiên cho định nghĩa thành công số tự nhiên Một phép xây dựng khác số tự nhiên phương pháp số cho thấy rằng, với thành tựu lí thuyết tập hợp có, mơ hình tốn học tập hợp số tự nhiên tồn [1-3] Tuy nhiên, nhà toán học Vygotsky [4] lại cho rằng: Khái niệm số tự nhiên khái niệm đơn giản Khái niệm giải thích cách đưa vật cụ thể Mọi việc hình thức hố số tự nhiên vơ nghĩa Euclide (thế kỷ thứ III trước công nguyên) định nghĩa số tự nhiên “tập hợp tạo thành từ đơn vị” Cách định nghĩa thấy nhiều sách giáo khoa nay, từ “tập hợp” không dễ hiểu từ “số” chút Cùng với tiến trình chung lịch sử, người sáng tạo, phát triển sử dụng số tự nhiên công cụ thiết yếu quen thuộc Đồng quan điểm với Vygosky ý kiến khó khăn kiến thức chuẩn bị người học Đó là, họ cần đến kiến thức chuẩn bị tối thiểu trừu tượng tập hợp, ánh xạ số [5-7] Vì vậy, trình giảng dạy nội dung lí thuyết số tự nhiên học phần Số học, gặp phải số câu hỏi đặt cách tự nhiên xuất phát từ lí luận thực tiễn, cần quan tâm cịn có nhiều tranh luận sau [8, 9]: 1) Tính cần thiết nội dung xây dựng số tự nhiên lí thuyết tập hợp? Ngày nhận bài: 15/4/2017 Ngày nhận đăng: 2/7/2017 Liên hệ: Nguyễn Thị Châu Giang, e-mail: chaugiangdhv@yahoo.com.vn 27 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung Nguyễn Thành Quang 2) Mức độ tiếp cận, nội dung phương pháp trình bày số tự nhiên để phù hợp với khả tiếp nhận lợi ích người học? Bằng phân tích lí luận, kết hợp với kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy toán trường đại học sư phạm, mục tiêu báo đưa lí giải xây dựng biện pháp thực cần thiết để trả lời câu hỏi Ngồi ra, chúng tơi cịn sâu khai thác tìm số ứng dụng cụ thể tính chất thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên giảng dạy nghiên cứu toán học 2.1 Nội dung nghiên cứu Sự cần thiết phải trang bị cho người học lí thuyết số tự nhiên Lí thuyết số tự nhiên coi cửa ngõ tốn học Những hiểu biết số tự nhiên cần thiết cho sống ngành toán học Kronecker (xem [3]) viết: Thượng đế sáng tạo số tự nhiên phần cịn lại cơng việc Những khái niệm số tự nhiên có từ thời cổ xưa, phát sinh từ đếm Các nhà toán học Pythagore Archimedean người đặt vấn đề nghiên cứu cách có hệ thống số thực thể trừu tượng Cùng thời kì đó, số nơi ấn Độ, Trung Quốc Trung Mỹ có nghiên cứu độc lập tương tự Đến kỉ XIX, định nghĩa số tự nhiên xuất Với kiểu định nghĩa vậy, việc gộp số (ứng với tập hợp rỗng) vào tập hợp số tự nhiên trở nên thuận tiện giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học [1, 10] Một quan điểm xây dựng chương trình sách giáo khoa mơn Tốn nước tiếp cận thích ứng với xu hướng đại hoá giáo dục toán học Các kiến thức toán học dù bậc học cần phải trình bày ánh sáng quan điểm, tư tưởng lịch sử toán học tốn học đại [9] Vì vậy, chúng tơi đồng thuận cao với nhóm ý kiến cho rằng: Việc trình bày nội dung số tự nhiên lí thuyết tốn học cần thiết, có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng thực tiễn giảng dạy học tập học phần Số học thuộc chương trình đào tạo ngành sư phạm toán học ngành giáo dục tiểu học trường sư phạm Với nhiều mục đích, số tự nhiên trước hết tổng qt hóa theo nhiều hướng ứng dụng, góp phần đánh giá tiến người việc trừu tượng hóa số: Số thứ tự dùng để mô tả vị trí phần tử dãy thứ tự; số dùng để xác định kích thước (số phần tử) tập hợp hữu hạn; xác hố khái niệm hữu hạn vơ hạn Hơn nữa, kiến thức đơn giản số tự nhiên sinh viên quen thuộc cách quán tính, lại bổ sung đầy đủ cách khái qt xác hố ngơn ngữ tốn học đại Thơng qua nội dung giảng dạy số tự nhiên, trang bị cho người học mối liên hệ phương pháp chứng minh quy nạp toán học với tiên đề hoá tập hợp số tự nhiên Từ đó, giảng viên tạo nhu cầu, kích thích lịng say mê tính tích cực học tập, góp phần bồi dưỡng tư biện chứng cho người học việc tiếp thu khái niệm số học cụ thể hai đường từ tư trừu tượng đến cụ thể trực quan, sinh động ngược lại theo hướng khai thác vẻ đẹp toán học [6, 9] Về việc tránh khó khăn trình bày, giảng viên sử dụng kết lí thuyết tập hợp mà người học trang bị học phần tiên trước Đại số tuyến tính Đại số đại cương Mục tiêu đặt trình bày số tự nhiên khơng sâu vào lí thuyết tập hợp mà sử dụng kết thật cần thiết lí thuyết tốn học công cụ đủ để xây dựng tập hợp số tự nhiên Qua thực tiễn thấy rằng, trước trang bị lí thuyết số tự nhiên, câu hỏi kiểu: 1+1=2, a+b=b+a định nghĩa hay định lí tốn học, đặt với nhiều sinh viên 28 Một phương án giới thiệu số tự nhiên giảng dạy số học câu trả lời họ thường không giống nhau, khơng cho kết dứt khốt Khi người học nắm phương pháp xây dựng số tự nhiên (phương pháp tiên đề hoá phương pháp số) với khái niệm số tự nhiên xây dựng đầy đủ, hệ thống kết tính chất số tự nhiên chứng minh cách lơgic, chặt chẽ Ngồi ra, người học nắm tiên đề quy nạp, sở lơgic phép chứng minh quy nạp tốn học; biết ứng dụng tính chất thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên nhiều lĩnh vực toán học (Đại số tuyến tính, Đại số đại cương, Số học, Hình học, Giải tích, Xác suất thống kê, ) mà người dạy người học nhiều không quan tâm thật đầy đủ 2.2 Nhận xét phương pháp nội dung trình bày truyền thống số tự nhiên Trong giảng dạy học phần Số học Trường Đại học Vinh nhiều trường sư phạm khác nước ta, nhìn chung có chương chương số tự nhiên Giáo trình tham khảo tiếng Việt, thấy chủ yếu Giáo trình Số học tác giả Lại Đức Thịnh [10] số tài liệu trường đại học khác Nội dung trình bày theo phương pháp truyền thống bao gồm: Định nghĩa số số tính chất cần thiết số (có chứng minh [10]) Giới thiệu cơng nhận Định lí Cantor – Berstein thành tựu lí thuyết tập hợp để xây dựng quan hệ thứ tự ≥ số Định nghĩa tập hợp hữu hạn tính chất tập hữu hạn (có chứng minh [10]) Định nghĩa số tự nhiên số tập hợp hữu hạn Giới thiệu công nhận định lí tồn cận cận tập khác rỗng số dùng định lí để chứng minh nguyên lí thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên: Tập hợp N số tự nhiên với quan hệ thứ tự ≥ tập thứ tự tốt, nghĩa tập khác rỗng N có số nhỏ Giới thiệu định lí tiên đề quy nạp: Mọi phận M tập hợp tất số tự nhiên N thỏa mãn tính chất: A) ∈ / M; B) x ∈ / M kéo theo x’ ∈ / M, trùng với N, x’ số tự nhiên kề sau x Định nghĩa khái niệm số tự nhiên kề sau dựa vào công cụ số, không sử dụng phép cộng số tự nhiên Cách trình bày có ưu điểm bật tác giả triệt để sử dụng khái niệm kết số tập hợp để xây dựng số tự nhiên cách trọn vẹn, kể tiên đề quy nạp số tự nhiên chứng minh đầy đủ tính chất loại số đặc biệt (bản số hữu hạn) Tuy nhiên, giảng dạy theo cách trình bày [10], gặp khó khăn cụ thể sau đây: - Khi chứng minh tính chất thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên khó làm sáng tỏ, kiến thức cận cận tập số sử dụng trừu tượng quen thuộc với người học - Việc sử dụng tính chất thứ tự tốt để chứng minh tiên đề quy nạp định lí, dễ gây hiểu nhầm cho người học giảng viên khơng giải thích tốt lơgic tốn sinh viên chưa thật vững vàng đây, thường gặp câu hỏi thắc mắc từ phía đồng nghiệp người học: Một tiên đề toán học đề xuất coi mà không cần chứng minh; tiên đề điều kiện cần thiết để xây dựng lí thuyết nào; tiên đề thuộc nhóm yếu tố đầu tiên; thừa nhận nhiều tính chất số, việc chứng 29 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung Nguyễn Thành Quang minh thêm tiên đề quy nạp liệu có cần thiết khơng, mà thực chất theo cách trình bày tiên đề quy nạp tính chất số - Định nghĩa số tự nhiên kề sau thông qua số tạo nên trừu tượng khơng đáng có - Khơng giới thiệu định lí đặc trưng tập hữu hạn, tính chất tập hữu hạn để phân biệt với tập vô hạn: Tập hợp A hữu hạn |A| 6= |A| + Tập hợp A vô hạn |A| = |A| + 1, |A| số tập hợp A - Không giới thiệu tính chia hết định lí phép chia có dư tập hợp số tự nhiên: Với số tự nhiên a, b với b 6= 0, tồn số tự nhiên q, r cho a = bq + r, r a nên a+1∈M, / M6=N Từ tiên đề quy nạp, suy tồn số tự nhiên m∈M / cho m+1∈M / Ta chứng minh m số nhỏ A Thật vậy, m∈M / nên m≤x, 30 Một phương án giới thiệu số tự nhiên giảng dạy số học x∈A / Ngoài ra, m∈A / m1 số tự nhiên cho a m nguyên tố ≡1(modm) , ϕ hàm số Euler Ta định nghĩa cấp số nguyên a theo modm số nguyên dương nhỏ k cho ak ≡1(modm) Chú ý rằng, ngồi việc sử dụng định lí Euler để xây dựng khái niệm cấp số ngun, người ta cịn phải sử dụng tính chất thứ tự tốt N Tương tự, tính chất ứng dụng để xây dựng khái niệm: Cấp phần tử nhóm (Lí thuyết nhóm), đặc số vành (Lí thuyết vành), đặc số trường (Lí thuyết trường), chiều mơđun (Lí thuyết mơđun), Ví dụ (ứng dụng Số học bậc tiểu học [12]) Chứng minh rằng, bảy số hạng phân biệt có tổng 100, ln tìm ba số hạng có tổng khơng bé 50 Thật vậy, giả sử có: a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a7 =100 Sử dụng tính chất thứ tự tốt N giả thiết rằng: a1 >a2 >a3 >a4 >a5 >a6 >a7 Nếu a4 ≥15 a5 ≥16, a6 ≥17, a7 ≥18 Do đó, ta có: a1 +a2 +a3 ≥18+17+16=51>50 Nếu a4 ≤14 a5 ≤13, a6 ≤12 Do đó, ta có: a4 +a5 +a6 +a7 ≤14+13+12+11=50 Từ suy ra: a1 +a2 +a3 =100-(a4 +a5 +a6 +a7 )≥50 Ví dụ (ứng dụng Đại số tuyến tính [14]) Trong khơng gian vectơ thực V, cho hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính α1 , αn Khi đó, tồn số thực λ1 , λn không đồng thời cho có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu: λ1 α1 + +λn αn =θ Gọi q số nguyên dương bé cho λp αp + +λq αq =θ, λj 6=0, j=p, q αp , αq ∈ {α1 , αn }, λj ∈{λ1 , λn} j=p, q Số q tồn nhờ tính chất thứ tự tốt N Kĩ thuật chọn số tự nhiên q(1≤p≤q≤n) kiểu sử dụng nhiều 31 Nguyễn Thị Châu Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung Nguyễn Thành Quang chứng minh thuộc Đại số tuyến tính, Hình học đại số Giải tích hàm Với kỹ thuật trên, chúng tơi thành cơng chứng minh số kết tốn học lĩnh vực nghiên cứu chuyên ngành Đại số Lí thuyết số [15] Kết luận Qua nội dung nghiên cứu, thu kết cụ thể sau: - Trong chương trình đào tạo ngành sư phạm toán, nội dung xây dựng số tự nhiên thuộc học phần Số học thật có ích cho người học Những kiến thức cần thiết trang bị đầy đủ cho người thầy giáo tương lai dạy toán bậc học từ tiểu học đến trung học phổ thông - Khái niệm số tự nhiên xây dựng dựa sở lí thuyết tập hợp, phù hợp với cách tiếp cận đại tốn học, nhiều tính chất quen thuộc số tự nhiên chứng minh chặt chẽ lơgic, giúp người học nắm chất ứng dụng lĩnh vực khác - Phương pháp giới thiệu số tự nhiên đưa góp phần tạo thuận lợi cho giảng viên việc trình bày gây hứng khởi cho sinh viên việc tiếp thu số tự nhiên - Tính chất thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên công cụ hiệu việc xây dựng khái niệm tìm tịi kết sâu sắc nhiều lĩnh vực toán học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] G.N Becman, 2003 Số khoa học số (bản dịch tiếng Việt) Nxb Giáo dục Hà Nội Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, 2003 Số học thuật toán Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội M B Nathanson, 2000 Elementary Methods in Number Theory Springer M IA Vygotsky, 1977 Sổ tay toán học sơ cấp Nxb Tiến bộ, Moscow (Bản dịch tiếng Việt) S G Telang, 2001 Number Theory McGraw-Hill A Posamentier, 2003 Vẻ đẹp Toán học – Những toán gợi mở tư Nxb Dân Trí (Bản dịch tiếng Việt) [7] Nguyễn Thị Phương Nhung, Nguyễn Văn Thà, 2013 Hình thành mối liên hệ nội dung dạy học tốn trường phổ thơng với nội dung số học trường tiểu học cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học Tạp chí Giáo dục, Số 09, tr 141-142 [8] Nguyễn Văn Giám, 2006 Một số vấn đề giảng dạy môn Số học thời đại cơng nghệ thơng tin Tạp chí Giáo dục, Số 147, tr 25 -28 [9] Hoàng Tụy, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Văn Thành, Hoàng Chúng, 1962 Một số vấn đề triết học sở Toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội [10] Lại Đức Thịnh, 1977 Giáo trình số học Nxb Giáo dục, Hà Nội [11] Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tồn, 2007 Sự tương tự hoá số nguyên đa thức nghiên cứu giảng dạy số học Tạp chí Giáo dục, Số 11, tr 70 -72 [12] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Viết Dũng, 2009 Một số vấn đề giảng dạy toán học hệ thống đào tạo tín Tạp chí Giáo dục, Số 8, tr.14-16 [13] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Văn Thà, Phạm Mạnh Quyết, 2014 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải số tốn tổ hợp Tạp chí Giáo dục, Số 04, tr 162-164 [14] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Văn Thà, Phan Anh Tuyến, 2015 Khai thác vẻ đẹp bất đẳng thức giảng dạy tốn học Tạp chí Giáo dục, Số 5, tr 175-177 [15] Nguyen Thanh Quang, 1998 p-adic hyperbolicity of the complement of hyperplanes in Pn (Cp ) Acta Mathematica Vietnamica, Vol 23, No.1, pp 143-149 32 Một phương án giới thiệu số tự nhiên giảng dạy số học ABSTRACT An introduction method of natural numbers in the teaching on arithmetic Nguyen Thi Chau Giang, Nguyễn Thị Phương Nhung, Nguyen Thanh Quang Faculty of Education, Vinh University Center for Research – Entrpreneurship Innovation, Vinh University In this paper, we indicate the necessity of the section on natural numbers in teaching the course of Arithmetic and propose a plan of presentation in constructing natural numbers by the set theory In addition, we also find out some specific applications of the well-ordering principle of the set of natural numbers in teaching and studying mathematics Keywords: Set, Cardinal number, Natural number, Well-ordering property, Inductive axiom 33 ... +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a7 =100 Sử dụng tính chất thứ tự tốt N giả thiết rằng: a1 >a2 >a3 >a4 >a5 >a6 >a7 Nếu a4 ≥15 a5 ≥16, a6 ≥17, a7 ≥18 Do đó, ta có: a1 +a2 +a3 ≥18+17+16=51>50 Nếu a4 ≤14 a5 ≤13,... on natural numbers in teaching the course of Arithmetic and propose a plan of presentation in constructing natural numbers by the set theory In addition, we also find out some specific applications... ≤14 a5 ≤13, a6 ≤12 Do đó, ta có: a4 +a5 +a6 +a7 ≤14+13+12+11=50 Từ suy ra: a1 +a2 +a3 =100- (a4 +a5 +a6 +a7 )≥50 Ví dụ (ứng dụng Đại số tuyến tính [14]) Trong không gian vectơ thực V, cho hệ vectơ