TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr 1 8 1 RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CHO HỌC SINH THÔNG QUA TÌM LỜI GIẢI VÀ KHAI THÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ[.]
TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 8(3/2017) tr - RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CHO HỌC SINH THƠNG QUA TÌM LỜI GIẢI VÀ KHAI THÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ Hồng Thị Thanh1 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Một mục tiêu mơn Tốn trường phổ thơng phát triển lực trí tuệ chung, hình thành khả suy luận đặc trưng Toán học Trong báo này, tơi trình bày nghiên cứu việc rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua tìm lời giải khai thác tốn chứng minh hình học trung học sở (THCS) Mỗi biện pháp đề xuất làm sáng tỏ thông qua số ví dụ minh họa Từ khóa: Hoạt động trí tuệ chung, Trung học sở, Bài tốn chứng minh hình học Đặt vấn đề Do tính đặc thù, mơn Tốn địi hỏi học sinh (HS) phải thường xuyên thực hoạt động trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa nên có nhiều hội để rèn luyện hoạt động trí tuệ này, đồng thời giúp hình thành HS khả suy đốn, tưởng tượng phương pháp tư hiệu Trong tốn hình học trung học sở, toán thường gặp toán chứng minh Các tốn chứng minh hình học hấp dẫn nhiều hệ học sinh lời giải đẹp Chính vậy, tơi chọn tốn chứng minh hình học để rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh Các hoạt động trí tuệ chung 2.1 Phân tích tổng hợp “Phân tích tách (trong tư tưởng) hệ thống thành vật, tách vật thành phận riêng lẻ Tổng hợp liên kết (trong tư tưởng) phận thành vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống” [3] Phân tích tổng hợp hai hoạt động trí tuệ trái ngược lại hai mặt trình thống Trong hoạt động giải tốn, hiểu phân tích (phép phân tích) phương pháp suy luận từ chưa biết đến biết Phân tích lên (suy ngược lùi) có sơ đồ sau: B B0 B1 Bn A Phân tích xuống (suy ngược tiến) có sơ đồ sau: B B0 B1 Bn A Trong hai sơ đồ sơ đồ đây, A định nghĩa, tiên đề hay mệnh đề đó, cịn B mệnh đề cần chứng minh Ngày nhận bài: 26/8/2016 Ngày nhận đăng: 25/9/2016 Liên lạc: Hoàng Thị Thanh, e - mail: hoangthanhppt@gmail.com Trong phạm vi toán học, tổng hợp (phép tổng hợp) cịn gọi phép suy xi phương pháp suy luận từ biết đến chưa biết Sơ đồ phép tổng hợp sau: A A0 A1 An B Thông thường phép dùng để trình bày lời giải sau q trình phân tích 2.2 So sánh tương tự So sánh thao tác tư nhằm phát đặc điểm chung đặc điểm khác số đối tượng “Tương tự thao tác tư dựa giống tính chất quan hệ đối tượng tốn học khác nhau” [4] Có thể mô tả kết luận dựa tương tự hai đối tượng A B sau: Đối tượng A có tính chất a, b, c Đối tượng B có tính chất a, b Vậy B có tính chất c Sự tương tự, tính trực quan dễ hiểu nó, thường áp dụng việc giảng dạy toán học Song, giống phương pháp quy nạp khơng hồn tồn, tương tự dẫn đến kết luận sai 2.3 Khái quát hóa đặc biệt hóa “Khái qt hố việc chuyển từ nghiên cứu tập hợp đối tượng việc nghiên cứu tập hợp lớn bao gồm tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát” [4] “Đặc biệt hoá trình ngược lại khái qt hố, việc chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa nó” [4] Khái quát hóa đặc biệt hóa thường vận dụng tìm tịi giải tốn, Từ tính chất đó, muốn khái qt hóa thành dự đốn đó, trước hết ta thử đặc biệt hóa; kết đặc biệt hóa ta tìm cách chứng minh dự đốn từ khái quát hóa, sai ta dừng lại 2.4 Trừu tượng hóa Trừu tượng hố tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm không chất Sự phân biệt chất với không chất mang ý nghĩa tương đối, phụ thuộc mục đích hành động [3] Về mặt tốn học, trừu tượng hóa thao tác tách từ đối tượng toán học tính chất (về quan hệ số lượng hình dạng lôgic giới khách quan) để nghiên cứu riêng tính chất Rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua tìm lời giải khai thác tốn chứng minh hình học 3.1 Rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua tìm lời giải tốn Bài tập tốn nói chung tốn chứng minh hình học nói riêng thường khơng có thuật tốn tổng quát để giải mà phải dựa sở phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, so sánh, tương tự để nhận dạng tốn, tìm liên hệ xem có tốn tương tự, từ đưa lời giải tốt Chính thơng qua việc tìm lời giải tốn giúp rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) E giao điểm hai đường chéo Chứng minh EA= EB; EC= ED Hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo sơ đồ phân tích lên: Để chứng minh EA= EB ta chứng minh EAB cân E A tức chứng minh BAC ABD , muốn vậy, ta chứng minh BAC ABD hai góc tương ứng hai tam giác Dễ dàng chọn ABC BAD Theo tính chất hình thang cân HS dễ dàng chứng minh ABC BAD (c.g.c) có BA chung, BAD ABC , AD=BC B E D C Phân tích lên phương pháp suy luận hiệu sử dụng nhiều việc tìm lời giải tốn Cịn trình bày lời giải tốn chứng minh, ta thường dùng phương pháp tổng hợp (suy xi), tức trình bày theo thứ tự ngược lại bước phân tích lên Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB AC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD AC Gọi E, F trung điểm AD, BC Chứng minh rằng: BEF BAC Hướng dẫn HS phân tích tìm cách giải: A Giả thiết cho BD AC trung điểm E, F Nhìn vào hình vẽ ta thấy để liên kết giả thiết với cần thiết phải vẽ thêm hình phụ Khi có trung điểm cạnh tam giác, ta thường nghĩ đến vẽ thêm trung điểm cạnh khác, đường trung bình, trung tuyến Hơn nữa, từ kết luận gợi ý cho ta E D O B C F tạo góc BAC có cạnh BE Từ ta vẽ thêm điểm O trung điểm DC Và đó, EO đường trung bình tam giác EOF H nên ta có BEO BAC (đồng vị) Từ ta chuyển toán chứng minh BEF BEO A E Theo cách lấy điểm O ta dễ dàng suy EOF cân O nên OEF OFE Mà BEF OFE (so le trong) Nên BEF OEF hay BEF BEO D B F C Các cách khác: Theo phân tích để vẽ thêm hình phụ thay vẽ thêm điểm O ta vẽ điểm sau: + Trên tia CE vẽ điểm H cho E trung điểm CH Ta chứng minh cân H BDH + Vẽ điểm I trung điểm AB, ta có EIF cân I BIF BAC + Trên tia DF ta lấy điểm K cho F trung điểm DK Ta chứng minh ACK cân lập luận suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, cạnh a, M điểm nằm miền tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến cạnh ∆ABC số Hướng dẫn tìm cách giải: A Gọi x, y, z khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB Khi ta cần chứng minh tổng x+y + z = k khơng đổi Để tìm số k trước hết giáo viên (GV) cho HS đặc biệt hoá sau: + Cho M G x + y + x = cạnh a) Vậy k = a (đó chiều cao tam giác F I z M y x B C G A a + Hoặc, đặc biệt hóa cách cho M B , x 0, z y h độ dài đường cao đỉnh B, chiều cao tam giác ABC H h B C Có thể nói, rèn luyện khả tìm lời giải tốn khâu có tính chất định tồn cơng việc rèn luyện giải tốn Có nhiều đường khác để từ giả thiết đến kết luận, hay nói cách khác có nhiều cách giải khác cho toán GV cần thường xuyên tập luyện cho HS hoạt động trí tuệ để đứng trước toán, đề, HS có phương pháp suy luận hiệu quả, lựa chọn giải pháp tối ưu 3.2 Rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua việc hướng dẫn học sinh khai thác toán Xuất phát từ toán hay từ lời giải tốn, GV hướng dẫn HS khai thác toán cách thực số hoạt động trí tuệ chung như: khái qt hóa, đặc biệt hố, phân tích, tương tự để HS tự tạo tốn mới, rèn luyện tính độc lập, khả sáng tạo cho em Đây biện pháp hiệu giúp rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh Dưới số ví dụ: Bài tốn 1: Cho tam giác ABC vng A Dựng ngồi tam giác tam giác vuông cân A CAE BAD Gọi P, Q, M trung điểm BD, CE, CB Chứng minh rằng: a BE CD BE CD; b Tam giác PMQ vuông cân Giải a Ta có: CAE BAC 90o (giả thiết), suy ba điểm B, A, E thẳng hàng BAD BAC 90o (giả thiết), suy ba điểm C, A, D thẳng hàng Từ ta suy BE CD BE BA AE , CD CA AD Mà BA AD (giả thiết), AC AE (giả thiết) Do BE CD b Từ giả thiết suy MP đường trung bình BDC MP / /CD (hay MP / /AC ) MP CD (1) D E Tương tự, MQ đường trung bình BEC nên MQ / /BE (hay MQ / /AB ) MQ BE (2) A P Theo a) ta có BE CD (3) Q Từ (1), (2), (3) suy MP MQ (4) Mặt khác, BAC 90 (tức AB AC ) MP / /AC , MQ / /AB suy MP MQ (5) Từ (4) (5) suy B C M MPQ vuông cân M Sau tìm lời giải tốn, GV hướng dẫn HS sử dụng hoạt động trí tuệ: phân tích, tương tự khái q hóa, để khai thác toán Cụ thể: Nhận xét 1(tương tự): Giả sử tam giác ABC cho trước tam giác vng mà tam giác thường, có A 90 chẳng hạn Thiết lập toán tương tự, điều chứng minh có cịn khơng? Ta chứng minh kết tương tự, từ ta có Bài tốn 1.1 Bài tốn 1.1: Cho tam giác thường ABC (có D A 90o ) Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân CAE BAD Gọi P, Q, M trung điểm BD, CE, CB Chứng minh rằng: a BE CD BE CD ; E A P b Tam giác PMQ vuông cân Giải Q I a Xét DAC BAE có: AD AB (giả thiết), AC AE (giả thiết), DAC 90 BAC BAE Suy DAC = BAE Do BE = CD ACD AEB B M C Gọi I giao điểm BE CD Xét DAC có: IEC 45 AEB 45 ACD 45 ACI ECI 45o ACI Suy EIC 180 IEC ECI 180 45 ACI 45 ACI 90 Vậy BE CD b Chứng minh tương tự Bài toán Nhận xét (tương tự): Nếu tam giác ABC cho có A 90 Thiết lập tốn tương tự, điều chứng minh cịn khơng? Ta chứng minh kết trên, từ ta có Bài toán 1.2 Bài toán 1.2 phát biểu chứng minh tương tự Bài toán 1.1 Nhận xét (khái quát hóa): Sau giải xong toán trên, ta đến toán tổng quát cho ba tốn Ta có Bài tốn 1.3 Bài tốn 1.3: Dựng phía ngồi tam giác ABC cho trước tam giác vuông cân A CAE BAD Gọi P, Q, M trung điểm BD, CE, CB Chứng minh rằng: a BE CD BE CD b Tam giác PMQ vuông cân Đến GV hướng dẫn HS phân tích kết tốn sau: Nhận xét (phân tích - tổng hợp): Gọi N giao điểm MP BE, K giao điểm của, MQ CD Khi đó, từ kết Bài tốn 1.3 nhận xét hình dạng tứ giác NIKM (dễ dàng suy tứ giác NIKM hình chữ nhật) Do ta thay kết luận a) b) toán câu hỏi khác Ta có Bài tốn 1.4 Bài tốn 1.4: Dựng phía ngồi tam giác ABC cho trước tam giác vuông cân A CAE BAD Gọi P, Q, M trung điểm BD, CE, CB; N giao điểm MP BE, K giao điểm MQ CD Chứng minh tứ giác NIKM hình chữ nhật D J E I P Q A N K B M C Nhận xét (phân tích - tổng hợp): Gọi J trung điểm DE Khi đó, theo cách chứng minh Bài tốn 1, nhận xét hình dạng tam giác PJQ (tam giác PJQ vuông cân J) Từ nhận xét hình dạng tứ giác PMQJ (tứ giác PMQJ hình vng) Vậy, ta bổ sung yêu cầu cho Bài toán sau: “c Gọi J trung điểm DE Chứng minh PMQJ hình vng” Nhận xét (tương tự): Ta tiếp tục hướng dẫn HS khai thác tương tự cách thay giả thiết dựng tam giác ABC cho trước tam giác vuông cân A BAD CAE việc dựng hai tam giác Khi đó, kết tốn thay đổi nào? Ta toán với kết BE, DF 60 Ngồi việc rèn luyện hoạt động trí tuệ, GV cịn rèn luyện hoạt động ngơn ngữ cho HS cách yêu cầu HS phát biểu toán theo cách khác Chẳng hạn: Bài tốn phát biểu dạng khác Ta có Bài tốn 1.5 Bài tốn 1.5: Dựng phía ngồi tam giác ABC cho trước hình vuông BADG CAEF Gọi P, Q theo thứ tự tâm hình vng BADG CAEF, M trung điểm BC Chứng minh rằng: a BE CD BE CD ; b Tam giác PMQ vng cân Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AA1 , BB1 , CC1 cắt G Chứng minh GA1 GB1 GC1 (1) AA1 BB1 CC1 Giải A Từ giả thiết ta suy G trọng tâm ABC nên GA1 GB1 GC1 ta có: AA1 BB1 CC1 Suy GA1 GB1 GC1 1 AA1 BB1 CC1 3 C1 B1 G B C A1 * Khai thác toán Nhận xét 1(tương tự): Ta chứng minh giao điểm ba đường trung tuyến tam giác có tính chất (1) Câu hỏi đặt thay giả thiết giao điểm ba đường trung tuyến giao điểm ba đường cao (hay ba đường trung trực, ba đường đường phân giác) tam giác, liệu tính chất (1) cịn khơng? Ta chứng minh kết trên, ta có Bài toán 2.1, Bài toán 2.2, Bài toán 2.3 Bài tốn 2.1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA1 , BB1 , CC1 cắt H Chứng minh HA1 HB1 HC1 1 AA1 BB1 CC1 Giải A Ta có: SHBC HA1.BC , f L2 (QT ) Suy SHBC HA1.BC HA1 SABC AA1.BC AA1 Tương tự: C1 SHAB HC1 SHAC HB1 , SABC CC1 SABC BB1 B1 H B A1 C SHBC SHAC SHAB HA1 HB1 HC1 SABC SABC SABC SABC AA1 BB1 CC1 SABC Bài toán giao điểm ba đường trung trực, ba đường đường phân giác phát biểu chứng minh tương tự Bài tốn 2.1 Nhận xét (khái qt hóa): Khái qt hóa từ tốn trên, O điểm tam giác ABC, tính chất (1) cịn khơng? Ta chứng minh kết Từ ta có Bài tốn 2.4 Bài toán 2.4: Cho O điểm tam giác ABC Các tia AO, OB, OC kéo dài cắt BC, AC, AB A1 , B1 C1 Chứng minh rằng: ... tuệ chung cho học sinh thơng qua tìm lời giải khai thác tốn chứng minh hình học 3.1 Rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua tìm lời giải tốn Bài tập tốn nói chung tốn chứng minh. .. Rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thơng qua việc hướng dẫn học sinh khai thác toán Xuất phát từ toán hay từ lời giải toán, GV hướng dẫn HS khai thác tốn cách thực số hoạt động trí tuệ. .. đưa lời giải tốt Chính thơng qua việc tìm lời giải tốn giúp rèn luyện hoạt động trí tuệ chung cho học sinh Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) E giao điểm hai đường chéo Chứng minh EA=