Kiến thức trọng tâm Toán lớp 8

Kiến thức trọng tâm Toán lớp 8Tài Liệu Ôn Thi Group https TaiLieuOnThi Net T A IL IE U O N T H I N E T https tlot cctailieuonthigroup https TaiLieuOnThi Net Tuyensinh247 com 1 Phép nhân, phép chia đa thức 3 Phân thức đại số.

Trang 2

Phép nhân, phép chia đa thức 3

Phân thức đại số 6

Phương trình bậc nhất một ẩn 9

Bất phương trình bậc nhất một ẩn 10

Tứ giác 13

Diện tích đa giác 20

Đường trung bình của hình tam giác, hình thang 21

Đối xứng trục 22

Đối xứng tâm 23

Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 23

Tam giác đồng dạng 24

Hình lăng trụ đứng, hình chóp đều 28

MỤC LỤC

Trang 4



.

A B C  A BA C

AB C D ACADBCBD

1 Bình phương của một tổng:

2 Bình phương của một hiệu:

3 Hiệu hai bình phương:

4 Lập phương của một tổng:

5 Lập phương của một hiệu:

6 Tổng hai lập phương:

7 Hiệu hai lập phương:

PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA ĐA THỨC

7 hằng đẳng thức cơ bản Phép nhân đơn thức với đa thức

Phép nhân đa thức với đa thức

Trang 5

1 Bình phương của một tổng: 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2ABCABCABBCACABCABCABBCACABCABCABBCAC                     2 Tổng ba lập phương: 333333322233ABCABCAB BC CAABCABCABCABBCCAABC                  

Phương pháp đặt nhân tử chung

VD: Phân tích đa thức 5x23x thành nhân tử

Nhân tử chung: x25x 3xx 5x3Phương pháp dùng hằng đẳng thức VD: Phân tích đa thức 2 21 4x  y thành nhân tử Áp dụng hằng đẳng thức: 22 A B  ABAB2 2    2 1 4 1 2 1 2 1 2         xyxyxyxyPhương pháp tách, nhóm hạng tử

VD: Phân tích đa thức x2 3xxy3y thành nhân tử

  

2

3 3 3 3 3

         

xxxyyx xy xxxy

Phân tích đa thức thành nhân tử Một số hằng đẳng thức mở rộng

Trang 6

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B ) ta làm như

sau:

 Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

 Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

 Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều

chia hết cho đơn thức B ), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại

với nhau

 Chia hệ số của đa thức A cho hệ số của đơn thức B

 Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B.

 Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau

Phương pháp đặt ẩn phụ

VD: Phân tích đa thức x43x24 thành nhân tử

Đặt 20tx t Ta có: 22   3 4 4 4 1 4 1 1 4            tttttt ttttHay x4 3x24 x2 1x2 4  x21x2x2

Phối hợp nhiều phương pháp

VD: Phân tích đa thức 9x2y24y4x thành nhân tử

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức     229 4 4 9 49 4 9 4xyyxx y x yy xx y x yx yx yx y                  Phép chia đa thức

Phép chia đơn thức cho đơn thức

Phép chia đa thức cho đơn thức

Trang 7

Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng A,

B trong

đó A B, là những đa thức và B khác đa thức 0.

 A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)

 Hai phân thức AB và

C

D gọi là bằng nhau nếu A D B C.  . Ta viết:

 .

.

AA M

B  B M với M là một đa thức khác đa thức 0.

 :

:

AA N

BB N với N là một đa thức khác đa thức 0.

  AABB hoặc AABB Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung  Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể:

 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành nhiều phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho

A C

B  D nếu A D B C.  .

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1 Phân thức đại số

2 Tính chất cơ bản của phân thức

3 Rút gọn phân thức

4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Trang 8

 Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

 Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung  Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

 Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

 Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức:

 Cộng hai phân thức không cùng mẫu thức:

 Bước 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức đa cho

 Bước 2: Thực hiện cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được

 Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

 Phân thức đối của A

B là AB hay AB hay AB Muốn trừ hai phân thức A

B cho phân thức C

D, ta cộng A

B với phân thức đối

Trang 9

 Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau

 Phép nhân các phân thức có các tính chất sau:

 Giao hốn: A C  C A.B DD B Kết hợp:           A CEAC EB DFBD F

 Phân phối với phép cộng:    

  ACEA CA EBDFB DB F Phân thức nghịch đảo  Nếu AB là một phân thức khác 0 thì A B. 1.B A B

A là phân thức nghịch đảo của phân thức .AB

 A

B là phân thức nghịch đảo của phân thức .BA

 Muốn chia phân thức A

Trang 10

 Phương trình một ẩn x: A x B x  với A x B x là các đa thức của biến    ,

x

 Nghiệm của phương trình: giá trị xx0 được gọi là nghiệm của phương trình   

A x B x nếu khi ta thay giá trị xx0 vào phương trình ta được một đẳng thức đúng

 Giải phương trình: là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

 Tập nghiệm của phương trình: Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương

trình gọi là tập nghiệm của phương trình

 Hai phương trình tương đương: là hai phương trình có cùng tập nghiệm

 Phương trình bậc nhất một ẩn x: ax b 0

 Cách giải: ta dùng hai quy tắc:

 ax  b 0 ax b (quy tắc chuyển vế (đổi dấu))  axb 0 xb

a

     với a0 (quy tắc nhân với 1 số)  Phương trình ax b 0  *

 Nếu a0 thì  * là phương trình bậc nhất một ẩn x

 Nếu a0 và b0 thì  * vơ số nghiệm  Nếu a0 và b0 thì  * vơ nghiệm  Phương trình đưa được về dạng ax b 0

 Phương trình có 2 vế là hai biểu thức hữu tỉ và không chứa ẩn ở mẫu:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 Phương trình một ẩn

2 Phương trình bậc nhất một ẩn

Trang 11

 Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử chứa biến x qua một vế, hằng số

một vế

 Bước 2: Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được  Phương trình tích: một tích bằng 0 thì mỗi thừa số bằng 0

      0 00A xA x B xB x   

 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Bước 1: Tìm mẫu thức chung và tìm điều kiện xác định  Bước 2: Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu

 Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

 Bước 4: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm

 Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

 Bước 2: Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết  Bước 3: Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng  Bước 4: Giải phương trình vừa nhận được

 Bước 5: Đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận

Với hai số a b, ta có 4 dạng bất đẳng thức:

ab

   ab  ab  ab

Cho bất đẳng thức ab

 Quy tắc cộng: a    bacac với mọi số thực c

 Quy tắc nhân: a ba c b c với mọi số thực c0

.

a ba cb c với mọi số thực c03 Giải tốn bằng cách lập phương trình

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân

Trang 12

 Tính chất bắc cầu: nếu abbc



 thì ac

 Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: nếu abcd



 thì a  cbd

 Bất phương trình một ẩn x: với A x B x là các đa thức của biến x, có 2    ,dạng:

 Dạng 1: A x B x   Dạng 2: A x B x 

 Nghiệm của bất phương trình: giá trị xx0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình A x B x  nếu khi ta thay giá trị xx0 vào bất phương trình ta được một bất đẳng thức đúng

 Giải bất phương trình: là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó,  Tập nghiệm của bất phương trình: tập hợp tất cả các nghiệm của một bất

phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình

 Hai bất phương trình tương đương: là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm  Biểu biễn tập nghiệm của bất phương trình:

Trang 13

 Bất phương trình bậc nhất một ẩn x có một trong bốn dạng sau: 0ax b    ax b 0  ax b 0  ax b 0 Cách giải: ta dùng 2 quy tắc:  Quy tắc chuyển vế (cộng): ax  b 0 ax b Quy tắc nhân: 00bxaaaxbbxaa        

 Giá trị tuyệt đối của một số A:  00Akhi AAA khi A  

 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng: A x  B x 

 Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đốik TH1: A x  0 A x B x 

TH2: A x   0 A x B x  hay A x  B x 

 Bước 2: Giải phương trình nhận được ở mỗi trường hợp Đối chiếu điều kiện ở mỗi trường hợp để kết luận

3 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trang 14

cạnh bên

 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau

 Hình thang vng là hình thang có một góc vng

 Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau

 Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

Trang 15

Trong hình thang cân,

 Hai cạnh bên bằng nhau  Hai đường chéo bằng nhau  Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau

 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân  Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

 Hình thang có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân  Hình thang có hai cạn bên bằng nhau (nếu hai cạnh bên đó khơng song song)

là hình thang cân

 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau

DCABDCABADBC

Dấu hiệu nhận biết

3 Hình bình hành

Định nghĩa

Trang 16

 Các cạnh đối bằng nhau  Các góc đối bằng nhau

 Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành  Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành  Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành  Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng OADBCOABDCTính chất

Dấu hiệu nhận biết

4 Hình chữ nhật

Định nghĩa

Trang 17

 Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân  Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đường

 Tứ giác có ba góc vng là hình chữ nhật

 Hình thang cân có một góc vng là hình chữ nhật  Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật

 Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

 Trong tam giác vng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

 Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng

 Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Dấu hiệu nhận biết

Áp dụng vào tam giác

5 Hình thoi

Định nghĩa

Trang 18

 Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

 Trong hình thoi, hai đường chéo vng góc với nhau và là đường phân giác của các của các góc ở đỉnh của hình thoi

 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

 Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi

 Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi DACBODACBTính chất

Dấu hiệu nhận biết

Trang 19

 Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh bằng nhau

 Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vng

 Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau là hình vng

 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vng

 Hình thoi có một góc vng là hình vng

 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vng

CBADOCBAD6 Hình vng Định nghĩa Tính chất

Dấu hiệu nhận biết

Trang 20

7 Mối liên hệ của các tứ giác

Trang 21

Tên gọi Hình vẽ Cơng thức

Hình tam giác

Diện tích hình tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: 1.2S a hHình tam giác vng

Diện tích của tam giác vng bằng nửa tích các cạnh góc vng: 1.2S a bHình thang

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao:

1.2S  ab hHình bình hành Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng: S a hTứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau

Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau bằng nửa tích độ dài hai đường chéo:

121.2S d dHình thoi

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo:

121.2S d dahabbhahad2d1d1d2

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Trang 22

Hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó:

.

S a b

Hình vng

Diện tích của hình vng bằng bình phương cạnh của nó:

2

S a

 Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh của tam giác

 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

 Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy baaaFEDABC

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH TAM GIÁC, HÌNH THANG

1 Đường trung bình của tam giác

Trang 23

 Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai

 Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng một nửa tổng hai đáy

 Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai đểm đó

 Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại  Hình có trục đối xứng: FEBADCdC'B'AA'BC

2 Đường trung bình của hình thang

ĐỐI XỨNG TRỤC

Trang 24

 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua đường thẳng d cũng thuộc hình

 Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó

 Hai điểm gọi là đối xứng tâm với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đạn thẳng nối hai điểm đó

 Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại

 Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc H Trong trường hợp này, ta cịn nói rằng hình H có tâm đối xứng O

 Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

C'A'BOB'CAĐỐI XỨNG TÂM

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Trang 25

 Các điểm cách đều đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h

 Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoẳng bằng h

 Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

 Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều

 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo  Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo

 Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu có tỉ lệ thức: ABA BCDC D   hay ABCDA B C D   

 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

B C // BC ABAC ; ABAC ; ABACABACB BC C B BC C         TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1 Tỉ số của hai đoạn thẳng

2 Đoạn thẳng tỉ lệ

3 Định lí Ta – lét trong tam giác

Trang 26

 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

AMAN

MNMB  NC  // BC

 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

MN // BC AMANMNMBNCBC

  

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và

cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại 4 Định lí Ta – lét đảo

5 Hệ quả

Trang 27

 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai

đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy AD, AE là các phân giác trong và

ngoài của BAC

DBABEBDC  AC  EC; ;AABBCCABCA B CA BB CC AABBCCA                     

Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp

đỉnh tương ứng: A B C    ABC

 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai

cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại

 Trường hợp 1 (c.c.c): A BB CC AA B CABCABBCCA            Trường hợp 2 (c.g.c): A BC A , AAA B CABCABCA             

7 Khái niệm tam giác đồng dạng

8 Định lí

9 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trang 28

 Trường hợp 3 (g.g):        A A, B BA B C   ABC

 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó đồng dạng với nhau

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

 Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng  Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng  Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng  Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng

 Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng 10 Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

11 Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Trang 29

Hình Diện tích xung

quanh Diện tích tồn phần Thể tích

- Lăng trụ đứng: Hình có các mặt bên là những hình chữ nhật, đáy là một đa giác 2xqS  php: nửa chu vi đáy h: chiều cao tpxqdS S S.V S hS: diện tích đáy h: chiều cao

- Lăng trụ đều: Lăng trụ

Trang 30

Chóp đều: Hình chóp đều

là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh

.

xq

S  p dp: nửa chu vi đáy d: chiều cao của