Kiến thức trọng tâm toán lớp 9

Kiến thức trọng tâm toán lớp 9 Tài Liệu Ôn Thi Group https TaiLieuOnThi Net T A IL IE U O N T H I N E T https tlot cctailieuonthigroup https TaiLieuOnThi Net Tuyensinh247 com 1 Căn bậc hai – căn bậc ba 3 Hàm số bậc nhất 11 H.

Trang 2

Căn bậc hai – căn bậc ba 3

Hàm số bậc nhất 11

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 18

Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 21

Đồ thị hàm số bậc hai  2yax 24

Phương trình bậc hai 2  axbxc 0 a0 25

Hệ thức lượng trong tam giác vng 29

Đường trịn 31

Góc với đường trịn 36

Hình nón, hình trụ, hình cầu 42

MỤC LỤC

Trang 4

CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho 2

x a

 Số dương a có hai căn bặc hai là hai số đối nhau là a và  a

 Số 0 có đúng một căn bậc hai chính là số 0, ta viết 0 0

 Với số dương a, số a là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0

 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3a

A có nghĩa  A 0 1A có nghĩa  A 0  f xg x xác định khi   00f xg x  f xg x có nghĩa khi g x 0  f xg x có nghĩa khi    00f xg xg x   f xg x có nghĩa khi   00g xf x   .f x g x có nghĩa khi     0000f xg xf xg x  

3 Điều kiện để biểu thức xác định (có nghĩa) 1 Căn bậc hai

2 Căn bậc ba

Trang 5

 Khai thương một tích: AB  A B A 0,B0

 Khai phương một thương: AAA 0,B 0

B  B   Với B0, ta có: 2 00A B khi AA BABA B khi A     Với B0, ta có: 22 0.0A B khi AA BA B khi A   

Trục căn thức ở mẫu là làm cho mẫu số khơng cịn biểu thức chưa căn

Cách 1 Đặt thừa số chung ở tử số và mẫu số, rồi rút gọn

Cách 2 Nếu mẫu số chỉ chứa một thừa số có căn, ta nhân với chính thừa số đó:

AABBB  AA BBB Chú ý:  Nếu f x  af x   af xa    với a0 Nếu f x     aaf x a với a0 Nếu    2 f xafxaf xa    với a0 Nếu 2  fx   aa  f x  a với a0

4 Liên hệ phép khai phương – phép nhân – phép chia

5 Đưa thừa số vào trong – ra ngoài căn

6 Trục căn thức ở mẫu

Trang 6

Cách 3 Nếu mẫu số là tổng các biểu thức, ta nhân biểu thức liên hợp 2CABCABAB 323323233233 3 3 3 2 3 3 2323323233233 3 3 3 2 3 3 2 CABCABABCAABBCAABBCABABABAABBCAABBCAABBCABABABAABB                 Phương pháp chung

Bước 1 Xác định điều kiện

Bước 2 Biến đổi tương đương (đưa về dạng tích, bình phương,…) để tìm x

Bước 3 So sánh với điều kiện và kết luận

Một số biến đổi hay gặp

Trang 7

7 ABABAB     8 000AABB     9 A   AA 0 10 A    AA 0 Dạng 1:        2000 0000cptVNf xf xccf xf xf xcf xc                 Dạng 2:      2 0g xf xg xf xgx   Dạng 3: 2    

fx g x  f x g x (sau đó giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối)  Dạng 4:       00g xf xg xf xf xg x    Dạng 5:     00 00cPTVNf xg xccf xg xc           Dạng 6: f x  g x  h x Điều kiện:    000f xg xh x 

rồi bình phương hai vế thành:

    2    

2 f x g x hx  f x g x rồi đưa về dạng 2 8 Các dạng toán thường gặp

bình phương hai vế

Trang 8

 Dạng 7: f x  g x  h x Điều kiện:    000f xg xh x 

rồi bình phương hai vế thành:

       

2 f x g x h x  f x g x rồi đưa về dạng 2

 Dạng 8: f x  g x  h x 

Ta chuyển vế đưa về: f x  h x  g x  rồi làm như dạng 6

 Dạng 9: f x  g x  h x  k x Điều kiện:     0000f xg xh xk x 

rồi bình phương hai vế

 Dạng 10: a f x   bc f x  d

Tìm điều kiện rồi đặt c f x   dt và tìm điều kiện của t

Bình phương rút f x  theo t để đưa phương trình ẩn t

 Dạng 11: a bx cd ex g bxc ex ghx0Tìm điều kiện rồi đặt a bx cd ex gt và tìm điều kiện của t

Bình phương hai vế được bxc ex g theo t

Cách 1 Tính trực tiếp rồi so sánh

Cách 2 Đưa thừa số vào trong, ra ngoài căn rồi so sánh Cách 3 Lũy thừa hai vế rồi so sánh

9 So sánh căn bậc hai

Trang 9

Cách 5 Dùng bất đẳng thức Cách 6 Dùng thừa số trung gian

 Nếu đề bài đã cho một giá trị xa, ta kiểm tra với điều kiện sau đó thay vào biểu thức ban đầu rồi tính

 Nếu đề bài cho một phương trình f x 0, ta phải giải phương trình để tìm được nghiệm, so sánh với điều kiện và chọn giá trị nghiệm thỏa mãn thay vào biểu thức ban đầu rồi tính

Các bước giải:

Bước 1 Tìm điều kiện xác định

Bước 2 Thực hiện phép chia đưa biểu thức về dạng   a

Af x

g x

 

TH1 Xét x nhưng x  x là số vô tỷ A là số vô tỷ (loại)

TH2: Xét x và x Để A a g x g x Ư a từ đó tìm ra x

Bước 3 So sánh điều kiện và đưa ra kết luận

Chú ý:

 Phải xét A 0 x (nếu có) Trường hợp này thường xảy ra khi bậc của tử số lớn hơn mẫu số và A0 có nghiệm

 Nếu hệ số của biến x trên tử số không chia hết cho hệ số của biến x ở dưới mẫu

số, các em cần tìm theo phương pháp lớp 6

 Với bài tốn tìm x , tìm giá trị nguyên nhỏ nhất, lớn nhất của x để biểu thức nhận giá trị nguyên hoặc tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P đạt giá trị nguyên lớn nhất, biểu thức P đạt giá trị nguyên nhỏ nhất các em làm tương tự Sau khi lập bảng sẽ dựa vào bảng để kết luận

10 Tính giá trị của biểu thức

11 Tìm x nguyên, tìm x , tìm số nguyên lớn nhất, tìm số nguyên nhỏ nhất để giá trị của biểu thức A nguyên

Trang 10

Các bước giải:

Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức

Bước 2 Tìm xem A có thể nằm trong khoảng nào, đoạn nào mà A  Ax

 Để tìm A nằm trong khoảng, đoạn nào các em có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc phương pháp tìm

 Từ đó, suy ra minA A maxA

Chú ý: Với những câu hỏi tìm x (tìm x ,x ) để biểu thức A đạt giá trị nguyên nhỏ nhất, đạt giá trị nguyên lớn nhất thì cách làm tương tự Sau khi lập bảng các em dựa vào bảng để kết luận

Các bước giải

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của A x  

Bước 2

 Cách 1 Nhận xét rồi rút x  f m  Dựa vào điều kiện ở bước 1 để tìm điều kiện của m

 Cách 2 Phương trình có nghiệm khi minA x  m maxA x 

Các bước giải

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của P

Bước 2 Biến đổi chuyển bất phương trình về dạng P f m  hoặc P f m :

 Bất phương trình P f m  có nghiệm khi f m maxP, có nghiệm với mọi

  min

f m  P

12 Tìm giá trị của x, tìm x ,x để giá trị biểu thức A nguyên

13 Tìm giá trị của tham số mđể A x m có nghiệm

14 Tìm giá trị của tham số m để   Pf mPf m

 có nghiệm, vô nghiệm

Trang 11

 Bất phương trình P f m  có nghiệm khi f m minP, có nghiệm với mọi

x khi f m maxP

 Ta sẽ chuyển bài toán về tìm min ,maxPP trước khi tìm m

Trang 12

Đồ thị hàm số



yaxb

Là hàm số bậc nhất khi a0 Có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm 0;b và 1;ab

Sự biến thiên

Đồng biến khi a0

Nghịch biến khi a0

Hàm hằng yb khi a0, có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm 0;b

Hệ số góc là

Góc tại bởi tia Ox và đường thẳng yaxb là  với tan a

0

a  là góc nhọn 0

a  là góc tù

Thay x vào ta được Mf x M axM b

Nếu f x M  yM M thuộc đồ thị Nếu f x M  yM M không thuộc đồ thị

Mối quan hệ giữa 2 đường thẳng: 111222::dya xbdya xb  121212121212/ /     aaddbbaaddbb1d cắt 2 1 212  aadbb1 2  1 2  1dda a

Trang 13

Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ta lấy hai điểm mà đồ thị đi qua, rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó (thường lấy giao của đồ thị với hai trục Ox Oy ) ,

 Đồ thị y ax b  đi qua hai điểm có tọa độ  0;b và b;0

a

 

 

 

 Đồ thị yax đi qua hai điểm có tọa độ  0;0 và  1;0 Chú ý:

 Đường thẳng x a song song với Oy cắt Ox tại a

 Đường thẳng y b song song với Ox cắt Oy tại b

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là f x g x  sau đó tìm được

hoành độ x , thay x vào y f x  hoặc y g x  để tìm y và suy ra giao điểm

 Tìm giao điểm của đồ thị với Ox : Cho y 0 x

 Tìm giao điểm của đồ thị với Oy : Cho x 0 y

Cách 1 Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối Cách 2

 Bước 1 Vẽ đồ thị hàm số y f x 

 Bước 2 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của y f x   P1

 Bước 3 Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của y f x  lên phía trên Ox ta được  P2 Đồ thị y f x  là đồ thị hợp bởi  P và 1  P 21 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

2 Tìm giao tuyến của hai đồ thị y f x  và yg x 

3 Cách vẽ đồ thị hàm số y f x 

Trang 14

Bước 1 Vẽ đồ thị hàm số y f x  và đường thẳng y f m 

Bước 2 Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của y f x  và

 

y f m Từ đó, dựa vào hình vẽ để biện luận số nghiệm

Phương pháp chung

Bước 1 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau  1

Bước 2 Tìm giao điểm của hai đường thẳng là  

 xf myg m

Bước 3 Thay x y, vào điều kiện K để tìm m , đối chiếu với điều kiện  1 và kết luận

Sau khi tìm được   xf myg m

 ở bước 2, các em sử dụng các điều kiện sau:  Thuộc góc phần tư thứ I: 00xy  và a1 a2

 Thuộc góc phần tư thứ II: 00xy  và a1 a2

 Thuộc góc phần tư thứ III: 00xy  và a1 a2

 Thuộc góc phần tư thứ IV: 00xy  và a1 a2

 Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1 a2

4 Biện luận số nghiệm của phương trình f x m dựa vào đồ thị

5 Hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn điều kiện cho trước: K

Dạng 1 Hai đường thẳng cắt nhau thuộc các góc phần tư

Trang 15

 Bước 1 Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1a2

 Bước 2 Thay x m vào đường thẳng thứ nhất để tìm y

 Bước 3 Thay x m và y tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm

m

 Bước 4 Kết hợp các điều kiện để kết luận

 Bước 1 Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1a2

 Bước 2 Thay ym vào đường thẳng thứ nhất để tìm x

 Bước 3 Thay ym và x tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm

m

 Bước 4 Kết hợp các điều kiện để kết luận

 Bước 1 Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a1a2

 Bước 2 Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm x y, theo m

 Bước 3 Dùng tính chất chia hết để tìm m , đối chiếu điều kiện, kết luận

 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau

 Dùng phương pháp cộng để tìm tọa độ giao điểm x y, theo m

 Khử m trong biểu thức tọa độ x y, để tìm phương trình quỹ tích

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là:  d :yaxb

Dạng 2 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ m

Dạng 3 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tung độ m

Dạng 4 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên

Dạng 5 Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau

6 Lập phương trình đường thẳng

Trang 16

Ta có:   11112222; 1; 2x ydyaxbx ydyaxb      Giải hệ phương trình 1 122??yaxbayaxbb       

Từ đó, lập được phương trình đường thẳng

 Vì d // d aa và bb  d :ya x b

 Vì A x y 1; 1 dy1a x1 bb

 So sánh điều kiện b b  rồi kết luận

 Vì 1   1 1 :dda aadyxbaa             Vì  11 111;A x ydyxbba      Kết luận  Vì hệ số góc là k nên a  kykxb

 Vì đường thẳng A x y nên thay vào  1; 1 d, tìm được b

Dạng 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A x y và  1; 1 B x y 2; 2

Dạng 2 Lập phương trình đường thẳng qua A x y và song song với  1; 1

 d:ya xb

Dạng 3 Lập phương trình đường thẳng qua A x y và vng góc với  1; 1

 d:ya xb

Dạng 3 Lập phương trình đường thẳng qua A x y và có hệ số góc là k  1; 1

Dạng 4 Lập phương trình đường thẳng qua A x y và tạo với trục Ox một góc  1; 1

Trang 17

 Vì đường thẳng  d tạo với Ox một góc  nên atan

 Thay tọa độ A x y vào đường thẳng  1; 1 d để tìm hệ số b , rồi kết luận

Các bước giải:

 Bước 1 Chuyển y f x m ;  về dạng f x m ;  m 0

 Bước 2 Nhóm các số chứa m lại với nhau m f x  g x y , 0

 Bước 3 Gọi I x y là điểm cố định, suy ra  ,   0 ??, 0f xxyg x y       suy ra điểm cố định I Các bước giải:

 Bước 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3

vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm thẳng hàng, nếu khơng thỏa mãn thì 3 điểm khơng

thẳng hàng

 Bước 2 Với bài tốn tìm điều kiện ba điểm , ,A B C thẳng hàng, các em viết

phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ,A B Rồi thay tọa độ điểm C vào

đường thẳng AB để tìm m

Các bước giải:

 Bước 1 Tìm điều kiện để các đường thẳng cắt nhau, để đường thẳng là hai

hàm số bậc nhất (nếu có)

Dạng 5 Tìm điểm cố định của y f x m ; , chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định (hoặc tìm điểm mà đồ thị ln đi qua)

Dạng 6 Ba điểm thẳng hàng – Không thẳng hàng (Ba điểm là ba đỉnh tam giác)

Dạng 7 Tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy

Trang 18

 Bước 2 Tìm giao điểm của hai đường thẳng (hai đường thẳng không chứa m

) để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó khi thay vào đường thẳng số 3

phải thỏa mãn, từ đó tìm được m

Để tính khoảng cách từ điểm O 0;0 đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm của

đường thẳng với hai trục Ox và Oy là A và B Từ O kẻ OH AB rồi tính OH dựa

vào tam giác vuông OAB: 1 2 12 12

OH OA OB

Với các bài tốn tìm điều kiện để khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:

 Cách 1:

- Xét a0 Tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ và tính khoảng cách - Xét a0 Tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ và tính khoảng cách Sau khi tính được khoảng cách, ta đi tìm Min Max của biểu thức khoảng ,cách

 Cách 2: Dựa vào điểm cố định

- Bước 1 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là A

- Bước 2 Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy là B và C

- Bước 3 Để khoảng cách từ O đến đường thẳng là lớn nhất thì OA vng

góc BC Từ đó tìm m .

Dạng 8 Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng

Trang 19

Phương trình  1 có đồ thị là đường thẳng   11111: acdyxbb      với b1 0Phương trình  2 có đồ thị là đường thẳng   22222: acdyxbb      với b20

Nghiệm của hệ là nghiệm chung của cả hai phương trình  1 và  2Số nghiệm của hệ là số giao điểm của hai đường thẳng d và 1 d 2

Nhẩm nhanh số nghiệm của hệ: TH1: Hệ vô nghiệm: abcabc    TH2: Hệ có nghiệm duy nhất: abab  TH3: Hệ vô số nghiệm: abcabc    

Nếu M x M;yM là nghiệm của hệ phương trình 1 1 1

Trang 20

 Bước 1 Chọn phương trình đơn giản nhất của hệ  Biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình cịn lại

 Bước 2 Hệ phương trình mới tương đương gồm phương trình đã thay ẩn và

một phương trình đơn giản của hệ ban đầu

 Bước 3 Giải hệ phương trình

 Bước 1 Xác định ẩn (x hoặc y,…) bạn muốn khử Xem xét hệ số đứng trước

ẩn đó ở cả hai phương trình của hệ Rồi nhân thêm hệ số sao cho hệ số của chúng bằng nhau (không quan tâm về dấu)

 Bước 2 Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình trái

dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình cùng dấu

 Bước 3 Hệ gồm phương trình mới và một phương trình đơn giản của hệ ban

đầu

 Bước 4 Giải hệ phương trình

1 Định nghĩa:

Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng   , 0, 0f x yg x y với  ,  ,f x y  f y x và g x y , g y x ,Phương pháp thế

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Một số hệ phương trình thường gặp

Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp cộng đại số

Trang 21

Khi ta hoán đổi vị trí của x và y thì f x y và  , g x y không thay đổi  ,

3 Phương pháp giải

 Đặt S xy và P xy

 Thế các ẩn ,S P vào hệ phương trình ban đầu ta được một hệ phương trình mới

 Giải hệ phương trình mới đó ta tìm được các ẩn ,S P

 Tìm nghiệm  x y bằng cách giải phương trình bậc hai , 2

0

t St P

1 Định nghĩa:

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng:   , 0, 0F x yF y x , trong đó  ,

F x y là biểu thứ khơng đối xứng Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II là hệ mà

khi ta đổi vai trò của x y, cho nhau thì phương trình này của hệ chuyển thành phương trình kia

2 Phương pháp giải:

 Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được một phần tử chung là xy

 ,  , 0    , 0  , 0xyF x yF y xxy f x yf x y       1 Định nghĩa: Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng 221111222222a xb xyc yda xb xyc yd     2 Phương pháp giải:  Cách 1 Khử số hạng tử do dẫn đến phương trình 220Ax BxyCy  sau đó chia cả 2 vế cho 20yy

Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đặng cấp cấp bậc hai

Trang 22

 Cách 2 Khử số hạng tự do dẫn đến tới phương trình 22  0 1Ax BxyCy Đặt x ty khi đó   2 2 1  yAt BtC 0 Cách 3 Từ hệ khử số hạng x (hoặc 2 2y ) dẫn đến phương trình khuyết x , rút 2x theo y vào một trong hai phương trình của hệ ta được một phương tình trùng theo phương trình ẩn y

 Bước 1 Lập phương trình – Hệ phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình, hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

 Bước 2 Giải phương trình – Hệ phương trình

 Bước 3 Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn rồi đưa ra kết luận

 Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng (đơn vị) trong một số Ví dụ: ab10ab abc; 100a10bc

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG

TRÌNH

Phương pháp chung

Các dạng tốn

Dạng tốn tìm số

Trang 23

 Nếu x giờ (ngày) làm xong việc thì mỗi giờ (ngày) làm được 1

x cơng việc đó

 Nếu trong 1 giờ đối tượng A làm được 1

x công việc, đối tượng B làm được

1

y

cơng việc thì lượng cơng việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là 1 1

x  y

 Nếu mỗi giờ làm đươc 1

x cơng việc, thì n giờ sẽ làm được

1 nnxx     công việc  Một số công thức cần nhớ:

 Gọi s là quãng đường đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có: sv t. Vận tốc ca nơ xi dịng = Vận tốc ca nơ lúc nước n lặng + Vận tốc dòng

nước

 Vận tốc ca nơ ngược dịng = Vận tốc ca nơ lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

 Vận tốc ca nô xuôi – Vận tốc ca nô ngược = 2 Vận tơc dịng nước  Vận tốc bèo trơi chính là vận tốc dịng nước

 Hai vật chuyển động trên một đường tròn:

 Nếu chuyển động ngược chiều, khi gặp nhau thì S1S2 Chu vi2 R Nếu chuyển động cùng chiều, khi gặp nhau thì S1S2 Chu vi2 R

 Hai vật chuyển động trên một đường thẳng AB

 Nếu chuyển động cùng chiều, xuất phát cùng lúc khi gặp nhau thì quãng đường hai vật đi được là AB, tức là t v.1t v 2  AB

Dạng toán chuyển động

Dạng tốn làm chung riêng – vịi nước chảy chung chảy riêng

Trang 24

 Nếu chuyển động ngược chiều, xuất phát không cùng lúc thì thời gian gặp nhau của hai vật là 2

12Stvv

 Đối với các bài toán này các em cần nắm vững các cơng thức tính chu vi, diện tích của các hình đa giác đặc biệt, định lý Pytago và các hệ thức lượng trong tam giác,…

 Dựa vào quan hệ của các đại lượng: năng suất lao động: N, thời gian để hồn thành cơng việc t, lượng công việc đã làm s , thì ta có: Ns

t



 n là số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe, x là số xe chở hàng, N là tổng số hàng hóa trong kho (hoặc tổng lượng hàng cần chở)

Ta có: N n x.

 Chú ý các kết quả sau: n% của A nghĩa là 100nA Số A bằng n% số B nghĩa là: 100nA B hay 100AnB 

 Giá trị đại lượng A tăng lên n% thì được giá trị mới là: 100

n

A A

Dạng tốn sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa,…)

Dạng toán liên quan tỉ số phần trăm %

Dạng toán có nội dung hình học

Dạng tốn về năng suất lao động

Trang 25

 Hàm số 2

yax a0 xác định với mọi x

 Nếu a0 thì hàm số đồng biến khi x0 và nghịch biến khi x0 Nếu a0 thì hàm số đồng biến khi x0 và nghịch biến khi x0

 Hàm số đạt GTNN bằng 0 khi x0 với a0

 Hàm số đạt GTLN bằng 0 khi x0 với a0

2 Sự tương giao của parabol  P :yax2 và đường thẳng  d :ykxb

Tính  của phương trình  1Nếu   0  1 có hai nghiệm phân biệt x x 1; 2

Nghiệm x 1 Nghiệm x 211y kx by2 kx2 bNếu   0  1 vô nghiệm  P và  dkhơng có điểm chung Nếu   0  1có nghiệm kép Nghiệm x 000y kx bTiếp điểm x y0;0ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI 2yax1 Tính chất

 P và  d có hai điểm chung  P và  d có một điểm chung Phương trình hồnh độ giao điểm 22  

01

ax kx bax kx b

Trang 26

Công thức nghiệm  b2 4ac hoặc  2

bac

 

  

TH1:   0  * có 2 nghiệm phân biệt: 1 ; 2

2 2bbxxaa      TH2:   0  * có nghiệm kép: 1 22bxxa  TH3:   0  * vô nghiệm

Hệ thức Vi – ét (áp dụng khi phương trình có 2 nghiệm   0)

Ứng dụng của hệ thức Vi – ét 1) Cho 2 số u v, biết uvSu vP  

 thì u v, là nghiệm của phương trình

2

0

x Sx P (điều kiện: 2

40

S  P )

2) Nếu  * có: a b c  0 thì nó có nghiệm x1 và nghiệm còn lại là xca

3) Nếu  * có: a b c  0 thì nó có nghiệm x 1 và nghiệm còn lại là

Trang 27

Mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 PT  * có 2 nghiệm 00a   PT  * có nghiệm kép 00a  

PT  * có 2 nghiệm phân biệt 00

a  



PT  * có 2 nghiệm trái dấu ac0

PT  * có 2 nghiệm cùng dấu 000aP   

PT  * có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

000aP   

PT  * có 2 nghiệm dương phân biệt

0000aSP    

PT  * có 2 nghiệm âm phân biệt

0000aSP    

PT  * có 2 nghiệm đối nhau

Trang 28

 Đặt 2

tx với điều kiện t0

Khi đó  1 trở thành: 2   

00;02

at bt ca t

 Giải phương trình  2 : Nếu t   0 xt

Nếu t0 (loại do không thỏa mãn điều kiện t 0)

Các bước giải

 Bước 1 Tìm điều kiện xác định (cho mẫu khác 0)

 Bước 2 Quy đồng mẫu 2 vế - Khử mẫu

 Bước 3 Giải phương trình vừa nhận được Loại các giá trị không thỏa mãn

 Bước 4 Kết luận  Dạng 0 00AA BB    Dạng xaxbxcxdm với a  db c Phương pháp xaxd    xbxcm 2  2 xad xadxbc xbcm             Đặt 2  2 tx  ad xadx  bc xbc tbcad

Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t

Phương trình trùng phương 42   

001

ax bx  ca

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình tích

Phương trình quy về phương trình bậc hai

Trang 29

 Cho hàm số   2 

0

y f x ax bxc a Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta biến đồi về dạng:

  2 22 4byf xaxaa             Nếu a0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) là: min4ya  khi 2bxa  Nếu a0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất (GTLN) là: max4ya  khi 2bxa 

 Dùng bất đẳng thức Cauchy (Cô – si): với hai số không âm a và b bấ kỳ, ta ln có:

2

a bab

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 30

 Trực tâm: Giao 3 đường cao

 Trọng tâm: Giao 3 đường trung tuyến

 Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao 3 đường trung trực

 Tâm đường tròn nội tiếp: Giao 3 đường phân giác trong

 Góc tạo bởi hai đường thẳng song song  Góc so le trong

 Góc đồng vị

 Góc có cạnh tương ứng vng góc

 Góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng/bằng nhau

 Cạnh – góc – cạnh  Góc – cạnh – góc  Cạnh – cạnh – cạnh Tam giác Điểm đặc biệt Góc bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau – đồng dạng

HỆ THỨC LƯỢNG

TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Trang 31

Hệ thức lượng trong tam giác vuông 222222 1 1 1ABBH BCACCH BCAB ACBC AHAHHB HCAHABAC      

“Sin đi học, Cos khơng hư, Tan đồn kết, Cot kết đồn”

.sin cos ; tan cot ;

.sin cos ; tan cot ;

sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan

baBaCbcBcCcaCaBcbCbBBCBCBCBC            Một số hệ thức cần nhớ Một số góc đặc biệt  06432 000300450600900180sin 0 122232 1 0cos 1 322212 0 1tan 033 1 3 0cot 31 33 02222221 1

sin cos 1; 1 tan ; 1 cot

cos sin         Một số hệ thức đặc biệt

Trang 32

 Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy:

ABCD tại H HCHD

 Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vng góc với dây ấy

Trong một đường trịn:

 Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

 Hai dây cách đều nhau thì bằng nhau

ABCDOHOK

OHOKABCD

  

  

Trong hai dây của một đường tròn:

 Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

 Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn ABCDOHOKOHOKABCD    ĐƯỜNG TRỊN

1 Quan hệ giữa đường kính và dây cung

2 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lí 1:

Định lí 2:

Trang 33

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung

Hệ thức liên hệ

giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

2

d R

22

HB R d

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

1 d R

Đường thẳng và đường trịn khơng giao nhau

0 d R

3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, hệ thức liên hệ giữa d và R

Trang 34

 Chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính tại tiếp điểm Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính

 Chứng minh góc tạo bởi tia Bt với một dây cùng của đường trịn có số đo bằng

nửa số đo của cung bị chắn

 Đặc biệt: Nếu 2.MD MA MB Ta chứng minh MAD MDBMDAABD   MD

 là tiếp tuyến của  O

4 Tiếp tuyến của đường tròn

Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Trang 35

Vị trí tương đối của hai đường trịn O R và ; O r;  với RrSố điểm chung Hệ thức liên hệ giữa OO với R và r

Hai đường tròn cắt nhau

2 R rOO Rr

Hai đường trịn tiếp xúc nhau

1 Tiếp xúc ngồi 'OO  RrTiếp xúc trong ' 0OO   Rr

5 Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trang 37

 Góc ở tâm: BOC có BOCSđ cung BmC

 Góc nội tiếp: BAC có 12

BAC

  Sđ cung BmC

 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: xBC

Có 1

2

xBC

  Sđ cung BmC xBC BAC

 Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn: AIC

Có AIC 1

2

 (Sđ cung AxC + Sđ cung AyD )

 Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn: AMC

Có 1

2

AMC

  (Sđ cung ByD – Sđ cung AxC )

Góc ở tâm Góc nội tiếp

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Góc ở bên trong và góc ở bên ngồi đường trịn

GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN

1 Góc

Trang 38

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường trịn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 0180

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 0180

 Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

 Tú giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc khơng đổi

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 (hình thang cân, hình chữ nhật, hình 0vng là các tứ giác nội tiếp)

2 Tứ giác nội tiếp

Định lí Khái niệm

Dấu hiệu nhận biết

Phương pháp chứng minh

Trang 39

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn xuống một cạnh (chứa hai đỉnh cịn lại) dưới một góc bằng nhau

 Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

 Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều một điểm (mà điểm đó có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác

Trang 40

 Trường hợp đặc biệt: (Khi áp dụng cần phải chứng minh)

 Nếu hai cạnh đối của tứ giác AB và DC cắt nhau tại M thỏa mãn:

.

MA MBMD MC ta có thể chứng minh: MAD MCB

MADMCB

   

Tứ giác ABCD nội tiếp

 Nếu hai đường chéo của tứ giác AC và BD cắt nhau tại P thỏa mãn:

.

PA PCPB PD ta có thể chứng minh: DPC APB

DCAABD

   

Tứ giác ABCD nội tiếp

1 Chu vi đường trịn: C2R

2 Diện tích hình trịn: S R2

3 Độ dài cung trịn có số đo 01 : 102360 360 180CRRl    4 Độ dài cung trịn có số độ 0n : ll n R.n Rn   

3 Các công thức cơ bản liên quan đến đường tròn