Microsoft Word �Á Toán 8 2020 2021 doc PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLIMPIC TOÁN 8 Năm học 2020 2021 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên SBD Bài 1 (3 điểm) Cho biểu thức 3 2 1 6 3[.]
PHỊNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLIMPIC TỐN Năm học 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên: ……………… ……… …… …SBD: … Bài (3 điểm) 6x Cho biểu thức : Q= : x 2 x 1 x 1 x x 1 a Tìm điều kiện xác định Q , rút gọn Q c Tìm giá trị lớn biểu thức Q b Tìm x Q= Bài (4 điểm) a/ Tìm giá trị m phương trình: 6x – 5m = + 3mx có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình: (x – 1)(x + 1) – (x + 2)2 = b/ Giải phương trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192 Bài (3 điểm) a/ Cho x x2 Tính giá trị A x2 x x4 x2 b/ Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh: ab – a – b + 48 Bài (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCD có AB//CD, AB = BC = AD = a, CD = 2a a/ Tính góc hình thang ABCD b/ Tính diện tích hình thang ABCD theo a c/ Hãy chia mảnh đất ABCD thành mảnh đất hình thang giống hệt (bằng nhau) Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho AD = BI CI AB, CE = AC; CD BE cắt I Tính tỷ số ; IE ID Bài (2 điểm) 1/ Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y x y y x 2/ Giải phương trình : (8x – 4x2 – 1)(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) Cán coi kiểm tra khơng giải thích thêm Họ tên, chữ kí cán coi PHỊNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu Phần a 2đ Nội dung ĐK: x 1; x 2 Điểm 0,5 x2 x 6x 2x Q x3 x2 x x 1 2 x 1 x x x 1 x x 1,5 1 x2 x x x 1 x 1( KTM ) x 1 x x 2(TM ) b 0.5đ So sánh với điều kiện suy x Q (3đ) Q 0,25 0,25 ; x x 1 2 1 3 Vì 0; x x x với x 2 4 c 0.5 0,25 Q đạt GTLN x x đạt GTNN x x Lúc Q x tm 4 0,25 x Giải phương trình: (x – 1)(x + 1) – (x + 2)2 = Vậy GTLN Q a 2đ (4đ) x2 – –(x2 + 4x + 4) = x2 – – x2 - 4x - = - 4x – = - 4x = x = – 0.75 Như phương trình: 6x – 5m = + 3mx có nghiệm x = 3.(- 2) = -6 0.25 Thay x = -6 vào phương trình: 6x – 5m = + 3mx ta có 6.(-6) – 5m = + 3.(-6)m -36 - 5m = – 18m 13m = 39 0.75 m=3 Vậy m = thỏa mãn yêu cầu 0.25 b/ Giải phương trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192 (1) Ta có: x2 – = (x – 1)(x + 1) x2 + 4x + = (x + 1)(x + 3) 0.25 Nên (1) (x – 1)(x + 1)(x + 1)(x + 3) = 192 [(x – 1)(x + 3)][(x + 1)(x + 1)]= 192 (x2 + 2x - 3)(x2 + 2x + 1)]= 192 b 2đ 0.5 Đặt y = x2 + 2x – (y = (x + 1)2 – ≥ - 2) x2 + 2x – = y – x2 + 2x + = y +2 (1) (y – 2)(y + 2) = 192 y2 – = 192 y2 = 196 y = 14 (do y ≥ - 2) x2 + 2x – = 14 x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) = x= 3; x = -5 Vậy: Phương trình có nghiệm x= 3; x = -5 0.5 0.5 0.25 Cho x x Tính giá trị A x x 1 x x2 Cách 1: x x2 x 3 x x x2 x x x x 0.5 x4 + x2 +1 = (x2 +1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) x2 x x nên A 2 x x 1 x x 1 x x 1 3đ a x2 x x2 x 1 ( x 1)( x 1) 1.5 A x x x x đ 5 7 3 21 A 0.5 ( 1)( 1) 2 2 Vậy: A 0.5 21 Cách 2: Giải phương trình x x nghiệm x x 1 0.5 1 ; x 2 Chia trường hợp KQ A 21 b Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp 1.5 Chứng minh: ab – a – b + 1 48 đ Đặt a = (2n – 1)2 b = (2n + 1)2 Ta có M = ab – a – b + = (a – 1)(b – 1) = [(2n – 1)2 – 1][(2n + 1)2 – 1]= (2n – 2)2n.2n(2n + 2) 0.75 = 16n2(n – 1)(n + 1) M 16 Ta thấy: n(n – 1)(n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1) 0.25 0.5 Mà (16, 3) = M 16.3 M 48 Một mảnh đất hình thang ABCD có AB//CD, AB = BC = AD = a, CD = 2a Tính góc hình thang ABCD A B 0.5 a/ 2.5 đ I D H C Gọi I trung điểm CD AB = DI = IC = a AB//DI ABID hình bình hành AD = BI = a BCI tam giác 0 BCD=60 ADC=60 ; DAB=ABC=1200 6đ 0.5 0.5 Tính diện tích hình thang ABCD theo a Kẻ đường cao BH hình thang ABCD (đường cao tam giác 0.5 BCI) b/ 2đ Ta có: CH= CI= a BH= BC2 -CH = a - a = a 2 a (a+2a) (AB+CD)BH = 3a SABCD = = 2 0.5 Hãy chia mảnh đất ABCD thành mảnh đất hình thang giống hệt c/ (bằng nhau) 1.5 E, F, K, H trung điểm đoạn ID, AI, BI, IC đ Chi hình thang ABCD hình vẽ, ta hình thang AFED, 0.5 ABKF, BCHK, EFKH giống A B F D K I E H C Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho AD = 1 AB, CE = AC; CD BE cắt I Tính tỷ số BI CI ; IE ID Cách 1: Dùng định lý Ta - lét A D J P Q 0.25 E I B 2đ C Gọi P, Q trung điểm AE, AB PQ cắt CD J Ta có: PA//BE; BQ = QA = 2QD AP = PE = EC Nên: EI đường trung bình CPJ JP = 2IE; JI = IC 0.25 Và BD = DQ BI = 3QJ; JI = 2DJ JI = IC = 2DJ CI ID 0.5 Đặt IE = x JP = 2IE = 2x; QJ = y BI = 3QJ = 3y Ta có PQ đường trung bình ABE nên BE = 2PQ 0.25 BE = 2PQ hay BI + IE = 2(QJ + JP) 3y + x = 2(y + 2x) 3y + x = 2y + 4x hay y = 3x BI BI CI BI = 9x BI = 9IE = Vậy: = 9; IE IE ID Cách 2: Phương pháp diện tích 0.25 0.5 A D x E I 0.25 y B C Đặt SIAD = x; SIEC = y; SABC = S Vì AB = 4AD SABI = 4SIAD = 4x; AC = 3EC SAIC = 3SIEC = 3y Ta có: SABI + SAIE = SABE = SAIC + SAID = SACD = Từ (1)&(2) 5y = x= 2 S S 4x + 2y= S hay: 2x + y = (1) 3 S S S x + 3y = 2x + 6y = (2) 4 S S S S y= 30 S S S 3S 3y= 4 10 20 BI SABI 4.3S S 3S 15 CI SACI 3y S 3S = : = =9 = = : = IE SAIE 20 15 S ID SAID x 10 20 Vậy: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 BI CI = 9; IE ID Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y x3 y y x PT x y x xy y x y 1đ 2đ x y x xy y 0.25 x xy y (Vì x y ) 0.25 x y xy xy 2 Vì x y nên xy , x 2; y 0.25 0.25 Giải phương trình : (8x – 4x2 – 1)(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) 1đ PT 8x 4x x2 x x 2x 0.25 x x (4 x x 4) ( x 1) 4 Vì (x – 1)2 ≥ VT ≤ (dấu xảy x = 1) (1) 2 1 ( x x 1) ( x x ) ( x 1) 2 x x 1 4 VP x 2x x2 2x 4 ( x 1) Xét VT = Vì ( x 1) VP ≥ (dấu xảy x = 1) (2) ( x 1) x 1 Vậy: Phương trình có nghiệm x = Từ (1)&(2) suy ra: PT VT VP Ghi chú: Học sinh làm cách khác chấm điểm tương đương 0.25 0.25 0.25 ...PHỊNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu Phần a 2đ Nội dung ĐK: x 1; x 2 Điểm 0,5 x2 x 6x... xy 2 Vì x y nên xy , x 2; y 0.25 0.25 Giải phương trình : (8x – 4x2 – 1)(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) 1đ PT 8x 4x x2 x x 2x 0.25 x x (4 x x 4) ( x ... trường hợp KQ A 21 b Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp 1.5 Chứng minh: ab – a – b + 1 48 đ Đặt a = (2n – 1)2 b = (2n + 1)2 Ta có M = ab – a – b + = (a – 1)(b – 1) = [(2n – 1)2 – 1][(2n