Microsoft Word HSG TOAN 9 TP BMT 2020 2021 doc GGGVVV NNNggguuuyyyễễễnnn DDDưưươơơnnnggg HảHảHảiii ––– TTTHHHCCCSSS NNNggguuuyyyễễễnnn CCChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBMMMTTT ––– ĐĐĐăăăkkk LLLăăăkkk ([.]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Ngày thi: 15/01/2021 Bài (3,0 điểm) x 3 x 2 x 2 Cho biểu thức P : 1 x 1 x 3 x x 5 x a) Rút gọn P Tìm x nguyên để P b) Tìm x để Q nhỏ P Bài (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 17 13 x x 10 x 13 x 17 x 48 x 36 36 x x 21 2 b) Phân tích thành nhân tử x y z x y z c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: y x x 1 x x d) Cho a, b, c, d thỏa mãn abcd Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức 1 1 P 1 a 1 b c d Bài (3,0 điểm) Cho đường thẳng d1 : y x đường thẳng d : y 2m m x m m a) Tìm điều kiện m để d1 // d b) Gọi A điểm thuộc d1 có hồnh x Viết phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với d1 c) Khi d1 // d Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng d1 , d d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d1 diện tích tam giác OMN với M, N giao điểm d1 với trục tọa độ Bài (4,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC M điểm nằm tam giác Xác định vị trí điểm M để MA BC MB CA MC AB đạt giá trị nhỏ b) Cho tam giác ABC hình bình hành AMPN cho điểm M, N thuộc cạnh AB, AC Điểm P nằm tam giác ABC Gọi Q giao điểm AP BC Xác định vị trí điểm P để AM AN PQ đạt giá trị lớn AB AC AQ Bài (5,0 điểm) Cho hai đường đường trịn O; R có hai dây AB, AC vng góc với AC R Gọi H hình chiếu A BC ; E, F hình chiếu H lên AB, AC a) Chứng tỏ AB AC R Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC b) Trên đoạn AC lấy điểm J cho AJ 1 R Vẽ dây QS vng góc với AC J Chứng tỏ QS = AC c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC d) Gọi D điểm đối xứng B qua H Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC K Chứng minh rằng: BK vng góc với AO Hết -G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (3,0 điểm) x 3 x 2 x 2 Cho biểu thức P : 1 x 1 x 3 x x 5 x a) Rút gọn P Tìm x nguyên để P b) Tìm x để Q nhỏ P a) (ĐK: x 0; x 4; x ) x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 P : x x x x x x x x 3 x 2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x x 2 x 2 x 3 : : x 11 x 1 x 3 x 2 x 2 x x x x x 1 x 1 x x 2 x 3 x 1 x x 2 x 1 Do P x x x 1; 2; 3 (vì x Z ) x b) Vì x nên P , ln xác định P Vì x nên Khi Q P x x 2 x 1 x2 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 4 34 x 1 x x (TMĐK) x 1 Vậy MinQ x Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 17 13 x x 10 x 13 x 17 x 48 x 36 36 x x 21 2 Dấu “=” xảy x 1 b) Phân tích thành nhân tử x y z x y z c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: y x x 1 x x d) Cho a, b, c, d thỏa mãn abcd Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức 1 1 P 1 a 1 b c d 17 a) 13 x x 10 x 13 x 17 x 48 x 36 36 x x 21 2 2 5 3 Ta có: VT x 1 x 3 x x x x 3x x x 2 2 3 x x x x x Dấu “=” xảy x 2 2 3 VP 12 x x 12 x x x x Dấu “=” xảy x 2 2 Vậy nghiệm phương trình x G V : N g u y ễ n D n g Hả i – T H C S N g u GV: Nguyễn Dương Hải – THCS Nguyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22 2 b) x y z x y z y z x y z x y z x x y z y yz z y z x y z xy yz zx x xy zx x y yz z y z 3 x xy yz zx y z x xy yz zx x y y z z x c) y x x 1 x x y x 16 x x 16 x 14 2 y x 16 x 49 x 16 x y 49 x 16 x y x 16 x y 49 Vì x, y nguyên dương, nên x 16 x y; x 16 x y nguyên dương x 16 x y x 16 x y Do ta có trường hợp sau: x 16 x y y 12 y 48 y 12 2 x 16 x y 2 x 16 x 18 x 1 x 2 x 16 x y 49 x 1 y 12 x Vậy nghiệm nguyên dương phương trình x; y 1; 12 d) Với a, b Ta chứng minh 1 * a b ab 1 ab a ab b 0 0 a ab b ab 1 a ab 1 b ab * ab b 1 a a a b 1 b b a b 1 a 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 ab a b ab a b a b a b a b a b a b 0 0 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 ; với a, b 1 a 1 b 1 ab ab a 1 b Do P ab cd 2 1 2 abcd 1 4 4 1 a b c d Dấu “=” xảy a b c d abcd Bài 3: (4,0 điểm) Cho đường thẳng d1 : y x đường thẳng d : y 2m m x m m 2 a) Tìm điều kiện m để d1 // d b) Gọi A điểm thuộc d1 có hồnh x Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với d1 c) Khi d1 // d Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng d1 , d d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d1 diện tích tam giác OMN với M, N giao điểm d1 với trục tọa độ G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 m 1 2m m m 1 2m 1 a) d1 // d m m 2 m m m 1 m m 1; m 2 b) Tung độ điểm A y , nên A 2; Phương trình đường thẳng d có dạng y ax b Vì d qua A vng góc d1 , nên có: 2a b b Vậy phương trình đường thẳng d3 : y x a 1 a 1 c) Phương trình đường thẳng d : y x +) d1 : y x cắt trục hoành 2; cắt trục tung 0; 1 1 +) d : y x cắt trục hoành ; cắt trục tung 0; 4 4 Gọi h1 , h2 khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d1 , d , ta có : 1 1 1 1 h1 ; 32 h2 2 2 h1 2 h2 32 4 Vậy khoảng cách d1 , d : h h1 h2 2 (đvđd) 8 d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d1 h1 Ta có M 2; , N 0; Vậy SOMN (đvđd) 1 OM ON 2 (đvdt) 2 Bài 4: (2,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC M điểm nằm tam giác Xác định vị trí điểm M để MA BC MB CA MC AB đạt giá trị nhỏ A Gọi I giao điểm AM BC ; Kẻ BH AI, CK AI (H, K AI) BH BI , CK CI 1 1 Ta có S AMB MA BH MA BI ; S AMC MA CK MA CI 2 2 1 1 S AMB S AMC MA BI MA CI MA BI CI MA BC 2 2 MA BC S AMB S AMC H M B C I K Chứng minh tương tự MB CA S AMB S BMC ; MC AB S AMC S BMC Do MA BC MB CA MC AB S AMB S AMC S AMB S BMC S AMC S BMC 4S ABC AM BC Đẳng thức xảy BM AC M trực tâm ABC CM AB b) Cho tam giác ABC hình bình hành AMPN cho điểm M, N thuộc cạnh AB, AC Điểm P nằm tam giác ABC Gọi Q giao điểm AP BC Xác định vị trí điểm P để AM AN PQ đạt giá trị lớn AB AC AQ G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Gọi E giao điểm MP BC; F giao điểm NP BC AM CE AN BF ABC : ME // AC a ; ABC : NF // AB b AB BC AC BC PQ FQ PQ EQ ABQ : PF // AB c ; ACQ : PE // AC d AQ BQ AQ CQ PQ FQ EQ FQ EQ FE Từ c , d e AQ BQ CQ BQ CQ BC Từ a , b , e A N M P B F Q AM AN PQ CE BF FE CE BF FE CE BF FE AB AC AQ BC BC BC BC BC E C BC BC 27 27 BC BQ CQ Đẳng thức xảy CE BF FE P trọng tâm ABC PQ AQ Bài 5: (6,0 điểm) Cho hai đường đường trịn O; R có hai dây AB, AC vng góc với AC R Gọi H hình chiếu A BC ; E, F hình chiếu H lên AB, AC 2 a) Chứng tỏ AB AC R Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC b) Trên đoạn AC lấy điểm J cho AJ 1 R Vẽ dây QS vuông góc với AC J Chứng tỏ QS = AC c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC d) Gọi D điểm đối xứng B qua H Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC K Chứng minh rằng: BK vng góc với AO Q A J F K M E B N P H OD C S 2 a) Chứng tỏ AB AC R Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC 900 AB AC , nội tiếp đường trịn (O) BC đường kính O, nên BC R ABC , BAC G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 2 2 Do AB AC BC R R Kẻ OM AB, ON AC (M AB, N AC); Vì ON AC AN CN AC R 2 2 900 ON AC ON OA2 AN R R R R OAN , ONA ANO 900 gt , nên tứ giác AMON hình chữ nhật Tứ giác AMON có AMN MAN OM AN R b) Trên đoạn AC lấy điểm J cho AJ 1 R Vẽ dây QS vng góc với AC J Chứng tỏ QS = AC 1 R R R R JN ON 2 2 Gọi P giao điểm OM QS Vì QS AC, AB AC (gt) nên QS // AB mà OM AB OM QS hay OP QS NJP JPO 900 , JN ON cmt Xét tứ giác ONJP, ta có ONJ Ta có JN AN AJ Vậy tứ giác ONJP hình vng OP = ON, lại có OP QS, ON AC (gt) QS = AC (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC 900 , AH BC gt AB BH BC , AC CH BC Ta có ABC , BAC BEH AHC : BEH AHC 900 gt , BHE ACH HE // AC Vậy BEH BE BH BE AC AH BH AH AC CF CH AHB CF AB AH CH AH AB AHC Tương tự CFH Do BE CH CF BH BE CH BC CF BH BC BE AC CF AB BC BC BE AC CF AB AH BH AH CH AH BC AH BC BC BC BC d) Gọi D điểm đối xứng B qua H Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC K Chứng minh rằng: BK vng góc với AO R R OAB : OA OB AB R , OAB đều, mà AH OB O đối xứng B qua H D O BOK 900 gt , BK (cạnh chung), AB OB cmt ABK OBK : BAK Vì OM AB AB AM 2ON Vậy ABK OBK (cạnh huyền – c.g.v) KA = KO Lại có BA = BO (cmt), nên BK trung trực AO BK AO (đpcm) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 66 ... y x 16 x x 16 x 14 2 y x 16 x 49 x 16 x y 49 x 16 x y x 16 x y 49 Vì x, y nguyên dương, nên x 16 x y; x 16 x y nguyên... AB, N AC); Vì ON AC AN CN AC R 2 2 90 0 ON AC ON OA2 AN R R R R OAN , ONA ANO 90 0 gt , nên tứ giác AMON hình chữ nhật Tứ giác AMON... đến dây) c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC 90 0 , AH BC gt AB BH BC , AC CH BC Ta có ABC , BAC BEH AHC : BEH AHC 90 0 gt , BHE ACH HE // AC Vậy BEH BE BH