Các bài toán về phép vị tự I Lý thuyết ngắn gọn Cho điểm I và một số thực và k 0 , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho IM'''' kIM được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k Kí hiệu (I;k)V ([.]
Các toán phép vị tự I Lý thuyết ngắn gọn - Cho điểm I số thực k , phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ cho IM' kIM gọi phép vị tự tâm I, tỉ số k Kí hiệu: V(I;k) V(I;k) (M) M' IM' kIM - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I(x ;y0 ),M(x;y) , gọi x ' kx (1 k)x M'(x '; y') V(I;k) (M) y' ky (1 k)y0 - Nếu V(I;k) (M) M',V(I;k) (N) N' M'N' kMN M' N' k MN - Phép vị tự tỉ số k: + Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm bảo toàn thứ tự ba điểm + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc góc cho + Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k R - Tâm vị tự hai đường tròn: + Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn kia, tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Cho hai đường tròn (I; R) (I’; R’) + Nếu I I' phép vị tự V R' I; R biến (I;R) thành (I’;R’) + Nếu I I' R R ' phép vị tự V R' O; R V R' O1 ; R biến (I;R) thành (I’;R’) Ta gọi O tâm vị tự ngồi cịn O1 tâm vị tự hai đường tròn + Nếu I I' R = R’ có V O ;1 biến (I;R) thành (I’;R’) II Các dạng toán phép vị tự Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép vị tự Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép vị tự Ví dụ 1: Cho điểm A (1; 2) điểm I (2; 3) Tìm tọa độ A’ ảnh điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số Lời giải Gọi A’ (x’;y’) suy IA' (x ' 2; y' 3);IA (1; 1) Vì A’ ảnh điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=2 nên ta có: x ' 2 x ' IA' 2IA (x ' 2; y' 3) 2(1; 1) A'(0; 1) y' 2 y' Ví dụ 2: Cho điểm M (-2; 5) điểm E (2; -1) Tìm tọa độ điểm M’ ảnh điểm M qua phép vị tự tâm E tỉ số -2 Lời giải Gọi M'(x '; y') EM' (x ' 2; y' 1);EM ( 4;6) Vì M’ ảnh điểm M qua phép vị tự tâm E tỉ số k = nên ta có: x ' x ' 10 EM' 2EM (x ' 2; y' 1) 2(4;6) M'(10; 13) y' 12 y' 13 Dạng 2: Tìm tâm vị tự hai đường trịn Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tìm tâm vị tự hai đường trịn Ví dụ 3: Cho đường trịn (C) có phương trình (x 2)2 (y 3)2 đường trịn (C’) có phương trình x y2 2x 8y Tìm tọa độ tâm vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) biết tỉ số vị tự Lời giải Đường trịn (C) có tâm A (2; -3) bán kính R = Đường trịn (C’) có tâm A’ (1; 4) bán kính R’ = Hai đường trịn (C) (C’) có tâm khơng trùng nhau, bán kính khác Do tồn hai phép vị tự tâm I1 tỉ số k = tâm I tỉ số k = -2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) TH1: Xét k = Gọi I1 (x;y) tâm vị tự, ta có: IA (2 x; 3 y);IA' (1 x;4 y) 1 x 2x IA' 2IA (1 x;4 y) 2(2 x; 3 y) 4 y 6 2y x I1 (3; 10) y 10 Do với k = ta có tâm vị tự ngồi I1 (3; 10) TH2: Xét k = -2 Gọi I2 (x; y) tâm vị tự ta có: IA (2 x; 3 y);IA' (1 x;4 y) Ta có: IA' 2IA (1 x;4 y) 2(2 x; 3 y) 1 x 4 2x 4 y 2y x 2 I2 ( ; ) 3 y 2 2 Do với k = -2 ta có tâm vị tự I ( ; ) 3 Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (C) : (x 2)2 (y 1)2 (C') : (x 8)2 (y 4)2 16 Tìm tâm vị tự hai đường trịn Lời giải Ta có: Đường trịn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R = 2, đường trịn (C’) có tâm I’ (8; 4) bán kính R’ = Do I I',R R ' nên có hai phép vị tự V(J;2) V(J ';2) biến (C) thành (C’) Gọi J (x; y) 8 x 2(2 x) x 4 Với k = ta có: JI' 2JI J(4; 2) y 2(1 y) y Tương tự với k = -2 ta J’ (4; 2) Dạng 3: Sử dụng phép vị tự để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: Để dựng hình (H) ta quy dựng số điểm (đủ để xác định hình (H)) ta xem điểm cần dựng giao hai đường đường có sẵn đường ảnh vị tự đường khác Ví dụ 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường trịn, hai đỉnh cịn lại nằm đường kính AB nửa đường trịn Lời giải - Phân tích Giả sử hình vng MNPQ dựng xong thỏa mãn u cầu tốn (với M, N nằm AB, cịn P,Q nằm nửa đường tròn) Gọi O trung điểm AB Nối OQ OP, dựng hình vng M’N’P’Q’ cho M’, N’ nằm AB O trung điểm M’N’ Khi ta có: OQ OP PQ k OQ' OP' P'Q' Ta xem MNPQ ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k PQ P 'Q' - Cách dựng: Dựng hình vng M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB O trung điểm M’N’) Nối OP’ OQ’ Chúng cắt (O, AB) P Q Hình chiếu P Q AB N M Khi MNPQ hình vng cần dựng Dạng 4: Sử dụng phép vị tự để giải tốn tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M ta quy tìm tập hợp điểm N tìm phép vị tự V(I;k) cho V(I;k) (N) M Suy quỹ tích điểm M ảnh quỹ tích N qua V(I;k) Ví dụ 6: Cho đường tròn (O; R) điểm I nằm ngồi đường trịn cho OI = 3R, A điểm thay đổi đường tròn (O; R) Phân giác góc IOA cắt IA điểm M Tìm tập hợp điểm M A di động (O; R) Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có: MI OI 3R 3 IM IA IM IA MA OA R 4 Suy V (I; ) (A) M mà A thuộc đường tròn (O; R) nên M thuộc (O'; R) ảnh (O; R) qua V (I; ) Vậy tập hợp điểm M (O'; R) ảnh (O; R) qua V (I; ) 4 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Qua điểm M cạnh AB vẽ đường song song với đường trung tuyến AE BF, tương ứng cắt BC CA tai P, Q Tìm tập hợp điểm R cho MPRQ hình bình hành Lời giải Gọi I MQ AE,K MP BF G trọng tâm tam giác ABC MI AM AQ IQ MI BG MI MQ BG AB AF GF IQ GF Tương tự ta có: MK MP 2 Suy ra: MG MI MK MQ MP MR 3 Do đó: GR 1 GM V 1 (M) R (G; ) 2 Mà M thuộc cạnh AB nên R thuộc ảnh cạnh AB qua V (G; 1 ) đoạn đoạn EF Vậy tập hợp điểm R đoạn EF III Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxỵ cho đường trịn (C) có phương trình (x 3)2 (y 1)2 Hãy viết phương trình đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm I (1; 2) tỉ số k = -2 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – = Hãy viết phương trình đường thẳng d1 ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A (có bán kính khác nhau) Một điểm M nằm đường tròn (O) Dựng đường tròn qua M tiếp xúc với O O’ Bài 4: Gọi A giao hai đường đường tròn cắt O O’ Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B C cho AC = 2AB Bài 5: Cho đường trịn (O; R) Có phép vị tự biến (O; R) thành nó? A B C D Vô số Bài 6: Có phép vị tự biến đường trịn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) với R R ' ? A B C D Vơ số Bài 7: Có hai đường thẳng song song d d’ Có phép vị tự với tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A B C D Vơ số Bài 8: Có hai đường thẳng song song d d’ điểm O không nằm chúng Có phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A B C D Vơ số Bài 9: Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy AB CD thỏa mãn AB = 3CD Phép vị tự biến điểm A thành điểm C biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là? A B -3 C D 1 Bài 10: Một hình vng có diện tích Qua phép vị tự V(I;2) ảnh hình vng có diện tích tăng gấp lần diện tích ban đầu? A B C D ... định ảnh hình qua phép vị tự Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép vị tự Ví dụ 1: Cho điểm A (1; 2) điểm I (2; 3) Tìm tọa độ A’ ảnh điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số... hình vuông cần dựng Dạng 4: Sử dụng phép vị tự để giải tốn tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M ta quy tìm tập hợp điểm N tìm phép vị tự V(I;k) cho V(I;k) (N) M Suy quỹ... AC = 2AB Bài 5: Cho đường trịn (O; R) Có phép vị tự biến (O; R) thành nó? A B C D Vơ số Bài 6: Có phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) với R R '' ? A B C D Vơ số Bài 7: