Các bài toán về phép tịnh tiến I Lý thuyết ngắn gọn 1 Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho MM'''' v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v , ký hiệu v T v T[.]
Các toán phép tịnh tiến I Lý thuyết ngắn gọn 1.Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ cho MM' v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v , ký hiệu Tv Tv (M) M' MM' v 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (x; y) v (a;b) Khi x ' x a x ' x a đó: M'(x';y') Tv (M) MM' v y' y b y' y b 3.Các tính chất phép tịnh tiến: -Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm -Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thằng song song trùng với nó, biến đoạn thằng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính II Các dạng tốn phép tịnh tiến Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v (3;4) Hãy tìm ảnh điểm A (1; -1) qua phép tịnh tiến theo vectơ v Lời giải Gọi A′ (x′; y′) ảnh điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v x ' x a Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: y' y b x ' x ' Ta có A'(x '; y') Tv (A) A'(4;3) y' y' Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v (2; 4) đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Lời giải Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + = (1) x ' x x x ' Gọi M '(x '; y') Tv (M) y' y y y' Thay vào (1) ta phương trình: 2(x ' 2) 3(y' 4) 2x ' 3y' 11 Vậy ảnh d đường thẳng d’: 2x - 3y – 11 = Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến biết ảnh tạo ảnh Phương pháp giải: Xác định phép tịnh tiến tức tìm tọa độ v Để tìm tọa độ v , ta giả sử v = (a; b), sử dụng kiện giả thiết tốn để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a,b giải hệ tìm a,b Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + y – = Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v có giá song song với Oy biến d thành d′ qua điểm A (2; 4) Lời giải Vì v có giá song song với Oy nên v (0;k) ( k ) Lấy M(x;y) d 3x+y-9=0 (1) x ' x Gọi M '(x '; y') Tv (M) y' y k Thay vào (1) ta được: 3x’ + y’ – k – = Do Tv (d) d': 3x y k Mà A (2; 4) thuộc d, suy k=1 Vậy v (0;1) Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 2x –3y + = d′: 2x – 3y – = Tìm tọa độ v có phương vng góc với d để Tv (d) d' Lời giải Gọi v (a;b) Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: d: 2x – 3y + = (1) Gọi M'(x '; y') Tv (M) x ' x a x x ' a Ta có: y' y b y y' b Thay vào (1) được: 2x’ - 3y’ - 2a + 3b + = Suy ra: 2a 3b 5 2a 3b Chuyển vế sai Vectơ pháp tuyến đường thẳng d n (2; 3) suy vectơ phương d u (3;2) Suy ra: v.u 3a 2b 16 a 13 2a 3b Có hệ phương trình: 3a 2b b 24 13 16 24 Vậy v ; 13 13 Dạng 3: Dùng phép tịnh tiến để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: - Để dựng điểm M ta tìm cách xem ảnh điểm biết qua phép tịnh tiến, xem M giao điểm hai đường đường cố định cịn đường ảnh đường biết qua phép tịnh tiến - Sử dụng kết quả: Nếu Tv (N) M N H N H' , (H') Tv (H) kết hợp với M thuộc hình (K) để suy M H' K Ví dụ 5: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d d1 cắt hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng cho đường thẳng AB khơng song song trùng với d (hay d1) Hãy tìm điểm M d điểm M’ d1 để tứ giác ABMM’ hình bình hành Lời giải: Điểm M’ ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Khi điểm M’ vừa thuộc d1 vừa thuộc d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Từ suy cách dựng: -Dựng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA -M’ giao điểm d’ d1 -Dựng điểm M ảnh điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Suy tứ giác ABMM’ hình bình hành thoả mãn yêu cầu đầu Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M, N cho AM = CN Lời giải Cách dựng: -Dựng phân giác AP góc A -Dựng đường thẳng qua P song song với AC cắt AB M -Dựng ảnh N TPM (C) Đường thẳng MN đường thẳng thỏa u cầu tốn Dạng 4: Sử dụng phép tịnh tiến để giải tốn tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Nếu Tv (M) M' điểm M di động hình (H) điểm M’ thuộc hình (H’), (H’) ảnh hình (H) qua Tv Ví dụ 7: Cho hai điểm phân biệt B C cố định đường tròn (O) tâm O, điểm A di động đường tròn (O) Chứng minh A di động đường trịn (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Lời giải Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D BCD 90 nên DC // AH Tương tự AD // CH Suy ra: ADCH hình bình hành AH DC 2OM OM không đổi nên H ảnh A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OM Do điểm A di động đường trịn (O) H di động đường trịn (O‘) ảnh (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OM Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, BAC BC v không đổi Tìm tập hợp điểm B, C Lời giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi theo định lí sin ta có BC 2R không đổi sin Vậy BC OA R khơng đổi nên O di động đường trịn tâm A bán 2sin kính BC AO 2sin Ta có OB = OC = R khơng đổi BOC 2 không đổi suy OBC OCB 180 2 không đổi Mặt khác BC có phương khơng đổi nên OB,OC có phương không đổi Đặt OB v1 , OC v khơng đổi Tv (O) B,Tv (O) C Vậy tập hợp điểm B đường tròn A1; tập hợp điểm C đường tròn A ; BC ảnh 2sin BC ảnh 2sin BC A; qua Tv 2sin BC A; qua Tv 2sin III Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định đường tròn (O) tâm O Điểm A di động (O) Chứng minh A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Bài 2: Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – y – = Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ qua gốc toạ độ viết phương trình đường thẳng d’ Bài 3: Cho đoạn thẳng AB đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm phía đường thẳng AB Lấy điểm M (C), dựng hình bình hành ABMM’ Tìm tập hợp điểm M’ M di động (C) Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A (-1; -1), B (3; 1), C (2; 3) Xác định toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình: x y2 2x 4y Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2;3) Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD Bài 7: Cho đường (O) với đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ Bài 8: Tam giác ABC cố định trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE Từ D E vẽ đường vng góc với AB AC, đường thẳng cắt M Tìm tập hợp điểm M Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P) : y x (Q) : y x 2x Tìm phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P) Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y x 2x Viết phương trình (P’) cho qua phép tịnh tiến theo v (1;1) (P) ảnh (P’) ... - 3y – 11 = Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến biết ảnh tạo ảnh Phương pháp giải: Xác định phép tịnh tiến tức tìm tọa độ v Để tìm tọa độ v , ta giả sử v = (a; b), sử dụng kiện giả thiết toán để... M’ ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Khi điểm M’ vừa thuộc d1 vừa thuộc d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Từ suy cách dựng: -Dựng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA... Vậy v ; 13 13 Dạng 3: Dùng phép tịnh tiến để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: - Để dựng điểm M ta tìm cách xem ảnh điểm biết qua phép tịnh tiến, xem M giao điểm hai đường đường