Các bài toán về phép quay I Lý thuyết ngắn gọn 1 Cho điểm O và góc lượng giác Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M′ sao cho OM′ = OM và góc lượng giác OM;OM[.]
Các toán phép quay I Lý thuyết ngắn gọn Cho điểm O góc lượng giác Phép biến hình biến O thành biến điểm M khác O thành điểm M′ cho OM′ = OM góc lượng giác OM;OM' gọi phép quay tâm O, gọi góc quay Kí hiệu: Q O; Khi 2k,k Z Q O; phép đồng Khi (2k 1),k Z Q O; phép đối xứng tâm O Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M (x; y) M'(x '; y') Q(O,) (M) x ' x cos ysin y' x sin ycos Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M (x; y) I (a; b) M'(x '; y') Q(I, ) (M) x ' a (x a)cos (y b)sin y' b (x a)sin (y b)cos Các tính chất phép quay: - Bảo tồn khoảng cách hai điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng - Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho - Biến tam giác thành tam giác tam giác cho - Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính II Các dạng toán phép quay Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép quay Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa phép quay, biểu thức tọa độ phép quay tính chất phép quay Ví dụ 1: Tìm ảnh điểm A (3; 4) qua phép quay tâm O góc quay 90 Lời giải Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x; y) có tọa độ thỏa mãn: x 4 2 2 x y 25 OA OA ' 3 x y y x (OA;OA ') 90 OA.OA ' 3x 4y y 3 Do 90 phép quay theo chiều dương suy ra: A’ (-4; 3) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2; 0) đường thẳng d: x + 2y – = Xét phép quay Q tâm O góc quay 90 a Tìm ảnh điểm M qua phép quay Q b Tìm ảnh d qua phép quay Q Lời giải M' Oy a Ta có M(2;0) Ox Q(O;90) (M) M' : M'(0;2) OM OM' b Ta có M(2;0) d , ảnh M qua phép quay Q theo câu a M’ (0; 2) Gọi d’ ảnh d qua Q ta có d’ đường thẳng qua M’ vng góc với d Đường thẳng d có VTPT n (1;2) suy d’ có VTPT n ' (2; 1) Vậy phương trình d’ là: 2(x 0) 1(y 2) 2x y Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q(I; ) Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng a, b điểm C không nằm chúng Hãy tìm a b hai điểm A B cho tam giác ABC tam giác Lời giải Nếu xem B ảnh A qua phép quay tâm C góc quay 60° B giao đường thẳng b với đường thẳng a’ ảnh a qua phép quay nói Số nghiệm tốn số giao điểm đường thẳng b với đường thẳng a’ Ví dụ 4: Cho điểm A hai đường thẳng d1,d Dựng tam giác ABC vuông cân A cho B d1,C d Lời giải - Dựng đường thẳng d '2 ảnh d qua Q(A;90) - Dựng giao điểm B d1 d'2 - Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d C Tam giác ABC tam giác cần dựng Nhận xét: - Nếu d1,d khơng vng góc tốn có nghiệm hình - Nếu d1 d A nằm đường phân giác góc tạo d1,d tốn có vơ số nghiệm hình - Nếu d1 d A không nằm đường phân giác góc tạo d1,d tốn vơ nghiệm hình Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải toán tập hợp điểm Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q(I; ) Để tìm tập hợp điểm M′ ta tìm tập hợp điểm M mà Q(I; ) biến điểm M thành điểm M′, M (H) M' H' Q(I; ) H Ví dụ 5: Cho đường tròn (O, R), A điểm cố định không trùng với tâm O, BC dây cung (O), BC di động số đo cung BC 120 Gọi I trung điểm BC, vẽ tam giác AIJ Tìm tập hợp điểm J Lời giải Ta có I trung điểm BC cung BC 120 Nên OI BC BOI 60 Xét tam giác OIB có: OI OBcosBOI Rcos60 R Do tập hợp điểm I đường tròn ( ) tâm O bán kính R Mặt khác, tam giác AIJ nên ta có AJ AI J Q60 A AI;AJ 60 Mà tập hợp điểm I đường tròn ( ) nên tập hợp điểm J hai đường tròn 1 với: 1 Q60A Q60A 1 đường trịn tâm O1 , bán kính R với O1 Q60 A (O) đường tròn tâm O2 , bán kính R với O2 QA60 (O) Ví dụ 6: Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích điểm B, C A di động a Lời giải Do tam giác ABC có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 120 biến A thành B C phép quay tâm G góc quay 240 biến A thành B C Mà A a nên B, C thuộc đường thẳng ảnh a hai phép quay nói Vậy quỹ tích điểm B, C đường thẳng ảnh a hai phép quay tâm G góc quay 120 240 Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải toán hình học phẳng Ví dụ 7: Cho hai tam giác vng cân OAB OA'B' có chung đỉnh O cho O nằm đoạn thẳng AB' nằm đoạn thẳng A'B Gọi G G' trọng tâm tam giác OAA' OBB' Chứng minh GOG' tam giác vuông cân Lời giải Xét phép quay Q tâm O góc quay 90 , ta có: 90 OBB' Q90 O ( OAA') G' QO (G) GOG' 90,OG' OG Vậy, ta tam giác GOG' tam giác vuông cân Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, dựng ngồi tam giác hai hình vng ABDE BCKF Gọi P trung điểm cạnh AC, H điểm đối xứng D qua B, M trung điểm đoạn FH a Xác định ảnh hai vectơ BA BP phép quay tâm B góc 90 b Chứng minh DF = 2BP DF vng góc với BP Lời giải BA BH( BD) 90 Q90 a Ta có: B (A) H;Q B (BA) BH (BA;BH) 90 90 90 Q90 B (A) H;Q B (C) F Q B (AC) HF b Vì P trung điểm AC nên theo tính chất phép quay ta có ảnh P qua phép quay trung điểm M HF BP BM Q90 (BP) BM B BP BM 1 Mặt khác: BM DE,BM / /DF BP DF;DF BP 2 III Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ta dựng hình vuông ABDE ACFH Gọi I trung điểm cạnh BCE a Chứng minh AE = CD b Gọi I, J trung điểm AE CD Chứng minh tam giác BIJ tam giác Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABEF Chứng minh E chạy nửa đường tròn cố định Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A (3; 4) Hãy tìm toạ độ điểm A’ ảnh A qua phép quay tâm O góc 90 Bài 4: Cho hình vng ABCD tâm O M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 90 Bài 5: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng BCIJ, ACMN, ABEF gọi O, P, Q tâm đối xứng chúng a Gọi D trung điểm AB Chứng minh DOP tam giác vuông cân đỉnh D b Chứng minh AO vng góc với PQ AO = PQ Bài 6: Dựng tam giác biết ba đỉnh nằm bốn cạnh hình bình hành cho trước Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B (-3; 6) Tìm tọa độ điểm E cho B ảnh E qua phép quay tâm O góc quay - 90 Bài 8: Cho hình vng tâm O Hỏi có phép quay tâm O góc quay , 2 biến hình vng thành nó? A B C D Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 0) điểm N (0; 2) Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, góc quay bao nhiêu? Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (3; 0) Tìm tọa độ ảnh A điểm A qua phép quay Q90 O ... hình Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải toán tập hợp điểm Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q(I; ) Để tìm tập hợp điểm M′ ta tìm tập hợp điểm M mà... 90 phép quay theo chiều dương suy ra: A’ (-4; 3) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2; 0) đường thẳng d: x + 2y – = Xét phép quay Q tâm O góc quay 90 a Tìm ảnh điểm M qua phép quay Q... tam giác ABC có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 120 biến A thành B C phép quay tâm G góc quay 240 biến A thành B C Mà A a nên B, C thuộc đường thẳng ảnh a hai phép quay nói Vậy quỹ tích điểm